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\newtheorem{theoreme}{Théorème}[section]
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Définition}[section]
\newtheorem*{remarque}{Remarque}
\newenvironment{rmq}{\begin{remarque}\footnotesize}{\end{remarque}}

\usepackage{titling}
\pretitle{\begin{center}\Huge\scshape\bfseries}
\posttitle{\end{center}\vskip 1.5em}
\title{Les coniques}
\author{Olivier Castéra\\
      \href{mailto:o.castera@free.fr}{o.castera@free.fr}\\
      \href{http://sciences-physiques.neocities.org}{sciences-physiques.neocities.org}}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle% affiche le titre
\begin{abstract}
Ellipses, paraboles et hyperboles sont des coniques. Ce sont des courbes planes résultant de l'intersection d'un plan et d'un cône de révolution.
\end{abstract}
\tableofcontents% affiche la table des matières (ToC)
\section{Définitions d'une ellipse}
Il existe plusieurs définitions équivalentes d'une ellipse. Nous partons d'une définition et montrons l'équivalence avec les autres.
\subsection{Définition bifocale d'une ellipse}
\begin{defbox}\begin{definition}Définition bifocale\label{def_bifoc}

Soient $F$ et $F'$ deux points du plan. L'el\-lipse de foyers $F$ et $F'$ est l'ensemble $(\mathscr E)$ des points $M$ du plan tels que~:
\begin{equation*}MF+MF'=C^{ste}\end{equation*}
où $C^{ste}>0$.
\end{definition}\end{defbox}

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,3.5)%aire reservee a l'image
%\psframe(-6,-3)(6,3)
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-3)(0,3)
\rput(5.4,0){$X$}
\rput(0,3.4){$Y$}
\rput(-.2,.2){$o$}
\rput(2.436,.3){$F$}
\rput(-2.336,.3){$F'$}
\SpecialCoor
\psellipse(0,0)(3,2)
\psline(2.236,0)(1.07,1.853)
\psline(-2.236,0)(1.07,1.853)
\rput(1.2,2.15){$M$}
\psline{<->}(-.1,0)(-.1,-2)
\psline{<->}(0,-.1)(3,-.1)
\psline{<->}(0,0)(2.236,0)
\rput(1.1,.2){$c$}
\rput(-.3,-1){$b$}
\rput(1.5,-.3){$a$}
\rput(-2.236,0){+}
\rput(3.3,.3){$A$}
\rput(-.3,2.3){$B$}
\rput(-3.3,.3){$A'$}
\rput(-.3,-2.3){$B'$}
\rput(-2.6,-1.8){$(\mathscr E)$}
\end{pspicture}
\caption{Une ellipse}
\end{figure}

$A,A',B,B'$ sont les sommets de l'ellipse.
$MF$ et $MF'$ sont les rayons focaux du point $M$.
Le grand axe $A'A$ est appelé axe focal car il passe par les foyers.
Soient $2a$ sa longueur et $2b$ celle du petit axe.
On pose les coordonnées des foyers, $F(c,0)$ et $F'(-c,0)$, si bien que la distance focale s'écrit~:
\begin{equation*}FF'=2c\end{equation*}
Nous posons la définition suivante~:
\begin{defbox}\begin{definition} Excentricité

\begin{equation*}
e=\frac{c}{a}
\end{equation*}
est appelée excentricité de l'ellipse.
\end{definition}\end{defbox}

\begin{itemize}
\item Si $c>a$ alors $e>1$, l'ensemble $(\mathscr E)$ est vide
\item Si $c=a$ alors $e=1$, l'ensemble $(\mathscr E)$ se réduit au segment $[FF']$
\item Si $c=0$ alors $e=0$, l'ensemble $(\mathscr E)$ est un cercle, les foyers sont confondus et $MF=a$ est le rayon du cercle
\end{itemize}
Nous posons que le cercle est un cas particuliers d'ellipse~:
\begin{equation}
a>c\geqslant0\label{ac}
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item
Lorsque $M$ est en $A$~:
\begin{align}
MF+MF'&=(a-c)+(a+c)\notag\\
&=2a \label{def_biellipse}
\end{align}
ce qui fixe la constante égale à la longueur $2a$ du grand axe.
\item
Lorsque $M$ est en $B$, avec \eqref{def_biellipse}~:
\begin{align*}
MF&=MF'\\
&=a
\end{align*}
$MF=BF$ étant l'hypothénus du triangle $MFo$ rectangle en $o$, d'après le théorème de Pythagore~:
\begin{equation}
a^2=b^2+c^2\label{pyt}
\end{equation}
\end{enumerate}

\subsection{Définition cartésienne}
\begin{thbox}\begin{theoreme}\label{th_eq_cartesienne}
L'équation cartésienne d'une ellipse centrée en $o(0,0)$,
de demi-petit axe $b$ et de demi-grand axe $a$ situé sur l'axe des abscisses, s'écrit:
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\label{def_eq_cartesienne}
\end{equation}
avec $a\geqslant b>0$.
\end{theoreme}\end{thbox}
\begin{proof}
Soient $M(x,y)$ un point de l'ellipse $(\mathscr E)$~:

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,3.5)%aire reservee a l'image
%\psframe(-6,-1)(6,3)
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-1)(0,3)
\rput(5.4,0){$X$}
\rput(0,3.4){$Y$}
\rput(-.2,.2){$o$}
\rput(2.436,.3){$F$}
\rput(-2.336,.3){$F'$}
\SpecialCoor
\psline(2.236,0)(1.07,1.853)
\psline{<->}(1.07,0)(1.07,1.853)
\rput(1.5,2.15){$M(x,y)$}
\psline{<->}(1.07,0)(2.236,0)
\rput(.8,.9){$y$}
\rput(1.7,-.3){$c-x$}
\rput(-2.236,0){+}
\end{pspicture}
\caption{}
\label{elli}
\end{figure}

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle de la figure \ref{elli}~:
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
MF^2&=(x-c)^2+y^2\\
MF'^2&=(x+c)^2+y^2
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\begin{align*}
MF^2-MF'^2&=x^2-2xc+c^2+y^2-\left(x^2+2xc+c^2+y^2\right)\\
\left(MF+MF'\right)\left(MF-MF'\right)&=-4xc\\
MF-MF'&=-\frac{2xc}{a}
\end{align*}
Par hypothèse~:
\begin{subequations}
\begin{empheq}[left=\empheqlbrace]{align*}
&MF+MF'=2a\\
&MF-MF'=-\frac{2xc}{a}
\end{empheq}
\end{subequations}
\begin{subequations}
\begin{empheq}[left=\Rightarrow\qquad\empheqlbrace]{align}
&MF=a-\frac{xc}{a}\label{MFa}\\
&MF'=a+\frac{xc}{a}\label{MFb}
\end{empheq}
\end{subequations}
\begin{equation*}
\Rightarrow\qquad\left\{
\begin{aligned}
&MF^2=\left(a-\frac{xc}{a}\right)^2\\
&MF'^2=\left(a+\frac{xc}{a}\right)^2
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&(x-c)^2+y^2=\left(a-\frac{xc}{a}\right)^2\\
&(x+c)^2+y^2=\left(a+\frac{xc}{a}\right)^2
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\left\{
\begin{aligned}
&x^2-2xc+c^2+y^2=a^2-2xc+\frac{x^2c^2}{a^2}\\
&x^2+2xc+c^2+y^2=a^2+2xc+\frac{x^2c^2}{a^2}
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}

\begin{align*}
\Rightarrow\qquad x^2+c^2+y^2&=a^2+\frac{x^2c^2}{a^2}\\
x^2a^2+c^2a^2+y^2a^2&=a^4+x^2c^2\\
x^2\left(a^2-c^2\right)+a^2y^2&=a^2\left(a^2-c^2\right)
\end{align*}
On pose $b^2=a^2-c^2$,
\begin{align*}
x^2b^2+a^2y^2&=a^2b^2\\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}&=1\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\begin{rmqbox}\begin{rmq}
Si $c=0$ alors $a=b$, nous obtenons l'équation cartésienne d'un cercle de rayon $a$~:
\begin{equation*}x^2+y^2=a^2\end{equation*}
Si $a=c$ alors $b=0$ et l'équation cartésienne ne permet pas de retrouver le segment $[FF']$.
\end{rmq}\end{rmqbox}

Nous avons montré que \eqref{def_bifoc} p.~\pageref{def_bifoc} implique \eqref{def_eq_cartesienne} p.~\pageref{def_eq_cartesienne}.
Montrons que \eqref{def_eq_cartesienne} implique \eqref{def_bifoc}.
\begin{thbox}\begin{theoreme}\label{th_eq_cartesienne_2}
L'ensemble $(\mathscr E)$ des points $M(x,y)$, d'équation
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\label{th_cart}
\end{equation}
où $a$ et $b$ sont des constantes, forme une ellipse.
\end{theoreme}\end{thbox}
\begin{proof}
Par hypothèse~:
\begin{align*}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}&=1\\
x^2b^2+a^2y^2&=a^2b^2
\end{align*}
Posons $c$ tel que $b^2=a^2-c^2$~:
\begin{align*}
x^2\left(a^2-c^2\right)+a^2y^2&=a^2\left(a^2-c^2\right)\\
x^2+c^2+y^2&=a^2+\frac{x^2c^2}{a^2}
\end{align*}
En soustrayant et en additionnant $2xc$,
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&x^2-2xc+c^2+y^2=a^2-2xc+\frac{x^2c^2}{a^2}\\
&x^2+2xc+c^2+y^2=a^2+2xc+\frac{x^2c^2}{a^2}
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\left\{
\begin{aligned}
&(x-c)^2+y^2=\left(a-\frac{xc}{a}\right)^2\\
&(x+c)^2+y^2=\left(a+\frac{xc}{a}\right)^2
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&MF^2=\left(a-\frac{xc}{a}\right)^2\\
&MF'^2=\left(a+\frac{xc}{a}\right)^2
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\left\{
\begin{aligned}
&MF=\pm\left(a-\frac{xc}{a}\right)\\
&MF'=\pm\left(a+\frac{xc}{a}\right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}

\begin{equation*}
\Rightarrow\qquad\left\{
\begin{aligned}
&MF+MF'=\pm 2a\\
&MF+MF'=\pm\frac{2xc}{a}
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\begin{aligned}
MF+MF'=2a\qedhere
\end{aligned}
\end{equation*}
\end{proof}
Il en résulte que les théorèmes \ref{th_eq_cartesienne} p.~\pageref{th_eq_cartesienne} et \ref{th_eq_cartesienne_2} p.~\pageref{th_eq_cartesienne_2}
sont équivalents à la définition bifocale et peuvent servir de définition pour l'ellipse.
\subsection{Définition monofocale d'une ellipse}
\begin{thbox}\begin{theoreme}\label{th_mono}
L'ensemble $(\mathscr E)$ des points $M$ d'une ellipse de foyer $F(c,0)$ suit la relation 
\begin{equation}
\frac{MF}{MH}=e\label{mono}
\end{equation}
où l'excentricité est telle que $1\geqslant e>0$, et où $H$ est la projection orthogonale de $M$ sur la droite $(D)$ d'équation $x=a^2/c$.
\end{theoreme}\end{thbox}

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-6,-3.5)(6,3)%aire reservee a l'image
%\psframe(-6,-3)(6,3)
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-3)(0,3)
\rput(5.4,0){$X$}
\rput(0,3.4){$Y$}
\rput(-.2,.2){$o$}
\rput(2.436,.3){$F$}
\SpecialCoor
\psellipse(0,0)(3,2)
\psline[linestyle=dotted](2.236,0)(1.07,1.853)
\rput(1.2,2.15){$M$}
\psline{<->}(-.1,0)(-.1,-2)
\psline{<->}(0,-.1)(3,-.1)
\psline{<->}(0,0)(2.236,0)
\rput(1.1,.2){$c$}
\rput(-.3,-1){$b$}
\rput(1.5,-.3){$a$}
\psline(4.025,-2.8)(4.025,2.8)
\psline[linestyle=dotted](1.07,1.853)(4.025,1.853)
\psline(3.825,1.853)(3.825,1.653)
\psline(3.825,1.653)(4.025,1.653)
\rput(4.3,1.9){$H$}
\rput(4,3.4){$(D)$}
\psline{<->}(0,-2.5)(4.025,-2.5)
\rput(2,-2.9){$\frac{a^2}{c}$}
\rput(-2.6,-1.8){$(\mathscr E)$}
\end{pspicture}
\caption{Une ellipse et l'une de ses deux directrices}
\end{figure}

\begin{proof}
Soit $(D)$ la droite verticale d'équation $x=a^2/c$, appelée directrice de l'ellipse associée au foyer $F$.
Soit $M(x_M,y_M)$ un point de l'ellipse de foyer $F(c,0)$.
Par hypothèse, d'après \eqref{MFa} p.~\pageref{MFa},
\begin{align*}
MF&=a-\frac{x_Mc}{a}\\
&=\frac{c}{a}\left(\frac{a^2}{c}-x_M\right)\\
&=\frac{c}{a}\,MH\\
\frac{MF}{MH}&=e\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\begin{rmqbox}\begin{rmq}
Si $c=0$, alors $e=0$ et la définition monofocale ne permet pas de retrouver un cercle.
Si $a=c$, alors $e=1$ et nous verrons que la définition monofocale donne l'équation d'une parabole et non du segment $[FF']$.
\end{rmq}\end{rmqbox}

Nous avons montré que \eqref{def_biellipse} p.~\pageref{def_biellipse} implique \eqref{mono} p.~\pageref{mono},
montrons que \eqref{mono} implique \eqref{th_cart} p.~\pageref{th_cart}.
\begin{thbox}\begin{theoreme}\label{th_mono_2}
Soit $F(c,0)$ un point du plan, et soit $(D) : x=a^2/c$ une droite du plan.
L'ensemble $(\mathscr E)$ des points M du plan tels que
\begin{equation*}
\frac{MF}{MH}=e
\end{equation*}
où $e=c/a$ est telle que $1>e>0$, et où $H$ est la projection orthogonale de $M$ sur la droite $(D)$, forme une ellipse.
\end{theoreme}\end{thbox}
\begin{proof}
\begin{align*}
\frac{MF}{MH}&=\frac{c}{a}\\
MF^2&=\frac{c^2}{a^2}\,MH^2\\
(x-c)^2+y^2&=\frac{c^2}{a^2}\left(\frac{a^2}{c}-x\right)^2\\
x^2-2xc+c^2+y^2&=a^2-2xc+\frac{x^2c^2}{a^2}\\
x^2a^2+c^2a^2+y^2a^2&=a^4+x^2c^2\\
x^2\left(a^2-c^2\right)+y^2a^2&=a^2\left(a^2-c^2\right)
\end{align*}
$1>e$ donc $a>c$, on pose $b^2=a^2-c^2$,
\begin{align*}
x^2b^2+y^2a^2&=a^2b^2\\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}&=1\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
Il en résulte que pour $1>e>0$, les théorèmes \ref{th_mono} p.~\pageref{th_mono} et \ref{th_mono_2} p.~\pageref{th_mono_2}
sont équivalents aux définitions bifocale et cartésienne, et peuvent servir de définition de l'ellipse.
\section{Définitions d'une hyperbole}
\subsection{Définition bifocale d'une hyperbole}
\begin{defbox}\begin{definition}
Soient $F$ et $F'$ deux points du plan.
L'hyperbole de foyers $F$ et $F'$ est l'ensemble $(\mathscr H)$ des points $M$ du plan tels que~:
\begin{equation*}|MF-MF'|=C^{ste}\end{equation*}
où $C^{ste}>0$.
\end{definition}\end{defbox}

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,3.5)%aire reservee a l'image
%\psframe(-6,-3)(6,3)
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-3)(0,3)
\rput(5.4,0){$X$}
\rput(0,3.4){$Y$}
\rput(-.2,.2){$o$}
\rput(3.606,.4){$F$}
\rput(-3.606,.4){$F'$}
\SpecialCoor
\psplot{3}{5}{x 2 exp 9 sub sqrt 2 3 div mul}
\psplot{3}{5}{x 2 exp 9 sub sqrt -2 3 div mul}
\psplot{-3}{-5}{x 2 exp 9 sub sqrt 2 3 div mul}
\psplot{-3}{-5}{x 2 exp 9 sub sqrt -2 3 div mul}
\rput(4.1,2.3){$M$}
\rput(4,1.764){+}
\psline{<->}(0,-.1)(3.606,-.1)
\psline{<->}(0,0)(3,0)
\rput(1.5,.2){$a$}
\rput(1.8,-.3){$c$}
\rput(3.606,0){+}
\rput(-3.606,0){+}
\rput(2.8,.3){$A$}
\rput(-2.7,.3){$A'$}
\rput(-3,-1.8){$(\mathscr H')$}
\rput(3,-1.8){$(\mathscr H'')$}
\end{pspicture}
\caption{Une hyperbole}
\end{figure}

$A$ et $A'$ sont les sommets de l'hyperbole.
$MF$ et $MF'$ sont appelés rayons focaux du point $M$.
On pose les coordonnées des foyers, $F(c,0)$ et $F'(-c,0)$, si bien que la distance focale s'écrit~:
\begin{equation*}F'F=2c\end{equation*}
Supposons $M$ au sommet $A$, nous avons,
\begin{align*}
MF'-MF&=AF'-AF\\
&=AA'+A'F'-AF
\end{align*}
Par symétrie, $A'F'=AF$,
\begin{align}
MF'-MF&=AA'\notag\\
&=\pm2a\notag\\
|MF-MF'|&=2a\label{MFhyp}
\end{align}
ce qui fixe la constante égale à la distance $2a$ entre les sommets $A(a,0)$ et $A'(-a,0)$.
\begin{itemize}
\item Le signe positif, $MF-MF'=2a$ correspond à la branche $(\mathscr H')$ de l'hyperbole pour laquelle $x\in]-\infty,-a]$
\item le signe négatif, $MF-MF'=-2a$ correspond à la branche $(\mathscr H'')$ pour laquelle $x\in[a,+\infty[$
\end{itemize}

\begin{itemize}
\item Si $a>c$, $|MF'-MF|>F'F$ ce qui est impossible, $(\mathscr H)=\varnothing$
\item Si $a=c$, $|MF'-MF|=F'F$, l'ensemble $(\mathscr H)$ est la droite $(FF')$ privée du segment ouvert $]FF'[$
\item Si $a=0$, $MF'=MF$, l'ensemble $(\mathscr H)$ est la droite des ordonnées
\end{itemize}

\begin{thbox}\begin{theoreme}
L'équation cartésienne d'une hyperbole centrée en $o(0,0)$,
d'axe focal sur l'axe des abscisses, s'écrit:
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\label{hyp}
\end{equation}
où $a$ et $b$ sont des constantes.
\end{theoreme}\end{thbox}
\begin{proof}
Par hypothèse
\begin{equation*}
\begin{aligned}
|MF-MF'|=2a
\end{aligned}
\qquad\Rightarrow\qquad
\left\{
\begin{aligned}
&MF-MF'=2a\\
&MF-MF'=-2a
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
La figure \ref{elli} p.~\pageref{elli} est valable ici encore. Les relations
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&MF^2=(x-c)^2+y^2\\
&MF'^2=(x+c)^2+y^2
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
donnent
\begin{align*}
MF^2-MF'^2&=x^2-2xc+c^2+y^2-\left(x^2+2xc+c^2+y^2\right)\\
\left(MF+MF'\right)\left(MF-MF'\right)&=-4xc
\end{align*}
\begin{itemize}
\item 
D'une part, nous avons
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&\left(MF+MF'\right)\left(MF-MF'\right)=-4xc\\
&MF-MF'=2a
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\left\{
\begin{aligned}
&MF+MF'=-\frac{2xc}{a}\\
&MF-MF'=2a
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\begin{equation}
\Rightarrow\qquad\left\{
\begin{aligned}
&MF=a-\frac{xc}{a}\label{pb}\\
&MF'=-a-\frac{xc}{a}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\item
d'autre part, nous avons
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&\left(MF+MF'\right)\left(MF-MF'\right)=-4xc\\
&MF-MF'=-2a
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\left\{
\begin{aligned}
&MF+MF'=\frac{2xc}{a}\\
&MF-MF'=-2a
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\begin{equation}
\Rightarrow\qquad\left\{
\begin{aligned}
&MF=-a+\frac{xc}{a}\label{sb}\\
&MF'=a+\frac{xc}{a}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\end{itemize}
Les équations \eqref{pb} et \eqref{sb} donnent,
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&MF^2=\left(a-\frac{xc}{a}\right)^2\\
&MF'^2=\left(a+\frac{xc}{a}\right)^2
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\left\{
\begin{aligned}
&(x-c)^2+y^2=\left(a-\frac{xc}{a}\right)^2\\
&(x+c)^2+y^2=\left(a+\frac{xc}{a}\right)^2
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&x^2-2xc+c^2+y^2=a^2-2xc+\frac{x^2c^2}{a^2}\\
&x^2+2xc+c^2+y^2=a^2+2xc+\frac{x^2c^2}{a^2}
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\begin{aligned}
x^2\left(a^2-c^2\right)+a^2y^2&=a^2\left(a^2-c^2\right)
\end{aligned}
\end{equation*}
Comme $c>a$, on pose
\begin{equation}
-b^2=a^2-c^2\label{hom}
\end{equation}
qui est l'homologue pour l'hyperbole de la relation \eqref{pyt} p.~\pageref{pyt} pour l'ellipse.
\begin{align*}
-x^2b^2+a^2y^2&=-a^2b^2\\
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}&=1\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
Nous avons montré que \eqref{MFhyp} p.~\pageref{MFhyp} implique \eqref{hyp} p.~\pageref{hyp},
montrons que \eqref{hyp} implique \eqref{MFhyp}.
\begin{thbox}\begin{theoreme}
L'ensemble $(\mathscr H)$ des points M tels que
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
\end{equation}
où $a$ et $b$ sont des constantes, forme une hyperbole.
\end{theoreme}\end{thbox}
\begin{proof}
Par hypothèse
\begin{align*}
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}&=1\\
x^2b^2-a^2y^2&=a^2b^2
\end{align*}
Posons $c$ tel que $b^2=a^2-c^2$~:
\begin{align*}
x^2\left(a^2-c^2\right)-a^2y^2&=a^2\left(a^2-c^2\right)\\
x^2a^2-x^2c^2-a^2y^2&=a^4-a^2c^2\\
x^2-\frac{x^2c^2}{a^2}-y^2&=a^2-c^2
\end{align*}
En soustrayant et en additionnant $2xc$,
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&x^2-2xc+c^2+y^2=a^2-2xc+\frac{x^2c^2}{a^2}\\
&x^2+2xc+c^2+y^2=a^2+2xc+\frac{x^2c^2}{a^2}
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\left\{
\begin{aligned}
&(x-c)^2+y^2=\left(a-\frac{xc}{a}\right)^2\\
&(x+c)^2+y^2=\left(a+\frac{xc}{a}\right)^2
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow\qquad\left\{
\begin{aligned}
&MF^2=\left(a-\frac{xc}{a}\right)^2\\
&MF'^2=\left(a+\frac{xc}{a}\right)^2
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\left\{
\begin{aligned}
&MF=\pm\left(a-\frac{xc}{a}\right)\\
&MF'=\pm\left(a+\frac{xc}{a}\right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow\qquad\left\{
\begin{aligned}
&MF+MF'=\pm2a\\
&MF+MF'=\pm\frac{2xc}{a}
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\begin{aligned}
|MF-MF'|=2a\qedhere
\end{aligned}
\end{equation*}
\end{proof}
Il en résulte que \eqref{hyp} p.~\pageref{hyp} est équivalente à \eqref{MFhyp} p.~\pageref{MFhyp} et peut servir de définition de l'hyperbole.
\subsection{Définition monofocale d'une hyperbole}
\begin{thbox}\begin{theoreme}
Soit $(D) : x=a^2/c$ une droite du plan et soit $F(c,0)$ un point du plan.
Soit $e=c/a>1$, et $H$ la projection orthogonale de $M$ sur $(D)$.
L'ensemble $(\mathscr H)$ des points M tels que
\begin{equation*}
\frac{MF}{MH}=e
\end{equation*}
forme une branche d'hyperbole, de foyer $F$, de directrice $(D)$, et d'excentricité $e$.
\end{theoreme}\end{thbox}

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-4,-3)(8,3.5)%aire reservee a l'image
%\psframe(-4,-3)(8,3)
\psline{->}(-3,0)(7,0)
\psline{->}(0,-3)(0,3)
\rput(7.4,0){$X$}
\rput(0,3.4){$Y$}
\rput(-.2,-.2){$o$}
\put(3.506,.3){$F(c,0)$}
\SpecialCoor
\psplot{3}{5}{x 2 exp  9 sub sqrt 2 3 div mul}
\psplot{3}{5}{x 2 exp  9 sub sqrt -2 3 div mul}
\rput(4.1,2.3){$M$}
\rput(4,1.764){+}
\rput(3.606,0){+}
\put(2.7,-.5){$A(a,0)$}
\put(2,-.5){$K$}
\rput(4.7,-1.8){$(\mathscr H)$}
\psline{->}(2.496,-3)(2.496,3)
\rput(2,3){$(D)$}
\end{pspicture}
\caption{Une branche d'hyperbole}
\end{figure}

\begin{proof}
\begin{align*}
\frac{MF}{MH}&=\frac{c}{a}\\
MF^2&=\frac{c^2}{a^2}\,MH^2\\
(x-c)^2+y^2&=\frac{c^2}{a^2}\left(\frac{a^2}{c}-x\right)^2\\
x^2-2xc+c^2+y^2&=a^2-2xc+\frac{x^2c^2}{a^2}\\
x^2a^2+c^2a^2+y^2a^2&=a^4+x^2c^2\\
x^2\left(a^2-c^2\right)+y^2a^2&=a^2\left(a^2-c^2\right)
\end{align*}
$e>1$ donc $a<c$, on pose $b$ tel que $a^2-c^2=b^2$,
\begin{align*}
-x^2b^2+y^2a^2&=-a^2b^2\\
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}&=1\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\begin{rmqbox}\begin{rmq}
Avec la droite $(D') : x=-a^2/c$ et le foyer $F'(-c,0)$ nous obtenons la seconde branche d'hyperbole d'équation
\begin{equation*}
\frac{MF'}{MH'}=e
\end{equation*}
\end{rmq}\end{rmqbox}
Nous avons montré que pour $e>1$, \eqref{mono} p.~\pageref{mono} implique \eqref{hyp} p.~\pageref{hyp}.
Montrons que pour $e>1$, \eqref{hyp} implique \eqref{mono}.
\begin{thbox}\begin{theoreme}
L'ensemble $(\mathscr H)$ des points M d'une branche d'hyperbole de foyer $F(c,0)$ et de sommet $A(a,0)$ suit la relation
\begin{equation*}
\frac{MF}{MH}=e
\end{equation*}
avec $e=c/a>1$.
\end{theoreme}\end{thbox}
\begin{proof}
Par hypothèse
\begin{align*}
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}&=1\\
-x^2b^2+y^2a^2&=-a^2b^2\\
x^2\left(a^2-c^2\right)+y^2a^2&=a^2\left(a^2-c^2\right)\\
x^2a^2+c^2a^2+y^2a^2&=a^4+x^2c^2\\
x^2-2xc+c^2+y^2&=a^2-2xc+\frac{x^2c^2}{a^2}\\
(x-c)^2+y^2&=\frac{c^2}{a^2}\left(\frac{a^2}{c}-x\right)^2\\
MF^2&=\frac{c^2}{a^2}\,MH^2\\
\frac{MF}{MH}&=e
\end{align*}
et comme $c>a$, $e>1$.
\end{proof}
\begin{rmqbox}\begin{rmq}
A partir de la relation
\begin{equation*}
MF'=\left|a+\frac{xc}{a}\right|
\end{equation*}
on obtient l'équation de la seconde branche d'hyperbole,
\begin{equation*}
\frac{MF'}{MH'}=e
\end{equation*}
\end{rmq}\end{rmqbox}
Il en résulte que pour $e>1$, la relation \eqref{mono} est é\-qui\-va\-len\-te à l'équation \eqref{hyp} et peut servir de définition de l'hyperbole.
\section{Définition d'une parabole}
\begin{defbox}\begin{definition}
L'ensemble $(\mathscr P)$ des points $M(x,y)$ du plan dont les coordonnées vérifient l'équation
\begin{equation*}y=ax^2\end{equation*}
avec $a\neq0$, est une parabole de sommet $o$ et d'axe de symétrie l'axe des ordonnées.
\end{definition}\end{defbox}

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,3.5)%aire reservee a l'image
%\psframe(-6,-3)(6,3)
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-1)(0,3)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\rput(5.4,0){$x$}
\rput(0,3.4){$y$}
\rput(-.2,-.2){$o$}
\rput(3,1.6){$a>0$}
\SpecialCoor
\psplot{-2.45}{2.45}{x 2 exp  3 div}
\rput(.8,-.3){$\mathbf i$}
\rput(-.3,.8){$\mathbf j$}
\rput(-2.7,1.2){$(\mathscr P)$}
\end{pspicture}
\caption{Une parabole}
\end{figure}

Cherchons l'équation de la parabole d'axe de symétrie l'axe des abscisses.
Considérons le repère $(o,\mathbf I,\mathbf J)$ avec $\mathbf I=\mathbf j$,
et $\mathbf J=-\mathbf i$, dans lequel on a $M(X,Y)$ avec,
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&X=y\\
&Y=-x
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
L'équation de $(\mathscr P)$ dans $(o,\mathbf I,\mathbf J)$ s'écrit,
\begin{align}
X&=a(-Y)^2\notag\\
Y^2&=\frac{X}{a}\label{parabole}\\
Y&=\pm\sqrt{\frac{X}{a}}\notag
\end{align}

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,3.5)%aire reservee a l'image
%\psframe(-6,-3)(6,3)
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-3)(0,3)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\rput(5.4,0){$X$}
\rput(0,3.4){$Y$}
\rput(-.2,-.2){$o$}
\rput(3,2){$a>0$}
\SpecialCoor
\psplot{0}{2}{x 3 mul sqrt}
\psplot{0}{2}{x 3 mul sqrt neg}
\rput(.8,-.3){$\mathbf I$}
\rput(-.2,.8){$\mathbf J$}
\rput(2.2,-2){$(\mathscr P)$}
\rput(1.5,0){$+$}
\rput(1.5,.4){$F$}
\psline{-}(-1.5,-2.8)(-1.5,2.8)
\rput(-2,2){$(D)$}
\psline{-}(-1.3,0)(-1.3,.2)
\psline{-}(-1.3,.2)(-1.5,.2)
\end{pspicture}
\caption{Une parabole}
\end{figure}

\begin{thbox}\begin{theoreme}
Soit $(D)$ une droite du plan et soit $F$ un point du plan n'appartenant pas à $(D)$.
Soit $e=1$, et $H$ la projection orthogonale de $M$ sur $(D)$.
L'ensemble $(\mathscr P)$ des points M tels que
\begin{equation*}
\frac{MF}{MH}=e
\end{equation*}
forme une parabole de foyer $F$, de directrice $(D)$, et de sommet é\-qui\-dis\-tant de $F$ et de $(D)$.
\end{theoreme}\end{thbox}
\begin{proof}
\begin{align*}
MF&=MH\\
MF^2&=MH^2
\end{align*}
Supposons le foyer de coordonnées $F(c,0)$, et soit $(D)$ la droite verticale d'équation $x=-c$, alors,
\begin{align*}
\left(x-c\right)^2+y^2&=\left(x+c\right)^2\\
y^2&=4cx
\end{align*}
Dans le cas particulier de la parabole, on appelle $p=2c$ le paramètre et l'on a,
\begin{equation*}
y^2=2px\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
Nous avons montré que pour $e=1$ la relation \eqref{mono} implique \eqref{parabole}.
Montrons que pour $e=1$ la relation \eqref{parabole} implique \eqref{mono}.
\begin{thbox}\begin{theoreme}
L'ensemble $(\mathscr P)$ des points $M$ d'une parabole suit la relation
\begin{equation*}
\frac{MF}{MH}=e
\end{equation*}
avec $e=1$.
\end{theoreme}\end{thbox}
\begin{proof}
\begin{align*}
y^2&=2px\\
\left(x-\tfrac{p}{2}\right)^2+y^2&=\left(x+\tfrac{p}{2}\right)^2\\
MF^2&=MH^2\\
MF&=MH\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\section{Equation commune aux trois coniques}
A partir des chapitres précédents, nous pouvons poser une définition commune aux trois coniques.
\begin{defbox}\begin{definition}
Soient $F$ un point du plan, $(D)$ une droite du plan ne passant pas par $F$, $H$ la projection orthogonale de $M$ sur $(D)$
et $e$ un réel positif. $(\mathscr{C})$ est l'ensemble des points $M$ du plan tel que 
\begin{equation*}
\frac{MF}{MH}=e
\end{equation*}
avec $e<1$ pour une ellipse, $e=1$ pour une parabole, et $e>1$ pour une hyperbole.
\end{definition}\end{defbox}
Rapportons le plan à un repère orthonormé $(S,\mathbf i,\mathbf j)$, $S$ étant le sommet de la conique.
Etant donnés le foyer $F(d,0)$ et la droite directrice $(D)$, cherchons l'équation de la conique.

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,3)%aire reservee a l'image
%\psframe(-6,-3)(6,3)
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-3)(0,3)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\rput(5,-.25){$x$}
\rput(-.2,3){$y$}
\rput(-.2,-.3){$S$}
\SpecialCoor
\psplot{0}{2}{x 3 mul sqrt}
\psplot{0}{2}{x 3 mul sqrt neg}
\rput(.8,-.3){$\mathbf i$}
\rput(-.2,.8){$\mathbf j$}
\rput(2.2,-2){$(\mathscr C)$}
\rput(1.5,0){$+$}
\rput(2,.4){$F(d,0)$}
\psline{-}(-1.5,-2.8)(-1.5,2.8)
\rput(-2,3){$(D)$}
\psline{-}(-1.3,0)(-1.3,.2)
\psline{-}(-1.3,.2)(-1.5,.2)
\rput(-1.8,-.3){$K$}
\rput(-1.8,2){$H$}
\psline{<->}(-1.5,-2)(0,-2)
\rput(-.8,-2.4){$d/e$}
\rput(1.2,1.897){$+$}
\rput(1.1,2.3){$M$}
\psline[linestyle=dotted](1.2,1.897)(-1.5,1.897)
\psline{-}(-1.3,1.897)(-1.3,2.097)
\psline{-}(-1.3,2.097)(-1.5,2.097)
\end{pspicture}
\caption{Une conique}
\end{figure}

Soit $K$ la projection orthogonale de $F$ sur $(D)$. Lorsque $M$ passe au sommet $S$, $H$ est en $K$, et nous avons
\begin{align*}
\frac{SF}{SK}&=e\\
SK&=\frac{d}{e}
\end{align*}
par conséquent, le sommet $S$ étant toujours entre le foyer $F$ et la droite $(D)$, nous avons $K(-\frac{d}{e},0)$ donc $H(-\frac{d}{e},y)$, et,
\begin{align*}
MF^2&=e^2MH^2\\
(x-d)^2+y^2&=e^2\left(x+\frac{d}{e}\right)^2\\
x^2-2xd+d^2+y^2&=e^2x^2+2xde+d^2\\
y^2&=(e^2-1)x^2+2xd(e+1)
\end{align*}
Pour retrouver l'équation de la parabole pour $e=1$, on pose $p=d(e+1)$ le paramètre, et l'on a
\begin{equation}
y^2=2px+(e^2-1)x^2\label{com}
\end{equation}
qui est l'équation commune aux trois coniques, exprimée dans un repère ayant pour centre le sommet de la conique.

Quelle est l'expression du paramètre $p$ en fonction de $a$ et de $b$ ?

Cherchons l'équation de l'ellipse dans le repère $(A',\mathbf i,\mathbf j)$ de centre $A'(-a,0)$.
A partir de l'équation de l'ellipse,
\begin{equation*}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\end{equation*}
effectuons le changement de variables~:
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&Y=y\\
&X=x+a
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
Nous obtenons,
\begin{align*}
a^2Y^2+b^2\left(X-a\right)^2&=a^2b^2\\
a^2Y^2+b^2X^2-2Xab^2+a^2b^2&=a^2b^2\\
Y^2&=2\,\frac{b^2}{a}X-\frac{b^2}{a^2}X^2\\
&=2\,\frac{b^2}{a}X+\left(e^2-1\right)X^2
\end{align*}
par conséquent, pour une ellipse
\begin{equation*}
p=\frac{b^2}{a}
\end{equation*}
Pour un cercle, $a=b$ et $e=0$, si bien que
\begin{equation*}p=a\end{equation*}
L'équation \eqref{com} donne
\begin{align*}
y^2&=2ax-x^2\\
y^2+(x-a)^2&=a^2
\end{align*}
qui est l'équation d'un cercle de rayon $a$ et de centre $o(0,0)$, exprimée dans le repère $(A',\mathbf i,\mathbf j)$.

De même, cherchons l'équation de l'hyperbole dans le repère $(A,\mathbf i,\mathbf j)$ de centre $A(a,0)$.
A partir de l'équation de l'hyperbole,
\begin{equation*}
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
\end{equation*}
effectuons le changement de variables~:
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&Y=y\\
&X=x-a
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
Nous obtenons,
\begin{align*}
b^2\left(X+a\right)^2-a^2Y^2&=a^2b^2\\
b^2X^2+2Xab^2+a^2b^2-a^2Y^2&=a^2b^2\\
Y^2&=2\,\frac{b^2}{a}X+\frac{b^2}{a^2}X^2
\end{align*}
En utilisant la relation \eqref{hom}, pour une hyperbole,
\begin{align*}
e&=\frac{c}{a}\\
&=\frac{1}{a}\sqrt{a^2+b^2}\\
&=\sqrt{1+\tfrac{b^2}{a^2}}
\end{align*}
donc,
\begin{equation*}
Y^2=2\,\frac{b^2}{a}X+\left(e^2-1\right)X^2
\end{equation*}
par conséquent, pour une hyperbole nous avons encore
\begin{equation*}
p=\frac{b^2}{a}
\end{equation*}
\section{Représentations paramétriques}
\subsection{Représentation paramétrique d'une ellipse}
Tout point $M(x,y)$ de l'ellipse $(\mathscr E)$ vérifie l'équation
\begin{equation*}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\end{equation*}
où $a$ et $b$ sont des constantes.
Or, $\forall \varphi\in[0,2\pi[$,
\begin{equation*}
\cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1
\end{equation*}
On effectue le changement de variables
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{x^2}{a^2}=\cos^2\varphi\\
&\frac{y^2}{b^2}=\sin^2\varphi
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\left\{
\begin{aligned}
&x=\pm\,a\cos\varphi\\
&y=\pm\,b\sin\varphi
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\left\{
\begin{aligned}\label{paramelli}
&x=a\cos\varphi\\
&y=b\sin\varphi
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
Réciproquement, montrons que tout point $M(x,y)$ du plan dont les coordonnées vérifient \eqref{paramelli} est un point de l'ellipse $(\mathscr E)$
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&x=a\cos\varphi\\
&y=b\sin\varphi
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{x^2}{a^2}=\cos^2\varphi\\
&\frac{y^2}{b^2}=\sin^2\varphi
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\begin{aligned}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}&=1
\end{aligned}
\end{equation*}
\begin{defbox}\begin{definition}Anomalie excentrique

L'angle $\varphi$ est appelé anomalie excentrique.
\end{definition}\end{defbox}
Les égalités \eqref{paramelli} constituent une représentation paramétrique de l'ellipse $(\mathscr E)$, de paramètre $\varphi$.
\`A tout point $M(x,y)\in(\mathscr E)$, on peut associer un réel unique $\varphi$ vérifiant \eqref{paramelli}, et réciproquement.
Posons $\tan(\varphi/2)=t$, \eqref{paramelli} devient
\begin{equation}\label{paramell}
\left\{
\begin{aligned}
&x=a\,\frac{1-t^2}{1+t^2}\\
&y=b\,\frac{2t}{1+t^2}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
qui est une autre représentation paramétrique de l'ellipse $(\mathscr E)$, de paramètre $t$.
\begin{align*}
\varphi=0\qquad&\Leftrightarrow\qquad t=0\qquad\Leftrightarrow\qquad M(a,0)=A\\
\varphi=\pi/2\qquad&\Leftrightarrow\qquad t=1\qquad\Leftrightarrow\qquad M(0,b)=B\\
\varphi=\pi\qquad&\Leftrightarrow\qquad t\to\pm\infty\qquad\Leftrightarrow\qquad M(-a,0)=A'\\
\varphi=3\pi/2\qquad&\Leftrightarrow\qquad t=-1\qquad\Leftrightarrow\qquad M(0,-b)=B'
\end{align*}

\subsection{Anomalie excentrique}
\begin{defbox}\begin{definition}
Soit l'ellipse $(\mathscr E)$ d'équation
\begin{equation*}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\end{equation*}
avec $a>b>0$. On appelle cercle principal de l'ellipse, le cercle $(\mathscr C_1)$ de centre $o$ et de rayon $a$, d'équation
\begin{equation*}x^2+y^2=a^2\end{equation*}
On appelle cercle secondaire de l'ellipse, le cercle $(\mathscr C_2)$ de centre $o$ et de rayon $b$, d'équation
\begin{equation*}x^2+y^2=b^2\end{equation*}
\end{definition}\end{defbox}

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,4)%aire reservee a l'image
%\psframe(-6,-3)(6,4)
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-3)(0,3)
\rput(5,-.25){$X$}
\rput(-.2,3.3){$Y$}
\rput(-.2,.2){$o$}
\SpecialCoor
\psellipse[linewidth=2pt](0,0)(3,2)
\pscircle[linewidth=.5pt](0,0){3}
\pscircle[linewidth=.5pt](0,0){2}
\psline[linestyle=dotted](2.5,1.658)(2.5,0)
\psline[linestyle=dotted](2.5,1.106)(0,1.106)
\psline[linestyle=dotted](2.5,1.658)(0,0)
\psarc{->}(0,0){1}{0}{33.557}
\rput(3.1,1.2){$M$}
\rput(2.8,2){$M_1$}
\rput(1.3,1.4){$M_2$}
\rput(1.2,.3){$\varphi$}
\rput(-2.236,0){+}
\rput(2.236,0){+}
\rput(2.5,1.658){+}
\rput(2.5,1.106){+}
\rput(1.667,1.106){+}
\rput(3.3,.2){$A$}
\rput(-.3,2.3){$B$}
\rput(-3.3,.2){$A'$}
\rput(-.3,-2.3){$B'$}
\rput(1.5,-2.1){$(\mathscr E)$}
\rput(-2.9,-1.8){$(\mathscr C_1)$}
\rput(-1.2,-1){$(\mathscr C_2)$}
\rput(2.5,-.3){$x$}
\rput(-.3,1.1){$y$}
\end{pspicture}
\caption{Anomalie excentrique $\varphi$}
\end{figure}

Soit $M(x,y)$ un point de $(\mathscr E)$,
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}&=1
\end{aligned}
\qquad\Rightarrow\qquad
\left\{
\begin{aligned}
&x^2=a^2\left(1-\frac{y^2}{b^2}\right)\\
&y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
Soit $M_1(x_1,y_1)$ un point de $(\mathscr C_1)$ de même abscisse que $M$, $x_1=x$
\begin{align*}
x^2_1+y^2_1&=a^2\\
y^2_1&=a^2-x^2_1\\
&=a^2-a^2\left(1-\frac{y^2}{b^2}\right)\\
&=\frac{a^2}{b^2}\,y^2
\end{align*}
et soit $M_2(x_2,y_2)$ un point de $(\mathscr C_2)$ de même ordonnée que $M$, $y_2=y$
\begin{align*}
x^2_2+y^2_2&=b^2\\
x^2_2&=b^2-y^2_2\\
&=b^2-b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\\
&=\frac{b^2}{a^2}\,x^2
\end{align*}
Donc, nous avons $M(x,y)$, $M_1(x,\frac{a}{b}y)$ et $M_2(\frac{b}{a}x,y)$.\\
Effectuons le produit vectoriel~:
\begin{align*}
\mathbf{oM_1}\times\mathbf{oM_2}&=\left(xy-\frac{ay}{b}\,\frac{bx}{a}\right)\mathbf k\\
&=\mathbf0
\end{align*}
Les points $o$, $M_1$ et $M_2$ sont alignés. Si l'on pose $(\mathbf{ox},\mathbf{oM_1})=\varphi$,
alors, les cercles $(\mathscr C_1)$ et $(\mathscr C_2)$ étant de rayons respectifs $a$ et $b$, 
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&x_1=a\cos\varphi\\
&y_2=b\sin\varphi
\end{aligned}
\right.
\qquad\equiv\qquad
\left\{
\begin{aligned}
&x=a\cos\varphi\\
&y=b\sin\varphi
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
ce qui donne une interprétation géométrique de l'anomalie excentrique.

\subsection{Représentation paramétrique d'une hyperbole}
Tout point $M(x,y)$ de l'hyperbole $(\mathscr H)$ vérifie l'équation
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\label{eqhyperbole}
\end{equation}
$\forall \varphi\in[0,2\pi[$~:
\begin{equation*}
\cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1
\end{equation*}
$\forall \varphi\neq(2k+1)\frac{\pi}{2},\,k\in\mathbb Z$
\begin{equation*}
\frac{1}{\cos^2\varphi}-\tan^2\varphi=1
\end{equation*}
On effectue le changement de variables~:
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{x^2}{a^2}=\frac{1}{\cos^2\varphi}\\
&\frac{y^2}{b^2}=\tan^2\varphi
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\left\{
\begin{aligned}
&x=\pm\,\frac{a}{\cos\varphi}\\
&y=\pm\,b\tan\varphi
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\left\{
\begin{aligned}\label{paramhyp}
&x=\frac{a}{\cos\varphi}\\
&y=b\tan\varphi
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
Ces relations impliquent qu'à tout point $M(x,y)$ de l'hyperbole~$(\mathscr H)$, on puisse associer un unique réel $\varphi$
(dans un intervalle $[0,2\pi[$ diminué des multiples impaires de $\frac{\pi}{2}$) vérifiant \eqref{paramhyp}.
\begin{defbox}\begin{definition}Anomalie excentrique

L'angle $\varphi$ est appelé anomalie excentrique.
\end{definition}\end{defbox}


Réciproquement, montrons que tout point $M(x,y)$ du plan dont les coordonnées vérifient \eqref{paramhyp} est un point de l'hyperbole~$(\mathscr H)$
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&x=\frac{a}{\cos\varphi}\\
&y=b\tan\varphi
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{x^2}{a^2}=\frac{1}{\cos^2\varphi}\\
&\frac{y^2}{b^2}=\tan^2\varphi
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\begin{aligned}
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}&=1
\end{aligned}
\end{equation*}

Les égalités \eqref{paramhyp} constituent une représentation paramétrique de l'hyperbole~$(\mathscr H)$ d'équation \eqref{eqhyperbole}.\\
Posons $\tan\tfrac{\varphi}{2}=t$, les égalités \eqref{paramhyp} donnent
\begin{equation}\label{paramhy}
\left\{
\begin{aligned}
&x=a\,\frac{1+t^2}{1-t^2}\\
&y=b\,\frac{2t}{1-t^2}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
qui est une autre représentation paramétrique de l'hyperbole~$(\mathscr H)$.
Les restrictions suivantes sont équivalentes,
\begin{equation*}
\varphi\neq(2k+1)\tfrac{\pi}{2},\,k\in\mathbb Z\,\Leftrightarrow\, t\notin \{-1,+1\}
\end{equation*}
 Toutefois,
\begin{equation*}
\tan{\tfrac{\varphi}{2}}=t\Rightarrow \varphi\neq(2k+1)\pi,\,k\in\mathbb Z
\end{equation*}
donc le sommet $A'(-a,0)$ n'est pas obtenu par \eqref{paramhy} quand $t\in\mathbb R-\{-1,+1\}$.
Cependant, quand $t\to\infty$, le point $M$ tend vers $A'$.
\section{Coordonnées polaires}
\subsection{Coordonnées polaires centrées sur o}

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,3)%aire réservée a  l'image
%\psframe(-6,-3)(6,3)
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-3)(0,3)
\rput(5,-.25){$X$}
\rput(-.2,3){$Y$}
\rput(-.2,.2){$o$}
\rput(2.436,.3){$F$}
\rput(-2.336,.3){$F'$}
\SpecialCoor
\psellipse(0,0)(3,2)
\psline(0,0)(1.07,1.853)
\rput(1.5,2.15){$M(x,y)$}
\rput(.5,1.2){$\rho$}
\psarc{<->}(0,0){1}{0}{60}
\rput(1.2;27){$\alpha$}
\rput(2.236,0){+}
\rput(-2.236,0){+}
\end{pspicture}
\caption{Coordonnées polaires centrées sur $o$}
\end{figure}

\begin{thbox}\begin{theoreme}
En coordonnées polaires $(\rho,\alpha)$ de centre $o$, l'équation d'une ellipse centrée en $o(0,0)$, de demi-petit axe $b$, d'excentricité $e$,
et dont l'axe focal est situé sur l'axe des abscisses, s'écrit:
\begin{equation}
\rho =\frac{b}{\sqrt{1-e^2\cos^2\alpha}}\label{pol}
\end{equation}
\end{theoreme}\end{thbox}
\begin{proof}
On part de l'équation cartésienne de l'ellipse,
\begin{align*}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}&=1\\
b^2x^2+a^2y^2&=a^2b^2
\end{align*}
On effectue le changement de variables :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&x=\rho\cos\alpha\\
&y=\rho\sin\alpha
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\begin{aligned}
b^2\rho^2\cos^2\alpha+a^2\rho^2\sin^2\alpha=a^2b^2\\
\end{aligned}
\end{equation*}
On a alors
\begin{align*}
\rho^2&=\frac{a^2b^2}{b^2\cos^2\alpha+a^2\sin^2\alpha}\\
&=\frac{b^2}{\frac{b^2}{a^2}\cos^2\alpha+(1-\cos^2\alpha)}\\
&=\frac{b^2}{\left( \frac{b^2}{a^2}-1\right) \cos^2\alpha+1}
\end{align*}
Nous avons,
\begin{align*}
e&=\frac{c}{a}\\
&=\tfrac{1}{a}\sqrt{a^2-b^2}\\
&=\sqrt{1-\tfrac{b^2}{a^2}}
\end{align*}
si bien que,
\begin{align*}
\rho^2&=\frac{b^2}{1-e^2\cos^2\alpha}\\
\rho &=\frac{b}{\sqrt{1-e^2\cos^2\alpha}}
\end{align*}
car $b>0$.
\end{proof}
Nous avons montré que \eqref{def_eq_cartesienne} p.~\pageref{def_eq_cartesienne} implique \eqref{pol} p.~\pageref{pol}.
Montrons que \eqref{pol} implique \eqref{def_eq_cartesienne}.
\begin{thbox}\begin{theoreme}
En coordonnées polaires $(\rho,\alpha)$ de centre $o$, l'équation
\begin{equation*}
\rho =\frac{b}{\sqrt{1-e^2\cos^2\alpha}}
\end{equation*}
est celle d'une ellipse centrée en $o(0,0)$, de demi-petit axe $b$, d'excentricité $e$,
et dont l'axe focal est situé sur l'axe des abscisses.
\end{theoreme}\end{thbox}
\begin{proof}
\begin{align*}
\rho &=\frac{b}{\sqrt{1-e^2\cos^2\alpha}}\\
\rho^2&=\frac{b^2}{1-e^2\cos^2\alpha}\\
&=\frac{b^2}{1-\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)\cos^2\alpha}\\
&=\frac{b^2}{\sin^2\alpha+\frac{b^2}{a^2}\cos^2\alpha}\\
a^2\rho^2\sin^2\alpha+b^2\rho^2\cos^2\alpha&=a^2b^2
\end{align*}
On effectue le changement de variables :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&x=\rho\cos\alpha\\
&y=\rho\sin\alpha
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\begin{aligned}
b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\qquad\Rightarrow\qquad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\qedhere
\end{aligned}
\end{equation*}
\end{proof}

\subsection{Coordonnées polaires entrées sur le foyer F}

\begin{figure}[H]\centering
\label{ell}
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,3.5)%aire reservee a l'image
%\psframe(-6,-3)(6,3)
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-3)(0,3)
\rput(5.4,0){$x$}
\rput(0,3.4){$y$}
\rput(-.2,.2){$o$}
\rput(2.236,-.3){$F$}
\rput(-2.336,.3){$F'$}
\SpecialCoor
\psellipse(0,0)(3,2)
\psline(2.236,0)(1.07,1.853)
\rput(1.5,2.15){$M(x,y)$}
\rput(1.4,.8){$\rho$}
\psarc{<->}(2.236,0){.5}{0}{123}
\rput(2.6,.6){$\theta$}
\rput(-2.236,0){+}
\psline{<->}(0,0)(2.236,0)
\rput(1.1,-.2){$c$}
\end{pspicture}
\caption{Coordonnées polaires centrées sur $F$}
\end{figure}
\begin{defbox}\begin{definition}Anomalie vraie

L'angle $\theta$ est appelé anomalie excentrique.
\end{definition}\end{defbox}
\begin{thbox}\begin{theoreme}
En coordonnées polaires $(\rho,\theta)$ de centre $F$, l'équation d'une ellipse centrée en $o(-c,0)$, de demi-petit axe $b$, d'excentricité $e$,
et dont l'axe focal est situé sur l'axe des abscisses, s'écrit\footnote{Voir Le probleme de Kepler.pdf}~:
\begin{equation}
\rho =\frac{p}{1+e\cos\theta}\label{Kepler}
\end{equation}
\end{theoreme}\end{thbox}
\begin{proof}
Cherchons l'équation cartésienne de l'ellipse dans le repère $(F,\mathbf i,\mathbf j)$.
A partir de l'équation \eqref{def_eq_cartesienne} dans le repère $(o,\mathbf i,\mathbf j)$,
\begin{align*}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}&=1\\
b^2x^2+a^2y^2&=a^2b^2
\end{align*}
on effectue le changement de variables suivant~:
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&X=x-c\\
&Y=y
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\begin{align*}
b^2\left(X+c\right)^2+a^2Y^2&=a^2b^2\\
b^2X^2+2b^2Xc+b^2c^2+a^2Y^2&=a^2b^2
\end{align*}
On passe en coordonnées polaires~:
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&X=\rho\cos\theta\\
&Y=\rho\sin\theta
\end{aligned}
\right.
\qquad\Rightarrow\qquad
\begin{aligned}
\rho^2=X^2+Y^2\qquad\text{et}\qquad Y^2=\rho^2-\rho^2\cos^2\theta
\end{aligned}
\end{equation*}
\begin{align*}
b^2X^2+2b^2Xc+a^2Y^2&=b^2\left(a^2-c^2\right)\\
b^2\rho^2\cos^2\theta+2b^2c\rho\cos\theta+a^2\rho^2-a^2\rho^2\cos^2\theta&=b^4
\end{align*}
On effectue le changement de paramètres,
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\\
&c=ae
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\begin{align*}
\rho^2\cos^2\theta\left(b^2-a^2\right)+2b^2ae\rho\cos\theta+a^2\rho^2&=b^4\\
\rho^2\cos^2\theta\left(\frac{b^2}{a^2}-1\right)+2\,\frac{b^2}{a}e\rho\cos\theta+\rho^2&=\frac{b^4}{a^2}
\end{align*}
On pose $p=b^2/a$ appelé paramètre de l'ellipse,
\begin{align*}
\rho^2&=p^2+e^2\rho^2\cos^2\theta-2pe\rho\cos\theta\\
&=\left(p^2-e\rho\cos\theta\right)^2\\
\rho&=\pm\left(p^2-e\rho\cos\theta\right)
\end{align*}
Le rayon étant positif,
\begin{align*}
\rho&=p^2-e\rho\cos\theta\\
\rho\left(1+e\cos\theta\right)&=p\\
\rho&=\frac{p}{1+e\cos\theta}\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
Nous avons montré que l'équation \eqref{def_eq_cartesienne} implique l'équation \eqref{Kepler}.
Réciproquement, montrons que l'équation \eqref{Kepler} implique l'équation \eqref{def_eq_cartesienne}.
\begin{thbox}\begin{theoreme}
En coordonnées polaires $(\rho,\theta)$ de centre $F$, l'équation
\begin{equation*}
\rho =\frac{p}{1+e\cos\theta}
\end{equation*}
est celle d'une ellipse centrée en $o(-c,0)$, de demi-petit axe $b$, d'excentricité $e$,
et dont l'axe focal est situé sur l'axe des abscisses.
\end{theoreme}\end{thbox}
\begin{proof}
\begin{equation*}
\rho+e\rho\cos\theta=p
\end{equation*}
On effectue le changement de variables :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&\rho=\left[y^2+(x-c)^2\right]^{1/2}\\
&\rho\cos\theta=x-c
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\begin{align*}
\left[y^2+(x-c)^2\right]^{1/2}+e(x-c)&=p\\
y^2+(x-c)^2&=\left[ p-e(x-c)\right] ^2\\
y^2+(x-c)^2-\left[p^2-2pe(x-c)+e^2(x-c)^2\right]&=0\\
y^2+(1-e^2)(x-c)^2-p^2+2pe(x-c)&=0
\end{align*}
Soit $e$ l'excentricité et $p$ le paramètre, tels que
\begin{numcases}\ 
e=\sqrt{1-\tfrac{b^2}{a^2}}\label{ex}\\
p=\frac{b^2}{a}\label{p}
\end{numcases}
Avec ces définitions, nous avons:
\begin{align*}
y^2+\frac{b^2}{a^2}\left(x^2-2xc+c^2\right)-\frac{b^{4}}{a^2}+2\,\frac{b^2}{a}\,e\,(x-c)&=0\\
a^2y^2+b^2x^2-2b^2xc+b^2c^2-b^{4}+2b^2aex-2b^2aec&=0
\end{align*}
En remarquant que $ae=c=\sqrt{a^2-b^2}$,
\begin{align*}
a^2y^2+b^2x^2-b^{4}-b^2c^2&=0\\
a^2y^2+b^2x^2&=b^{4}+b^2(a^2-b^2)\\
a^2y^2+b^2x^2&=a^2b^2\\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}&=1\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\begin{rmqbox}\begin{rmq}
Lorsque l'excentricité est nulle nous obtenons un cercle. Il y a deux fa\c con de le voir :
l'équation \eqref{Kepler} devient ${\rho=p}$ qui est l'équation d'un cercle de rayon $p$.
En partant de l'expression de l'excentricité :
\begin{align*}
\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}&=0\\
\frac{b^2}{a^2}&=1\\
a&=b
\end{align*}
le demi-grand axe et le demi-petit axe sont égaux, nous avons bien un cercle.\\
Lorsque l'excentricité tend vers l'unité, le rapport $b/a$ tend vers zéro et l'ellipse n'est plus fermée.
La définition $e=\sqrt{1-b^2/a^2}$ que nous avons prise pour l'excentricité ne s'applique que pour un cercle ou une ellipse.
\end{rmq}\end{rmqbox}
\begin{rmqbox}\begin{rmq}
L'excentricité $e$ et le paramètre $p$ sont indépendants : fixer la valeur de l'un ne fixe pas la valeur de l'autre.
Il en va de même en coordonnées cartésiennes pour les longueurs $a$ et $b$ des demi-axes.
Par conséquent, les deux relations \eqref{ex} et \eqref{p} sont nécessaires pour que les ellipses d'équations
$b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$ et $p=\rho+\rho e\cos\theta$ soient identiques.
\end{rmq}\end{rmqbox}
\section{Surface totale d'une ellipse}
\begin{thbox}\begin{theoreme}
La surface d'une ellipse est donnée par,
\begin{equation*}
S=\pi\,ab
\end{equation*}
\end{theoreme}\end{thbox}
\begin{proof}
On part de l'équation cartésienne de l'ellipse :
\begin{align*}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}&=1\\
\frac{y^2}{b^2}&=1-\frac{x^2}{a^2}\\
y(x)&=\pm\,b\,\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}
\end{align*}
On intègre la fonction $y(x)$ sur le quart supérieur droit de l'ellipse pour obtenir le quart de la surface totale $S$. La variable~$x$ varie alors de~$0$ à~$a$, et $y(x)$~reste positive :
\begin{align*}
\frac{S}{4}&=\int_{0}^{a}y(x)\,dx\\
&=\int_{0}^{a}b\,\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\,dx
\end{align*}
On pose $t=x/a$, d'où $dx=adt$,
\begin{equation*}
S=4ab\int_{0}^{1}\sqrt{1-t^2}\,dt
\end{equation*}
On pose $t=\sin\theta$, d'où $dt=\cos\theta\,d\theta$,
\begin{align*}
S&=4ab\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-\sin^2\theta}\,\cos\theta\,d\theta\\
&=4ab\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta\\
&=4ab\int_{0}^{\pi/2}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta\\
&=2ab\left( \int_{0}^{\pi/2} d\theta+\int_{0}^{\pi/2}\cos 2\theta\,d\theta\right)
\end{align*}
On pose $\alpha=2\theta$, d'où $d\theta=\tfrac{1}{2}d\alpha$,
\begin{align*}
S&=2ab\left([\theta]^{\pi/2}_0+\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos\alpha\,d\alpha\right)\\
&=2ab\left(\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{1}{2}[\sin\alpha]^\pi_0\right)\\
&=\pi\,ab\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\end{document}
