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    group-minimum-digits = 3,% nombre de chiffres entre chaque séparation
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\titleformat{\subsection}[block]{\vspace{.75\baselineskip}\bfseries}{\thesubsection}{.5cm}{}[]
\renewcommand{\numberline}[1]{#1~~}% Problème de numérotation de la ToC

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\newtheorem{remarque}{Remarque}[section]
\newenvironment{rmq}{\begin{remarque}\footnotesize}{\end{remarque}}

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    pdftitle={Racines carrées et racines n-ièmes},% titre
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\pretitle{\begin{center}\Huge\bfseries}
\posttitle{\end{center}\vskip 1.5em}
\title{Les Racines carrées et les racines n-ièmes}
\author{Olivier Castéra\\
      \href{mailto:o.castera@free.fr}{o.castera@free.fr}\\
      \href{http://sciences-physiques.neocities.org}{sciences-physiques.neocities.org}}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{empty}% supprime l'affichage du numéro de la première page
\begin{abstract}
Démonstration de la suite de Héron pour calculer les racines carrées à partir des opérations élémentaires d'addition,
soustraction, multiplication et division. Puis généralisation de la méthode aux racines n-ièmes.
\end{abstract}
\tableofcontents% affiche la table des matières (ToC)

\section{Exemple numérique}
Soit à calculer $\sqrt{10}$. La calculatrice donne $\sqrt{10}=\num{3,16227766}\dots$ Pour amorcer la suite il nous faut une valeur de départ.
Nous choisissons $3$ dans cet exemple car $\sqrt{10}$ est proche de $3$,
mais la suite de Héron converge quelle que soit le choix pour la valeur de départ.
Une première valeur approchée de $\sqrt{10}$ est donnée par le calcul suivant:
\begin{equation*}
\dfrac{1}{2}\left(3+\dfrac{10}{3}\right)=\num{3,1666666}\dots
\end{equation*}
Pour obtenir plus de décimales exactes, on réitère le procédé.
On remarque qu'il est inutile de conserver toutes les décimales des calculs intermédiaires:
\begin{equation*}
\dfrac{1}{2}\left(3,17+\dfrac{10}{3,17}\right)\approx\num{3,16228707}\dots
\end{equation*}

\section{Démonstration de la suite de Héron}
La méthode utilisée pour le calcul de $\sqrt{10}$ est une suite qui s'écrit~:
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
B_{n}=\dfrac{1}{2}\left(B_{n-1}+\dfrac{A}{B_{n-1}}\right)
\end{empheq}
dans laquelle $A=10$ et~$B_0=3$. Puis nous avons calculé:
\begin{align*}
B_1&=\dfrac{1}{2}\left(B_0+\dfrac{A}{B_0}\right)=\num{3,1666666}\dots\\
B_2&=\dfrac{1}{2}\left(B_1+\dfrac{A}{B_1}\right)\approx\num{3,16228707}\dots
\end{align*}
Dans ce qui suit les paramètres seront notés en majuscule ($A$ et $B$), alors que les variables seront notées en minuscule ($x$ et $y$).

Soit un nombre~$A$ dont on cherche la racine~$B$, alors:
\begin{align*}
B&=\sqrt A\\
B^{2}&=A\\
B&=\dfrac{A}{B}
\end{align*}
Pour résoudre cette équation faisons varier $x$ jusqu'à ce qu'il soit solution de $x=A/x$.
Quand $x$ sera solution de l'équation, il aura pour valeur $B$. Par conséquent, si l'on trace les courbes $y=x$ et $y=A/x$,
elles seront séquentes en $x=B$.

\begin{figure}[H]\centering
\psset{unit=1 cm, labels=none}%unites pour les x et les y.
%\psset{unit=1 cm,algebraic=true} pour ne plus etre en polonaise inverse
%\psset{xunit=2cm,yunit=1cm} pour des unites differentes
\begin{pspicture}(-2,-1)(10,9)%aire reservee a l'image
%\psgrid(-2,-1)(10,9)
\psaxes{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(8.5,8)
\psset{dotstyle=+}
\pcline{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.4){$\vec i$}%vecteur unitaire i
\pcline{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.5,0.5){$\vec j$}
\def\F{x}%Definition de f : y=x 
\def\G{10 x div}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-1}{7}{\F}%tracer F de x=-1 a x=7
\rput[l](1.7,7.5){$y=\dfrac{A}{x}$}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{1.35}{8}{\G}
\rput[l](7.4,7.2){$y=x$}
\rput[l](-0.2,8.4){$Y$}
\rput[l](9,0){$X$}
\rput[l](3,-0.5){$B=\sqrt A$}
\psline[linestyle=dashed](3.1622,0)(3.1622,3.1622)
\end{pspicture}
\end{figure}

Voyons ce qu'il se passe si l'on utilise la suite $B_{n}=A/B_{n-1}$ en fixant la valeur de départ à $B_0$,
avec $B_0$ quelconque et si possible proche de $\sqrt A$. Une fois $B_0$ fixée, on trouve graphiquement $B_1=A/B_0$,
puis $B_2=A/B_1$.

\psset{unit=0.5 cm, labels=none}
\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(0,8.5)(24,-16)%aire reservee a  l'image
\psaxes{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(8.5,8.5)
\psset{dotstyle=+}
\def\F{x}%Definition de f : y=x 
\def\G{10 x div}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-1}{7}{\F}%tracer F de x=-1 a  x=8
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{1.4}{8}{\G}
\rput[l](7.4,7.2){$y=x$}
\rput[l](1.5,8){$y=\frac{A}{x}$}
\rput[l](-.1,9){$Y$}
\rput[l](9,0){$X$}
\rput[l](4.5,-1){$B_0$}
\rput[l](-3,2){$y=\frac{A}{B_0}$}
\psline[linestyle=dashed, arrowscale=2]{->}(5,0)(5,2)(0,2)
\rput(16,0){
\psaxes{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(8.5,8.5)
\psset{dotstyle=+}
\def\F{x}%Definition de f : y=x 
\def\G{10 x div}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-1}{7}{\F}%tracer F de x=-1 a  x=8
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{1.4}{8}{\G}
\rput[l](7.4,7.2){$y=x$}
\rput[l](1.5,8){$y=\frac{A}{x}$}
\rput[l](-.1,9){$Y$}
\rput[l](9,0){$X$}
\rput[l](1.5,-1){$x=\frac{A}{B_0}=B_1$}
\rput[l](-1.5,2){$\frac{A}{B_0}$}
\psline[linestyle=dashed, arrowscale=2]{->}(0,2)(2,2)(2,0)}
\rput(0,-14){
\psaxes{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(8.5,8.5)
\psset{dotstyle=+}
\def\F{x}%Definition de f : y=x 
\def\G{10 x div}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-1}{7}{\F}%tracer F de x=-1 a  x=8
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{1.4}{8}{\G}
\rput[l](7.4,7.2){$y=x$}
\rput[l](1.5,8){$y=\frac{A}{x}$}
\rput[l](-.1,9){$Y$}
\rput[l](9,0){$X$}
\rput[l](1.5,-1){$B_1$}
\rput[l](-3,5){$y=\frac{A}{B_1}$}
\psline[linestyle=dashed, arrowscale=2]{->}(2,0)(2,5)(0,5)}
\rput(16,-14){
\psaxes{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(8.5,8.5)
\psset{dotstyle=+}
\def\F{x}%Definition de f : y=x 
\def\G{10 x div}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-1}{7}{\F}%tracer F de x=-1 a  x=8
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{1.4}{8}{\G}
\rput[l](7.4,7.2){$y=x$}
\rput[l](1.5,8){$y=\frac{A}{x}$}
\rput[l](-.1,9){$Y$}
\rput[l](9,0){$X$}
\rput[l](4.5,-1){$x=B_2$}
\rput[l](-1.5,5){$\frac{A}{B_1}$}
\psline[linestyle=dashed, arrowscale=2]{->}(0,5)(5,5)(5,0)}
\end{pspicture}
\end{figure}

On constate que $B_2=B_0$, ce que l'on vérifie aisément :
\begin{equation*}
B_2=\frac{A}{B_1}=\frac{A}{A/B_0}=B_0
\end{equation*}
Ce résultat montre que la suite $B_{n}=A/B_{n-1}$ ne converge pas vers $\sqrt A$.
Pour que $x$ tende vers $\sqrt A$ il faut que graphiquement l'on s'approche de l'intersection des deux courbes
(ici l'une des courbes est une droite, mais la méthode de résolution s'utilise de manière générale avec deux courbes).

Réécrivons l'équation de départ comme ceci :
\begin{align*}
B&=\frac{A}{B}\\
B+B&=\frac{A}{B}+B\\
2B&=\frac{A}{B}+B\\
B&=\frac{1}{2}\left(\frac{A}{B}+B\right)
\end{align*}
On trace $y=x$ et $y=\frac{1}{2}\left(\frac{A}{B}+B\right)$. Elles sont séquentes en $x=B$.

\begin{figure}[H]\centering
\psset{unit=0.6 cm, labels=none}%unites pour les x et les y.
\begin{pspicture}(0,-2)(6,10)%aire reservee a  l'image
%\psgrid(0,-2)(6,10)
\psaxes[ticks=none]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(8.5,8.5)%ticks=none pour supprimer les graduations
\psset{dotstyle=+}
\pcline{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.4){$\vec i$}%vecteur unitaire i
\pcline{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.5,0.5){$\vec j$}
\def\F{x}%Definition de f : y=x 
\def\G{10 x div x add 2 div}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-1}{7}{\F}%tracer F de x=-1 a  x=7
\rput[l](0.5,6){$y=\frac{1}{2}\left(\frac{A}{B}+B\right)$}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{1}{8}{\G}
\rput[l](7.4,7.2){$y=x$}
\rput[l](-.1,9){$Y$}
\rput[l](9,0){$X$}
\rput[l](3,-0.5){$B=\sqrt A$}
\psline[linestyle=dashed](3.1622,0)(3.1622,3.1622)
\end{pspicture}
\end{figure}

Comment se comporte la nouvelle suite $B_{n}=\frac{1}{2}\left(B_{n-1}+\frac{A}{B_{n-1}}\right)$~:

\begin{figure}[H]\centering
\psset{unit=0.6 cm, labels=none}%unites pour les x et les y.
\begin{pspicture}(0,-2)(6,10)%aire reservee a  l'image
%\psgrid(0,-2)(6,10)
\psaxes[ticks=none]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(8.5,8.5)
\psset{dotstyle=+}
\pcline{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.4){$\vec i$}%vecteur unitaire i
\pcline{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.5,0.5){$\vec j$}
\def\F{x}%Definition de f : y=x 
\def\G{10 x div x add 2 div}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-1}{7}{\F}%tracer F de x=-1 a  x=7
\rput[l](0.5,6){$y=\frac{1}{2}\left(\frac{A}{B}+B\right)$}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{1}{8}{\G}
\rput[l](7.4,7.2){$y=x$}
\rput[l](-.1,9){$Y$}
\rput[l](9,0){$X$}
\rput[l](3,-0.5){$B$}
\rput[l](6.8,-0.6){$B_0$}
\rput[l](4.014,-0.6){$B_1$}
\psline[linestyle=dashed](7,0)(7,4.214)(4.214,4.214)(4.214,3.294)(3.294,3.294)(3.294,3.165)
\end{pspicture}
\end{figure}

Elle converge rapidement vers $x=\sqrt A$.
En regardant le schéma ci-dessus on comprend que la condition de convergence de la suite est que la courbe
$y=\frac{1}{2}\left(\frac{A}{x}+x\right)$ soit minimale en $\sqrt A$.
En réalité il suffit qu'elle soit extrémale en ce point, peu importe que ce soit un maximum ou un minimum.

Vérifions que $\sqrt A$ est bien un extrémum de $y(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{A}{x}+x\right)$
\begin{align*}
y'(x)&=\frac{1}{2}\left(1-\frac{A}{x^{2}}\right)\\
\frac{1}{2}\left(1-\frac{A}{x^{2}}\right)&=0\\
\frac{A}{x^{2}}&=1\\
A&=x^{2}\\
x&=\pm\sqrt A
\end{align*}
$\sqrt A$ est donc bien un extrémum de $y(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{A}{x}+x\right)$.

\section{Généralisation aux racines n-ièmes}
\begin{align*}
B^{n}&=A\\
B\times B^{n-1}&=A\\
B&=\frac{A}{B^{n-1}}\\
B+(n-1)B&=\frac{A}{B^{n-1}}+(n-1)B\\
nB&=\frac{A}{B^{n-1}}+(n-1)B\\
B&=\dfrac{1}{n}\left[ \frac{A}{B^{n-1}}+(n-1)B\right] 
\end{align*}
d'où la suite
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
B_{m}=\dfrac{1}{n}\left[\left(n-1\right)B_{m-1}+\dfrac{A}{B_{m-1}^{n-1}}\right] 
\end{empheq}

Vérifions que $\sqrt[n]A$ est un extrémum de $y(x)=\dfrac{1}{n}\left[\left(n-1\right)x+\dfrac{A}{x^{n-1}}\right]$
\begin{align*}
y'(x)&=\frac{1}{n}\left[(n-1)-(n-1)Ax^{-n}\right]\\
\frac{n-1}{n}\left(1-Ax^{-n}\right)&=0\\
Ax^{-n}&=1\\
A&=x^{n}\\
x&=\pm\ \sqrt[n]A
\end{align*}
$\sqrt[n]A$ est donc bien un extrémum de $y(x)=\dfrac{1}{n}\left[\left(n-1\right)x+\dfrac{A}{x^{n-1}}\right]$.

\begin{rmq}
Dans le cas où $A$ est négatif, $n$ est obligatoirement impaire, et l'on ne conserve que le signe négatif dans la relation précédente.
Par exemple pour $A=-27$, nous avons $3=-\sqrt[3]{-27}$.
\end{rmq}

\section{Exemple numérique}
Soit à calculer\ \ $\sqrt[5]7$. Dans cet exemple, $A=7$, $n=5$, et l'on choisi $B_0=1$.
\begin{align*}
B_0&=1\\
B_1&=\dfrac{1}{5}\left[4\times 1+\dfrac{7}{1^{4}}\right]=\dfrac{11}{5}=\num{2,2}\\
B_2&=\dfrac{1}{5}\left[4\times \num{2,2}+\dfrac{7}{\num{2,2}^{4}}\right] =\num{1,81976367}\dots\\
B_{3}&=\dfrac{1}{5}\left[4\times \num{1,82}+\dfrac{7}{\num{1,82}^{4}}\right] =\num{1,58359759}\dots\\
B_{4}&=\dfrac{1}{5}\left[4\times \num{1,58}+\dfrac{7}{\num{1,58}^{4}}\right] =\num{1,48864651}\dots\\
B_{5}&=\dfrac{1}{5}\left[4\times \num{1,49}+\dfrac{7}{\num{1,49}^{4}}\right] =\num{1,47604226}\dots
\end{align*}
La calculatrice donne $\sqrt[5]7=\num{1,475773161}\dots$\\
%\begin{thebibliography}{9}
%\end{thebibliography}
\end{document}
