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\titleformat{\subsection}[block]{\vspace{.75\baselineskip}\bfseries}{\thesubsection}{.5cm}{}[]
\renewcommand{\numberline}[1]{#1~~}% Problème de numérotation de la ToC

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    pdftitle={Trigonométrie},% titre
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    }
    
\newtheorem{theoreme}{Théorème}[section]
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Définition}[section]
\newtheorem*{propriete}{Propriétés élémentaires}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}
\newtheorem{exemple}{Exemple}[section]
\newenvironment{rmq}{\begin{remarque}\footnotesize}{\end{remarque}}

\usepackage{titling}
\pretitle{\begin{center}\Huge\scshape\bfseries} % bold small caps si supporté
\posttitle{\end{center}\vskip 1.5em}
\title{Trigonométrie}
\author{Olivier Castéra\\
      \href{mailto:o.castera@free.fr}{o.castera@free.fr}\\
      \href{http://sciences-physiques.neocities.org}{sciences-physiques.neocities.org}}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
Démonstration des principales formules de trigonométrie
\end{abstract}
\tableofcontents% affiche la table des matières (ToC)
\section{Identité de Pythagore}
\begin{theoreme}Théorème de Pythagore

Le carré de l'hypothénus d'un triangle rectangle est égale à la som\-me des carrés des autres côtés.
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
c^2=a^2+b^2
\end{empheq}
\end{theoreme}
\begin{proof}
Exprimons la surface totale de la figure ci-dessous~:
\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-2.5,0)(5,3)%aire reservee a l'image
%\psgrid(-2.5,.3)(5,3)
\rput(1.2,2.4){$a$}
\rput(1.9,2.2){$b$}
\rput(2,2.7){$c$}
\psline(0,1)(2,1)
\psline(1,1)(1,3)
\psline(1,2)(3,2)
\psline(2,2)(2,0)
\psline(0,1)(1,3)
\psline(1,3)(3,2)
\psline(3,2)(2,0)
\psline(2,0)(0,1)
\end{pspicture}
\end{figure}

\begin{equation*}
S=c^2
\end{equation*}
Or $S$ est aussi la surface des quatre triangles et du carré central~:
\begin{align*}
S&=4\times\tfrac{1}{2}ab+(b-a)^2\\
&=2ab+b^2-2ab+a^2\\
&=b^2+a^2
\end{align*}
d'où~:
\begin{equation*}
c^2=a^2+b^2\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
\begin{definition}Fonctions trigonométriques

Dans le triangle rectangle ci-dessous,
on définit les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente~:
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\sin(\alpha)&\triangleq\frac{b}{c}\\
\cos(\alpha)&\triangleq\frac{a}{c}\\
\tan(\alpha)&\triangleq\frac{b}{a}
\end{empheq}
si bien que~:
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}
\end{empheq}
\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(0,-.5)(6,2)%aire reservee a l'image
%\psgrid
\rput(6.2,1.25){$b$}
\rput(3,-.3){$a$}
\rput(3,1.5){$c$}
\psline(0,0)(6,0)
\psline(6,0)(6,2.5)
\psline(6,2.5)(0,0)
\psarc{<->}(0;0){1.5}{0}{22.620}
\rput(1.8;11){$\alpha$}
\psline(5.8,0)(5.8,.2)
\psline(5.8,.2)(6,.2)
\end{pspicture}
\end{figure}
\end{definition}
\begin{theoreme}Identité de Pythagore
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1
\end{empheq}
\end{theoreme}
\begin{proof}
À partir du théorème de Pythagore~:
\begin{align*}
a^2+b^2&=c^2\\
\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}&=1\\
\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)&=1\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\subsection{Expression de sinus et cosinus en fonction de tangente}
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
\sin(\alpha)&=\frac{\sin(\alpha)}{\sqrt{\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)}}\\
\cos(\alpha)&=\frac{\cos(\alpha)}{\sqrt{\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)}}
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\left\{
\begin{aligned}
\sin(\alpha)&=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)\sqrt{1+\tan^2(\alpha)}}\\
\cos(\alpha)&=\frac{1}{\sqrt{\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)}/\cos(\alpha)}
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\sin(\alpha)&=\frac{\tan(\alpha)}{\sqrt{1+\tan^2(\alpha)}}\\
\cos(\alpha)&=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2(\alpha)}}
\end{empheq}
\section{Cercle trigonométrique}
On pose $c\neq0$ pour s'assurer de l'existence du triangle.
Par changement d'unité de longueur, nous posons $c=1$ sans perte de généralité~:
\begin{itemize}
 \item si $\alpha=0$ alors $b=0$ et $a=c$.
 \item si $\alpha=\frac{\pi}{2}$ alors $a=0$, $b=c$, et $\tan(\alpha)$ n'est plus définie.
\end{itemize}
Pour $\alpha>\frac{\pi}{2}$ ou pour $\alpha<0$, le triangle n'est plus défini.
Nous redéfinissons les fonctions trigonométriques comme la projection perpendiculaire d'un segment
de longueur unité sur les axes de coordonnées. On obtient alors le cercle trigonométrique~:
\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-4,-3.5)(4,3.5)%aire reservee a l'image
\pscircle(0,0){3}
\psline(0,0)(3,0)
\psline(0,0)(3;20)
\psline{->}(-3.5,0)(3.5,0)
\rput(3.3,-.3){$x$}
\rput(-.3,3.3){$y$}
\psline{->}(0,-3.5)(0,3.5)
\psarc{->}(0;0){1.4}{0}{20}
\rput(1.7;10){$\alpha$}
\psline[linestyle=dashed](2.819,0)(2.819,1.026)
\psline[linestyle=dashed](2.819,1.026)(0,1.026)
\rput(-.5,.6){$\sin(\alpha)$}
\rput(1.7,-.3){$\cos(\alpha)$}
\rput(.3;225){$o$}
\rput(3.7;45){$\mathscr C(o,1)$}
\end{pspicture}
\end{figure}
\subsection{Parité des fonctions trigonométriques}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align}\label{tan}
\cos(-\alpha)&=\cos(\alpha)\\
\sin(-\alpha)&=-\sin(\alpha)
\end{empheq}
\begin{equation*}
\tan(-\alpha)=\frac{\sin(-\alpha)}{\cos(-\alpha)}
\end{equation*}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\tan(-\alpha)=-\tan(\alpha)
\end{empheq}
\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)%aire reservee a l'image
\pscircle(0,0){3}
\psline(0,0)(3,0)
\psline(0,0)(3;20)
\psline(0,0)(3;-20)
\psline(0,0)(3;110)
\psline(0,0)(3;70)
\psline{->}(0,0)(4,0)
\rput(3.8,-.3){$x$}
\rput(-.3,3.8){$y$}
\psline{->}(0,0)(0,4)
\psarc{->}(0;0){1.4}{0}{20}
\psarc{->}(0;0){1.2}{0}{110}
\psarc{->}(0;0){2}{0}{70}
\psarc{<-}(0;0){1.6}{-20}{0}
\rput(1.7;10){$\alpha$}
\rput(1.6;135){$\frac{\pi}{2}+\alpha$}
\rput(2.5;55){$\frac{\pi}{2}-\alpha$}
\rput(2;-10){$-\alpha$}
\end{pspicture}
\end{figure}
\subsection{Relations entre sinus et cosinus}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\cos(\tfrac{\pi}{2}+\alpha)&=-\sin(\alpha)\\
\cos(\tfrac{\pi}{2}-\alpha)&=\sin(\alpha)\\
\sin(\tfrac{\pi}{2}+\alpha)&=\cos(\alpha)\\
\sin(\tfrac{\pi}{2}-\alpha)&=\cos(\alpha)
\end{empheq}
\section{Addition de deux angles}
\begin{theoreme}\label{thadd}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\cos(\alpha+\beta)&=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\\
\cos(\alpha-\beta)&=\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)\\
\sin(\alpha+\beta)&=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha)\\
\sin(\alpha-\beta)&=\sin(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\beta)\cos(\alpha)\\
\tan(\alpha+\beta)&=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}\\
\tan(\alpha-\beta)&=\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\tan(\beta)}
\end{empheq}
\end{theoreme}
\begin{proof}
\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-2,-1.5)(8,5)%aire reservee a l'image
%\psgrid
\SpecialCoor
\psarc[linestyle=dashed](0;0){6}{-5}{55}
\psarc{<->}(0;0){1.5}{0}{20}
\psarc{<->}(0;0){1.5}{20}{50}
\rput(1.7;10){$\alpha$}
\rput(1.7;35){$\beta$}
\psline(0;0)(6;0)
\psline(5.196;20)(6;20)
\psline(0;0)(6;50)
\psline[linestyle=dashed](6;50)(3.857;0)
\psline[linecolor=red]{<->}(6;50)(5.196;20)
\psline[linestyle=dashed](5.196;20)(4.883;0)
\psline[linecolor=red]{<->}(0;0)(5.196;20)
\psline[linecolor=red]{<->}(0,-.2)(3.857,-.2)
\psline[linecolor=red]{<->}(4.883,-.8)(0,-.8)
\psline[linecolor=red]{<->}(5.196;20)(3.857,1.777)
\psarc{<->}(6;50){1.5}{-90}{-70}
\rput(4.2,2.8){$\alpha$}
\rput(2,-.5){\red$\cos(\alpha+\beta)$}
\rput(2,-1.1){\red$\cos(\beta)\,\cos(\alpha)$}
\rput(2.8,1.877){\red$\sin(\beta)\,\sin(\alpha)$}
\rput(5.1,2.877){\red$\sin(\beta)$}
\rput{20}(3,.8){\red$\cos(\beta)$}
\rput(3.857;0){\psframe(0,0)(.1,.1)}
\rput(4.883;0){\psframe(0,0)(.1,.1)}
\rput{20}(5.196;20){\psframe(0,0)(.1,.1)}
\end{pspicture}
\end{figure}
Sur la figure ci-dessus, on retrouve l'angle $\alpha$ car les droites sont perpendiculaires deux à deux.
Par conséquent~:
\begin{equation}
\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\label{cos}
\end{equation}
En remplaçant $\beta$ par $-\beta$~:
\begin{align*}
\cos(\alpha-\beta)&=\cos(\alpha)\cos(-\beta)-\sin(\alpha)\sin(-\beta)\\
&=\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)
\end{align*}
En remplaçant $\alpha$ par $\tfrac{\pi}{2}-\alpha$ dans la relation~\eqref{cos}~:
\begin{align*}
\cos[(\tfrac{\pi}{2}-\alpha)+\beta]&=\cos(\tfrac{\pi}{2}-\alpha)\cos(\beta)-\sin(\tfrac{\pi}{2}-\alpha)\sin(\beta)\\
\sin(\alpha-\beta)&=\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)
\end{align*}
En remplaçant $\beta$ par $-\beta$~:
\begin{align*}
\sin(\alpha+\beta)&=\sin(\alpha)\cos(-\beta)-\cos(\alpha)\sin(-\beta)\\
&=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)
\end{align*}
Pour la fonction tangente~:
\begin{align*}
\tan(\alpha+\beta)&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\\
&=\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)}\\
&=\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta)/[\cos(\alpha)\cos(\beta)]+\cos(\alpha)\sin(\beta)/[\cos(\alpha)\cos(\beta)]}{1-\sin(\alpha)\sin(\beta)/[\cos(\alpha)\cos(\beta)]}\\
&=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}
\end{align*}
En remplaçant $\beta$ par $-\beta$~:
\begin{equation*}
\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\tan(\beta)}\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
L'identité~\eqref{cos} est la plus antisymétrique, c'est la seule à retenir.
\subsection{Angle double}
En posant $\beta=\alpha$ dans le théorème~\ref{thadd}~:
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\cos(2\alpha)&=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)\\
&=2\cos^2(\alpha)-1\\
&=1-2\sin^2(\alpha)\\
\sin(2\alpha)&=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\\
\tan(2\alpha)&=\frac{2\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)}
\end{empheq}
Nous avons aussi~:
\begin{align*}
\tan(\alpha)&=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\times\frac{2\cos(\alpha)}{2\cos(\alpha)}\\
&=\frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{2\cos^2(\alpha)}
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\tan(\alpha)=\frac{\sin(2\alpha)}{1+\cos(2\alpha)}
\end{empheq}
et~:
\begin{align*}
\tan(\alpha)&=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\times\frac{2\sin(\alpha)}{2\sin(\alpha)}\\
&=\frac{2\sin^2(\alpha)}{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\tan(\alpha)=\frac{1-\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}
\end{empheq}
En se servant des identités~\eqref{tan}~:
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
\cos(2\alpha)&=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)\\
\sin(2\alpha)&=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)
\end{aligned}
\right.
\quad\Rightarrow\quad
\left\{
\begin{aligned}
\cos(2\alpha)&=\frac{1}{1+\tan^2(\alpha)}-\frac{\tan^2(\alpha)}{1+\tan^2(\alpha)}\\
\sin(2\alpha)&=2\,\frac{\tan(\alpha)}{\sqrt{1+\tan^2(\alpha)}}\,\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2(\alpha)}}
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\cos(2\alpha)&=\frac{1-\tan^2(\alpha)}{1+\tan^2(\alpha)}\\
\sin(2\alpha)&=\frac{2\tan(\alpha)}{1+\tan^2(\alpha)}
\end{empheq}
\subsection{Transformation de produits en sommes}
À partir du thé\-o\-rè\-me~\ref{thadd}, on dé\-duit~:
\begin{empheq}[box=\greybox]{align}
\cos(\alpha)\cos(\beta)&=\tfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\label{pes}\\
\sin(\alpha)\sin(\beta)&=\tfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]\notag\\
\sin(\alpha)\cos(\beta)&=\tfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\notag\\
\sin(\beta)\cos(\alpha)&=\tfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]\notag
\end{empheq}
\subsection{Réduction du carré}
En posant $\alpha=\beta$ dans les identités pré\-cé\-den\-tes~:
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\cos^2(\alpha)&=\tfrac{1}{2}[\cos(2\alpha)+1]\\
\sin^2(\alpha)&=\tfrac{1}{2}[1-\cos(2\alpha)]
\end{empheq}
d'où~:
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\tan^2(\alpha)=\frac{1-\cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)+1}
\end{empheq}
\subsection{Transformation de sommes en produits}
Dans les relations~\eqref{pes}, en posant $\gamma=\alpha+\beta$ et $\delta=\alpha-\beta$, c'est à dire, $\alpha=\tfrac{1}{2}(\gamma+\delta)$ et $\beta=\tfrac{1}{2}(\gamma-\delta)$,
on a~:
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\cos\gamma+\cos\delta&=2\cos\left(\frac{\gamma+\delta}{2}\right)\cos\left(\frac{\gamma-\delta}{2}\right)\\
\cos\delta-\cos\gamma&=2\sin\left(\frac{\gamma+\delta}{2}\right)\sin\left(\frac{\gamma-\delta}{2}\right)\\
\sin\gamma+\sin\delta&=2\sin\left(\frac{\gamma+\delta}{2}\right)\cos\left(\frac{\gamma-\delta}{2}\right)\\
\sin\gamma-\sin\delta&=2\sin\left(\frac{\gamma-\delta}{2}\right)\cos\left(\frac{\gamma+\delta}{2}\right)
\end{empheq}
\section{Formule de De Moivre}\label{DeMoivre}
Le développement en série de la fonction cosinus s'écrit~:
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\cos x=1-\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{4}}{4!}-\dfrac{x^{6}}{6!}+\dots
\end{empheq}
et celui de la fonction sinus s'écrit~:
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\sin x=x-\dfrac{x^{3}}{3!}+\dfrac{x^{5}}{5!}-\dfrac{x^{7}}{7!}+\dots
\end{empheq}
Le développement en série de la fonction exponentielle s'écrit~:
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
e^{x}=1+x+\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{3}}{3!}+\dfrac{x^{4}}{4!}+\dots
\end{empheq}
si bien que~:
\begin{align*}
e^{ix}&=1+ix+\dfrac{(ix)^{2}}{2!}+\dfrac{(ix)^{3}}{3!}+\dfrac{(ix)^{4}}{4!}+\dots\\
&=1+ix-\dfrac{x^{2}}{2!}-i\dfrac{x^{3}}{3!}+\dfrac{x^{4}}{4!}+\dots\\
&=1-\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{4}}{4!}-\dots+i(x-\dfrac{x^{3}}{3!}+\dots)
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
e^{ix}=\cos x+i\sin x
\end{empheq}
\section{Loi des cosinus}
\begin{theoreme}
Dans le triangle quelconque~:
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\beta)
\end{empheq}
\end{theoreme}
\begin{proof}
\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(0,-.5)(9,3)%aire reservee a l'image
%\psgrid
\rput(6.3,1.25){$h$}
\rput(5.2,1.25){$b$}
\rput(3,-.3){$a$}
\rput(5.5,-.3){$x$}
\rput(3,1.5){$c$}
\psline(0,0)(5,0)
\psline[linestyle=dashed](5,0)(6,0)
\psline(5,0)(6,2.5)
\psline[linestyle=dashed](6,0)(6,2.5)
\psline(6,2.5)(0,0)
\psarc{<->}(0;0){1.5}{0}{22.620}
\rput(1.8;11){$\beta$}
\psline(5.8,0)(5.8,.2)
\psline(5.8,.2)(6,.2)
\end{pspicture}
\end{figure}
Nous avons~:
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
\sin(\beta)&=\frac{h}{c}\\
\cos(\beta)&=\frac{a+x}{c}
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\begin{align*}
b^2&=h^2+x^2\\
&=[c\sin(\beta)]^2+[c\cos(\beta)-a]^2\\
&=c^2\sin^2(\beta)+c^2\cos^2(\beta)-2ac\cos(\beta)+a^2\\
&=c^2+a^2-2ac\cos(\beta)\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\begin{rmq}Angle

Pour tout cercle, on remarque que la circonférence $\mathcal C$ est proportionnelle au diamètre $D$.
Le coefficient de proportionnalité est noté $\pi$ et l'on a~:
\begin{equation*}
\mathcal C=\pi D
\end{equation*}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\mathcal C=2\pi r
\end{empheq}
où $r$ est le rayon du cercle.
Une longueur quelconque $l$ d'un arc de cercle est par conséquent elle aussi proportionnelle au rayon du cercle~:
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
l&=\alpha r
\end{empheq}
On appelle $\alpha$ l'angle sous lequel on voit l'arc de longueur $l$ depuis le centre du cercle.
$\alpha$ est le rapport de deux longueur, il n'a donc pas de dimension, mais il a une unité, le radian.
Quand $l=\mathcal C$, $\alpha=2\pi$.
\end{rmq}
\end{document}
