\DocumentMetadata{} % Au tout début du fichier (important pour LuaLaTeX récent)
\documentclass[french, a4paper, 12pt, twoside]{article}
\usepackage[french]{babel}% prise en compte des particularites de la typographie francaise. Remplace francais et frenchb
\usepackage{fontspec} % Pour les polices texte OpenType
\usepackage{mathtools}% placé avant unicode-math, pour underbrace
\usepackage[math-style=ISO, bold-style=ISO]{unicode-math}
\setmainfont{TeX Gyre Termes}[Ligatures=TeX]
\setmathfont{TeX Gyre Termes Math}
\usepackage[twoside, inner=3cm, outer=2cm, top=2.5cm, bottom=2.5cm]{geometry}% bordure des pages

\usepackage{amsmath}% pour qedhere bien placé
\usepackage{amsthm}

\usepackage{xspace}% gère les espaces après les guillemets, après dots, et 1\ier
\usepackage{microtype}% améliore la justification et l'espacement des caractères

\usepackage{siunitx}% remplace siunit
\sisetup{
    locale = FR,
    output-decimal-marker={,},% virgule à la place du point comme séparateur des décimales
    group-minimum-digits = 3,% nombre de chiffres entre chaque séparation
    group-separator={~},% séparateur des milliers
    quantity-product={~},% séparateur entre un nombre et son unité
    inter-unit-product={~}% une espace insécable entre deux unités
}

\usepackage{xcolor}
\definecolor{marron}{rgb}{.7,.7,.3}
\definecolor{mygrey}{rgb}{.9, .9, .9}

\usepackage{empheq}% mise en évidence des formules importantes
\newcommand*\greybox[1]{\colorbox{mygrey}{\hspace{1em}#1\hspace{1em}}}

\usepackage{titlesec}% formatage des titres
\titleformat{\section}[block]{\vspace{\baselineskip}\large\scshape}{\thesection}{.7cm}{}[\hrule\vspace{.75\baselineskip}]
\renewcommand{\numberline}[1]{#1~~}% Problème de numérotation de la ToC

\usepackage{fancyhdr}% entete fancy (fancy header)
\fancyhf{}% vide head and foot
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}% epaisseur du ``filet'' (ligne horizontale) en haut des pages
\setlength{\headheight}{16pt}% hauteur de l'entete, normal=8pt
\setlength{\headsep}{28pt}% distance entre entete et corps du text, normal=14pt
\setlength{\footskip}{28pt}% place du numéro en bas de page
\fancyhead[l]{\color{marron}\slshape{\leftmark}}% titre en entete à gauche
\fancyfoot[LE,RO]{\thepage} % LE : left even ; RO : right odd
\fancyfoot[RE,LO]{\href{http://sciences-physiques.neocities.org}{sciences-physiques.neocities.org}}

\fancypagestyle{plain}{% pour la ToC et les chapitres
  \fancyhf{}               % vide tout
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdftoolbar=true,% affiche la barre d'outils Acrobat
    pdfmenubar=true,% affiche le menu Acrobat
    pdftitle={Logarithme népérien},% titre
    pdfauthor={Olivier Castéra},% auteur
    pdfstartview= FitH,% la page prend toute la largeur
    colorlinks=true,% false: liens encadres ; true: liens colores
    linkcolor=blue,% couleur des liens internes
    urlcolor=black,
    }

\newtheorem{theoreme}{Théorème}[section]% numerotation avec numero de section
\newtheorem{propriete}{Propriété}[section]
\newtheorem{definition}{Définition}[section]

\usepackage{titling}
\pretitle{\begin{center}\Huge\bfseries}
\posttitle{\end{center}\vskip 1.5em}
\title{Logarithme Népérien}
\author{Olivier Castéra\\
      \href{mailto:o.castera@free.fr}{o.castera@free.fr}\\
      \href{http://sciences-physiques.neocities.org}{sciences-physiques.neocities.org}}
\date{\today}

\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}% d droit pour élément différentiel

\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
Présentation du nombre d'Euler $e$.
\end{abstract}
\tableofcontents% affiche la table des matières (ToC)
\section{Puissances}
\begin{definition}\label{N:puissance}
Nous dirons que $a$ est élevé à la puissance $n$ si $a$ est multiplié par lui-même $n$ fois :
\begin{equation*}
\underbrace{a\times a\times \dots \times a}_{n}
\end{equation*}
Cette expression est notée $a^n$.
\end{definition}
\begin{propriete}\label{P:addition}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\forall a \in\mathbb R,\ \forall (n,m)\in\mathbb N^{*}\qquad a^n\times a^m=a^{n+m}
\end{empheq}
\end{propriete}
\begin{proof}
En se servant de la définition~\ref{N:puissance},
\begin{align*}
a^{n}\times a^{m}&=\underbrace{(a\times a\times \dots \times a)}_{n}\times\underbrace{(a\times a\times \dots \times a)}_{m}\\
&=\underbrace{a\times a\times \dots \times a}_{n+m}\\
&=a^{n+m}\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\begin{propriete}\label{P:negatif}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\forall n \in\mathbb N^{*},\ \forall a \in\mathbb R^{*},\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}
\end{empheq}
\end{propriete}
\begin{proof}
$\forall (n,m) \in \mathbb N^{*},\ \forall a \in \mathbb R^{*}$,
\begin{align*}
a^{m}\times \frac{1}{a^{n}}&=\frac{\overbrace{a\times a\times\dots \times a}^{m}}{\underbrace{a\times a\times\dots \times a}_{n}}\\
&=\overbrace{a\times a\times\dots \times a}^{m-n}\\
&=a^{m-n}
\end{align*}
En se servant de la propriété~\ref{P:addition},
\begin{align*}
a^{m}\times \frac{1}{a^{n}}&=a^m\times a^{-n}\\
\frac{1}{a^{n}}&=a^{-n}
\end{align*}
Et nous avons maintenant $n\in \mathbb Z^{*}$.
\end{proof}
\begin{propriete}\label{zero}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\forall a \in\mathbb R^{*},\qquad a^{0}=1
\end{empheq}
\end{propriete}
\begin{proof}
$\forall n \in \mathbb Z^{*},\ \forall a \in \mathbb R^{*}$,
\begin{equation*}
\frac{\overbrace{a\times a\times\dots \times a}^{n}}{\underbrace{a\times a\times\dots \times a}_{n}}=1
\end{equation*}
Avec la propriété~\ref{P:negatif},
\begin{align*}
a^{n-n}&=1\\
a^0&=1
\end{align*}
Et $n\in \mathbb Z$.
\end{proof}
\begin{propriete}\label{P:multiplication}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\forall a \in\mathbb R,\ \forall (n,m)\in\mathbb Z,\qquad (a^{n})^{m}=a^{n\times m}
\end{empheq}
\end{propriete}
\begin{proof}
\begin{align*}
(a^{n})^{m}&=(\overbrace{a\times a\times \dots \times a}^{n})^{m}\\
&=\underbrace{(\overbrace{a\times a\times\dots\times a}^{n})\times(\overbrace{a\times a\times\dots\times a}^{n})\times\dots\times(\overbrace{a\times a\times\dots\times a}^{n})}_{m\ termes\ de\ n\ termes}\\
&=a^{n\times m}\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\begin{propriete}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\forall a \in \mathbb R^{+},\forall n \in\mathbb Z^{*}\text{ ou bien }
\forall a \in \mathbb R^{-},\forall n\ \text{impaire} \in\mathbb Z^{*},\qquad
a^{1/n}=\sqrt[n]{a}
\end{empheq}
appelé racine $n$-ième de $a$.
\end{propriete}
\begin{proof}
\begin{align*}
\text{Soit} \qquad A^{n}&=a\\
\text{Par définition de la racine $n$-ième} \qquad A&=\sqrt[n]{a}\\
\text{Or, d'après la définition~\ref{N:puissance}}\qquad A&=A^{1}=A^{n/n}\\
\text{et d'après la propriété~\ref{P:multiplication}} \qquad &=(A^{n})^{1/n}=a^{1/n}\\
\text{Donc} \qquad a^{1/n}&=\sqrt[n]{a}
\end{align*}
Et $n\in \mathbb Q$.
\end{proof}
\section{Logarithmes}
\begin{definition}\label{D:logarithme}
On définit la fonction logarithme comme étant la fonction réciproque de la fonction puissance~:
\begin{equation*}
\log_{a}(a^{x})\triangleq x
\end{equation*}
\end{definition}
\begin{propriete}\label{P:add}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\log_{a}(X\times Y)=\log_{a}X+\log_{a}Y
\end{empheq}
\end{propriete}
\begin{proof}
Avec la propriété~\ref{P:addition} des puissances,
\begin{equation*}
\log_{a}(a^{x}\times a^{y})=\log_{a}\left(a^{x+y}\right)
\end{equation*}
En appliquant la définition~\ref{D:logarithme} du logarithme sur le second membre,
\begin{equation*}
\log_{a}(a^{x}\times a^{y})=x+y
\end{equation*}
En appliquant de nouveau la définition~\ref{D:logarithme} du logarithme sur le second membre,
\begin{equation*}
\log_{a}(a^{x}\times a^{y})=\log_{a}a^{x}+\log_{a}a^{y}
\end{equation*}
En posant $X=a^{x}$ et $Y=a^{y}$ nous avons,
\begin{equation*}
\log_{a}(X\times Y)=\log_{a}X+\log_{a}Y\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
\begin{propriete}\label{P:n}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\log_{a}X^{n}=n\log_{a}X
\end{empheq}
\end{propriete}
\begin{proof}
\begin{equation*}
\log_{a}X^{n}=\log_{a}(\underbrace{X\times X\dots \times X}_{n})
\end{equation*}
En utilisant la propriété~\ref{P:add} des logarithmes,
\begin{equation*}
\log_{a}X^{n}=\log_{a}X+\log_{a}X+\dots+\log_{a}X=n\log_{a}X\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
\begin{propriete}\label{P:rec}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
a^{\log_{a}X}=X
\end{empheq}
\end{propriete}
\begin{proof}
En partant de la définition~\ref{D:logarithme} du logarithme,
\begin{align*}
\log_{a}a^{x}&=x\\
a^{\log_{a}a^{x}}&=a^{x}
\end{align*}
En posant $X=a^{x}$,
\begin{equation*}
a^{\log_{a}X}=X\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
\begin{propriete}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\log_{b}X=\log_{a}X\times\log_{b}a
\end{empheq}
\end{propriete}
\begin{proof}
En utilisant la propriété~\ref{P:rec},
\begin{align*}
X&=a^{\log_{a}X}\\
\log_{b}X&=\log_{b}\left(a^{\log_{a}X}\right)
\end{align*}
Nous pouvons descendre l'exposant en utilisant la propriété~\ref{P:n},
\begin{equation*}
\log_{b}X=\log_{a}X\times\log_{b}a\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
\section{Démonstration du théorème de Newton sur le Logarithme népérien}
\begin{theoreme}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\ln x=\int^{x}_{1}\frac{1}{t}\,\dd t
\end{empheq}
\end{theoreme}
\begin{proof}
On dérive un logarithme de base \og a\fg\ inconnue:
\begin{align*}
\frac{\dd}{\dd x}\log_{a}x&=\lim_{h\to 0}\frac{\log_{a}(x+h)-\log_{a}x}{h}\\
&=\lim_{h\to 0}\left[\frac{1}{h}\log_{a}\left(\frac{x+h}{x}\right)\right]\\
&=\lim_{h\to 0}\left[\frac{1}{h}\log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)\right]\\
&=\lim_{h\to 0}\left[\log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right]\\
&=\lim_{h\to 0}\left[\frac{1}{x}\log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}}\right]\\
&=\frac{1}{x}\lim_{h\to 0}\left[\log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}}\right]\\
&=\frac{1}{x}\log_{a}\left[\lim_{h\to 0}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}}\right]
\end{align*}
Or,
\begin{equation*}
\forall x,\quad\lim_{h\to 0}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}}\approx \num{2,718281828459045235360287471352662}
\end{equation*}
nombre appelé constante d'Euler et noté $e$. Donc,
\begin{equation*}
\frac{\dd}{\dd x}\log_{a}x=\frac{1}{x}\log_{a}e
\end{equation*}
Pour $a=e$,
\begin{align*}
\frac{\dd}{\dd x}\log_{e}x&=\frac{1}{x}\log_{e}e=\frac{1}{x}\\
\left[\log_{e}t\right]^{x}_{1}&=\int^{x}_{1}\frac{1}{t}\,\dd t\\
\log_{e}x-\log_{e}1&=\int^{x}_{1}\frac{1}{t}\,\dd t
\end{align*}
Le logarithme de base $e$ se notant~$\ln$, nous avons~:
\begin{equation*}
\ln x-\ln 1=\int^{x}_{1}\frac{1}{t}\,\dd t
\end{equation*}
Il reste à démontrer que $\ln 1=0$. 
Avec la définition~\ref{D:logarithme}, et avec la propriété~\ref{zero}~:
\begin{align*}
\forall b,\quad \log_{b}b^{0}&=0\\
\forall b,\quad \log_{b}1&=0
\end{align*}
Vrai $\forall b$, donc pour $b=e$.
\end{proof}
\section{La démonstration de Leonhard Euler}
\begin{theoreme}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
e=1+x+\frac{x^2}{2!}++\frac{x^3}{3!}+\dots
\end{empheq}
\end{theoreme}
\begin{proof}
Euler cherche à exprimer la fonction puissance sous la forme d'un polynôme\footnote{Tangente Hors Série numéro 29}. Soient $a, A, B, C, D,\dots$ des constantes, alors~:
\begin{equation*}
a^x=A+Bx+Cx^2+Dx^3+\dots
\end{equation*}
D'après la propriété~\ref{zero},
\begin{equation*}
a^0=1\ \Rightarrow\ A=1
\end{equation*}
De plus, d'après la propriété~\ref{P:multiplication}~:
\begin{align*}
a^{2x}&=\left(a^x\right)^2\\
1+B(2x)+C(2x)^2+D(2x)^3+\dots&=(1+Bx+Cx^2+Dx^3+\dots)^2
\end{align*}
Développons le membre de droite~:
\begin{align*}
1\!+\!2Bx\!+\!4Cx^2\!+\!8Dx^3\!+\!\dots&=(1+Bx+Cx^2+Dx^3+\!\dots)\!\times\!(1+Bx+Cx^2+Dx^3+\!\dots)\\
&=1+Bx+Cx^2+Dx^3+\dots+Bx+B^2x^2+BCx^3+\dots\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\dots+Cx^2+BCx^3+\dots+Dx^3+\dots\\
&=1+2Bx+(B^2+2C)x^2+2(BC+D)x^3+\dots
\end{align*}
En égalant les coefficients,
\begin{equation*}
4C=B^2+2C\qquad\Rightarrow\qquad C=\frac{B^2}{2}
\end{equation*}
\begin{equation*}
8D=2(BC+D)\qquad\Rightarrow\qquad 3D=BC\qquad\Rightarrow\qquad D=\frac{B^3}{2\times 3}
\end{equation*}
Nous obtenons~:
\begin{equation*}
a^x=1+Bx+\frac{B^2}{2}x^2+\frac{B^3}{2.3}x^3+\dots
\end{equation*}
Sous cette forme, la fonction puissance la plus simple est celle pour laquel\-le $B=1$~:
\begin{equation*}
a^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots
\end{equation*}
et l'on peut calculer le~$a$ auquel elle correspond en posant $x=1$~:
\begin{equation*}
a=1+1+\frac{1^2}{2!}+\frac{1^3}{3!}+\dots=\num{2,718281828}\dots
\end{equation*}
que l'on note~$e$. On définit alors la fonction exponentielle par~:
\begin{equation*}
e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
\end{document}
