\DocumentMetadata{}
\documentclass[french, a4paper, 12pt, twoside]{book}
\usepackage[french]{babel}% prise en compte les particularités de la typographie française. Remplace [francais et frenchb]
\usepackage{mathtools}
\usepackage{fontspec} % Pour charger les polices texte OpenType
\usepackage[math-style=ISO, bold-style=ISO]{unicode-math} % Style physique norme ISO.Lettres grecques en gras
\setmainfont{TeX Gyre Termes}[Ligatures=TeX]  % Nom exact de la famille
\setmathfont{Stix Two Math}

\renewcommand{\numberline}[1]{#1~~}% problème de numérotation de la ToC (table of content)
\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{Chapitre \thechapter\ : #1}{}}

\usepackage[twoside, inner=3cm, outer=2cm, top=2.5cm, bottom=2.5cm]{geometry}% bordure des pages
\usepackage{varioref}% hyperlien vers les pages

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}

\usepackage{xspace}% gère les espaces après les guillemets, après dots, et 1\ier
\usepackage{microtype}% améliore la justification et l'espacement des caractères
\usepackage[autostyle, english=american]{csquotes}

\usepackage[d]{esvect}% vecteur OM, option a,b,c,d,e,f,g pour le type de fleche
\usepackage{wasysym}% symboles astronomiques
\usepackage[retainorgcmds]{IEEEtrantools}% tableau spéciaux
\usepackage{siunitx}% remplace siunit
    \sisetup{
    locale=FR,
    output-decimal-marker={,},% virgule à la place du point comme séparateur des décimales
    group-minimum-digits=3,% nombre de chiffres entre chaque séparation
    group-separator={~},% séparateur des milliers
    quantity-product={~},% séparateur entre un nombre et son unité
    inter-unit-product={~}% une espace insécable entre deux unités
    }
\usepackage{enumitem}% personnalisation des listes
\usepackage{nicefrac}% symbole de fraction
\usepackage{esint}% symboles intégrale
\usepackage{stackengine}% superposer deux mots
\usepackage{pst-3dplot}% dessiner en 3D
\usepackage{float}% begin figure[H] (ne marche pas avec subfigure, conserver [h!])
\usepackage{caption}% légende des figures
    \captionsetup{figurename=Fig.}
    \counterwithin{figure}{chapter}% numérotation des figures avec celui du chapitre
    \counterwithin{equation}{chapter}% numérotation des équations avec celui du chapitre

\usepackage{graphicx}

\usepackage{imakeidx}% avant hyperref
    \makeindex[columns=2, title=Index, intoc]

\usepackage{xcolor}
    \definecolor{jauneOlive}{rgb}{0.7, 0.7, 0.3}
    \definecolor{bleuNuit}{rgb}{0, 0, 0.8}% Bleu nuit
    \definecolor{coulOr}{rgb}{1.0, 0.843, 0.0}% Couleur proche de l'or
    \definecolor{grisClair}{rgb}{0.827, 0.827, 0.827}% Gris clair

\usepackage{mdframed}

\newcounter{defi}[chapter]
\renewcommand{\thedefi}{\thechapter.\arabic{defi}}

\newenvironment{defi}[1][]{%
  \refstepcounter{defi}%
  \begin{mdframed}[
    linecolor=coulOr,
    linewidth=2pt,
    topline=false, bottomline=false, rightline=false,
    backgroundcolor=coulOr!6,
    frametitle={\textbf{Définition~\thedefi\ifx&#1&\else\ :\ #1\fi}},
    frametitlebackgroundcolor=coulOr!6,
    frametitleaboveskip=4pt,
    frametitlebelowskip=4pt,
    innertopmargin=8pt,
    skipabove=6pt,
    skipbelow=6pt
  ]%
}{%
  \end{mdframed}
}

\newcounter{theo}[chapter]
\renewcommand{\thetheo}{\thechapter.\arabic{theo}}

\newenvironment{theo}[1][]{%
  \refstepcounter{theo}%
  \begin{mdframed}[
    linecolor=black,
    linewidth=3pt,
    topline=false, bottomline=false, rightline=false,
    backgroundcolor=black!4,
    frametitle={\textbf{Théorème~\thetheo\ifx&#1&\else\ :\ #1\fi}},
    frametitlebackgroundcolor=black!4,
    frametitleaboveskip=4pt,
    frametitlebelowskip=4pt,
    innertopmargin=8pt,
    skipabove=6pt,
    skipbelow=6pt
  ]%
  \slshape
}{%
  \end{mdframed}
}

\newcounter{exem}[chapter]
\renewcommand{\theexem}{\thechapter.\arabic{exem}}

\newenvironment{exem}[1][]{%
  \refstepcounter{exem}%
  \begin{mdframed}[
    linecolor=jauneOlive,
    linewidth=1.5pt,
    topline=false, bottomline=false, rightline=false,
    backgroundcolor=white,
    frametitle={\textbf{Exemple~\theexem\ifx&#1&\else\ :\ #1\fi}},
    frametitlebackgroundcolor=white,
    frametitleaboveskip=4pt,
    frametitlebelowskip=4pt,
    innertopmargin=8pt,
    skipabove=6pt,
    skipbelow=6pt
  ]%
}{%
  \end{mdframed}
}

\newcounter{rmq}[chapter]
\renewcommand{\thermq}{\thechapter.\arabic{rmq}}

\newenvironment{rmq}[1][]{%
  \refstepcounter{rmq}%
  \begin{mdframed}[
    linecolor=grisClair,
    linewidth=1pt,
    topline=false, bottomline=false, rightline=false,
    backgroundcolor=white,
    frametitle={\textbf{Remarque~\thermq\ifx&#1&\else\ (#1)\fi}},
    frametitlebackgroundcolor=white,
    frametitleaboveskip=4pt,
    frametitlebelowskip=4pt,
    innertopmargin=8pt,
    skipabove=6pt,
    skipbelow=6pt
  ]%
  \scriptsize
}{%
  \end{mdframed}
}

\newcounter{prop}[chapter]
\renewcommand{\theprop}{\thechapter.\arabic{prop}}

\newenvironment{prop}[1][]{%
  \refstepcounter{prop}%
  \begin{mdframed}[
    linecolor=coulOr,
    linewidth=1.5pt,
    topline=false, bottomline=false, rightline=false,
    backgroundcolor=coulOr!4,
    frametitle={\textbf{Propriété~\theprop\ifx&#1&\else\ :\ #1\fi}},
    frametitlebackgroundcolor=coulOr!4,
    frametitleaboveskip=4pt,
    frametitlebelowskip=4pt,
    innertopmargin=8pt,
    skipabove=6pt,
    skipbelow=6pt
  ]%
}{%
  \end{mdframed}
}

\newcounter{ntn}[chapter]
\renewcommand{\thentn}{\thechapter.\arabic{ntn}}

\newenvironment{ntn}[1][]{%
  \refstepcounter{ntn}%
  \begin{mdframed}[
    linecolor=grisClair,
    linewidth=1pt,
    topline=false, bottomline=false, rightline=false,
    backgroundcolor=white,
    frametitle={\textbf{Notation~\thentn\ifx&#1&\else\ :\ #1\fi}},
    frametitlebackgroundcolor=white,
    frametitleaboveskip=4pt,
    frametitlebelowskip=4pt,
    innertopmargin=8pt,
    skipabove=6pt,
    skipbelow=6pt
  ]%
}{%
  \end{mdframed}
}

\newenvironment{boxA}{%
  \begin{mdframed}[
    linecolor=coulOr,
    linewidth=2pt,
    topline=false, bottomline=false, rightline=false,
    backgroundcolor=coulOr!6,
    skipabove=6pt,
    skipbelow=6pt
  ]%
}{%
  \end{mdframed}
}

\newcommand*\maboite[1]{\fcolorbox{brown}{white}{\hspace{1em}#1\hspace{1em}}}
\newcommand*\maboitedef[1]{{\hspace{1em}#1\hspace{1em}}}
\newcommand*\maboitetheo[1]{{\hspace{1em}#1\hspace{1em}}}
\usepackage{empheq}% encadre les formules importantes

\usepackage{hyperref}% option [breaklinks] pour les titres trop longs dans la ToC
\hypersetup{
    pdftoolbar=false,% affichage de la barre d'outils Acrobat
    pdftitle={Tenseur Métrique},% titre
    pdfauthor={Olivier Castéra},% auteur
    pdfstartview= FitH,% la page prend toute la largeur
    colorlinks=true,% false : liens encadrés ; true : liens colorés
    linkcolor=bleuNuit,
    urlcolor=black,
    }

\usepackage{fancyhdr}% entete fancy (fancy header)
    \fancyhf{}% vide head and foot
    \pagestyle{fancy}
    \fancyfoot[LE,RO]{\thepage} % LE~: left even ; RO~: right odd
    \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}% epaisseur du filet (ligne horizontale) en haut des pages
    \setlength{\headheight}{16pt}% hauteur de l'entete, normal=8pt
    \setlength{\headsep}{28pt}% distance entre entete et corps du text, normal=14pt
    \setlength{\footskip}{28pt}% place du numéro en bas de page
    \fancyhead[l]{\color{jauneOlive}\slshape{\leftmark}}% titre en entete à gauche
    \fancypagestyle{plain}{% pour la ToC et les chapitres
        \fancyhf{}% vide tout
        }
\usepackage[nobottomtitles]{titlesec}% formatage des titres, pas de titre en bas de page
\renewcommand{\chaptertitlename}{\color{jauneOlive}Chapitre}% Chapitre en jauneOlive à la place de Chapter en noir
\renewcommand{\bottomtitlespace}{.2\textheight}% espace minimal requis pour ne pas changer le titre de page (defaut .2)
\titleformat{\chapter}[display]{\Large\bfseries\filcenter}{\chaptertitlename\ \thechapter}{1.5cm}{\uppercase}[]
\titleformat{\section}{\normalfont\large\bfseries}{}{0ex}{{\color{jauneOlive}{\hrule height .5ex}}\vspace{3ex}{\thesection}\hspace{2em}}
\titlespacing*{\section}{0em}{.2\baselineskip}{.75\baselineskip}
\titleformat{\subsection}{\normalfont\bfseries}{}{0ex}{{\color{jauneOlive}{\hrule height .3ex}}\vspace{2ex}{\thesubsection}\hspace{2em}}
\titlespacing*{\subsection}{0em}{.6\baselineskip}{.4\baselineskip}
\titleformat{\subsubsection}{\fontsize{12}{1}\bfseries}{}{0ex}{{\color{jauneOlive}\hrule height .3ex}\vspace{2ex}{\thesubsubsection}\hspace{2em}}
\titlespacing*{\subsubsection}{0em}{.6\baselineskip}{.4\baselineskip}

\usepackage{parskip}% espaces dans les paragraphes
    \setlength{\parindent}{0pt}% supprime les indentations
    \setlength{\parskip}{2mm}% ajoute une espace verticale entre les paragraphes (sauter deux lignes). Dans les exemples, utiliser medskip.

\def\divergence{\mathop{\symup{div}}\nolimits}% opérateur divergence
\def\gradient{\mathop{\vv{\symup{grad}}}\nolimits}% opérateur gradient
\def\rot{\mathop{\vv{\symup{rot}}}\nolimits}% opérateur rotationnel
\DeclareMathOperator{\atantwo}{atan2}% opérateur arctangente

\graphicspath{{./asy/}}% chemin pour les images
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}% tableau plus large

\newcommand\mt[1]{\mbox{\tiny{#1}}}% petits caractères en mode math

%Notations
\newcommand{\ev}[1]{#1}% Espace vectoriel
\newcommand{\evn}[2]{{#1}_{#2}}% Espace vectoriel de dimension n
\newcommand{\refQuelc}[0]{\symup{R}}% Référentiel quelconque
\newcommand{\refGal}[0]{\symcal{R}}% Référentiel galiléen
\newcommand{\refRie}[0]{\symcal{R}}% Référentiel riemannien
\newcommand{\refIne}[0]{\symcal{R}}% Référentiel inertiel
\newcommand{\lag}[0]{\symcal{L}}% Lagrangien
\newcommand{\act}[0]{\symcal{S}}% Action
\newcommand{\pot}[1]{\symcal{#1}}% Potentiel U ou V
\newcommand{\Vol}[0]{\symtt{V}}% Volume V
\newcommand{\vol}[0]{\symtt{v}}% volume v
\newcommand{\Surf}[0]{S}% Surface S
\newcommand{\surf}[0]{s}% surface s
\newcommand{\mat}[1]{\symcal{#1}}% Matrice

% Calcul tensoriel
\newcommand{\ContraCov}[3]{{#1}^{#2}_{\hphantom{#2}#3}}% tenseur mixte direct 2 indices, contrav puis cov
\newcommand{\CovContra}[3]{{#1}_{#2}^{\hphantom{#2}#3}}% tenseur mixte inverse 2 indices, cov puis contrav
\newcommand{\ContraCovContra}[4]{{#1}^{#2\hphantom{#3}#4}_{\hphantom{#2}#3}}% tenseur mixte direct 3 indices, contrav, cov, contrav
\newcommand{\CovContraCov}[4]{{#1}_{#2\hphantom{#3}#4}^{\hphantom{#2}#3}}% tenseur mixte inverse 3 indices, cov, contrav, cov
\newcommand{\ContraCovContraCov}[5]{{#1}^{#2\hphantom{#3}#4}_{\hphantom{#2}#3\hphantom{#4}#5}}% tenseur mixte direct 4 indices, contrav, cov, contrav, cov
\newcommand{\CovContraCovContra}[5]{{#1}_{#2\hphantom{#3}#4}^{\hphantom{#2}#3\hphantom{#4}#5}}% tenseur mixte inverse 4 indices, cov, contrav, cov, contrav
\newcommand{\transp}[1]{{#1}^T}% transposée
\newcommand{\cov}[1]{\underline{#1}}% covecteur
\newcommand{\tri}[0]{3-}% tri-quelque chose
\newcommand{\quadri}[0]{4-}% quadri-quelque chose

% Mécanique classique
% Trivecteurs
\newcommand{\tvmc}[1]{\vv{\symup{#1}}}% trivecteur mécanique classique
\newcommand{\ntvmc}[1]{#1}% norme d'un trivecteur mécanique classique
\newcommand{\ctvmc}[1]{#1}% composante d'un trivecteur mécanique classique
\newcommand{\ptvmc}[1]{\vv{#1}\mkern2mu\vphantom{#1}}% trivecteur mécanique classique primés
\newcommand{\cste}[0]{c^{\,ste}}% Constante
\newcommand{\vcste}[0]{\tvmc{C}^{\,ste}}% Vecteur constant
\newcommand{\tope}[1]{\vv{#1}}% tri-opérateur (nabla)
\newcommand{\pvec}[1]{\overset{\rotatebox[origin=c]{180}{$\curvearrowleft$}}{#1}}% pseudo vecteur

% Math
\newcommand{\parDef}[0]{\overset{\text{déf}}{=}}% symbole par définition
\newcommand{\parObs}[0]{\overset{\text{obs}}{=}}% symbole par observation
\newcommand{\bng}[1]{\symbfup{#1}}% base naturelle gras
\newcommand{\bnf}[1]{\vv{#1}}% base naturelle fleche
\newcommand{\btan}[1]{\vv{\symup{#1}}}% base tangente
\newcommand{\br}[1]{\symbfit{#1}}% Base réciproque
\newcommand{\bd}[2]{{#1}^{\ast{#2}}}% Base duale
\newcommand{\vmatg}[1]{\symbf{#1}}% vecteur mathematique gras
\newcommand{\vmatf}[1]{\vv{#1}}% vecteur mathematique fleche
\newcommand{\cvmat}[1]{\symbf{#1}}% composante vecteur mathematique
\newcommand{\fLin}[1]{\tilde{#1}}% forme linéaire
\newcommand{\fBiLin}[0]{B}% forme bilinéaire
\newcommand{\dd}{\symup{d}}% d droit pour élément différentiel

% Tenseurs
\newcommand{\tens}[1]{\symtt{#1}}% tenseur
\newcommand{\tm}[0]{G}% tenseur métrique
\newcommand{\mL}[0]{\Lambda}% matrice de Lorentz
\newcommand{\tmr}[0]{\eta}% tenseur métrique relativiste
\newcommand{\cCosmo}[0]{\Lambda}% constante cosmologique
\newcommand{\cRicci}[0]{R}% courbure de Ricci

% Relativité restreinte
\newcommand{\eve}[1]{#1}% évènement
\newcommand{\qps}[0]{\bullet}% quadri-produit scalaire
\newcommand{\cG}[0]{\symcal{G}}% constante gravitationnelle
\newcommand{\seconde}{2\up{de}\xspace}

% Trivecteurs
\newcommand{\tvmr}[1]{\symbfup{#1}}% trivecteur mécanique relativiste
\newcommand{\ntvmr}[1]{\symup{#1}}% norme d'un trivecteur relativiste
\newcommand{\ctvmr}[1]{\symup{#1}}% composante d'un trivecteur relativiste
\newcommand{\tvp}[1]{\bm{\mathtt{#1}}}% trivecteur (vitesse ou accélération) propre
\newcommand{\ptvvp}[1]{\symbfup{#1}\mkern2mu\vphantom{#1}}% trivecteur vitesse propre primé
\newcommand{\ctvp}[1]{\symtt{#1}}% composante du trivecteur vitesse propre

% Quadrivecteurs
\newcommand{\qvec}[1]{[\prescript{}{4}{\symup{#1}}]}% quadrivecteur
\newcommand{\cqvec}[1]{#1}% composante d'un quadrivecteur
\newcommand{\qope}[1]{{#1}_4}% quadri-opérateur (nabla)

% Quadritenseurs
\newcommand{\qtens}[1]{[\prescript{4}{4}{\symtt{#1}}]}% quadritenseur
\newcommand{\cqtens}[1]{#1}% composante d'un quadritenseur

\newcommand{\diffAbs}[0]{D}% différentielle absolue
\newcommand{\deriveeCovH}[3]{\nabla_{#3}{#1}^{#2}}% dérivée covariante indice en haut
\newcommand{\deriveeCovB}[3]{\nabla_{#3}{#1}_{#2}}% dérivée covariante indice en bas
\newcommand{\deriveeCovM}[4]{\nabla_{#4}{#1}^{#2}_{#3}}% dérivée covariante indice en haut et en bas
\newcommand{\deriveePartH}[3]{\partial_{#3}{#1}^{#2}}% dérivée covariante indice en haut
\newcommand{\deriveePartB}[3]{\partial_{#3}{#1}_{#2}}% dérivée covariante indice en bas

\usepackage{emptypage}% pages de fin de chapitre vierges

%\usepackage{refcheck}% indique dans Messages Unlabelled equation et Unused references (à mettre après hyperref)
%\usepackage{minitoc}% ToC au début des chapitres
%    \mtcselectlanguage{french}
%    \mtcsetdepth{minitoc}{1}
%    \dominitoc
\begin{document}
\begin{titlepage}
\parindent=0pt
\href{mailto:o.castera@free.fr}{o.castera@free.fr}\\
\href{http://sciences-physiques.neocities.org}{sciences-physiques.neocities.org}
\vspace*{\stretch{1}}
\vspace*{\stretch{1}}
{\color{jauneOlive}\hrule width \hsize height .4pt \kern 3pt \hrule width \hsize height 1.6pt}
\vspace*{.7cm}
\begin{center}
\textbf{\fontsize{40}{54}\selectfont Physique Vol.~4\\[12pt]Tenseur Métrique}
\end{center}
\vspace*{.7cm}
{\color{jauneOlive}\hrule width \hsize height 1.6pt \kern 3pt \hrule width \hsize height .4pt}
\vspace*{1cm}
\begin{center}\bfseries\large
Olivier Castéra
\end{center}
\vspace*{\stretch{2}}
\begin{flushright}
Le \today
\end{flushright}
\end{titlepage}
\cleardoublepage
\pagenumbering{roman}% numérotation romaine explicite
\setcounter{page}{1}% force le compteur à 1
\setcounter{tocdepth}{2}% profondeur de la ToC
\setcounter{secnumdepth}{4}% profondeur de la numérotation des sous paragraphes
\tableofcontents% affiche la ToC
\cleardoublepage
\mainmatter% début de la numérotation en chiffres arabes 1,2,3,...
\pagestyle{fancy}

\chapter{Tenseur métrique}\index{Tenseur!métrique}
%\minitoc
\section{Définition}
L'expression analytique du produit scalaire de deux vecteurs fait apparaitre le produit scalaire de tous les vecteurs de base pris deux à deux,
$\vmatg{e}_{i}\cdot\vmatg{e}_{j}$.
Nous pouvons former une matrice carrée symétrique à partir de ces produits scalaires\index{Produit!scalaire!lien avec le tenseur métrique}.
\begin{defi}[Tenseur métrique]\label{TM:def:metrique}\index{Tenseur!métrique!definition@définition}
La matrice $\left[g_{ij}\right]$ définie par ses composantes $g_{ij}$ telles que
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\forall i,j\qquad g_{ij}\parDef \vmatg{e}_{i}\cdot\vmatg{e}_{j}
\end{empheq}
est appelée tenseur métrique ou tenseur fondamental, noté $\tm$.
\end{defi}
On retrouve les propriétés du produit scalaire.
On ajoute le fait que les composantes du tenseur métrique sont fonction des coordonnées lorsqu'elles ne sont pas rectilignes
puisque les vecteurs de base varient d'un point à l'autre
(donc dans les espaces pré-euclidiens en coordonnées curvilignes, et dans tous les espaces ayant une courbure intrinsèque).

Pour un espace donné, les composantes du tenseur métrique dépendent
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item du choix du système de coordonnées
\item puis du choix de la base dans ce système de coordonnées, principalement la~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item base tangente normée
\item base réciproque non normée de la base tangente normée
\item base naturelle
\item base réciproque de la base naturelle
\end{itemize}
\end{enumerate}

\begin{exem}[Métrique et tenseur métrique du plan euclidien]\index{Tenseur!métrique!du plan}\index{Metrique@Métrique!du plan}
La métrique de l'espace euclidien de dimension deux, c.-à-d. le plan euclidien aussi noté $\symbb{R}^{2}$, s'écrit~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item en coordonnées rectangulaires $(x,y)$~: $\dd s^{2}=\dd x^{2}+\dd y^{2}$\index{Metrique@Métrique!du plan!en coordonnées rectangulaires}
\item en coordonnées polaires $(\rho,\theta)$~: $\dd s^{2}=\dd \rho^{2}+\rho^{2}\dd \theta^{2}$\index{Metrique@Métrique!du plan!en coordonnées polaires}
\end{itemize}
En représentation matricielle et en notation li co, le tenseur métrique de l'espace vectoriel euclidien $\evn{E}{2}$ a pour expression~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item dans la base rectangulaire orthonormée $(\bng{i},\bng{j})$~:
\begin{align*}
\tm
\begin{bmatrix}
\bng{i}\cdot\bng{i} & 0\\
0 & \bng{j}\cdot\bng{j}
\end{bmatrix}
&=\tm
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}
\end{align*}
\item dans la base polaire orthonormée $(\vmatg{e}_\rho,\vmatg{e}_{\theta})$~:
\begin{align*}
\tm
\begin{bmatrix}
\vmatg{e}_\rho \cdot\vmatg{e}_\rho & 0\\
0 & \vmatg{e}_{\theta} \cdot\vmatg{e}_{\theta}
\end{bmatrix}
&=\tm
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}
\end{align*}
\item dans la base naturelle polaire $(\bng{e}_\rho,\bng{e}_{\theta})$ en coordonnées polaires $(\rho,\theta)$~:\index{Base!naturelle!polaire}
\begin{align*}
\tm
\begin{bmatrix}
\bng{e}_\rho \cdot\bng{e}_\rho & 0\\
0 & \bng{e}_{\theta} \cdot\bng{e}_{\theta}
\end{bmatrix}
&=\tm
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & \rho^{2}
\end{bmatrix}
\end{align*}
\item dans la base naturelle polaire $(\bng{e}_\rho,\bng{e}_{\theta})$ en coordonnées rectangulaires $(x,y)$~:
\begin{align*}
\tm
\begin{bmatrix}
\bng{e}_\rho \cdot\bng{e}_\rho & 0\\
0 & \bng{e}_{\theta} \cdot\bng{e}_{\theta}
\end{bmatrix}
&=\tm
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & x^{2}+y^{2}
\end{bmatrix}
\end{align*}
\end{itemize}
Dans la base naturelle d'un système de coordonnées, tenseur métrique et métrique dans le même système de coordonnées sont intimement liés.
\end{exem}

\begin{exem}[Tenseur métrique de l'espace euclidien en coordonnées sphériques]
Dans la base naturelle du système de coordonnées sphériques, le tenseur métrique de l'espace vectoriel euclidien $\evn{E}{3}$ a pour composantes en coordonnées sphériques~:
\begin{align*}
\tm
\begin{bmatrix}
\bng{e}_{r}\cdot\bng{e}_{r} & 0 & 0\\
0 & \bng{e}_{\theta} \cdot\bng{e}_{\theta} & 0\\
0 & 0 & \bng{e}_{\phi} \cdot\bng{e}_{\phi}
\end{bmatrix}
&=\tm
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & r^{2} & 0\\
0 & 0 & r^{2}\sin^{2}(\theta)
\end{bmatrix}
\end{align*}
La métrique de l'espace vectoriel euclidien $\evn{E}{3}$ en coordonnées sphériques s'écrit~:
\begin{equation*}
\dd s^{2}=\dd r^{2}+r^{2}\dd \theta+r^{2}\sin^{2}(\theta)\dd \phi^{2}
\end{equation*}
\end{exem}

\begin{exem}[Tenseur métrique et métrique d'une sphère]\index{Metrique@Métrique!d'une sphère}
À la surface d'une sphère de rayon $r$, plaçons-nous dans la base naturelle $(\bng{e}_{\theta},\bng{e}_{\phi})$
associée aux coordonnées sphériques $(\theta,\phi)$,
où $\theta$ est la colatitude et $\phi$ la longitude.
À partir de la métrique de la sphère, le tenseur métrique a pour composantes en coordonnées sphériques~:
\begin{align*}
\tm
\begin{bmatrix}
\bng{e}_{\theta} \cdot\bng{e}_{\theta} & \bng{e}_{\theta} \cdot\bng{e}_{\phi} \\
\bng{e}_{\phi} \cdot\bng{e}_{\theta} & \bng{e}_{\phi} \cdot\bng{e}_{\phi}
\end{bmatrix}
&=\tm
\begin{bmatrix}
r^{2} & 0\\
0 & r^{2}\sin^{2}(\theta)
\end{bmatrix}
\end{align*}
où $r$ est constant.
La métrique de l'espace courbe $\evn{E}{2}$ en coordonnées sphériques s'écrit~:
\begin{equation*}
\dd s^{2}=r^{2}\dd \theta+r^{2}\sin^{2}(\theta)\dd \phi^{2}
\end{equation*}
\end{exem}

\begin{exem}[Métrique de l'espace-temps]\index{Metrique@Métrique!de l'espace-temps}
La métrique de l'espace-temps en convention de genre temps est donnée dans le Vol.~5 Relativité restreinte.
Lorsque le $s^{2}$ est positif, nous sommes dans l'espace-temps de l'observateur,
dans son futur absolu ou dans son passé absolu.
Lorsque le $s^{2}$ est négatif, nous sommes en dehors de l'espace-temps de l'observateur.
Les évènements dont le $s^{2}$ avec l'évènement origine est négatif, \emph{n'existent pas} pour l'observateur à l'origine
(à ce moment précis et à cet endroit précis, ils existeront pour l'observateur plus tard, le temps que l'information arrive).
\end{exem}

Au \S~\ref{TM:tenseur m} \vpageref{TM:tenseur m} nous montrons que les composantes de la matrice $\tm$ se transforment de façon à rendre invariante
la distance entre deux points par changement de coordonnées, donc par changement de base.
Un tenseur est un objet mathématique qui a une existence propre indépendante du système de coordonnées dans lequel on le représente.
Toutes les matrices ne sont pas des tenseurs, tous les tenseurs à deux indices peuvent être représentés sous forme de matrices.
Nous verrons au \S~\ref{TM:sec_mat_fb} \vpageref{TM:sec_mat_fb} que la représentation matricielle des tenseurs à des limites
que n'a pas la notation indicielle.

\begin{exem}[Tenseur métrique associé aux coordonnées cartésiennes]
Soit $\left(\bng{e}_x,\bng{e}_y\right)$
la base d'un système de coordonnées cartésiennes de l'espace vectoriel euclidien $\evn{E}{2}$.
Le tenseur métrique a pour composantes~:
\begin{align*}
\tm
\begin{bmatrix}
\bng{e}_x\cdot\bng{e}_x & \bng{e}_x\cdot\bng{e}_y\\
\bng{e}_x\cdot\bng{e}_y & \bng{e}_y\cdot\bng{e}_y
\end{bmatrix}
&=\tm
\begin{bmatrix}
\bng{e}_x^{2} & \|\bng{e}_x\|\|\bng{e}_y\|\cos(\bng{e}_x,\bng{e}_y)\\
\|\bng{e}_x\|\|\bng{e}_y\|\cos(\bng{e}_x,\bng{e}_y) & \bng{e}_y^{2}
\end{bmatrix}
\end{align*}
\end{exem}
La symétrie du produit scalaire\index{Produit!scalaire!symétrie} implique la symétrie des $g_{ij}$ quelle que soit la base~:
\begin{align*}
\forall i,j\qquad \vmatg{e}_{i}\cdot\vmatg{e}_{j}&=\vmatg{e}_{j}\cdot\vmatg{e}_{i}\\
g_{ij}&=g_{ji}
\end{align*}

Grâce au tenseur métrique le produit scalaire\index{Produit!scalaire!notation avec le tenseur métrique} s'écrit~:
\begin{equation}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=g_{ij}u^{i}v^{j}\label{TM:ps_tens_met}
\end{equation}

En utilisant la non dégénérescence ($\forall \vmatg{v},\ \vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=0\Rightarrow\vmatg{u}=\vmatg{0}$) du produit scalaire\index{Produit!scalaire!non dégénéré}~:
\begin{align*}
&\text{Si}\ \forall \vmatg{v},\ \vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=0,\ \text{alors}\ \vmatg{u}=\vmatg{0}\\
\quad \Leftrightarrow \quad &\text{Si}\ \forall v^{j},\quad g_{ij}u^{i}v^{j}=0,\ \text{alors}\ u^{i}=0\\
\Rightarrow \quad &\text{Si}\ \forall j,\quad g_{ij}u^{i}=0,\ \text{alors}\ u^{i}=0
\end{align*}
\begin{equation*}
\Rightarrow \quad \text{Si}\quad
\begin{dcases}
g_{11}u^{1}+g_{21}u^{2}+\cdots+g_{n1}u^n=0\\
g_{12}u^{1}+g_{22}u^{2}+\cdots+g_{n2}u^n=0\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
g_{1n}u^{1}+g_{n2}u^{2}+\cdots+g_{nn}u^n=0
\end{dcases}
\quad \text{alors }u^{1}=u^{2}=\cdots=u^n=0
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow \quad \text{Si}\quad
\begin{bmatrix}
g_{11} & g_{21} &\cdots &g_{n1}\\
g_{12} & g_{22} &\cdots &g_{n2}\\
\vdots &\vdots  &\cdots &\vdots\\
g_{1n} & g_{n2} &\cdots &g_{nn}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}\\
\vdots\\
u^n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}
\quad \text{alors}\quad
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}\\
\vdots\\
u^n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
La condition nécessaire et suffisante pour que $g_{ij}u^{i}v^{j}$ soit non dégé\-né\-rée
est que le déterminant de la matrice carrée $\tm$ soit non nul~:
\begin{equation}
g\neq0\label{TM:det non nul}
\end{equation}

\section{Tenseur métrique et composantes}
En utilisant les définitions des composantes covariantes et contravariantes~:
\begin{align*}
\forall j\qquad u_{j}&=\vmatg{u}\cdot\vmatg{e}_{j}\\
&=\sum_{i} (u^{i}\vmatg{e}_{i})\cdot\vmatg{e}_{j}\\
&=\sum_{i} u^{i}(\vmatg{e}_{i}\cdot\vmatg{e}_{j})\\
&=\sum_{i} g_{ij}u^{i}
\end{align*}
Les $g_{ij}$ permettent de passer des composantes contravariantes aux composantes covariantes,
autrement dit d'abaisser les indices~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}\label{TM:passage_contrav_cov}
\forall j\qquad u_{j}=g_{ij}u^{i}
\end{empheq}

Ces relations sont des relations entre composantes. Si $i$ et $j$ varient de $1$ à $3$,
l'écriture indicielle condense trois relations, comme le ferait une écriture vectorielle.
Nous retiendrons que le tenseur métrique prend en entrée un vecteur écrit en composantes contravariantes, et donne en sortie le même vecteur écrit en composantes
covariantes. Il permet de changer la variance d'un vecteur.

\begin{exem}[Tenseur métrique et composantes]
Soit $\vmatg{u}$ un vecteur d'un espace vectoriel euclidien~$\evn{E}{2}$.
Pour la pre\-mi\-ère composante covariante,
\begin{align*}
u_{1}&=\vmatg{u}\cdot\vmatg{e}_{1}\\
&=(u^{1}\vmatg{e}_{1}+u^{2}\vmatg{e}_{2})\cdot\vmatg{e}_{1}\\
&=u^{1}(\vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}_{1})+u^{2}(\vmatg{e}_{2}\cdot\vmatg{e}_{1})\\
&=g_{11}\,u^{1}+g_{21}\,u^{2}
\end{align*}
et pour la seconde composante covariante~:
\begin{align*}
u_{2}&=\vmatg{u}\cdot\vmatg{e}_{2}\\
&=(u^{1}\vmatg{e}_{1}+u^{2}\vmatg{e}_{2})\cdot\vmatg{e}_{2}\\
&=u^{1}(\vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}_{2})+u^{2}(\vmatg{e}_{2}\cdot\vmatg{e}_{2})\\
&=g_{12}\,u^{1}+g_{22}\,u^{2}
\end{align*}
En écriture matricielle nous avons le système~:
\begin{equation}\label{TM:tm_et_mc}
\begin{dcases}
g_{11}\,u^{1}+g_{21}\,u^{2}=u_{1}\\
g_{12}\,u^{1}+g_{22}\,u^{2}=u_{2}
\end{dcases}
\qquad \Leftrightarrow \qquad
\begin{bmatrix}
g_{11} & g_{21}\\
g_{12} & g_{22}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
u_{1}\\
u_{2}
\end{pmatrix}
\end{equation}
\end{exem}

\section{Les différentes notations du produit scalaire}\index{Produit!scalaire!les différentes notations}
Avec le tenseur métrique le produit scalaire s'écrit, d'après la relation \eqref{TM:ps_tens_met} \vpageref{TM:ps_tens_met}~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=g_{ij}u^{i}v^{j}
\end{empheq}

\begin{ntn}
On trouve aussi la notation
\begin{equation*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}\parDef g(\vmatg{u},\vmatg{v})
\end{equation*}
qui montre explicitement que le tenseur métrique prend en entrée deux vecteurs et donne en sortie un scalaire.
\end{ntn}
En utilisant \eqref{TM:passage_contrav_cov} \vpageref{TM:passage_contrav_cov} et par symétrie du produit scalaire\index{Produit!scalaire!symétrie}~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}&=u_{j}v^{j}\label{TM:produit scalaire uv}\\
&=u^{j}v_{j}\notag
\end{empheq}
Le tenseur métrique n'apparait plus dans l'expression du produit scalaire et
tous les termes sont précédés d'un signe positif,
\begin{equation*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=u_{1}v^{1}+u_{2}v^{2}+\dots u_nv^n
\end{equation*}
mais chaque terme est algébrique, c.-à-d. positif, négatif ou nul.

\begin{exem}[Vecteurs orthonormés]
Dans le champ de bases naturelles polaires $(\bng{e}_\rho,\bng{e}_{\theta})$ de l'espace vectoriel euclidien $\evn{E}{2}$,
montrons que les champs de vecteurs $\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$ donnés en composantes contravariantes
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{u}=\tfrac{3}{5}\,\bng{e}_\rho+\tfrac{4}{5\rho}\,\bng{e}_{\theta}\\
\vmatg{v}=\tfrac{-4}{5}\,\bng{e}_\rho+\tfrac{3}{5\rho}\,\bng{e}_{\theta}
\end{dcases}
\qquad \Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
\vmatg{u}
\begin{pmatrix}
\nicefrac{3}{5}\\
\nicefrac{4}{5\rho}
\end{pmatrix}\\
\vmatg{v}
\begin{pmatrix}
\nicefrac{-4}{5}\\
\nicefrac{3}{5\rho}
\end{pmatrix}
\end{dcases}
\end{equation*}
sont normés et orthogonaux.
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item la base naturelle polaire est orthogonale non normée~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{u}
=\left(\tfrac{3}{5}\,\bng{e}_\rho+\tfrac{4}{5\rho}\,\bng{e}_{\theta}\right)\cdot\left(\tfrac{3}{5}\,\bng{e}_\rho+\tfrac{4}{5\rho}\,\bng{e}_{\theta}\right)\\
\vmatg{v}\cdot\vmatg{v}
=\left(\tfrac{-4}{5}\,\bng{e}_\rho+\tfrac{3}{5\rho}\,\bng{e}_{\theta}\right)\cdot\left(\tfrac{-4}{5}\,\bng{e}_\rho+\tfrac{3}{5\rho}\,\bng{e}_{\theta}\right)
\end{dcases}
\ \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\|\vmatg{u}\|^{2}=\tfrac{9}{25}\,\bng{e}_\rho\cdot\bng{e}_\rho+\tfrac{16}{25\rho^{2}}\,\bng{e}_{\theta}\cdot\bng{e}_{\theta}\\
\|\vmatg{v}\|^{2}=\tfrac{16}{25}\,\bng{e}_\rho\cdot\bng{e}_\rho+\tfrac{9}{25\rho^{2}}\,\bng{e}_{\theta}\cdot\bng{e}_{\theta}
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\|\vmatg{u}\|^{2}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25\rho^{2}}\,\rho^{2}\\
\|\vmatg{v}\|^{2}=\frac{16}{25}+\frac{9}{25\rho^{2}}\,\rho^{2}
\end{dcases}
\qquad \Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
\|\vmatg{u}\|=1\\
\|\vmatg{v}\|=1
\end{dcases}
\end{equation*}
Effectuons le produit scalaire~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}&=\left(\tfrac{3}{5}\,\bng{e}_\rho+\tfrac{4}{5\rho}\,\bng{e}_{\theta}\right)\cdot\left(\tfrac{-4}{5}\,\bng{e}_\rho
+\tfrac{3}{5\rho}\,\bng{e}_{\theta}\right)\\
&=-\frac{12}{25}+\frac{12}{25\rho^{2}}\,\rho^{2}\\
&=0
\end{align*}

\item en passant dans la base rectangulaire~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{u}=\tfrac{3}{5}\,[\cos(\theta)\bng{i}+\sin(\theta)\bng{j}]+\tfrac{4}{5\rho}\,[-\rho\sin(\theta)\bng{i}+\cos(\theta)\bng{j}]\\
\vmatg{v}=\tfrac{-4}{5}\,[\cos(\theta)\bng{i}+\sin(\theta)\bng{j}]+\tfrac{3}{5\rho}\,[-\rho\sin(\theta)\bng{i}+\cos(\theta)\bng{j}]
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{u}(\theta)=\tfrac{1}{5}\,[3\cos(\theta)-4\sin(\theta)]\bng{i}+\tfrac{1}{5}\,[3\sin(\theta)+4\cos(\theta)]\bng{j}\\
\vmatg{v}(\theta)=\tfrac{1}{5}\,[-4\cos(\theta)-3\sin(\theta)]\bng{i}+\tfrac{1}{5}\,[-4\sin(\theta)+3\cos(\theta)]\bng{j}
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\|\vmatg{u}\|^{2}=\tfrac{1}{25}\left(9\cos^{2}\theta\!+\!16\sin^{2}\theta\!-\!24\cos\theta\sin\theta\!+\!9\sin^{2}\theta\!+\!16\cos^{2}\theta\!+\!24\cos\theta\sin\theta\right)\\
\|\vmatg{v}\|^{2}=\tfrac{1}{25}\left(16\cos^{2}\theta\!+\!9\sin^{2}\theta\!+\!24\cos\theta\sin\theta\!+\!16\sin^{2}\theta\!+\!9\cos^{2}\theta\!-\!24\cos\theta\sin\theta\right)
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\|\vmatg{u}\|^{2}=\tfrac{1}{25}\,(9+16)\\
\|\vmatg{v}\|^{2}=\tfrac{1}{25}\,(19+9)
\end{dcases}
\qquad \Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
\|\vmatg{u}\|=1\\
\|\vmatg{v}\|=1
\end{dcases}
\end{equation*}
Effectuons le produit scalaire~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}&=\tfrac{1}{25}\left(-12\cos^{2}\theta+12\sin^{2}\theta+7\cos\theta\sin\theta\right.\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\left.-12\sin^{2}\theta+12\cos^{2}\theta-7\cos\theta\sin\theta\right)\\
&=0
\end{align*}

\item en notation matricielle avec $\transp{\vmatg{u}}A\vmatg{u}=a_{ij}u^{i}u^{j}$~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\|\vmatg{u}\|^{2}=g_{ij}u^{i}u^{j}\\
\|\vmatg{v}\|^{2}=g_{ij}v^{i}v^{j}
\end{dcases}
\qquad \Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
\|\vmatg{u}\|^{2}=
\begin{pmatrix}
\nicefrac{3}{5} & \nicefrac{4}{5\rho}
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & \rho^{2}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\nicefrac{3}{5}\\
\nicefrac{4}{5\rho}
\end{pmatrix}\\
\|\vmatg{v}\|^{2}=
\begin{pmatrix}
\nicefrac{-4}{5} & \nicefrac{3}{5\rho}
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & \rho^{2}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\nicefrac{-4}{5}\\
\nicefrac{3}{5\rho}
\end{pmatrix}
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\|\vmatg{u}\|^{2}=
\begin{pmatrix}
\nicefrac{3}{5} & \nicefrac{4}{5\rho}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\nicefrac{3}{5}\\
\nicefrac{4\rho}{5}
\end{pmatrix}\\
\|\vmatg{v}\|^{2}=
\begin{pmatrix}
\nicefrac{-4}{5} & \nicefrac{3}{5\rho}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\nicefrac{-4}{5}\\
\nicefrac{3\rho}{5}
\end{pmatrix}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\|\vmatg{u}\|^{2}=\frac{9}{25}+\frac{16\rho}{25\rho}\\
\|\vmatg{v}\|^{2}=\frac{16}{25}+\frac{9\rho}{25\rho}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\|\vmatg{u}\|=1\\
\|\vmatg{v}\|=1
\end{dcases}
\end{equation*}
Effectuons le produit scalaire~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}&=g_{ij}u^{i}v^{j}\\
&=
\begin{pmatrix}
\nicefrac{3}{5} & \nicefrac{4}{5\rho}
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & \rho^{2}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\nicefrac{-4}{5}\\
\nicefrac{3}{5\rho}
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\nicefrac{3}{5} & \nicefrac{4}{5\rho}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\nicefrac{-4}{5}\\
\nicefrac{3\rho}{5}
\end{pmatrix}\\
&=-\frac{12}{25}+\frac{12\rho}{25\rho}\\
&=0
\end{align*}
\end{itemize}
\end{exem}

\section{Notation matricielle des covecteurs}\index{Covecteur!notation matricielle}
Nous pouvons écrire le produit scalaire\index{Produit!scalaire!multiplication matricielle} sous forme de multiplication matricielle~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
u_{1} & u_{2} & \dots & u_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
v^{1}\\
v^{2}\\
\vdots\\
v^n
\end{pmatrix}
=u_{1}v^{1}+u_{2}v^{2}+\dots+u_nv^n
\end{align*}
et donc représenter les covecteurs par des matrices lignes.
La symétrie du produit scalaire devient~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
u_{1} & u_{2} & \dots & u_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
v^{1}\\
v^{2}\\
\vdots\\
v^n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
v_1 & v_2 & \dots & v_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}\\
\vdots\\
u^n
\end{pmatrix}
\end{align*}
En revanche, l'écriture matricielle de l'égalité \ref{TM:tm_et_mc} \vpageref{TM:tm_et_mc} n'est plus possible
car on aurait
\begin{equation}\label{TM:pb_ecriture}
\begin{bmatrix}
g_{11} & g_{21}\\
g_{12} & g_{22}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
u_{1} & u_{2}
\end{pmatrix}
\end{equation}
qui ne respecte pas la notation que l'on a choisi pour la multiplication matricielle.
Au chapitre \ref{TM:formes_bi} \vpageref{TM:formes_bi} nous changeons de notation matricielle pour le tenseur métrique.
\begin{rmq}
Un covecteur n'est pas la transposée d'un vecteur car leurs composantes ne se transforment pas de la même façon
par changement de base~:
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
u_{1} & u_{2}
\end{pmatrix}
\neq
\begin{pmatrix}
u^{1} & u^{2}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\end{rmq}

\section{Tenseur métrique dual}
Cherchons l'expression des composantes contravariantes d'un vecteur en fonction de ses composantes covariantes.
Nous devons résoudre (inverser) le système des $n$ équations linéaires à $n$ inconnues $u^{j}$ \eqref{TM:passage_contrav_cov} \vpageref{TM:passage_contrav_cov}~:
\begin{equation*}
\forall i\qquad g_{ij}u^{j}=u_{i}
\end{equation*}
D'après \eqref{TM:det non nul} \vpageref{TM:det non nul} le déterminant $g$ de la matrice $\tm$ est non nul,
par suite le système admet une solution unique.
La méthode de résolution de Cramer donne alors~:
\begin{equation*}
\forall j\qquad u^{j}=\sum_{i}\frac{\symup{C}_{ij}(\tm)}{g}\,u_{i}
\end{equation*}
En posant,
\begin{equation}
\forall i,j\qquad g^{ji}\parDef \frac{\symup{C}_{ij}(\tm)}{g}\label{TM:cof}
\end{equation}
nous obtenons les relations cherchées~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}\label{TM:passage_cov_contrav}
\forall j\qquad u^{j}=g^{ji}u_{i}
\end{empheq}
où les $g^{ij}$ sont les éléments de la matrice inverse de la matrice $\tm$,
appelé tenseur \emph{dual} ou tenseur \emph{conjugué} du tenseur métrique.
Il permet de passer des composantes covariantes aux composantes contravariantes,
autrement dit d'élever les indices.
La notation avec deux indices supérieurs sera justifiée au \S~\ref{TM:tenseur m} \vpageref{TM:tenseur m}.


$\tm$ étant symétrique, il en est de même de $[g^{ij}]$.
De plus les déterminants de matrices inverses sont inverses l'un de l'autre~:
\begin{align*}
GG^{-1}&=I\\
\det\left(GG^{-1}\right)&=\det I\\
\det G\times\det G^{-1}&=1\\
\det[g^{ji}]&=\frac{1}{g}
\end{align*}
Les relations \eqref{TM:passage_contrav_cov} \vpageref{TM:passage_contrav_cov} et
\eqref{TM:passage_cov_contrav} \vpageref{TM:passage_cov_contrav} nous donnent~:
\begin{align*}
\forall k\qquad &u_{k}=g_{kj}u^{j}\\
\forall i\qquad &g^{ik}u_{k}=g^{ik}g_{kj}u^{j}\\
&u^{i}=g^{ik}g_{kj}u^{j}
\end{align*}
Par conséquent
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}
&\forall i,j\qquad g^{ik}g_{kj}=\delta^{i}_{j}\label{TM:inv_tens_metr}
\end{empheq}
qui exprime en notation indicielle que les matrices sont inverses l'une de l'autre.
\begin{rmq}
Concernant la notation des indices~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
g^{ik}g_{kj}=\ContraCov{\delta}{i}{j}\\
g_{kj}g^{ik}=\CovContra{\delta}{j}{i}
\end{dcases}
\qquad \Rightarrow \qquad
\ContraCov{\delta}{i}{j}=\CovContra{\delta}{j}{i}=\delta^{i}_{j}
\end{equation*}
\end{rmq}

Pour un espace à $n$ dimensions~:
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^ng^{ik}g_{ki}=\sum_{i=1}^n\delta^{i}_{i}
\end{equation*}
Avec la convention de sommation\index{Convention!de sommation sur les indices répétés} sur les indices répétés~:
\begin{align*}
g^{ik}g_{ki}&=\delta^{i}_{i}\\
&=\delta^{1}_1+\delta^{2}_2+\dots+\delta^n_n\\
&=n
\end{align*}
Notez que $\delta_{ii}=1$ d'après la définition du symbole de kronecker.

\begin{exem}[Tenseur métrique dual dans la base naturelle polaire]
Dans la base naturelle polaire de l'espace vectoriel euclidien $\evn{E}{2}$, le tenseur métrique a pour composantes~:
\begin{align*}
\tm
\begin{bmatrix}
\bng{e}_\rho \cdot\bng{e}_\rho & \bng{e}_\rho \cdot\bng{e}_{\theta}\\
\bng{e}_{\theta} \cdot\bng{e}_\rho & \bng{e}_{\theta} \cdot\bng{e}_{\theta}
\end{bmatrix}
&=\tm
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & \rho^{2}
\end{bmatrix}
\end{align*}
Les éléments du tenseur métrique sont fonction des coordonnées, par exemple ici
$g_{\theta \theta}=\rho^{2}$. On les appelle des \emph{fonctions métriques}.
Le déterminant du tenseur métrique polaire vaut~:
\begin{align*}
g&=1\times\rho^{2}-0\times0\\
&=\rho^{2}
\end{align*}

Le dual du tenseur métrique dans la base naturelle polaire a pour composantes~:
\begin{align}
\left[g^{ij}\right]&=\frac{1}{\rho^{2}}
\begin{bmatrix}\notag
\rho^{2} & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}\label{TM:imcpbn}
1 & 0\\
0 & 1/\rho^{2}
\end{bmatrix}
\end{align}
\end{exem}

\begin{exem}[Tenseur métrique dual à la surface d'une sphère]
À la surface d'une sphère de rayon $r$ le tenseur métrique a pour composantes en coordonnées sphériques~:
\begin{align*}
\tm
\begin{bmatrix}
r^{2} & 0\\
0 & r^{2}\sin^{2}(\theta)
\end{bmatrix}
\end{align*}
Le déterminant du tenseur métrique vaut~:
\begin{equation*}
g=r^{4}\sin^{2}(\theta)
\end{equation*}
Le dual du tenseur métrique s'écrit~:
\begin{align*}
\left[g^{ij}\right]&=\frac{1}{r^{4}\sin^{2}(\theta)}
\begin{bmatrix}
r^{2}\sin^{2}(\theta) & 0\\
0 & r^{2}
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
1/r^{2} & 0\\
0 & 1/\left[r^{2}\sin^{2}(\theta)\right]
\end{bmatrix}
\end{align*}
\end{exem}

\section{Différentielle du déterminant du tenseur métrique}
La différentielle du déterminant du tenseur métrique s'écrit (Cf.~Vol.~1 Notion d'espace)~:
\begin{equation*}
\dd g=\sum_{i}\sum_{j}\dd g_{ij}\ \symup{C}_{ij}(\tm)
\end{equation*}
\eqref{TM:cof} \vpageref{TM:cof} donne l'expression du cofacteur~:
\begin{align*}
\dd g&=gg^{ij}\dd g_{ij}\\
\partial_{k}g\dd x^{k}&=gg^{ij}\partial_{k}g_{ij}\dd x^{k}\notag\\
\partial_{k}g&=gg^{ij}\partial_{k}g_{ij}
\end{align*}

\section{Tenseur métrique et norme}

Le carré de la norme d'un vecteur (Cf.~Vol.~1 Notion d'espace) peut s'écrire grâce au tenseur métrique.
\begin{defi}[Norme d'un vecteur]\label{TM:def:nv}\index{Norme!d'un vecteur}
Le carré de la norme d'un vecteur a pour expression
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\|\vmatg{u}\|^{2}=g_{ij}u^{i}u^{j}
\end{empheq}
\end{defi}

Nous avons également~:
\begin{align*}
\|\vmatg{u}\|^{2}&=g^{ij}u_{i}u_{j}\\
&=u_{i}u^{i}
\end{align*}


\section{Tenseur métrique et bases}
\subsection{Base orthonormée}
\begin{defi}[Base orthogonale]\index{Base!orthogonale}
Une base $\left(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2},\dots,\vmatg{e}_n\right)$
d'un espace vectoriel euclidien $\evn{E}{n}$
est or\-tho\-go\-na\-le ssi ses vecteurs sont or\-tho\-go\-naux deux à deux~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\forall i\neq j,\ \vmatg{e}_{i}\cdot\vmatg{e}_{j}&=0\\
\forall i\neq j,\ g_{ij}&=0
\end{empheq}
\end{defi}
$\tm$ est donc diagonale.
L'inverse d'une matrice diagonale étant diagonale~:
\begin{equation*}
\forall i\neq k,\ g^{ik}=0
\end{equation*}
Les relations \eqref{TM:inv_tens_metr} \vpageref{TM:inv_tens_metr} pour $i=j$ deviennent~:
\begin{equation*}
\forall i=1,\dots,n\qquad g_{ik}g^{ki}=1\quad \text{sans sommer sur }i
\end{equation*}
Les termes non diagonaux étant nuls, $i=k$~:
\begin{equation*}
\forall i=1,\dots,n\qquad g_{ii}g^{ii}=1\quad \text{sans sommer sur }i
\end{equation*}
soit, dans toute base orthogonale~:
\begin{equation}
g_{11}=\frac{1}{g^{11}}\ ,\ g_{22}=\frac{1}{g^{22}}\ ,\ \dots\ ,\ g_{nn}=\frac{1}{g^{nn}}\label{TM:gii}
\end{equation}
\begin{defi}[Base orthonormée]\label{TM:def:base_orthonormee}\index{Base!orthonormée}
$(\vmatg{e}_{i})$ est une base orthonormée d'un espace vectoriel euclidien
ssi ses vecteurs sont normés et or\-tho\-go\-naux deux à deux~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\forall i,j\qquad \vmatg{e}_{i}\cdot\vmatg{e}_{j}&=\delta_{ij}\\
g_{ij}&=\delta_{ij}
\end{empheq}
\end{defi}
Dans toute base orthonormée d'un espace vectoriel euclidien,
les composantes covariantes et contravariantes sont confondues.
En effet, en partant des relations \eqref{TM:passage_contrav_cov} \vpageref{TM:passage_contrav_cov}
et avec la déf.~\ref{TM:def:base_orthonormee} ci-dessus~:
\begin{align*}
\forall i\qquad u_{i}&=g_{ij}u^{j}\\
&=\delta_{ij}u^{j}\\
&=u^{i}
\end{align*}
Il est souvent avantageux de se placer dans une base orthonormée.
\begin{theo}[Théorème de Gram-Schmidt]\label{TM:th:GS}\index{Theoreme@Théorème!d'orthonormalisation de Gram-Schmidt}
Tout espace vectoriel pré-euclidien admet des bases orthonormées.
\end{theo}
La démonstration est donnée en annexe \ref{TM:demo_GS} \vpageref{TM:demo_GS}.

\begin{exem}[Tenseur métrique dans une base orthonormée]
Dans l'espace vectoriel euclidien $\evn{E}{3}$ de la physique newtonienne,
plaçons-nous dans la base orthonormée $\left(\bng{i},\bng{j},\bng{k}\right)$.
Le tenseur métrique a pour composantes~:
\begin{align*}\tm
\begin{bmatrix}
\bng{i}\cdot\bng{i} & \bng{i}\cdot\bng{j} & \bng{i}\cdot\bng{k}\\
\bng{j}\cdot\bng{i} & \bng{j}\cdot\bng{j} & \bng{j}\cdot\bng{k}\\
\bng{k}\cdot\bng{i} & \bng{k}\cdot\bng{j} & \bng{k}\cdot\bng{k}
\end{bmatrix}
&=\tm
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{align*}
\end{exem}

\begin{exem}[Tenseur métrique dans une base pseudo-orthonormée]
Plaçons-nous dans l'une des deux bases \emph{canoniques}, c.-à-d. les plus simples,
$\left(\vmatg{e}_0,\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2},\vmatg{e}_{3}\right)$ de l'espace-temps de la relativité restreinte~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}_0(1,0,0,0)\\
\vmatg{e}_{1}(0,i,0,0)\\
\vmatg{e}_{2}(0,0,i,0)\\
\vmatg{e}_{3}(0,0,0,i)
\end{dcases}
\qquad ou\qquad
\begin{dcases}
\vmatg{e}_0(i,0,0,0)\\
\vmatg{e}_{1}(0,1,0,0)\\
\vmatg{e}_{2}(0,0,1,0)\\
\vmatg{e}_{3}(0,0,0,1)
\end{dcases}
\end{equation*}
où $i$ est le nombre imaginaire tel que $i^{2}=-1$.
Dans la première base canonique, de convention de genre temps, le tenseur métrique a pour composantes~:
\begin{align*}\eta
\begin{bmatrix}
\vmatg{e}_0\cdot\vmatg{e}_0 & \vmatg{e}_0\cdot\vmatg{e}_{1} & \vmatg{e}_0\cdot\vmatg{e}_{2} &
\vmatg{e}_0\cdot\vmatg{e}_{3}\\
\vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}_0 & \vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}_{1} & \vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}_{2} &
\vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}_{3}\\
\vmatg{e}_{2}\cdot\vmatg{e}_0 & \vmatg{e}_{2}\cdot\vmatg{e}_{1} & \vmatg{e}_{2}\cdot\vmatg{e}_{2} &
\vmatg{e}_{2}\cdot\vmatg{e}_{3}\\
\vmatg{e}_{3}\cdot\vmatg{e}_0 & \vmatg{e}_{3}\cdot\vmatg{e}_{1} & \vmatg{e}_{3}\cdot\vmatg{e}_{2} &
\vmatg{e}_{3}\cdot\vmatg{e}_{3}
\end{bmatrix}
&=\eta
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{bmatrix}
\end{align*}
L'espace-temps de la relativité restreinte est pseudo-eu\-cli\-dien
(en coordonnées rectangulaires son tenseur métrique est diagonal et ses composantes valent $\pm1$).
Sa base canonique est pseudo-orthonormale.
Calculons le tenseur dual du tenseur métrique en inversant sa matrice représentative~:
\begin{align}\label{TM:ex_relativite}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{bmatrix}^{-1}=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{bmatrix}
\end{align}
Le tenseur métrique de l'espace-temps de la relativité restreinte est égal à son dual.
\end{exem}

\subsection{Base orthogonale non normée}\label{TM:bonn}

Dans une base orthogonale non normée, les composantes covariantes et contravariantes ne sont pas confondues.
Soit $\left(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2}\right)$ une base orthogonale non normée d'un espace vectoriel euclidien $\evn{E}{2}$,
telle que $\|\vmatg{e}_{1}\|=3$ et $\|\vmatg{e}_{2}\|=1$ (Fig.~\ref{TM:fig_bonn}).

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-1.5,-1)(13,4)
%\psgrid (-1.5,-1)(8,4)
\psline(0,0)(0,3.5)
\psline(0,0)(12.5,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline{->}(0,0)(3,0)
\psline{->}(0,0)(4,2)
\psline[linestyle=dashed](4,2)(4,0)
\psline[linestyle=dashed](4,2)(0,2)
\rput(1.333,0){$+$}
\rput(12,0){$+$}
%Lettres
\rput(1.7,1.2){$\vmatg{u}$}
\rput(3,-.3){$\vmatg{e}_{1}$}
\rput(-.4,.9){$\vmatg{e}_{2}$}
\rput(-.2,-0.2){$O$}
\rput(12,-.3){$u_{1}$}
\rput(1.333,-.4){$u^{1}$}
\rput(-.8,2.1){$u_{2}=u^{2}$}
\end{pspicture}
\caption{Base orthogonale non normée}
\label{TM:fig_bonn}
\end{figure}

Pour avoir,
\begin{equation*}
\vmatg{u}=u^{1}\vmatg{e}_{1}+u^{2}\vmatg{e}_{2}
\end{equation*}
la composante contravariante $u^{1}$ est divisée par $3$ pour compenser la multiplication
par $3$ de la norme du vecteur de base $\vmatg{e}_{1}$.
Elle varie contrairement (contra-variante) à la norme de son vecteur de base $\vmatg{e}_{1}$.


La composante covariante $u_{1}$, telle que
\begin{equation*}
u_{1}=\vmatg{u}\cdot\vmatg{e}_{1}
\end{equation*}
est multipliée par $3$ en même temps que le vecteur de base $\vmatg{e}_{1}$.
Elle varie comme (co-variante) la norme de son vecteur de base $\vmatg{e}_{1}$.


Bien que la base soit orthogonale $\vmatg{u}\neq u_{1}\vmatg{e}_{1}+u_{2}\vmatg{e}_{2}$,
car lors d'un changement de base la composante covariante $u_{1}$ et le vecteur de base $\vmatg{e}_{1}$
sont multipliés dans le même rapport, ne laissant pas invariant $u_{1}\vmatg{e}_{1}+u_{2}\vmatg{e}_{2}$.
En utilisant \eqref{TM:passage_contrav_cov} \vpageref{TM:passage_contrav_cov} nous avons~:
\begin{align*}
u_{1}&=g_{11}u^{1}\\
&=(\vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}_{1})\,u^{1}\\
&=\|\vmatg{e}_{1}\|^{2} u^{1}\\
&=9u^{1}
\end{align*}
La composante $g_{11}=\vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}_{1}$, et de façon générale toutes les composantes $g_{ij}$, est
covariante au carré puisqu'elle varie comme $\|\vmatg{e}_{1}\|^{2}$.
Nous la dirons deux fois covariante.
\begin{rmq}
Par abus de langage, nous dirons par exemple qu'un \enquote{tenseur est deux fois covariant} alors que ce sont
ses composantes qui le sont.
\end{rmq}
L'écriture en composantes deux fois covariantes du tenseur métrique permet l'invariance du produit scalaire\index{Produit!scalaire!invariance} par changement de base,
de deux vecteurs écrits en composantes contravariantes.

Pour la seconde composante~:
\begin{align*}
u_{2}&=g_{22}u^{2}\\
&=(\vmatg{e}_{2}\cdot\vmatg{e}_{2})\,u^{2}\\
&=\|\vmatg{e}_{2}\|^{2} u^{2}\\
&=u^{2}
\end{align*}
Le tenseur métrique s'écrit~:
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
\vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}_{1} & \vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}_{2}\\
\vmatg{e}_{2}\cdot\vmatg{e}_{1} & \vmatg{e}_{2}\cdot\vmatg{e}_{2}
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
9 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}
\end{align*}
\subsection{Base oblique normée}

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-3,-1)(7,5.5)
%\psgrid (-3,-1)(7,5.5)
\psline(0,0)(6;70)
\psline(0,0)(7;0)
\psline{->}(0,0)(1;70)
\psline{->}(0,0)(1;0)
\psline[linestyle=dotted](6;30)(3.193;70)
\psline[linestyle=dotted](6;30)(4.104;0)
\psline[linestyle=dotted](6;30)(5.196;0)
\psline[linestyle=dotted](6;30)(4.596;70)
\psarc[linestyle=dotted]{<->}(0,0){2}{0}{70}
\psline{->}(0,0)(6;30)
%Lettres
\rput(6.4;30){$\vmatg{u}$}
\rput(0,1){$\vmatg{e}_{2}$}
\rput(1.4,-.3){$\vmatg{e}_{1}$}
\rput(-.3,.1){$O$}
\rput(4.05,-.3){$u^{1}$}
\rput(.9,3.3){$u^{2}$}
\rput(5.4,-.3){$u_{1}$}
\rput(4.6;74){$u_{2}$}
\rput(2.3;37){$\alpha$}
\end{pspicture}
\caption{Base oblique normée}
\end{figure}

Le tenseur métrique s'écrit~:
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
\vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}_{1} & \vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}_{2}\\
\vmatg{e}_{2}\cdot\vmatg{e}_{1} & \vmatg{e}_{2}\cdot\vmatg{e}_{2}
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
1 & \cos(\alpha)\\
\cos(\alpha) & 1
\end{bmatrix}
\end{align*}
Son déterminant vaut
\begin{align*}
g&=1-\cos^{2}(\alpha)\\
&=\sin^{2}(\alpha)
\end{align*}
et son inverse s'écrit~:
\begin{align*}
\left[g^{ij}\right]&=\frac{1}{\sin^{2}(\alpha)}
\begin{bmatrix}
1 & -\cos(\alpha)\\
-\cos(\alpha) & 1
\end{bmatrix}
\end{align*}

Pour les bases obliques non normées, prenons un exemple~:

\begin{exem}[Tenseur métrique et son dual dans une base oblique non normée]
Soit $\{\vmatg{e}_{1}(2,0),\vmatg{e}_{2}(-1,3)\}$ une base de l'espace vectoriel euclidien $\evn{E}{2}$.
Le tenseur métrique s'écrit~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
g_{11}=\vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}_{1}\\
g_{12}=\vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}_{2}\\
g_{21}=\vmatg{e}_{2}\cdot\vmatg{e}_{1}\\
g_{22}=\vmatg{e}_{2}\cdot\vmatg{e}_{2}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
g_{11}=4\\
g_{12}=-2\\
g_{21}=-2\\
g_{22}=10
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\tm
\begin{bmatrix}
4 & -2\\
-2 & 10
\end{bmatrix}
\end{equation*}
Cette base est oblique (termes rectangles) et non normée.
Déterminons les composantes du tenseur dual du tenseur métrique, $[g^{ij}]$.
L'inverse d'une matrice vaut un sur le déterminant fois la transposée de la comatrice~:
\begin{equation*}
M^{-1}=\frac{1}{\det M}\transp{\left[\operatorname{com}(M)\right]}
\end{equation*}
Or~:
\begin{align*}
g&=4\times10-(-2)\times(-2)\\
&=36
\end{align*}
La comatrice de toute matrice symétrique est symétrique.
Ici elle a pour composantes~:
\begin{align*}
\operatorname{com}\tm
\begin{bmatrix}
10 & 2\\
2 & 4
\end{bmatrix}
\end{align*}
Toute matrice symétrique étant égale à sa transposée $\transp{(\operatorname{com}\tm)}=\operatorname{com}\tm$, et~:
\begin{align*}
[g^{ij}]&=\frac{1}{18}
\begin{bmatrix}
5 & 1\\
1 & 2
\end{bmatrix}
\end{align*}
Nous pouvons aussi déterminer le tenseur dual du tenseur métrique grâce aux relations \eqref{TM:inv_tens_metr} \vpageref{TM:inv_tens_metr}~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
g_{11}g^{11}+g_{12}g^{21}=\delta^{1}_{\ 1}\\
g_{11}g^{12}+g_{12}g^{22}=\delta^{2}_{\ 1}\\
g_{21}g^{11}+g_{22}g^{21}=\delta^{1}_{\ 2}\\
g_{21}g^{12}+g_{22}g^{22}=\delta^{2}_{\ 2}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
4g^{11}-2g^{21}=1\\
4g^{12}-2g^{22}=0\\
-2g^{11}+10g^{21}=0\\
-2g^{12}+10g^{22}=1
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
g^{11}=5/18\\
g^{12}=1/18\\
g^{21}=1/18\\
g^{22}=1/9
\end{dcases}
\end{equation*}
\end{exem}
\chapter{Espaces riemanniens}
%\minitoc
\section{Les différents espaces}
Les espaces proprement riemanniens regroupent les espaces euclidiens (plats) et non euclidiens (courbes).
La métrique proprement riemannienne est une forme différentielle quadratique définie positive.
Les espaces pseudo-rie\-man\-niens regroupent les espaces pseudo-eu\-cli\-diens (plats),
et pseudo-rie\-man\-niens courbes. La métrique pseudo-rie\-man\-nienne est une forme différentielle quadratique indéfinie.

Les espaces riemanniens regroupent les espaces proprement riemanniens et pseudo-rie\-man\-niens.
Dans le système de coordonnées $(x^{i})$, leurs métriques s'écrivent~:
\begin{equation*}
\dd s^{2}=g_{ij}(x^{i})\dd x^{i}\dd x^{j}
\end{equation*}

Une variété munie d'un tenseur métrique est appelée variété riemannienne\index{Variete@Variété!riemannienne}
ou pseudo-rie\-man\-nien\-ne\index{Variete@Variété!pseudo-riemannienne}.
Les variétés généralisent donc les espaces riemanniens en levant la contrainte sur l'écriture de la métrique.
Le tableau suivant récapitule les différents espaces~:

\begin{center}
\begin{tabular}{ l | l | l | l | l }
Variété\index{Variete@Variété} & Proprement r. & Proprement r. & Pseudo-riemann. & Pseudo-riemann.\\
ou & Pré-euclidien & & Pré-euclidien & \\
espace & Euclidien & Non-euclidien & Pseudo-euclidien & Pseudo-r. courbe\\
\hline
Métrique & déf. positive & déf. positive & indéf. & indéf.\\
Signature & + & + & + et - & + et -\\
\hline
Représentation & plat & courbe & plat & courbe\\
Sys. de coord. & rectiligne & curviligne & rectiligne & curviligne\\
Coefficients & constants & f(x) & constants & f(x)\\
\hline
Application & Méca class. & Méca. analytique & RR & RG\\
Exemple & plan & sphère & e. de Minkowski & trajec. Mercure
\end{tabular}
\end{center}

Par \enquote{métrique} on entend forme quadratique associée au tenseur métrique\index{Forme!quadratique!associée au tenseur métrique}
ou bien matrice représentative du tenseur métrique.
Les coefficients de la métrique sont les composantes du tenseur métrique.

\section{Propriétés du tenseur métrique}
\begin{prop}[Tenseur métrique d'un espace riemannien]\index{Tenseur!métrique!propriétés}
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item les composantes $g_{ij}(x^{i})$ sont différentiables de classe $\symcal C^{2}$
(leurs dérivées partielles secondes par rapport aux coordonnées existent et sont continues)
\item les $g_{ij}$ sont symétriques~: $g_{ij}=g_{ji}$
\item la matrice $\tm$ est telle que sa forme quadratique différentielle\index{Forme!quadratique!différentielle} associée est une distance~:
$g_{ij}\dd x^{i}\dd x^{j}$ doit être invariante par changement de coordonnées
\item définie~: $\forall \vmatg{u},\ g_{ij}u^{i}u^{j}=0\Rightarrow\vmatg{u}=\vmatg{0}$\label{TM:definie}
\item positive~: $\forall \vmatg{u},\ g_{ij}u^{i}u^{j} \geqslant0$\label{TM:positive}
\end{enumerate}
Lorsque $\tm$ est définie positive, le déterminant $g$ et les termes diagonaux $g_{11},g_{22},\dots,g_{nn}$ sont tous positifs.
Dans les espaces pseudo-riemanniens les propriétés $\ref{TM:definie}$ et $\ref{TM:positive}$ sont remplacées par la propriété moins restrictive~:
\begin{enumerate}[start=4,label=\arabic*)]
\item la matrice $\tm$ est inversible (ssi son déterminant est non nul~: $g\neq0$). Elle est dite non singulière ou définie
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{rmq}
$\tm$ est symétrique.
Supposons que ce ne soit pas le cas et décomposons le tenseur métrique en une partie symétrique
et une partie antisymétrique~:
\begin{equation*}
\forall i,j\qquad g_{ij}=\tfrac{1}{2}\left(g_{ij}+g_{ji}\right)+\tfrac{1}{2}\left(g_{ij}-g_{ji}\right)
\end{equation*}
La contribution à $\dd s^{2}$ de la partie antisymétrique est nulle,
\begin{align*}
\tfrac{1}{2}\left(g_{ij}-g_{ji}\right)\dd x^{i}\dd x^{j}&=\tfrac{1}{2}\left(g_{ij}\dd x^{i}\dd x^{j}-g_{ji}\dd x^{i}\dd x^{j}\right)\\
&=\tfrac{1}{2}\left(g_{ij}\dd x^{i}\dd x^{j}-g_{ij}\dd x^{j}\dd x^{i}\right)\\
&=\tfrac{1}{2}\left(g_{ij}\dd x^{i}\dd x^{j}-g_{ij}\dd x^{i}\dd x^{j}\right)\\
&=0
\end{align*}
et la métrique est symétrique.
\end{rmq}
La métrique d'un espace riemannien étant symétrique, calculons le nombre d'éléments différents de la matrice $\tm$,
appelés composantes indépendantes du tenseur métrique.
Comptons les éléments diagonaux plus les éléments de la partie triangulaire supérieure de la matrice.
Cela représente la moitié des $n^{2}$ éléments, plus la moitié restante des $n$ éléments diagonaux, soit
\begin{equation*}
\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}
\end{equation*}
éléments différents.

\begin{rmq}
Si la matrice $\tm$
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item est définie et positive, l'espace est dit \emph{proprement riemannien}~:
pour tout vecteur $\vmatg{v}$ non nul,
\begin{equation*}
g_{ij}\,v^{i}v^{j}> 0
\end{equation*}
$g$ et $g_{11},g_{22},\dots,g_{nn}$ sont tous positifs. De plus, $\tm^{-1}$ est aussi définie positive.
On peut faire le rapprochement avec la définition d'un espace (proprement) euclidien.

\item n'est pas définie positive, la métrique peut être positive, négative ou nulle, elle est indéfinie
et l'espace est dit pseudo-rie\-man\-nien\index{Pseudo!-riemannien}.
On peut faire le rapprochement avec la définition d'un espace pseudo-eu\-cli\-dien.
\end{itemize}
\end{rmq}

\begin{rmq}
Un espace riemannien existe en lui-même et n'a nul besoin d'être plongé dans un espace de dimension supérieure pour être représenté.
\end{rmq}

\begin{exem}[Matrice représentant un tenseur métrique]
Montrons que le champ de matrice suivant est le tenseur métrique d'un espace riemannien~:
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
(x^{1})^{2}-1 & 1 & 0\\
1 & (x^{2})^{2} & 0\\
0 & 0 & \frac{64}{9}
\end{bmatrix}
\end{align*}
On suppose que la métrique associée à cette matrice est invariante par changement de coordonnées.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item les éléments de la matrice sont des polynômes en $x^{1}$ et $x^{2}$, donc de classe $\symcal C^{2}$
\item la matrice est symétrique
\item par hypothèse la métrique associée est invariante par changement de coordonnées
\item $g=\frac{64}{9}\left\{(x^{2})^{2}\left[(x^{1})^{2}-1\right]-1\right\}$.
On suppose que $\left[(x^{1})^{2}-1\right]-1\neq1$ pour que la matrice soit inversible.
\end{enumerate}
Calculons la longueur de la courbe paramétrée $\symscr{C}:\forall i=1,2,3\ x^{i}=x^{i}(p)$~:
\begin{equation*}
\symscr{C}\quad :\quad
\begin{dcases}
x^{1}=2p-1\\
x^{2}=2p^{2}\\
x^{3}=p^{3}
\end{dcases}
\qquad
\left(0\leqslant p \leqslant 1\right)
\end{equation*}
Le carré de la dérivée de la distance élémentaire s'écrit~:
\begin{equation*}
\varepsilon\left(\frac{\dd s}{\dd p}\right)^{2}=g_{ij}\,\frac{\dd x^{i}}{\dd p}\,\frac{\dd x^{j}}{\dd p}
\end{equation*}
En notation matricielle~:
\begin{equation*}
\varepsilon\left(\frac{\dd s}{\dd p}\right)^{2}=\transp{\left(\frac{\dd x^{i}}{\dd p}\right)}\tm\left(\frac{\dd x^{j}}{\dd p}\right)
\end{equation*}
\begin{align*}
\varepsilon\left(\frac{\dd s}{\dd p}\right)^{2}&=
\begin{pmatrix}
2 & 4p & 3p^{2}
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
(2p-1)^{2}-1 & 1 & 0\\
1 & \left(2p^{2}\right)^{2} & 0\\
0 & 0 & \frac{64}{9}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
2\\
4p \\
3p^{2}
\end{pmatrix}\\
&=64p^{6}+64p^{4}+16p^{2}
\end{align*}
donc $\varepsilon=1$.
\begin{align*}
\left(\frac{\dd s}{\dd p}\right)^{2}&=\left(8p^{3}+4p \right)^{2}\\
\frac{\dd s}{\dd p}&=8p^{3}+4p
\end{align*}
Pour $1>p>0$~:
\begin{equation*}
\Gamma=\int^{1}_0\dd s=\int^{1}_0\left(8p^{3}+4p \right)\dd p=\left[2p^{4}+2p^{2}\right]^{1}_0=4
\end{equation*}
\end{exem}

\chapter{Formes linéaires}
%\minitoc
\section{Formes et formes linéaires}
\begin{defi}[Forme]\index{Forme}
Soit $E$ un espace vectoriel sur le corps $\symbb{K}$.
Une forme $\fLin{x}$ est une application de $E$ dans $\symbb{K}$.
\end{defi}
Une forme est une application qui prend en entrée un vecteur et donne en sortie un scalaire.
C'est une application qui a la particularité d'avoir pour ensemble d'arrivée le corps de l'espace vectoriel de départ.
\begin{align*}
\fLin{x}:E&\rightarrow\symbb{K}\\
\vmatg{v}&\mapsto\fLin{x}(\vmatg{v})=\alpha
\end{align*}
\begin{exem}[Norme d'un vecteur]
Soit $E=\symbb{R}^n$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n$,
et soit $\vmatg{v}$ un vecteur de $E$ de composantes $(v^{1},v^{2},\dots,v^n)$.
L'application qui à un vecteur associe sa norme est une forme linéaire (Cf. la déf.~\ref{TM:def:nv} \vpageref{TM:def:nv} de la norme d'un vecteur)~:
\begin{align*}
\fLin{x}:\symbb{R}^n&\rightarrow\symbb{R}\\
\vmatg{v}(v^{1},v^{2},\dots,v^n)&\mapsto \fLin{x}(\vmatg{v})=\|\vmatg{v}\|=\sqrt{g_{ij}v^{i}v^{j}}
\end{align*}
Le scalaire obtenu est positif ou nul.
\end{exem}
La définition qui suit d'une forme linéaire est une alternative à la définition donnée dans le Vol.~1 Notion d'espace,
l'équivalence entre les deux définitions est démontrée par le th.~\ref{TM:th:formes_lineaires} \vpageref{TM:th:formes_lineaires}.
\begin{defi}[Forme linéaire]\label{TM:def:forme_lin_2}\index{Forme!linéaire}
Soit $E$ un espace vectoriel sur le corps $\symbb{K}$.
Une forme linéaire $\fLin{x}$ est une application linéaire de $E$ dans $\symbb{K}$.
\end{defi}
Si l'on reprend la définition d'une application linéaire (Cf.~Vol.~1 Notion d'espace),
alors la forme linéaire $\fLin{x}$ est une application de $E$ dans $\symbb{K}$
\begin{align*}
\fLin{x}:E&\rightarrow\symbb{K}\\
\vmatg{v}&\mapsto\fLin{x}(\vmatg{v})=\alpha
\end{align*}
qui est linéaire, c.-à-d. $\forall (\vmatg{u},\vmatg{v})\in \ev{E}^{2},\ \forall \alpha \in\symbb{K}$~:
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item additive~:
$\fLin{x}(\vmatg{u}\oplus\vmatg{v})=\fLin{x}(\vmatg{u})+\fLin{x}(\vmatg{v})$
\item homogène de degré un~:
$\fLin{x}(\alpha \odot\vmatg{u})=\alpha \fLin{x}(\vmatg{u})$
\end{enumerate}
\begin{rmq}
On dit aussi qu'à tout vecteur d'un espace vectoriel, la forme linéaire associe, ou fait correspondre, un
scalaire de son propre corps.
\end{rmq}

\begin{rmq}
Les deux conditions de linéarité peuvent être remplacées par la seule condition suivante~:
\begin{equation*}
\forall (\vmatg{u},\vmatg{v})\in \ev{E}^{2},\ \forall \alpha \in\symbb{K},\quad\fLin{x}(\alpha \odot\vmatg{u}\oplus\vmatg{v})
=\alpha \fLin{x}(\vmatg{u})+\fLin{x}(\vmatg{v})
\end{equation*}
\end{rmq}
\begin{ntn}
L'ensemble des formes linéaires de l'espace vectoriel $E$ sur le corps $\symbb{K}$ est noté $\symcal{L}(E,\symbb{K})$.
\end{ntn}

$\fLin{x}$ prend en entrée un vecteur et donne en sortie un scalaire, en conservant les deux opérations de base d'un espace vectoriel,
l'addition vectorielle et la multiplication par un scalaire.

Nous dirons que $\fLin{x}$ préserve les opérations de combinaison linéaire des vecteurs
car peu importe que $\fLin{x}$ soit appliquée avant ou après l'addition vectorielle ou la multiplication par un scalaire.

\begin{exem}[Application $i^{\,\text{ème}}$ projection]\label{TM:ex:appli_proj}\index{Application!projection}
Soit $\pi_{i}$ l'application $i^{\,\text{ème}}$ projection, qui prend en entrée un vecteur et donne en sortie sa $i^{\,\text{ème}}$ composante~:
\begin{align*}
\pi_{i}:\symbb{R}^n&\rightarrow\symbb{R}\\
\vmatg{v}&\mapsto\pi_{i}(v_1,v_2,\dots,v_n)=v_{i}
\end{align*}
L'application projection possède les propriétés de linéarité d'une application linéaire~:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item additivité~: soient $\vmatg{u},\vmatg{v},\vmatg{w}\in \ev{E}^{3}$ tels que $\vmatg{w}=\vmatg{u}\oplus\vmatg{v}$,
\begin{align*}
\pi_{i}(\vmatg{u})+\pi_{i}(\vmatg{v})
&=u_{i}+v_{i}\\
&=w_{i}\\
&=\pi_{i}(\vmatg{w})\\
&=\pi_{i}(\vmatg{u}\oplus\vmatg{v})
\end{align*}
\item homogénéité de degré un~: soit $\vmatg{u},\vmatg{v}\in \ev{E}^{2}$ et soit $\alpha\in\symbb{R}$ tels que $\vmatg{v}=\alpha\odot\vmatg{u}$,
\begin{align*}
\alpha \pi_{i}(\vmatg{u})&=\alpha u_{i}\\
&=v_{i}\\
&=\pi_{i}(\vmatg{v})\\
&=\pi_{i}(\alpha\odot\vmatg{u})
\end{align*}
\end{enumerate}
Par conséquent, $\pi_{i}$ est une forme linéaire.
\end{exem}

\begin{exem}[Forme linéaire dans un espace vectoriel de dimension $2$]\label{TM:ex:forme_lin}
Soit $E=\symbb{R}^{2}$ un espace vectoriel de dimension $2$,
et soit $\vmatg{v}$ un vecteur de $E$ de composantes $(v^{1},v^{2})$.
L'application,
\begin{align*}
\fLin{x}:\symbb{R}^{2}&\rightarrow\symbb{R}\\
\vmatg{v}(v^{1},v^{2})&\mapsto \fLin{x}(\vmatg{v})=2v^{1}+3v^{2}
\end{align*}
est une forme linéaire sur $\symbb{R}^{2}$.
En effet, $\fLin{x}$ prend en entrée un vecteur et donne en sortie un scalaire
(sous la forme d'un polynôme homogène de degré un des variables $v^{1}$ et $v^{2}$).
Vérifions les deux conditions de linéarité~:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item additivité~: soient $\vmatg{u},\vmatg{v},\vmatg{w}\in \ev{E}^{3}$ tels que $\vmatg{w}=\vmatg{u}\oplus\vmatg{v}$,
\begin{align*}
\fLin{x}(\vmatg{u}\oplus\vmatg{v})&=\fLin{x}(\vmatg{w})\\
&=2w^{1}+3w^{2}\\
&=2(u^{1}+v^{1})+3(u^{2}+v^{2})\\
&=2u^{1}+3u^{2}+2v^{1}+3v^{2}\\
&=\fLin{x}(\vmatg{u})+\fLin{x}(\vmatg{v})
\end{align*}
\item homogénéité de degré un~:
soient $\vmatg{u},\vmatg{v}\in \ev{E}^{2}$ et soit $\alpha\in\symbb{R}$ tels que $\vmatg{u}=\alpha \odot\vmatg{v}$,
\begin{align*}
\fLin{x}(\alpha \odot\vmatg{v})&=\fLin{x}(\vmatg{u})\\
&=2u^{1}+3u^{2}\\
&=2(\alpha v^{1})+3(\alpha v^{2})\\
&=\alpha(2v^{1}+3v^{2})\\
&=\alpha \fLin{x}(\vmatg{v})
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exem}

\begin{exem}[Produit scalaire avec un vecteur donné]\index{Produit!scalaire!avec un vecteur donné}
Soit $\vmatg{a}$ un vecteur donné d'un espace vectoriel $E$ sur le corps $\symbb{R}$.
Le produit scalaire avec le vecteur $\vmatg{a}$, noté $f_a$, prend en entrée un vecteur $\vmatg{u}$ de $E$
et donne en sortie un scalaire de $\symbb{R}$~:
\begin{align*}
f_a(\vmatg{u})&=\vmatg{a}\cdot\vmatg{u}\\
&=a^{i}x_{i}
\end{align*}
De plus, le produit scalaire possède les propriétés de linéarité de la définition d'une application linéaire~:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item additivité~: soient $\vmatg{u},\vmatg{v},\vmatg{w}\in \ev{E}^{3}$ tels que $\vmatg{w}=\vmatg{u}\oplus\vmatg{v}$,
\begin{align*}
f_a(\vmatg{u})+f_a(\vmatg{v})
&=\vmatg{a}\cdot\vmatg{u}+\vmatg{a}\cdot\vmatg{v}\\
&=\vmatg{a}\cdot(\vmatg{u}\oplus\vmatg{v})\\
&=\vmatg{a}\cdot\vmatg{w}\\
&=f_a(\vmatg{u}\oplus\vmatg{v})
\end{align*}
\item homogénéité de degré un~: soient $\vmatg{u},\vmatg{v}\in \ev{E}^{2}$ et soit $\alpha\in\symbb{R}$ tels que $\vmatg{v}=\alpha\odot\vmatg{u}$,
\begin{align*}
\alpha f_a(\vmatg{u})&=\alpha(\vmatg{a}\cdot\vmatg{u})\\
&=\vmatg{a}\cdot(\alpha\odot\vmatg{u})\\
&=\vmatg{a}\cdot\vmatg{v}\\
&=f_a(\vmatg{v})\\
&=f_a(\alpha\odot\vmatg{u})
\end{align*}
\end{enumerate}
Par conséquent, $f_a$ est une forme linéaire.
Reprenons l'expression \eqref{TM:produit scalaire uv} \vpageref{TM:produit scalaire uv} du produit scalaire~:
\begin{equation*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=u_{i}v^{i}
\end{equation*}
Nous pouvons l'écrire
\begin{equation*}
\fLin{u}(\vmatg{v})=u_{i}v^{i}
\end{equation*}
où $\fLin{u}$ prend en entrée un vecteur et donne en sortie un scalaire.
Notons que par symétrie du produit scalaire\index{Produit!scalaire!symétrie}~:
\begin{equation*}
\fLin{u}(\vmatg{v})=\fLin{v}(\vmatg{u})
\end{equation*}
Le produit scalaire avec un vecteur donné est une forme linéaire, en revanche le produit scalaire lui-même est une forme bilinéaire
(Cf. ex.~\ref{TM:ex:ps} \vpageref{TM:ex:ps}).
\end{exem}

\begin{exem}[Dérivée en un point]
Soit $\symcal{C}^{\infty}([a,b],\symbb{R})$ l'espace vectoriel des fonctions de $[a,b]$ dans $\symbb{R}$ indéfiniment dérivables et de dérivées continues.
Soient $x_0\in[a,b]$ et $n\in\symbb{N}$.
La dérivée $n^{\,\text{ème}}$ en $x_0$,
\begin{align*}
\symcal C^{\infty}&\rightarrow\symbb{R}\\
f(x)&\mapsto f^{n}(x_0)
\end{align*}
qui à toute fonction $f(x)$ de $\symcal C^{\infty}$ associe sa dérivée $n^{\,\text{ème}}$ en $x_0$ est une forme linéaire.
\end{exem}

\begin{exem}[Intégrale définie]
Soit $C([a,b],\symbb{R})$ l'espace vectoriel des fonctions de $[a,b]$ dans $\symbb{R}$ continues.
L'intégrale définie,
\begin{align*}
C&\rightarrow\symbb{R}\\
f(x)&\mapsto \int_a^bf(t)dt
\end{align*}
qui à toute fonction $f(x)$ de $C$ associe son intégrale définie de $a$ à $b$ est une forme linéaire.
\end{exem}

\begin{exem}[Norme, carré de la norme et forme quadratique]
Soit $E=\symbb{R}^n$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n$,
et soit $\vmatg{v}$ un vecteur de $E$ de composantes $(v^{1},v^{2},\dots,v^n)$.
L'application qui à un vecteur associe sa norme est non linéaire. En effet, soient $\vmatg{u},\vmatg{v}\in \ev{E}^{2}$~:
\begin{align*}
\fLin{x}:\symbb{R}^n&\rightarrow\symbb{R}\\
\fLin{x}(\vmatg{u}\oplus\vmatg{v})&=\|\vmatg{u}\oplus\vmatg{v}\|\\
&\neq\|\vmatg{u}\|+\|\vmatg{v}\|\\
&\neq\fLin{x}(\vmatg{u})+\fLin{x}(\vmatg{v})
\end{align*}
L'application qui à un vecteur associe le carré de sa norme est une forme quadratique\index{Forme!quadratique!carré de la norme}~:
\begin{align*}
\fLin{x}:\symbb{R}^n&\rightarrow\symbb{R}\\
\vmatg{v}(v^{1},v^{2},\dots,v^n)&\mapsto \fLin{x}(\vmatg{v})=\|\vmatg{v}\|^{2}=g_{ij}v^{i}v^{j}
\end{align*}
Elle est non linéaire. En effet, soient $\vmatg{u},\vmatg{v}\in \ev{E}^{2}$~:
\begin{align*}
\fLin{x}:\symbb{R}^n&\rightarrow\symbb{R}\\
\fLin{x}(\vmatg{u}\oplus\vmatg{v})&=\|\vmatg{u}\oplus\vmatg{v}\|^{2}\\
&\neq\|\vmatg{u}\|^{2}+\|\vmatg{v}\|^{2}\\
&\neq\fLin{x}(\vmatg{u})+\fLin{x}(\vmatg{v})
\end{align*}
\end{exem}
\begin{rmq}
Une forme est définie de manière intrinsèque, le scalaire associé à tout vecteur ne dépend pas de la base choisie.
Le scalaire associé à $\vmatg{u}$ est déterminé de façon définitive, nous dirons que $\fLin{x}(\vmatg{u})$ est un scalaire intrinsèque.
Ainsi, dans le cas où l'on associe au vecteur $\vmatg{u}$ la valeur de l'une de ses composantes $u^{i}$ dans une base donnée,
on garde cette valeur y compris lorsque l'on change de base. Autrement dit, on ne refait pas l'association du vecteur avec sa nouvelle valeur de composantes.
\end{rmq}

Montrons l'équivalence avec de la déf.~\ref{TM:def:forme_lin_2} \vpageref{TM:def:forme_lin_2} d'une forme linéaire avec la définition donnée au Vol.~1 Notion d'espace.
\begin{theo}
Tout polynôme homogène de degré un des $n$ variables $v^{1},v^{2},\dots,v^n$ est une application
linéaire qui au vecteur $\vmatg{v}(v^{1},v^{2},\dots,v^n)$ de l'espace vectoriel $E$ sur le corps des réels fait correspondre un réel.
\end{theo}
\begin{proof}
C'est la généralisation à $\symbb{R}^n$ de l'ex.~\ref{TM:ex:forme_lin} \vpageref{TM:ex:forme_lin}.

Soit $a_1v^{1}+a_2v^{2}+\dots+a_nv^n$ un polynôme homogène de degré un, il existe une application  $\fLin{x}$ telle que~:
\begin{align*}
\fLin{x}:\symbb{R}^n&\rightarrow\symbb{R}\\
\forall a_{i}\in\symbb{R},\quad \vmatg{v}(v^{1},v^{2},\dots,v^n)&\mapsto \fLin{x}(\vmatg{v})=a_1v^{1}+a_2v^{2}+\dots+a_nv^n\\
\forall a_{i}\in\symbb{R},\quad \vmatg{u}(u^{1},u^{2},\dots,u^n)&\mapsto \fLin{x}(\vmatg{u})=a_1u^{1}+a_2u^{2}+\dots+a_nu^n
\end{align*}
Alors cette application est linéaire~:
\begin{align*}
\fLin{x}(\lambda \odot\vmatg{u}\oplus\vmatg{v})&=a_1(\lambda u^{1}+v^{1})+a_2(\lambda u^{2}+v^{2})+\dots+a_n(\lambda u^n+v^n)\\
&=\lambda a_1u^{1}+a_1v^{1}+\lambda a_2u^{2}+a_2v^{2}+\dots+\lambda a_nu^n+a_nv^n\\
&=\lambda \fLin{x}(\vmatg{u})+\fLin{x}(\vmatg{v}) \qedhere
\end{align*}
\end{proof}
Réciproquement~:
\begin{theo}\label{TM:th:formes_lineaires}
Toute forme linéaire de $\symbb{R}^n$ dans $\symbb{R}$ peut s'écrire
comme un polynôme homogène de degré un par rapport à $n$ variables $v^{1},v^{2},\dots,v^n$.
Pour toute une forme linéaire $\fLin{x}$~:
\begin{empheq}[box=\maboitetheo]{align*}
\fLin{x}:\symbb{R}^n&\rightarrow\symbb{R}\\
\vmatg{v}(v^{1},v^{2},\dots,v^n)&\mapsto \fLin{x}(\vmatg{v})=a_1v^{1}+a_2v^{2}+\dots+a_nv^n
\end{empheq}
où $\forall i\ a_{i}\in\symbb{R}$.
\end{theo}
\begin{proof}
Dans la base
$(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2},\dots,\vmatg{e}_n)$ de $\symbb{R}^n$,
soit le vecteur $\vmatg{v}(v^{1},v^{2},\dots,v^n)$.
En utilisant l'additivité puis l'homogénéité,
\begin{align*}
\fLin{x}(\vmatg{v})
&=\fLin{x}(v^{1}\vmatg{e}_{1}\oplus v^{2}\vmatg{e}_{2}\oplus\dots\oplus v^n\vmatg{e}_n)\\
&=\fLin{x}(v^{1}\vmatg{e}_{1})+\fLin{x}(v^{2}\vmatg{e}_{2})+\dots+\fLin{x}(v^n\vmatg{e}_n)\\
&=v^{1}\fLin{x}(\vmatg{e}_{1})+v^{2}\fLin{x}(\vmatg{e}_{2})+\dots+v^n\fLin{x}(\vmatg{e}_n)\\
&=a_1v^{1}+a_2v^{2}+\dots+a_nv^n\\
&=a_{i}v^{i}
\end{align*}
où l'on a posé $\forall i\ \fLin{x}(\vmatg{e}_{i})=a_{i}\in\symbb{R}$.
\end{proof}
\section{Expression analytique d'une forme linéaire}\index{Forme!linéaire!expression analytique}
Dans la base $(\vmatg{e}_{i})$ de l'espace vectoriel $E$, soit $\vmatg{u}$ un vecteur~:
\begin{align}
\fLin{x}(\vmatg{u})&=\fLin{x}(u^{i}\vmatg{e}_{i})\notag\\
&=u^{i}\fLin{x}(\vmatg{e}_{i})\notag\\
&=u^{i}a_{i}\label{TM:expr_analy}
\end{align}
où l'on a posé $\forall i\ \fLin{x}(\vmatg{e}_{i})=a_{i}\in\symbb{R}$.
La forme linéaire $\fLin{x}(\vmatg{u})$ est donc parfaitement déterminée par les $n$ scalaires $a_{i}$, sa décomposition étant unique.
Ainsi on peut déterminer une forme linéaire par correspondance des vecteurs de base avec des scalaires déterminés.

\section{Espace vectoriel dual d'un espace vectoriel}
Considérons l'ensemble des formes linéaires définies sur le $\symbb{K}$-espace vectoriel $E$.
Pour en faire un espace vectoriel adoptons pour cet ensemble les deux lois de composition~:
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item addition vectorielle

La somme de deux formes linéaires est une forme linéaire~:
\begin{align*}
\fLin{x}(\vmatg{u})+\fLin{y}(\vmatg{u})&=u^{i}a_{i}+u^{i}b_{i}\\
&=\sum_{i}u^{i}(a_{i}+b_{i})\\
&=u^{i}c_{i}\\
&=\fLin{z}(\vmatg{u})
\end{align*}
\item multiplication par un scalaire

La multiplication par un scalaire d'une forme linéaire est une forme linéaire~:
\begin{align*}
\alpha \fLin{x}(\vmatg{u})&=\alpha(u^{i}a_{i})\\
&=(\alpha a_{i})u^{i}\\
&=b_{i}u^{i}\\
&=\fLin{y}(\vmatg{u})
\end{align*}
\end{enumerate}
Ces deux lois de composition vérifient les propriétés d'un espace vectoriel (Cf.~Vol.~1 Notion d'espace).
Par conséquent, l'ensemble des formes linéaires munies de ces deux lois forment un espace vectoriel
appelé \emph{dual}\footnote{\enquote{dual} signifie \enquote{deux} .},
dont les formes linéaires de~$E$ en sont les vecteurs.
Un espace vectoriel et son dual sont isomorphes.
Ils ont même structure et les règles de calcul y sont analogues, on peut y définir des mesures de longeurs et d'angles (donc un produit scalaire).

\begin{ntn}
L'espace duale de $\ev{E}$ est noté $\ev{E}^{\ast}$ ou $\symcal{L}(\ev{E},\symbb{K})$ ou \textrm{hom}$(\ev{E},\symbb{K})$.
\end{ntn}
\begin{rmq}
L'espace dual de l'espace dual, appelé espace \emph{bidual} et noté $\ev{E}^{\ast\ast}$, est assimilable à l'espace vectoriel de départ $\ev{E}$.
\end{rmq}

\section{Base duale d'une base}
Soit $\vmatg{u}$ un vecteur d'un espace vectoriel $E$, et soit la forme linéaire $\bd{e}{i}$ telle que~:
\begin{equation*}
\forall i\qquad \bd{e}{i}(\vmatg{u})=u^{i}
\end{equation*}
C'est l'applicaton projection de l'ex.~\ref{TM:ex:appli_proj} \vpageref{TM:ex:appli_proj}.
Cette forme linéaire donne en sortie la $i^{\text{\it{ème}}}$
composante contravariante du vecteur qu'elle prend en entrée.
On a~:
\begin{align*}
\vmatg{u}&=u^{i}\vmatg{e}_{i}\\
&=\bd{e}{i}(\vmatg{u})\,\vmatg{e}_{i}
\end{align*}
D'après \eqref{TM:expr_analy} \vpageref{TM:expr_analy}, pour toute forme linéaire $\fLin{x}$~:
\begin{align*}
\fLin{x}(\vmatg{u})&=u^{i}a_{i}\\
&=a_{i}\bd{e}{i}(\vmatg{u})\\
\fLin{x}&=a_{i}\bd{e}{i}
\end{align*}
La forme linéaire $\fLin{x}$ se décompose d'une façon unique sur l'espace des formes linéaires $\bd{e}{i}$.
Les $n$ formes linéaires $\bd{e}{i}$ constituent donc une base de l'espace vectoriel dual $\ev{E}^{\ast}$, et
les $a_{i}$ sont les composantes de la forme linéaire dans cette base.

De plus
\begin{align*}
&\forall j\quad \bd{e}{j}(\vmatg{u})=\bd{e}{j}(u^{i}\vmatg{e}_{i})\\
&\forall j\quad u^{j}=u^{i}\bd{e}{j}(\vmatg{e}_{i})
\end{align*}
donc~:
\begin{equation*}
\forall i,j\quad \bd{e}{j}(\vmatg{e}_{i})=\delta_{i}^{j}
\end{equation*}
\begin{defi}[Base duale d'une base]\label{TM:def:base_duale}\index{Base!duale définition}
La base $\left(\bd{e}{1},\bd{e}{2},\dots,\bd{e}{n}\right)$ de $\ev{E}^{\ast}$ telle que
\begin{equation*}
\forall i,j\qquad \bd{e}{j}(\vmatg{e}_{i})\parDef \delta_{i}^{j}
\end{equation*}
est appelée base duale de la base $(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2},\dots,\vmatg{e}_n)$ de $E$.
La base $(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2},\dots,\vmatg{e}_n)$ de $E$ est appelée base antéduale de la base $\left(\bd{e}{1},\bd{e}{2},\dots,\bd{e}{n}\right)$ de $\ev{E}^{\ast}$.
\end{defi}

\begin{exem}
Soit la base $(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2})$ de $\symbb{R}^{2}$ telle que~:
\begin{equation*}
\vmatg{e}_{1}
\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix},
\qquad
\vmatg{e}_{2}
\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Cherchons les composantes $a_{i}$ et $b_{i}$ des vecteurs $\bd{e}{1}(a_{1},a_{2})$ et $\bd{e}{2}(b_{1},b_{2})$ de la base duale $(\bd{e}{1},\bd{e}{2})$.
D'après la déf.~\ref{TM:def:base_duale} des bases duales, les formes linéaires sont telles que~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\bd{e}{1}(\vmatg{e}_{1})=1\\
\bd{e}{1}(\vmatg{e}_{2})=0\\
\bd{e}{2}(\vmatg{e}_{1})=1\\
\bd{e}{2}(\vmatg{e}_{2})=0
\end{dcases}
\quad \Rightarrow\
\begin{dcases}
\bd{e}{1}(2,1)=1\\
\bd{e}{1}(3,1)=0\\
\bd{e}{2}(2,1)=1\\
\bd{e}{2}(3,1)=0
\end{dcases}
\quad \Rightarrow\
\begin{dcases}
2a_1+a_2=1\\
3a_1+a_2=0\\
2b_1+b_2=1\\
3b_1+b_2=0
\end{dcases}
\quad \Rightarrow\
\begin{dcases}
a_1=-1\\
a_2=3\\
b_1=1\\
b_2=-2
\end{dcases}
\end{equation*}
Donc les vecteurs de la base duale sont $\bd{e}{1}(-1,3)$ et $\bd{e}{2}(1,-2)$.
\end{exem}

\section{Base réciproque}
\begin{defi}[Base réciproque]\label{TM:def:base_recip}\index{Base!réciproque!definition@définition}
La base $(\br{\epsilon}_1,\dots,\br{\epsilon}_n)$ de l'espace vectoriel $\evn{E}{n}$, telle que
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\forall i,j\qquad \vmatg{e}_{i}\cdot\br{\epsilon}_{j}\parDef \delta_{ij}
\end{empheq}
est appelée base réciproque de la base $(\vmatg{e}_{1},\dots,\vmatg{e}_n)$ de $\evn{E}{n}$.
\end{defi}
Si la base $(\vmatg{e}_{i})$ est la base formée par les vecteurs tangents aux lignes de coordonnées,
alors sa base réciproque $\epsilon_{j}$ est la base formée par les vecteurs perpendiculaires aux hypersurfaces de coordonnées.
\begin{rmq}
Une base est confondue avec sa base réciproque si elle est orthogonale et normée.
Normée car avec $\vmatg{e}_{1}\cdot\br{\epsilon}_1=1$, si $\vmatg{e}_{1}=2$ alors $\epsilon_1=1/2$.
\end{rmq}

Cette définition est proche de la déf.~\ref{TM:def:base_duale} \vpageref{TM:def:base_duale} ci-dessus de la base duale.
Cependant on reste dans l'espace $E$ et on utilise un produit scalaire.
Dans les espaces définis sans produit scalaire, donc sans métrique, la base réciproque s'appelle base duale,
et les covecteurs s'appellent des formes linéaires ou vecteurs duaux.


Soit $B$ la matrice changement de base $(\br{\epsilon}_{j})\to(\vmatg{e}_{i})$~:
\begin{align*}
\forall i\qquad \vmatg{e}_{i}&=\sum_{j}B_{ij}\,\br{\epsilon}_{j}\\
\forall i,k\qquad \vmatg{e}_{i}\cdot\vmatg{e}_{k}&=\sum_{j}B_{ij}\,\br{\epsilon}_{j}\cdot\vmatg{e}_{k}\\
g_{ik}&=\sum_{j}B_{ij}\,\delta_{jk}\\
g_{ik}&=B_{ik}
\end{align*}
Par conséquent~:
\begin{equation*}
\forall i\qquad \vmatg{e}_{i}=\sum_{j}g_{ij}\,\br{\epsilon}_{j}
\end{equation*}
Le tenseur métrique $\tm$ permet de passer des vecteurs d'une base réciproque à ceux de la base d'origine.
Nous voyons que cette relation qui s'appliquait à des composantes,
relations \eqref{TM:passage_contrav_cov} \vpageref{TM:passage_contrav_cov}, s'applique ici à des vecteurs.
Par analogie, les vecteurs de la base réciproque seront notés avec un indice supérieur,
ce qui permettra l'emploi de la convention de sommation sur les indices répétés\index{Convention!de sommation sur les indices répétés}.
En remplaçant $\br{\epsilon}_{j}$ par $\vmatg{e}^{j}$, la dernière relation s'écrit
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\forall i\qquad \vmatg{e}_{i}=g_{ij}\,\vmatg{e}^{j}
\end{empheq}
et la déf.~\ref{TM:def:base_recip} \vpageref{TM:def:base_recip} devient~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}\label{TM:base_recip_2}
\forall i,j\qquad \vmatg{e}_{i}\cdot\vmatg{e}^{j}\parDef \delta_{i}^{j}
\end{empheq}

Avec \eqref{TM:inv_tens_metr} \vpageref{TM:inv_tens_metr}~:
\begin{align*}
\forall i,j\qquad \vmatg{e}_{i}\cdot\vmatg{e}^{j}&=\delta_{i}^{j}\\
g_{ik}\,\vmatg{e}^{k}\cdot\vmatg{e}^{j}=g_{ik}\,g^{kj}\\
\forall k,j\qquad \vmatg{e}^{k}\cdot\vmatg{e}^{j}&=g^{kj}
\end{align*}
justifiant l'emploi d'indices supérieurs pour l'écriture du tenseur métrique réciproque.
Soit $A$ la matrice changement de base $(\vmatg{e}_{j})\to(\vmatg{e}^{i})$~:
\begin{align*}
\forall i\qquad \vmatg{e}^{i}&=\sum_{j}A_{ij}\,\vmatg{e}_{j}\\
\forall i,k\qquad \vmatg{e}^{i}\cdot\vmatg{e}^{k}&=\sum_{j}A_{ij}\,\vmatg{e}_{j}\cdot\vmatg{e}^{k}\\
g^{ik}&=\sum_{j}A_{ij}\,\delta_{j}^{k}\\
g^{ik}&=A_{ik}
\end{align*}
Le tenseur métrique $[g^{ij}]$ permet de passer d'une base à sa base réciproque~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}
\forall i\qquad \vmatg{e}^{i}=g^{ij}\,\vmatg{e}_{j}\label{TM:passage_base_base_recip}
\end{empheq}
Si la base d'origine n'est pas orthonormée, les vecteurs de la base réciproque ne sont pas de norme unité~:
\begin{align*}
\forall i,j\qquad \vmatg{e}_{i}\cdot\vmatg{e}^{j}&=\delta_{i}^{j}\\
\forall i\qquad \vmatg{e}_{i}\cdot\vmatg{e}^{i}&=1\\
\|\vmatg{e}_{i}\|\,\|\vmatg{e}^{i}\|\cos\left(\vmatg{e}_{i},\vmatg{e}^{i}\right)&=1\\
\|\vmatg{e}^{i}\|&=\frac{1}{\|\vmatg{e}_{i}\|\cos\left(\vmatg{e}_{i},\vmatg{e}^{i}\right)}
\end{align*}

\section{Indépendance linéaire des vecteurs réciproques}\label{TM:sec_{i}ndep_lin_vec_recip}
\noindent Soit $\left(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2},\dots,\vmatg{e}_n\right)$ une base de~$\evn{E}{n}$.
Pour démontrer que les vecteurs réciproques $(\vmatg{e}^{1},\vmatg{e}^{2},\dots,\vmatg{e}^n)$
forment aussi une base de~$\evn{E}{n}$,
nous devons montrer qu'ils sont li\-néai\-re\-ment indépendants~:
\begin{equation*}
\lambda_{j}\vmatg{e}^{j}=\vmatg{0}\quad \Rightarrow \quad \forall j\quad \lambda_{j}=0
\end{equation*}
Posons $\lambda_{j}\vmatg{e}^{j}=\vmatg{0}$.
Soit $\vmatg{u}=u^{i}\vmatg{e}_{i}$ un vecteur de l'espace
vectoriel $\evn{E}{n}$~:
\begin{align*}
\lambda_{j}\vmatg{e}^{j}\cdot\vmatg{u}&=\lambda_{j}\vmatg{e}^{j}\cdot u^{i}\vmatg{e}_{i}\\
\vmatg{0}\cdot\vmatg{u}&=\lambda_{j}u^{i}(\vmatg{e}^{j}\cdot\vmatg{e}_{i})\\
0&=\lambda_{j}u^{i}\delta_{i}^{j}\\
0&=\lambda_{j}u^{j}
\end{align*}
Cette égalité devant être vérifiée quels que soient les $u^{j}$, tous les $\lambda_{j}$ sont nuls
et les vecteurs $\vmatg{e}^{j}$ sont li\-néai\-re\-ment indépendants.

\begin{exem}[Base réciproque d'une base quelconque]
Soit $(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2})$ la base d'un espace vectoriel euclidien $\evn{E}{2}$, telle que~:
\begin{align*}
\vmatg{e}_{1}
\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}
\qquad
\vmatg{e}_{2}
\begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}
\end{align*}
où les vecteurs de base sont exprimés dans la base orthonormée $(\bng{i},\bng{j})$.
Déterminons sa base réciproque $(\vmatg{e}^{1},\vmatg{e}^{2})$.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item en utilisant la définition de la base réciproque \eqref{TM:base_recip_2} \vpageref{TM:base_recip_2}.

Posons $\vmatg{e}^{1}(a,b)$ et $\vmatg{e}^{2}(c,d)$~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}^{1}\cdot\vmatg{e}_{1}=1\\
\vmatg{e}^{1}\cdot\vmatg{e}_{2}=0
\end{dcases}
\ \Rightarrow\
\begin{dcases}
a+2b=1\\
3a+4b=0
\end{dcases}
\ \Rightarrow\
\begin{dcases}
a=1-2b\\
3-2b=0
\end{dcases}
\ \Rightarrow\
\begin{dcases}
a=-2\\
b=3/2
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\vmatg{e}^{1}
\begin{pmatrix}
-2\\
3/2
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}^{2}\cdot\vmatg{e}_{1}=1\\
\vmatg{e}^{2}\cdot\vmatg{e}_{2}=0
\end{dcases}
\ \Rightarrow\
\begin{dcases}
c+2d=0\\
3c+4d=1
\end{dcases}
\ \Rightarrow\
\begin{dcases}
c=-2d\\
-2d=1
\end{dcases}
\ \Rightarrow\
\begin{dcases}
c=1\\
d=-1/2
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\vmatg{e}^{2}
\begin{pmatrix}
1\\
-1/2
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\item en se servant du tenseur dual du tenseur métrique \eqref{TM:passage_base_base_recip} \vpageref{TM:passage_base_base_recip}~:
\begin{align*}
\tm
\begin{bmatrix}
5 & 11\\
11 & 25
\end{bmatrix}
\qquad \Rightarrow \qquad
[g^{ij}]=\frac{1}{4}
\begin{bmatrix}
25 & -11\\
-11 & 5
\end{bmatrix}
\end{align*}
\begin{align*}
\vmatg{e}^{1}&=g^{11}\vmatg{e}_{1}+g^{12}\vmatg{e}_{2}
=\frac{25}{4}
\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}
-\frac{11}{4}
\begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2\\
3/2
\end{pmatrix}
\end{align*}
\begin{align*}
\vmatg{e}^{2}&=g^{21}\vmatg{e}_{1}+g^{22}\vmatg{e}_{2}
=-\frac{11}{4}
\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}
+\frac{5}{4}
\begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\
-1/2
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exem}
\begin{exem}[Base réciproque d'une base orthogonale]
Soit $\{\vmatg{e}_{1}\left(a,0,0\right),\vmatg{e}_{2}\left(0,b,0\right),\vmatg{e}_{3}\left(0,0,c\right)\}$
une base de l'espace vectoriel euclidien $\evn{E}{3}$. Déterminons sa base réciproque. Soit $\vmatg{e}^{1}\left(x_1,x_2,x_3\right)$~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}^{1}=1\\
\vmatg{e}_{2}\cdot\vmatg{e}^{1}=0\\
\vmatg{e}_{3}\cdot\vmatg{e}^{1}=0\\
\end{dcases}
\quad \Rightarrow\
\begin{dcases}
\left(a,0,0\right)\cdot\left(x_1,x_2,x_3\right)=1\\
\left(0,b,0\right)\cdot\left(x_1,x_2,x_3\right)=0\\
\left(0,0,c\right)\cdot\left(x_1,x_2,x_3\right)=0\\
\end{dcases}
\quad \Rightarrow\
\begin{dcases}
ax_1=1\\
bx_2=0\\
cx_3=0\\
\end{dcases}
\quad \Rightarrow\
\begin{dcases}
x_1=1/a\\
x_2=0\\
x_3=0\\
\end{dcases}
\end{equation*}
Par conséquent $\vmatg{e}^{1}=\left(\frac{1}{a},0,0\right)$.
De même on trouve $\vmatg{e}^{2}=\left(0,\frac{1}{b},0\right)$ et
$\vmatg{e}^{3}=\left(0,0,\frac{1}{c}\right)$.
Lorsque la base est orthonormée, $a=b=c=1$, elle se confond avec sa base réciproque.
\end{exem}

\begin{exem}[Base réciproque d'une base normée]\label{TM:ex:base_reciproque}
Soit $\left(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2}\right)$ une base normée de l'espace vectoriel euclidien $\evn{E}{2}$,
telle que $(\widehat{\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2}})=\ang{70}$.
Construisons sa base réciproque.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item en utilisant la définition de la base réciproque \eqref{TM:base_recip_2} \vpageref{TM:base_recip_2}~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}^{1}\cdot\vmatg{e}_{1}=1\\
\vmatg{e}^{1}\cdot\vmatg{e}_{2}=0
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\|\vmatg{e}^{1}\|=\frac{1}{\|\vmatg{e}_{1}\|\cos\left(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}^{1}\right)}
=\frac{1}{\cos(20)}\approx 1,064
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}^{2}\cdot\vmatg{e}_{1}=0\\
\vmatg{e}^{2}\cdot\vmatg{e}_{2}=1
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\|\vmatg{e}^{2}\|=\frac{1}{\|\vmatg{e}_{2}\|\cos\left(\vmatg{e}_{2},\vmatg{e}^{2}\right)}
=\frac{1}{\cos(20)}\approx 1,064
\end{equation*}
\item en se servant du tenseur métrique \eqref{TM:passage_base_base_recip} \vpageref{TM:passage_base_base_recip}~:
\begin{align*}
\tm
\begin{bmatrix}
1 & \cos(70)\\
\cos(70) & 1
\end{bmatrix}
\qquad \Rightarrow \qquad
[g^{ij}]=\frac{1}{\sin^{2}(70)}
\begin{bmatrix}
1 & -\cos(70)\\
-\cos(70) & 1
\end{bmatrix}
\end{align*}

\begin{align*}
\vmatg{e}^{1}&=g^{11}\vmatg{e}_{1}+g^{12}\vmatg{e}_{2}\\
&=\frac{\vmatg{e}_{1}}{\sin^{2}(70)}-\frac{\cos(70)}{\sin^{2}(70)}\,\vmatg{e}_{2}
\end{align*}
\begin{align*}
\vmatg{e}^{2}&=g^{21}\vmatg{e}_{1}+g^{22}\vmatg{e}_{2}\\
&=-\frac{\cos(70)}{\sin^{2}(70)}\,\vmatg{e}_{1}+\frac{\vmatg{e}_{2}}{\sin^{2}(70)}
\end{align*}
En exprimant $\vmatg{e}_{1}$ et $\vmatg{e}_{2}$ dans la base orthonormée $(\bng{i},\bng{j})$~:
\begin{align*}
\vmatg{e}^{1}&=\frac{1}{\sin^{2}(70)}
\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}
-\frac{\cos(70)}{\sin^{2}(70)}
\begin{pmatrix}
\cos(70)\\
\sin(70)
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
1\\
-\cos(70)/\sin(70)
\end{pmatrix}
\end{align*}
\begin{align*}
\vmatg{e}^{2}&=-\frac{\cos(70)}{\sin^{2}(70)}
\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}
+\frac{1}{\sin^{2}(70)}
\begin{pmatrix}
\cos(70)\\
\sin(70)
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
0\\
1/\sin(70)
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{enumerate}

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,3)
%\psgrid (-2,-1.5)(6,3)
\psline(0,0)(3;70)
\psline[linecolor=gray](0,0)(3;-20)
\psline(0,0)(3.5;0)
\psline[linecolor=gray](0,0)(3;90)
\psline{->}(0,0)(1;70)
\psline[linecolor=gray]{->}(0,0)(1.064;-20)
\psline{->}(0,0)(1;0)
\psline[linecolor=gray]{->}(0,0)(1.064;90)
\psline{->}(0,0)(3.5;30)
\psarc{<->}(0,0){2}{-20}{0}
\rput(2,3;-10){$\alpha$}
\psarc{<->}(0,0){2}{70}{90}
\rput(2,3;80){$\alpha$}
%Lettres
\rput(3.9;30){$M$}
\rput(1.1,.2){$\vmatg{e}_{1}$}
\rput(0.7,.9){$\vmatg{e}_{2}$}
\rput(-.3,1){\gray$\vmatg{e}^{2}$}
\rput(.7,-.6){\gray$\vmatg{e}^{1}$}
\rput(-.2,-0.2){$O$}
\end{pspicture}
\caption{Bases réciproques}
\end{figure}
\end{exem}

\begin{exem}{Base réciproque de la base naturelle polaire $(\bng{e}_\rho,\bng{e}_{\theta})$}{}
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item en utilisant la définition de la base réciproque \eqref{TM:base_recip_2} \vpageref{TM:base_recip_2}~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\bng{e}^{\rho} \cdot\bng{e}_\rho=1\\
\bng{e}^{\rho} \cdot\bng{e}_{\theta}=0
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\|\bng{e}^{\rho} \|=\frac{1}{\|\bng{e}_\rho \|}=1
\quad \Rightarrow \quad
\bng{e}^{\rho}=\bng{e}_\rho
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\bng{e}^{\theta} \cdot\bng{e}_\rho=0\\
\bng{e}^{\theta} \cdot\bng{e}_{\theta}=1
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\|\bng{e}^{\theta} \|=\frac{1}{\|\bng{e}_{\theta} \|}=\frac{1}{\rho}
\quad \Rightarrow \quad
\bng{e}^{\theta}=\frac{\bng{e}_{\theta}}{\rho^{2}}
\end{equation*}
\item en se servant du tenseur dual du tenseur métrique en coordonnées polaires \eqref{TM:imcpbn} \vpageref{TM:imcpbn}~:
\begin{align*}
[g^{ij}]=
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1/\rho^{2}
\end{bmatrix}
\end{align*}
\begin{align*}
\bng{e}^{\rho}&=g^{\rho \rho}\bng{e}_\rho+g^{\rho \theta}\bng{e}_{\theta}\\
&=\bng{e}_\rho
\end{align*}
\begin{align*}
\bng{e}^{\theta}&=g^{\theta \rho}\bng{e}_\rho+g^{\theta \theta}\bng{e}_{\theta}\\
&=\bng{e}_{\theta}/\rho^{2}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exem}

\begin{exem}{Base réciproque de la base $(\vmatg{e}_0,\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2},\vmatg{e}_{3})$ de la relativité restreinte}{}
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item en utilisant la définition de la base réciproque \eqref{TM:base_recip_2} \vpageref{TM:base_recip_2}.
Pour le vecteur réciproque $\vmatg{e}^0$ porté par la coordonnée temporelle~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}^0\cdot\vmatg{e}_0=1\\
\vmatg{e}^0\cdot\vmatg{e}_{1}=0\\
\vmatg{e}^0\cdot\vmatg{e}_{2}=0\\
\vmatg{e}^0\cdot\vmatg{e}_{3}=0
\end{dcases}
\end{equation*}
En convention de genre temps~:
\begin{align*}
\vmatg{e}_0\cdot\vmatg{e}_0&=1\\
&=\vmatg{e}^0\cdot\vmatg{e}_0\\
\vmatg{e}^0&=\vmatg{e}_0
\end{align*}
Pour le vecteur réciproque $\vmatg{e}^{1}$ porté par la première coordonnée spatiale~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}^{1}\cdot\vmatg{e}_0=0\\
\vmatg{e}^{1}\cdot\vmatg{e}_{1}=1\\
\vmatg{e}^{1}\cdot\vmatg{e}_{2}=0\\
\vmatg{e}^{1}\cdot\vmatg{e}_{3}=0
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{align*}
\vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}_{1}&=-1\\
&=-\vmatg{e}^{1}\cdot\vmatg{e}_{1}\\
\vmatg{e}_{1}&=-\vmatg{e}^{1}
\end{align*}
De même $\vmatg{e}^{2}=-\vmatg{e}_{2}$ et $\vmatg{e}^{3}=-\vmatg{e}_{3}$.

\item d'après \eqref{TM:ex_relativite} \vpageref{TM:ex_relativite} le tenseur métrique en relativité restreinte est égal à son inverse~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\vmatg{e}^0\\
\vmatg{e}^{1}\\
\vmatg{e}^{2}\\
\vmatg{e}^{3}
\end{pmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\vmatg{e}_0\\
\vmatg{e}_{1}\\
\vmatg{e}_{2}\\
\vmatg{e}_{3}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\vmatg{e}_0\\
-\vmatg{e}_{1}\\
-\vmatg{e}_{2}\\
-\vmatg{e}_{3}
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{itemize}
\end{exem}

\section{Composantes contravariantes dans la base réciproque}
À partir de la définition des composantes contravariantes (Cf.~Vol.~1 Notion d'espace), dans la base réciproque~:
\begin{align*}
\vv{\symup{OM}}&=\symup{u}^{i}\br{\epsilon}_{i}\\
&=\sum_{i}\symup{u}^{i}\vmatg{e}^{i}
\end{align*}
\begin{align}
\forall j\qquad \vv{\symup{OM}}\cdot\vmatg{e}_{j}&=\sum_{i}\symup{u}^{i}\vmatg{e}^{i}\cdot\vmatg{e}_{j}\notag\\
&=\sum_{i}\symup{u}^{i}\delta_{j}^{i}\notag\\
u_{j}&=\symup{u}^{j}\label{TM:compo_contrav_base_reci_u}
\end{align}
et
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\vv{\symup{OM}}=u_{i}\vmatg{e}^{i}
\end{empheq}

\begin{exem}[Composantes contravariantes dans la base réciproque]
En reprenant l'exercice \ref{TM:ex:base_reciproque} \vpageref{TM:ex:base_reciproque}, représentons les composantes contravariantes
du vecteur $\vmatg{u}=\vv{\symup{OM}}$ dans la base réciproque $(\vmatg{e}^{1},\vmatg{e}^{2})$
non normée (Fig.~\ref{TM:fig_ccontravbr})~:
\psset{unit=.9}
\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,4)
%\psgrid (-2,-2)(6,4)
\psline{->}(0,0)(4;70)
\psline[linecolor=gray]{->}(0,0)(4.5;-20)
\psline{->}(0,0)(4.5;0)
\psline[linecolor=gray]{->}(0,0)(4.2;90)
\psline{->}(0,0)(1;70)
\psline[linecolor=gray]{->}(0,0)(1.064;-20)
\psline{->}(0,0)(1;0)
\psline[linecolor=gray]{->}(0,0)(1.064;90)
\psline{->}(0,0)(4;30)
\psline[linestyle=dashed](4;30)(3.686;-20)
\psline[linestyle=dashed](4;30)(3.261;90)
\rput{-20}(3.464;-20){$+$}
\rput(3.064;90){$+$}
%Lettres
\rput(4.4;30){$M$}
\rput(1.1,.2){$\vmatg{e}_{1}$}
\rput(0.6,.9){$\vmatg{e}_{2}$}
\rput(-.9,1){\gray$\br{\epsilon}_2\equiv\vmatg{e}^{2}$}
\rput(.3,-.7){\gray$\br{\epsilon}_1\equiv\vmatg{e}^{1}$}
\rput(-.3,-0.1){$O$}
\rput(2.5,-1.3){$\symup{u}^{1}=u_{1}$}
\rput(-.9,3){$\symup{u}^{2}=u_{2}$}
\rput(2,1.5){$\vmatg{u}$}
\rput(3.8,-.3){$u_{1}$}
\rput(1.5,3){$u_{2}$}
\end{pspicture}
\caption{Composantes contravariantes dans la base réciproque}
\label{TM:fig_ccontravbr}
\end{figure}
\end{exem}

\section{Composantes covariantes dans la base réciproque}
À partir de la définition des composantes contravariantes (Cf.~Vol.~1 Notion d'espace) dans la base d'origine~:
\begin{align}
\vv{\symup{OM}}&=u^{i}\vmatg{e}_{i}\notag\\
\forall j\qquad \vv{\symup{OM}}\cdot\br{\epsilon}_{j}&=u^{i}\vmatg{e}_{i}\cdot\br{\epsilon}_{j}\notag\\
&=u^{i}\vmatg{e}_{i}\cdot\vmatg{e}^{j}\notag\\
&=u^{i}\delta_{i}^{j}\notag\\
\symup{u}_{j}&=u^{j}\label{TM:compo_cov_base_reci_u}
\end{align}
et
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\forall i\qquad \vv{\symup{OM}}\cdot\vmatg{e}^{i}=u^{i}
\end{empheq}

\begin{exem}[Composantes covariantes dans la base réciproque]
En reprenant l'exercice \ref{TM:ex:base_reciproque} \vpageref{TM:ex:base_reciproque},
représentons les composantes covariantes du vecteur $\vmatg{u}=\vv{\symup{OM}}$
dans la base réciproque $(\vmatg{e}^{1},\vmatg{e}^{2})$ non normée (Fig.~\ref{TM:fig_ccovr})~:
\psset{unit=.9}
\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,4)
%\psgrid (-2,-2)(6,4)
\psline{->}(0,0)(3.5;70)
\psline[linecolor=gray]{->}(0,0)(4;-20)
\psline{->}(0,0)(4;0)
\psline[linecolor=gray]{->}(0,0)(3.5;90)
\psline{->}(0,0)(1;70)
\psline[linecolor=gray]{->}(0,0)(1.064;-20)
\psline{->}(0,0)(1;0)
\psline[linecolor=gray]{->}(0,0)(1.064;90)
\psline{->}(0,0)(4;30)
\psline[linestyle=dashed](4;30)(2;90)
\psline[linestyle=dashed](4;30)(2.571;-20)
\rput(2.128;90){$+$}
\rput{-20}(2.736;-20){$+$}
%Lettres
\rput(4.4;30){$M$}
\rput(1,.2){$\vmatg{e}_{1}$}
\rput(0.7,.9){$\vmatg{e}_{2}$}
\rput(-.8,1){\gray$\br{\epsilon}_2\equiv\vmatg{e}^{2}$}
\rput(.5,-.7){\gray$\br{\epsilon}_1\equiv\vmatg{e}^{1}$}
\rput(-.3,-0.1){$O$}
\rput(3.4,-.7){$\symup{u}_1=u^{1}$}
\rput(-.8,2.3){$\symup{u}_2=u^{2}$}
\rput(2,1.5){$\vmatg{u}$}
\end{pspicture}
\caption{Composantes covariantes dans la base réciproque}
\label{TM:fig_ccovr}
\end{figure}
\end{exem}

\section{Transformation des composantes en bases réciproques}
\subsection{Transformation des composantes contravariantes}

Soient deux bases d'un espace vectoriel $\evn{E}{3}$, chacune ayant une base réciproque.
Avec \eqref{TM:compo_contrav_base_reci_u} \vpageref{TM:compo_contrav_base_reci_u}~:
\begin{align}
\forall i=1,2,3\qquad \symup{u}^{i}&=u_{i}\notag\\
&=A^{j'}_{i}u_{j'}\notag\\
&=\sum_{j=1}^{3}A^{j'}_{i}\symup{u}^{j'}\label{TM:tccont}
\end{align}
Les composantes contravariantes dans la base réciproque
se transforment de façon identique aux composantes covariantes dans la base d'origine.
Si les bases sont naturelles~:
\begin{equation*}
\forall i=1,2,3\qquad \symup{u}^{i}=\sum_{j=1}^{3}\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}\,\symup{u}^{j'}
\end{equation*}

\subsection{Transformation des composantes covariantes}

Soient deux bases d'un espace vectoriel $\evn{E}{3}$.
Avec \eqref{TM:compo_cov_base_reci_u} \vpageref{TM:compo_cov_base_reci_u}~:
\begin{align*}
\forall i=1,2,3\qquad \symup{u}_{i}&=u^{i}\\
&=B^{i}_{j'}u^{j'}\\
&=\sum_{j=1}^{3}B^{i}_{j'}\symup{u}_{j'}
\end{align*}
Les composantes covariantes dans la base réciproque se transforment
de façon identique aux composantes contravariantes dans la base d'origine.
Si les bases sont naturelles~:
\begin{equation*}
\forall i=1,2,3\qquad \symup{u}_{i}=\sum_{j=1}^{3}\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j'}}\,\symup{u}_{j'}
\end{equation*}

\subsection{Transformation des vecteurs de base de la base réciproque}

Soient $(\br{\epsilon}_{i})$ et $(\br{\epsilon}_{j'})$ les bases réciproques respectives des bases $(\vmatg{e}_{i})$ et $(\vmatg{e}_{j'})$.
Soient $A$ la matrice changement de base $(\bng{e}_{i})\to\left(\bng{e}_{j'}\right)$,
et $A'$ la matrice changement de base $\left(\bng{e}_{j'}\right)\to(\bng{e}_{i})$.
Avec \eqref{TM:tccont} \vpageref{TM:tccont}~:
\begin{align*}
\symup{u}^{i'}\br{\epsilon}_{i'}&=\symup{u}^{j}\br{\epsilon}_{j}\\
\sum_{i=1}^{3}\symup{u}^{i'}\br{\epsilon}_{i'}
&=\sum_{j=1}^{3}\left(\sum_{i}A^{i'}_{j}\symup{u}^{i'}\right)\br{\epsilon}_{j}\\
\forall \symup{u}^{i'}\qquad \sum_{i=1}^{3}\symup{u}^{i'}\br{\epsilon}_{i'}
&=\sum_{i=1}^{3}\left(\sum_{j=1}^{3}A^{i'}_{j}\br{\epsilon}_{j}\right)\symup{u}^{i'}\\
\forall i=1,2,3\qquad \br{\epsilon}_{i'}&=\sum_{j=1}^{n}A^{i'}_{j}\br{\epsilon}_{j}
\end{align*}
En changeant de notation, $\br{\epsilon}_{i}$ devient $\bng{e}^{i}$~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\forall i=1,2,3\qquad \bng{e}^{i'}=A^{i'}_{j}\bng{e}^{j}
\end{empheq}
Par conséquent~:
\begin{align*}
\forall k=1,2,3\qquad B^{k}_{i'}\bng{e}^{i'}
&=B^{k}_{i'}A^{i'}_{j}\bng{e}^{j}\\
&=\delta_{j}^{k}\bng{e}^{j}\\
&=\bng{e}^{k}
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\forall k=1,2,3\qquad \bng{e}^{k}=B^{k}_{i'}\bng{e}^{i'}
\end{empheq}
Les vecteurs de base de la base réciproque se transforment de façon \enquote{contraire} (par la matrice inverse de la transposée) aux
vecteurs de base de la base d'origine.

Si $(\bng{e}_{i})$ et $\left(\bng{e}_{j'}\right)$ sont des bases naturelles~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}\label{TM:tvbr1}
\forall i=1,2,3\qquad \bng{e}^{i'}=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^{j}}\,\bng{e}^{j}
\end{empheq}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}\label{TM:tvbr2}
\forall k=1,2,3\qquad \bng{e}^{k}=\frac{\partial x^{k}}{\partial x^{i'}}\,\bng{e}^{i'}
\end{empheq}

\chapter{Formes bilinéaires}\label{TM:formes_bi}
%\minitoc
\section{Définition d'une forme bilinéaire}
\begin{defi}[Forme bilinéaire]\index{Forme!bilinéaire}
Soit $E$ un $\symbb{R}$-espace vectoriel.
Une forme bilinéaire est une application qui à deux vecteurs $\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$ de $\ev{E}^{2}$ associe un
scalaire de son propre corps $\symbb{R}$,
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\fBiLin:\ev{E}^{2}&\rightarrow\symbb{R}\\
\vmatg{u},\vmatg{v}&\mapsto \fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{v})=\alpha
\end{empheq}
qui est linéaire pour chacun de ses arguments. $\forall (\vmatg{u},\vmatg{v},\vmatg{w})\in \ev{E}^{3},\ \forall \lambda \in\symbb{R}$~:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $\fBiLin$ est linéaire pour son premier argument,
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item additive~:
$\fBiLin(\vmatg{u}\oplus\vmatg{v},\vmatg{w})=\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{w})+\fBiLin(\vmatg{v},\vmatg{w})$
\item homogène de degré un~:
$\fBiLin(\lambda \odot\vmatg{u},\vmatg{v})=\lambda \fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{v})$
\end{enumerate}
\item $\fBiLin$ est linéaire pour son second argument~:
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item additive~:
$\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{v}\oplus\vmatg{w})=\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{v})+\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{w})$
\item homogène de degré un~:
$\fBiLin(\vmatg{u},\lambda \odot\vmatg{v})=\lambda \fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{v})$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{defi}
Les formes bilinéaires généralisent les formes linéaires, en ce sens qu'elles prennent en entrée deux vecteurs plutôt qu'un seul.
On appelle les formes linéaires des \emph{une-formes}, et les formes bilinéaires des \emph{deux-formes},
ce qui permet de généraliser aux
\emph{n-formes} qui prennent en entrée $n$ vecteurs et donnent en sortie un scalaire.
\begin{defi}[Forme bilinéaire symétrique]\index{Forme!bilinéaire!symétrique}
$\fBiLin$ est une forme bilinéaire symétrique ssi~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\forall \vmatg{u}, \vmatg{v}\qquad
\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{v})=\fBiLin(\vmatg{v},\vmatg{u})
\end{empheq}
\end{defi}

\begin{exem}\label{TM:ex:ps}
Le produit scalaire euclidien est une forme bilinéaire symétrique. En effet~:
\begin{align*}
\ev{E}^{2}&\rightarrow\symbb{R}\\
\vmatg{u},\vmatg{v}&\mapsto \vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=\alpha
\end{align*}
Le produit scalaire est linéaire dans ses deux arguments~:
\begin{align*}
&\vmatg{u}\cdot \vmatg{v}=\left(\vmatg{a}+\vmatg{b}\right)\cdot \vmatg{v}=\vmatg{a}\cdot \vmatg{v}+\vmatg{b}\cdot \vmatg{v}\\
&\vmatg{u}\cdot \vmatg{v}=\vmatg{u}\cdot \left(\vmatg{a}+\vmatg{b}\right)=\vmatg{u}\cdot \vmatg{a}+\vmatg{u}\cdot \vmatg{b}\\
&\left(\lambda \vmatg{u}\right)\cdot \vmatg{v}=\lambda \vmatg{u}\cdot \vmatg{v}=\vmatg{u}\cdot \left(\lambda \vmatg{v}\right)
\end{align*}
Le produit scalaire est symétrique~:
\begin{equation*}
\vmatg{u}\cdot \vmatg{v}=\vmatg{v}\cdot \vmatg{u}
\end{equation*}
\end{exem}

\begin{exem}
Le tenseur métrique est une forme bilinéaire symétrique. En effet~:
\begin{align*}
g:\ev{E}^{2}&\rightarrow\symbb{R}\\
\vmatg{u},\vmatg{v}&\mapsto g(\vmatg{u},\vmatg{v})=\alpha
\end{align*}
$g$ est linéaire dans ses deux arguments~:
\begin{align*}
&g_{ij}u^{i}v^{j}=g_{ij}\left(a^{i}+b^{i}\right)v^{j}=\left(g_{ij}a^{i}+g_{ij}b^{i}\right)v^{j}=g_{ij}a^{i}v^{j}+g_{ij}b^{i}v^{j}\\
&g_{ij}u^{i}v^{j}=g_{ij}u^{i}\left(a^{j}+b^{j}\right)=u^{i}\left(g_{ij}a^{j}+g_{ij}b^{j}\right)=g_{ij}u^{i}a^{j}+g_{ij}u^{i}b^{j}\\
&g_{ij}\left(\lambda u^{i}\right)v^{j}=\lambda g_{ij}u^{i}v^{j}=g_{ij}u^{i}\left(\lambda v^{j}\right)
\end{align*}
$g$ est symétrique~:
\begin{equation*}
g(\vmatg{u},\vmatg{v})=g(\vmatg{v},\vmatg{u})
\end{equation*}
\end{exem}
\begin{defi}[Forme bilinéaire antisymétrique]\index{Forme!bilinéaire!antisymétrique}
$\fBiLin$ est une forme bilinéaire antisymétrique ssi~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\forall \vmatg{u}, \vmatg{v}\qquad
\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{v})=-\fBiLin(\vmatg{v},\vmatg{u})
\end{empheq}
\end{defi}
On en déduit que pour une forme bilinéaire antisymétrique $\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{u})=-\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{u})=0$.
\section{Expression analytique d'une forme bilinéaire}\index{Forme!bilinéaire!expression analytique}
Dans la base $(\vmatg{e}_{i})$ de l'espace vectoriel $\evn{E}{n}$, soient $\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$ deux vecteurs~:
\begin{align*}
\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{v})&=\fBiLin(u^{i}\vmatg{e}_{i},v^{j}\vmatg{e}_{j})\\
&=u^{i}v^{j}\fBiLin(\vmatg{e}_{i},\vmatg{e}_{j})\\
&=u^{i}v^{j}a_{ij}
\end{align*}
où
\begin{equation*}
\forall i,j\quad a_{i,j}\in\symbb{R},\quad a_{ij}\parDef \fBiLin(\vmatg{e}_{i},\vmatg{e}_{j})
\end{equation*}
La forme bilinéaire $\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{v})$ est donc parfaitement déterminée par les $n^{2}$ scalaires $a_{ij}$,
sa décomposition étant unique.
Ainsi on peut déterminer une forme bilinéaire en mettant en correspondance les couples de vecteurs de base avec les scalaires déterminés.

\begin{exem}[Décomposition d'une forme bilinéaire]
La forme bilinéaire $\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{v})$ se décompose sur $\evn{E}{2}\times \evn{E}{2}$ selon~:
\begin{equation*}
\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{v})=au^{1}v^{1}+b(u^{1}v^{2})+b'(u^{2}v^{1})+cu^{2}v^{2}
\end{equation*}
où $a,b,b',c$ sont des scalaires.
\end{exem}
\subsection{Expression analytique d'une forme bilinéaire symétrique}
Lorsque la forme bilinéaire est symétrique
\begin{equation*}
a_{ij}=a_{ji}
\end{equation*}
sa décomposition est déterminée par les $n(n+1)/2$ scalaires $a_{ij}$.

\begin{exem}[Décomposition d'une forme bilinéaire symétrique]
La forme bilinéaire symétrique $\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{v})$ se décompose sur $\evn{E}{2}\times \evn{E}{2}$ selon~:
\begin{equation*}
\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{v})=au^{1}v^{1}+b(u^{1}v^{2}+u^{2}v^{1})+cu^{2}v^{2}
\end{equation*}
où $a,b,c$ sont des scalaires.
\end{exem}
\subsection{Expression analytique d'une forme bilinéaire antisymétrique}
Lorsque la forme bilinéaire est antisymétrique
\begin{equation*}
a_{ij}=-a_{ji}
\end{equation*}
sa décomposition est déterminée par les $n(n-1)$ scalaires $a_{ij}$.

\begin{exem}[Décomposition d'une forme bilinéaire antisymétrique]
La forme bilinéaire antisymétrique $\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{v})$ se décompose sur $\evn{E}{2}\times \evn{E}{2}$ selon~:
\begin{align*}
\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{v})&=b\left(u^{1}v^{2}\right)-b\left(u^{2}v^{1}\right)\\
&=b\left(u^{1}v^{2}-u^{2}v^{1}\right)
\end{align*}
où $b$ est un scalaire.
\end{exem}


\section{Forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique}\index{Forme!quadratique!associée à une forme bilinéaire symétrique}
Soit $\fBiLin$ une forme bilinéaire symétrique et soit $Q$ la forme quadratique telle que~:
\begin{align*}
Q:E&\rightarrow\symbb{R}\\
\vmatg{u}&\mapsto Q(\vmatg{u})=\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{u})
\end{align*}
$Q$ est la forme quadratique associée à la forme bilinéaire symétrique $\fBiLin$.

$\fBiLin$ étant symétrique, utilisons la linéarité des formes bilinéaires~:
\begin{align*}
Q(\vmatg{u}+\vmatg{v})&=\fBiLin(\vmatg{u}+\vmatg{v},\vmatg{u}+\vmatg{v})\\
&=\fBiLin(\vmatg{u}+\vmatg{v},\vmatg{u})+\fBiLin(\vmatg{u}+\vmatg{v},\vmatg{v})\\
&=\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{u})+\fBiLin(\vmatg{v},\vmatg{u})+\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{v})
+\fBiLin(\vmatg{v},\vmatg{v})\\
&=Q(\vmatg{u})+2\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{v})+Q(\vmatg{v})
\end{align*}

Soit $Q$ une forme quadratique du $\symbb{R}$-espace vectoriel $E$ dans le corps des réels $\symbb{R}$ et soit $\fBiLin$ la forme bilinéaire symétrique telle que~:
\begin{align*}
\fBiLin:\ev{E}^{2}&\rightarrow\symbb{R}\\
\vmatg{u},\vmatg{v}&\mapsto \fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{v})
=\tfrac{1}{2}\left[Q(\vmatg{u}+\vmatg{v})-Q(\vmatg{u})-Q(\vmatg{v})\right]
\end{align*}
$\fBiLin$ est la forme bilinéaire symétrique associée à la forme quadratique $Q$.
Toute forme quadratique définit une forme bilinéaire symétrique et réciproquement.
Les formes bilinéaires symétriques et les formes quadratiques se déterminent mutuellement.
Les théories des formes bilinéaires symétriques et des formes quadratiques sont essentiellement les mêmes.

Nous avons alors~:
\begin{align*}
Q(\lambda \odot\vmatg{u})&=\fBiLin(\lambda \odot\vmatg{u},\lambda \odot\vmatg{u})\\
&=\lambda^{2}\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{u})\\
&=\lambda^{2}Q(\vmatg{u})
\end{align*}
Pour $\lambda=0$~:
\begin{equation*}
Q(0\odot\vmatg{u})=0^{2}Q(\vmatg{u})\qquad\Rightarrow\qquad Q(\vmatg{0})=0
\end{equation*}

\section{Expression analytique d'une forme quadratique}\index{Forme!quadratique!expression analytique}
\begin{align*}
Q(\vmatg{u})&=\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{u})\\
&=\fBiLin(u^{i}\vmatg{e}_{i},u^{j}\vmatg{e}_{j})\\
&=u^{i}u^{j}\fBiLin(\vmatg{e}_{i},\vmatg{e}_{j})
\end{align*}
\begin{exem}
La forme bilinéaire sur $\evn{E}{2}\times \evn{E}{2}$~:
\begin{align*}
\fBiLin(\vmatg{u},\vmatg{u})&=au^{1}u^{1}+b(u^{1}u^{2}+u^{2}u^{1})+cu^{2}u^{2}\\
&=a(u^{1})^{2}+2b(u^{1}u^{2})+c(u^{2})^{2}
\end{align*}
où $a,b,c$ sont des scalaires.
\end{exem}
\section{Matrices et formes bilinéaires}\label{TM:sec_mat_fb}
D'après sa définition (Cf.~Vol.~1 Notion d'espace),
une transformation linéaire est une matrice carrée prenant en entrée un vecteur et donnant en sortie un vecteur.
Les matrices carrées ne peuvent donc pas représenter aussi les formes bilinéaires qui elles prennent en entrée un vecteur
et donnent en sortie une forme linéaire (ou prennent en entrée deux vecteurs et donne en sortie un scalaire).

Une représentation des formes bilinéaires reste cependant possible sous la forme d'une matrice ligne de matrices lignes.
La relation \eqref{TM:pb_ecriture} \vpageref{TM:pb_ecriture} s'écrit alors~:

\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}g_{11} & g_{12}\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}g_{21} & g_{22}\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}g_{11} & g_{12}\end{pmatrix}u^{1} + \begin{pmatrix}g_{21} & g_{22}\end{pmatrix}u^{2}
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}g_{11}u^{1} & g_{12}u^{1}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}g_{21}u^{2} & g_{22}u^{2}\end{pmatrix}
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
g_{11}u^{1}+g_{21}u^{2} & g_{12}u^{1}+g_{22}u^{2}
\end{pmatrix}
\end{align*}
Nous avons alors
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
g_{11}u^{1}+g_{21}u^{2} & g_{12}u^{1}+g_{22}u^{2}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
u_{1} & u_{2}
\end{pmatrix}
\end{align*}
qui redonne bien le système~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
u_{1}=g_{11}\,u^{1}+g_{21}\,u^{2}\\
u_{2}=g_{12}\,u^{1}+g_{22}\,u^{2}
\end{dcases}
\end{equation*}
Dans un espace vectoriel de dimension trois, le tenseur métrique s'écrit~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}g_{11} & g_{12} & g_{13}\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}g_{21} & g_{22} & g_{23}\end{pmatrix}
& \begin{pmatrix}g_{31} & g_{32} & g_{33}\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
\end{align*}
Pour inverser $\tm$ nous devons revenir à une matrice carrée.
De plus, cette notation n'est pas applicable à des tenseurs ayant plus de deux indices.

\begin{exem}[Tenseur métrique en deux dimensions]
Soit $\{\vmatg{e}_{1}(2,0),\vmatg{e}_{2}(-1,3)\}$ une base de l'espace vectoriel euclidien $\evn{E}{2}$.
Le tenseur métrique s'écrit~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
g_{11}=\vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}_{1}=4\\
g_{12}=\vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}_{2}=-2\\
g_{21}=\vmatg{e}_{2}\cdot\vmatg{e}_{1}=-2\\
g_{22}=\vmatg{e}_{2}\cdot\vmatg{e}_{2}=10
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\tm
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}4 & -2\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}-2 & 10\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\end{exem}

\begin{exem}[Tenseur métrique en trois dimensions]
Dans l'espace de la physique newtonienne,
plaçons-nous dans la base orthonormée $\left(\bng{i},\bng{j},\bng{k}\right)$.
Le tenseur métrique s'écrit~:
\begin{align*}
&\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bng{i}\cdot\bng{i} & \bng{i}\cdot\bng{j}
& \bng{i}\cdot\bng{k}
\end{pmatrix}
&
\begin{pmatrix}
\bng{j}\cdot\bng{i} & \bng{j}\cdot\bng{j}
& \bng{j}\cdot\bng{k}
\end{pmatrix}
&
\begin{pmatrix}
\bng{k}\cdot\bng{i} & \bng{k}\cdot\bng{j}
& \bng{k}\cdot\bng{k}
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}\\
&\qquad \qquad =
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
&
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
&
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{exem}

\begin{exem}[Tenseur métrique de l'espace-temps relativiste]
Plaçons-nous dans l'une des deux bases canoniques (métrique de genre temps ou espace)
$\left(\bng{e}_0,\bng{e}_{1},\bng{e}_{2}\right)$,
de l'espace-temps de la relativité restreinte en deux dimensions d'espace~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\bng{e}_0(1,0,0)\\
\bng{e}_{1}(0,i,0)\\
\bng{e}_{2}(0,0,i)\\
\end{dcases}
\qquad\text{ou}\qquad
\begin{dcases}
\bng{e}_0(i,0,0)\\
\bng{e}_{1}(0,1,0)\\
\bng{e}_{2}(0,0,1)\\
\end{dcases}
\end{equation*}
Dans le premier cas, le tenseur métrique s'écrit~:
\begin{align*}
&\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bng{e}_0\cdot\bng{e}_0 & \bng{e}_0\cdot\bng{e}_{1}
& \bng{e}_0\cdot\bng{e}_{2}
\end{pmatrix}
&
\begin{pmatrix}
\bng{e}_{1}\cdot\bng{e}_0 & \bng{e}_{1}\cdot\bng{e}_{1}
& \bng{e}_{1}\cdot\bng{e}_{2}
\end{pmatrix}
&
\begin{pmatrix}
\bng{e}_{2}\cdot\bng{e}_0 & \bng{e}_{2}\cdot\bng{e}_{1}
& \bng{e}_{2}\cdot\bng{e}_{2}
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}\\
&\qquad \qquad =
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
&
\begin{pmatrix}
0 & -1 & 0
\end{pmatrix}
&
\begin{pmatrix}
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{exem}

\begin{exem}[Inverse d'un tenseur métrique quelconque]
Dans une base $\left(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2}\right)$ de l'espace vectoriel $\evn{E}{2}$, on se donne le tenseur métrique suivant~:
\begin{align*}
\tm
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & -3
\end{pmatrix}
&
\begin{pmatrix}
-3 & 1
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
\end{align*}
Déterminons les composantes de son inverse $[g^{ij}]$ grâce aux relations \eqref{TM:inv_tens_metr} \vpageref{TM:inv_tens_metr}~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
g_{11}g^{11}+g_{12}g^{21}=\delta^{1}_1\\
g_{11}g^{12}+g_{12}g^{22}=\delta^{2}_1\\
g_{21}g^{11}+g_{22}g^{21}=\delta^{1}_2\\
g_{21}g^{12}+g_{22}g^{22}=\delta^{2}_2
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
2g^{11}-3g^{21}=1\\
2g^{12}-3g^{22}=0\\
-3g^{11}+g^{21}=0\\
-3g^{12}+g^{22}=1
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
g^{11}=-1/7\\
g^{12}=-3/7\\
g^{21}=-3/7\\
g^{22}=-2/7
\end{dcases}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\left[g^{ij}\right]=
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1/7\\
-3/7
\end{pmatrix}
\\
\begin{pmatrix}
-3/7\\
-2/7
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\end{exem}
La matrice de matrice suggère d'introduire un nouveau produit matriciel, le \emph{produit de Kronecker}.

\chapter{Produit de Kronecker}\label{TM:Prod_Kro}
%\minitoc
\section{Propriétés du produit de Kronecker}\index{Produit!de Kronecker}
Le produit de Kronecker de deux matrices de tailles arbitraires, carrées ou rectangulaires, donne une matrice de sous-matrices.
Le produit de Kronecker de deux matrices s'écrit~:
\begin{align*}
A\otimes B
&=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
\otimes
B\\
&=
\begin{bmatrix}
a_{11}B & a_{12}B\\
a_{21}B & a_{22}B
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
a_{11}
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13}\\
b_{21} & b_{22} & b_{23}
\end{bmatrix}
& a_{12}
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13}\\
b_{21} & b_{22} & b_{23}
\end{bmatrix}\\
a_{21}
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13}\\
b_{21} & b_{22} & b_{23}
\end{bmatrix} &
a_{22}\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13}\\
b_{21} & b_{22} & b_{23}
\end{bmatrix}
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & a_{11}b_{13}\\
a_{11}b_{21} & a_{11}b_{22} & a_{11}b_{23}
\end{bmatrix}
& \begin{bmatrix}
a_{12}b_{11} & a_{12}b_{12} & a_{12}b_{13}\\
a_{12}b_{21} & a_{12}b_{22} & a_{12}b_{23}
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
a_{21}b_{11} & a_{21}b_{12} & a_{21}b_{13}\\
a_{21}b_{21} & a_{21}b_{22} & a_{21}b_{23}
\end{bmatrix}
& \begin{bmatrix}
a_{22}b_{11} & a_{22}b_{12} & a_{22}b_{13}\\
a_{22}b_{21} & a_{22}b_{22} & a_{22}b_{23}
\end{bmatrix}
\end{bmatrix}
\end{align*}
Contrairement à la multiplication matricielle les matrices n'ont pas besoin d'être compatibles.
Si la matrice $A$ a $n$ éléments, son produit de Kronecker aura aussi $n$ éléments, qui seront des matrices.

\begin{prop}[Produit de Kronecker]
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item associativité~:
\begin{equation*}
A\otimes(B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C
\end{equation*}
\item distributivité à gauche par rapport à l'addition matricielle~:
\begin{equation*}
A\otimes(B+C)=A\otimes B+A\otimes C
\end{equation*}
\item distributivité à droite par rapport à l'addition matricielle~:
\begin{align*}
(B+C)\otimes A
=B\otimes A+C\otimes A
\end{align*}
\item multiplication par un scalaire~:
\begin{equation*}
k(A\otimes B)=(kA)\otimes B=A\otimes(kB)
\end{equation*}
\item en général non commutativité~:
\begin{equation*}
A\otimes B\neq B\otimes A
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{exem}[Produit de Kronecker de deux matrices colonnes]
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
a_1
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2
\end{pmatrix}\\
a_2
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_1b_1\\
a_1b_2
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
a_2b_1\\
a_2b_2
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
\end{align*}
Le résultat est une matrice colonne de matrices colonnes,
c.-à-d. une matrice ayant deux éléments et non quatre.
\end{exem}
\begin{exem}[Produit de Kronecker d'une matrice colonne par une matrice ligne]\label{TM:ex:produitKro}
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
b_1 & b_2
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
a_1\begin{pmatrix}
b_1 & b_2
\end{pmatrix}\\
a_2\begin{pmatrix}
b_1 & b_2
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}a_1b_1 & a_1b_2\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}a_2b_1 & a_2b_2\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
\end{align*}
Le résultat est une matrice colonne de matrices lignes, ayant aussi deux éléments et non quatre.
La pré-multiplication matricielle de ce résultat (et non le produit de Kronecker) par une forme linéaire $\cov{u}$ donne une forme linéaire,
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
u_{1} & u_{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}a_1b_1 & a_1b_2\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}a_2b_1 & a_2b_2\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
&=
u_{1}\begin{pmatrix}a_1b_1 & a_1b_2\end{pmatrix}+u_{2}\begin{pmatrix}a_2b_1 & a_2b_2\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}u_{1}a_1b_1 & u_{1}a_1b_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}u_{2}a_2b_1 & u_{2}a_2b_2\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}u_{1}a_1b_1+u_{2}a_2b_1 & u_{1}a_1b_2+u_{2}a_2b_2\end{pmatrix}
\end{align*}
puis la post-multiplication matricielle par un vecteur $\vmatg{v}$ donne un scalaire~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
u_{1}a_1b_1+u_{2}a_2b_1 & u_{1}a_1b_2+u_{2}a_2b_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
v^{1}\\
v^{2}
\end{pmatrix}
&=u_{1}a_1b_1v^{1}+u_{2}a_2b_1v^{1}\\
&\qquad\qquad\qquad+u_{1}a_1b_2v^{2}+u_{2}a_2b_2v^{2}
\end{align*}
\end{exem}
\begin{exem}[Produit de Kronecker d'une matrice ligne par une matrice colonne]
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
b_1 & b_2
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
b_1\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2
\end{pmatrix} &
b_2\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_1a_1\\
b_1a_2
\end{pmatrix} &
\begin{pmatrix}
b_2a_1\\
b_2a_2
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
\end{align*}
Le résultat est une matrice ligne de matrices colonnes.
La post-multiplication matricielle de ce résultat par un vecteur $\vmatg{v}$ donne un vecteur,
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_1a_1\\
b_1a_2
\end{pmatrix} &
\begin{pmatrix}
b_2a_1\\
b_2a_2
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
v^{1}\\
v^{2}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_1a_1\\
b_1a_2
\end{pmatrix}v^{1}
+
\begin{pmatrix}
b_2a_1\\
b_2a_2
\end{pmatrix}v^{2}
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}
b_1a_1v^{1}\\
b_1a_2v^{1}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
b_2a_1v^{2}\\
b_2a_2v^{2}
\end{pmatrix}
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
b_1a_1v^{1}+b_2a_1v^{2}\\
b_1a_2v^{1}+b_2a_2v^{2}
\end{pmatrix}
\end{align*}
puis la pré-multiplication par une forme linéaire $\cov{u}$ donne le même scalaire qu'en \ref{TM:ex:produitKro}~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
u_{1} & u_{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_1a_1v^{1}+b_2a_1v^{2}\\
b_1a_2v^{1}+b_2a_2v^{2}
\end{pmatrix}
=
u_{1}b_1a_1v^{1}+u_{1}b_2a_1v^{2}+u_{2}b_1a_2v^{1}+u_{2}b_2a_2v^{2}
\end{align*}
\end{exem}

\section{Formes bilinéaires}\index{Forme!bilinéaire}
Le produit de Kronecker d'une matrice ligne par une matrice ligne donne une matrice ligne de matrices lignes~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
a_1 & a_2
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
b_1 & b_2
\end{pmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
a_1\begin{pmatrix}
b_1 & b_2
\end{pmatrix}&
a_2\begin{pmatrix}
b_1 & b_2
\end{pmatrix}
\end{bmatrix}
\\
&=
\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}a_1b_1 & a_1b_2\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}a_2b_1 & a_2b_2\end{pmatrix}
\end{bmatrix}
\end{align*}
On note que~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
b_1 & b_2
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
a_1 & a_2
\end{pmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
b_1\begin{pmatrix}
a_1 & a_2
\end{pmatrix}&
b_2\begin{pmatrix}
a_1 & a_2
\end{pmatrix}
\end{bmatrix}
\\
&=
\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}b_1a_1 & b_1a_2\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}b_2a_1 & b_2a_2\end{pmatrix}
\end{bmatrix}\\
&\neq
\begin{pmatrix}
a_1 & a_2
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
b_1 & b_2
\end{pmatrix}
\end{align*}
On vérifie que c'est une forme bilinéaire.
La multiplication matricielle par un premier vecteur $\vmatg{u}$ donne une forme linéaire~:
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}a_1b_1 & a_1b_2\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}a_2b_1 & a_2b_2\end{pmatrix}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}a_1b_1 & a_1b_2\end{pmatrix}u^{1}+\begin{pmatrix}a_2b_1 & a_2b_2\end{pmatrix}u^{2}
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}
a_1b_1u^{1} & a_1b_2u^{1}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a_2b_1u^{2} & a_2b_2u^{2}\end{pmatrix}
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}a_1b_1u^{1}+a_2b_1u^{2} & a_1b_2u^{1}+a_2b_2u^{2}\end{pmatrix}
\end{align*}
La multiplication matricielle par un second vecteur $\vmatg{v}$ donne un scalaire~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}a_1b_1u^{1}+a_2b_1u^{2} & a_1b_2u^{1}+a_2b_2u^{2}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
v^{1}\\
v^{2}
\end{pmatrix}
&=
a_1b_1u^{1}v^{1}+a_2b_1u^{2}v^{1}+a_1b_2u^{1}v^{2}+a_2b_2u^{2}v^{2}
\end{align*}

\chapter{Espaces vectoriels pré-euclidiens}\index{Espace!vectoriel!pré-euclidien}
%\minitoc
\section{Définitions}
Le produit scalaire ne fait pas partie intégrante de la structure d'espace vectoriel, mais est une structure supplémentaire qui peut
ou non être introduite. Les espaces vectoriels munis d'un produit scalaire portent les adjectifs suivants~:
\begin{defi}[Espaces vectoriels pré-euclidiens]\index{Espace!vectoriel!pré-euclidien}
Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire (tout court)\index{Produit!scalaire!definition@définition} est appelé espace vectoriel pré-euclidien.
\end{defi}
\begin{defi}[Espace vectoriel euclidien]\index{Espace!vectoriel!euclidien}
Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire euclidien\index{Produit!scalaire!euclidien} est appelé espace vectoriel euclidien\index{Espace!vectoriel!euclidien},
ou parfois proprement euclidien ou purement euclidien.
\end{defi}

Les espaces vectoriels euclidiens sont inclus dans les espaces vectoriels pré-euclidiens.

\begin{exem}[Espace euclidien]
L'ensemble $\symbb{R}^n$ des n-uplets de nombres réels
(un n-uplet est une liste (ou séquence ou multiplet) ordonnée de $n$ objets, alors qu'un n-uple est une liste non ordonnée de $n$ objets)
muni du produit scalaire euclidien\index{Produit!scalaire!euclidien} est un espace euclidien de dimension $n$.
Les n-uplets de réels ne sont en fait que les coordonnées cartésiennes des points de l'espace euclidien.
\end{exem}
\begin{defi}[Espace vectoriel pseudo-euclidien]\index{Espace!vectoriel!pseudo-euclidien}
Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire indéfini\index{Produit!scalaire!indéfini} (qui peut être positif, négatif ou nul)
est appelé espace vectoriel pseudo-eu\-cli\-dien\index{Espace!vectoriel!pseudo-euclidien}\index{Pseudo!-euclidien}
ou improprement euclidien\index{Espace!vectoriel!improprement euclidien}.
\end{defi}
Les espaces vectoriels pseudo-eu\-cli\-diens sont inclus dans les espaces vectoriels pré-euclidiens.
\begin{rmq}
Les espaces vectoriels pré-euclidiens sont des espaces plats et réciproquement.
Pré-euclidien et plat sont des synonymes. L'existence d'un produit scalaire n'est possible que dans ces espaces,
et par conséquent les définit pleinement.
Dans un espace courbe, le produit scalaire n'est défini que localement dans l'espace pré-euclidien tangent.
\end{rmq}
D'après le théorème de Gram-Schmidt\index{Theoreme@Théorème!d'orthonormalisation de Gram-Schmidt},
dans tout espace pré-euclidien on peut trouver une base orthonormale ou pseudo-orthonormale,
par exemple en relativité restreinte.
Le tenseur métrique est alors diagonal, ses termes sont indépendants des coordonnées et la base est donc globale.
À cette base nous associons un système de coordonnées rectangulaires, global.
En revanche, dans un espace courbe il n'existe pas de base globale, les vecteurs de base sont fonction des coordonnées.
Le tenseur métrique est diagonal ssi le système de coordonnées est orthogonal, mais ses éléments dépendent des coordonnées, il est local.

\section{Signature d'un espace vectoriel pré-euclidien}\index{Signature!d'un espace!vectoriel pré-euclidien}
Grâce au th.~\ref{TM:th:GS} \vpageref{TM:th:GS} de Gram-Schmidt
plaçons-nous dans une base orthogonale d'un espace vectoriel pré-euclidien.
Dans cette base le tenseur métrique est diagonal et les coefficients $g_{ij}$ sont des constantes.
Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls
$\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$ s'écrit
\begin{equation*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=g_{11}u^{1}v^{1}+g_{22}u^{2}v^{2}+\dots+g_{nn}u^nv^n
\end{equation*}
et la norme d'un vecteur non nul $\vmatg{u}$ a pour expression~:
\begin{equation*}
\|\vmatg{u}\|=\left[g_{11}\left(u^{1}\right)^{2}+g_{22}\left(u^{2}\right)^{2}+\dots+g_{nn}\left(u^n\right)^{2}\right]^{1/2}
\end{equation*}
\begin{defi}[Signature d'un espace vectoriel pré-euclidien]\index{Espace!vectoriel!signature}
On appelle signature d'un espace vectoriel l'ensemble des signes positifs et négatifs
apparaissant dans l'expression du produit scalaire\index{Produit!scalaire!lien avec la signature} de deux vecteurs ou de la norme d'un vecteur,
où l'on a remplacé tous les $g_{ii}$ par leur valeur respective, positive ou négative.
\end{defi}
Le nombre de signes~$+$ et de signes~$-$ est une caractéristique intrinsèque de l'espace vectoriel,
indépendante de la base orthogonale considérée.


Si la signature ne comporte que des signes identiques elle est dite \emph{euclidienne}.
La forme quadratique est alors définie et l'espace vectoriel est euclidien.


Si elle ne comporte que des signes positifs, la forme quadratique est définie positive.
Tous les $g_{ii}$ sont positifs, le produit scalaire est euclidien\index{Produit!scalaire!euclidien} et la norme d'un vecteur non nul est strictement positive.

\begin{exem}[Signature de l'espace de la physique non relativiste]\index{Signature!de l'espace!de la physique non relativiste}
Dans une base orthonormée de l'espace vectoriel euclidien de la physique non relativiste, le produit scalaire s'écrit~:
\begin{equation*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=u^{1}v^{1}+u^{2}v^{2}+u^{3}v^{3}
\end{equation*}
C'est l'espace vectoriel euclidien de dimension $3$, de signature euclidienne\index{Signature!euclidienne} $(+++)$.
\end{exem}

\begin{exem}[Signature de l'espace vectoriel euclidien de dimension 2]\index{Signature!de l'espace!vectoriel euclidien}
À la surface d'un cylindre de rayon $\rho$, plaçons-nous dans la base naturelle $(\bng{e}_{\phi} ,\bng{e}_z )$
associée aux coordonnées cylindriques $(\phi,z)$ (Cf.~figure dans Vol.~1 Notion d'espace).
Le tenseur métrique s'écrit
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
\bng{e}_{\phi} \cdot\bng{e}_{\phi} & \bng{e}_{\phi} \cdot\bng{e}_z\\
\bng{e}_z\cdot\bng{e}_{\phi} & \bng{e}_z\cdot\bng{e}_z
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
\rho^{2} & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}
\end{align*}
où $\rho$ est constant.
C'est l'espace euclidien de dimension $2$, de signature $(++)$.
Le tenseur métrique est le même que celui d'un plan car en déroulant un cylindre (ou un cône) on obtient un plan.
\end{exem}
Si la signature comporte des signes différents, le produit scalaire est pseudo-euclidien\index{Produit!scalaire!pseudo-euclidien},
la norme s'appelle pseudo-norme\index{Pseudo!-norme} car elle ne satisfait pas à la condition de séparation (Cf.~Vol.~1 Notion d'espace).
L'espace est pseudo-eu\-cli\-dien, son tenseur métrique est de la forme
\begin{equation*}
\forall i,j\qquad g_{ij}=\pm\delta_{ij}
\end{equation*}
avec au moins un signe positif et un signe négatif.
Lorsqu'un seul signe est différent des autres, la signature\index{Signature!lorentzienne} est dite \emph{lorentzienne}.

\begin{exem}[Signature de l'espace-temps de la relativité restreinte]\index{Signature!de l'espace-temps de la relativité restreinte}
Dans une base orthonormée de l'espace-temps de la relativité restreinte,
le \quadri produit scalaire en convention de genre temps s'écrit~:
\begin{equation*}
\vmatg{u}\qps\vmatg{v}=u^0v^0-u^{1}v^{1}-u^{2}v^{2}-u^{3}v^{3}
\end{equation*}
C'est un espace pseudo-eu\-cli\-dien de dimension $4$, de signature $(+---)$.
Les signatures $(+---)$ et $(-+++)$ sont des signatures lorentziennes.
\end{exem}

\begin{exem}[Signature d'un espace dont on connait la métrique]
Cherchons la signature de l'espace plat dont la métrique s'écrit~:
\begin{align*}
\varepsilon \dd s^{2}&=4\left(\dd x^{1}\right)^{2}+5\left(\dd x^{2}\right)^{2}-2\left(\dd x^{3}\right)^{2}+2\left(\dd x^{4}\right)^{2}-4\dd x^{2}\dd x^{3}-4\dd x^{2}\dd x^{4}-10\dd x^{3}\dd x^{4}\\
&=
\begin{pmatrix}
\dd x^{1} & \dd x^{2} & \dd x^{3} & \dd x^{4}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
4 & 0 & 0 & 0\\
0 & 5 & -2 & -2\\
0 & -2 & -2 & -5\\
0 & -2 & -5 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dd x^{1}\\
\dd x^{2}\\
\dd x^{3}\\
\dd x^{4}
\end{pmatrix}
\end{align*}
où la matrice carrée est la représentation du tenseur métrique dans la base inconnue d'origine.
Nous supposons qu'il existe une base $(\vmatg{v}_{i})$ dans laquelle la matrice représentative du tenseur métrique est diagonale~:
\begin{align*}
G
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & 0 & 0\\
0 & \lambda_2 & 0 & 0\\
0 & 0 & \lambda_3 & 0\\
0 & 0 & 0 & \lambda_4
\end{pmatrix}
\end{align*}
Pour le premier vecteur $\vmatg{v}_1\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ de cette base hypothétique nous aurons~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & 0 & 0\\
0 & \lambda_2 & 0 & 0\\
0 & 0 & \lambda_3 & 0\\
0 & 0 & 0 & \lambda_4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\lambda_1\\
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
=\lambda_1
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\end{align*}
Autrement dit, dans cette base $(\vmatg{v}_{i})$~:
\begin{equation}
\forall i=1,\dots,4\qquad [G]\vmatg{v}_{i}=\lambda_{i}\vmatg{v}_{i}\label{TM:Gvi}
\end{equation}
Les $\lambda_{i}$ sont les \emph{valeurs propres} de la matrice $G$, les $\vmatg{v}_{i}$ sont les \emph{vecteurs propres} de $G$, associés
aux valeurs propres. Les vecteurs propres de $G$ forment une base dans laquelle $G$ est diagonale.
Notez que les vecteurs propres sont définis à un coefficient multiplicateur près~:
\begin{align*}
[G](k\vmatg{v})&=k[G](\vmatg{v})\\
&=k(\lambda \vmatg{v})\\
&=\lambda(k\vmatg{v})
\end{align*}
Cherchons donc un scalaire $\lambda$ et un vecteur non nul $\vmatg{v}$ associé à $\lambda$, respectant \eqref{TM:Gvi}~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
4 & 0 & 0 & 0\\
0 & 5 & -2 & -2\\
0 & -2 & -2 & -5\\
0 & -2 & -5 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2\\
v_3\\
v_4
\end{pmatrix}
=\lambda
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2\\
v_3\\
v_4
\end{pmatrix}
\end{align*}
\begin{align}\label{TM:ex_vec_propres}
\begin{pmatrix}
4-\lambda & 0 & 0 & 0\\
0 & 5-\lambda & -2 & -2\\
0 & -2 & -2-\lambda & -5\\
0 & -2 & -5 & 2-\lambda
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2\\
v_3\\
v_4
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\end{align}
Ce système homogène a une solution non nulle ssi son déterminant est nul~:
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
4-\lambda & 0 & 0 & 0\\
0 & \lambda-5 & 2 & 2\\
0 & 2 & 2+\lambda & 5\\
0 & 2 & 5 & \lambda-2
\end{vmatrix}
&=0
\end{align*}
\begin{align*}
(4-\lambda)
\begin{vmatrix}
\lambda-5 & 2 & 0\\
2 & 2+\lambda & 3-\lambda \\
2 & 5 & \lambda-7
\end{vmatrix}
&=0
\end{align*}
\begin{align*}
(4-\lambda)\left[(\lambda-5)
\begin{vmatrix}
2+\lambda & 3-\lambda \\
5 & \lambda-7
\end{vmatrix}
-2
\begin{vmatrix}
2 & 3-\lambda \\
2 & \lambda-7
\end{vmatrix}\right]
&=0
\end{align*}
\begin{align*}
\det(G-\lambda I)
&=(4-\lambda)\left\{(\lambda-5)\left[(2+\lambda)(\lambda-7)-5(3-\lambda)\right]-2\left[2(\lambda-7)-2(3-\lambda)\right]\right\}\\
&=(4-\lambda)\left[(\lambda-5)\left(\lambda^{2}-29\right)-8(\lambda-5)\right]\\
&=(4-\lambda)(\lambda-5)\left(\lambda^{2}-37\right)\\
&=0
\end{align*}
Quatre valeurs propres annulent le déterminant~: $\lambda=+4,\,+5,\,+\sqrt{37},\,-\sqrt{37}$

En injectant chaque valeur propre dans \eqref{TM:ex_vec_propres}, on trouve le vecteur propre qui lui est associé.
Il existe bien une transformation des coordonnées telle que dans le nouveau système de coordonnées la métrique s'écrive~:
\begin{align*}
\varepsilon \dd s^{2}&=4\left(\dd x^{1}\right)^{2}+5\left(\dd x^{2}\right)^{2}+\sqrt{37}\left(\dd x^{3}\right)^{2}-\sqrt{37}\left(\dd x^{4}\right)^{2}\\
&=\left(\dd \bar x^{1}\right)^{2}+\left(\dd \bar x^{2}\right)^{2}+\left(\dd \bar x^{3}\right)^{2}-\left(\dd \bar x^{4}\right)^{2}
\end{align*}
Par conséquent la signature\index{Signature!lorentzienne!$(+ + + -)$} est $(+ + + -)$.
\end{exem}

\section{Angle entre deux vecteurs}
Soient deux vecteurs $\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$ d'un espace vectoriel pré-euclidien\index{Angle entre deux vecteurs!d'un espace vectoriel pré-euclidien}
donnés en fonction de leurs composantes contravariantes.
À partir de la définition du cosinus (Cf.~Vol.~1 Notion d'espace)~:
\begin{equation}
\cos(\vmatg{u},\vmatg{v})=\frac{g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt{|g_{pq}u^pu^q|}\sqrt{|g_{rs}v^{r}v^s|}}\label{TM:cos}
\end{equation}
\begin{rmq}
L'angle étant défini uniquement à partir de produits scalaires, il est invariant par changement de coordonnées.
\end{rmq}
\subsection{Espace vectoriel euclidien}
Dans un espace vectoriel euclidien nous pouvons supprimer les valeurs absolues\index{Angle entre deux vecteurs!d'un espace vectoriel euclidien}~:
\begin{equation*}
\cos(\vmatg{u},\vmatg{v})=\frac{g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt{g_{pq}u^pu^q}\sqrt{g_{rs}v^{r}v^s}}
\end{equation*}

\begin{theo}
On considère la base naturelle d'un système de coordonnées quelconque d'un espace vectoriel pré-euclidien.
Soit $\tm$ le tenseur métrique local.
Si $\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$ sont les champs de vecteurs tangents à deux familles de courbes,
alors ces familles sont mutuellement orthogonales ssi
\begin{empheq}[box=\maboitetheo]{align*}
g_{ij}u^{i}v^{j}=0
\end{empheq}
\end{theo}
\begin{defi}[Vecteur normal à une surface]\index{Vecteur(s)!normal à une surface}
Un vecteur est normal à une surface en un point $P$ de cette surface,
s'il est orthogonal au vecteur tangent de toute courbe appartenant à la surface et passant par ce point $P$.
\end{defi}
Dans un système de coordonnées $(x^{i})$ d'un espace vectoriel euclidien,
considérons l'hypersurface de coordonnée $x^\alpha=\cste$.
Tout vecteur $\vmatg{T}$ tangent à cette surface a sa composante $t^\alpha$ nulle~:
\begin{align*}
t^\alpha&=\frac{\dd x^\alpha}{\dd \lambda}\\
&=0
\end{align*}
où $\lambda$ est un paramètre.
Le vecteur $\vmatg{N}$ de composantes contravariantes
\begin{equation*}
n^{i}=g^{i\alpha}
\end{equation*}
est normal à cette hyper-surface, en effet~:
\begin{align*}
\vmatg{N}\cdot\vmatg{T}&=g_{ij}n^{i}t^{j}\\
&=g_{ij}g^{i\alpha}t^{j}\\
&=g^{i\alpha}t_{i}\\
&=t^\alpha \\
&=0
\end{align*}
Nous en déduisons l'expression de l'angle $\theta$ entre les normales aux surfaces $x^\alpha=\cste$ et $x^\beta=\cste$.
En appelant $\vmatg{u}\left(g^{i\alpha}\right)$ et $\vmatg{v}\left(g^{j\beta}\right)$
les vecteurs normaux aux hyper-surfaces, \eqref{TM:cos} \vpageref{TM:cos} donne~:
\begin{align}
\cos(\theta)&=\frac{g_{ij}g^{i\alpha}g^{j\beta}}{\sqrt{g_{pq}g^{p\alpha}g^{q\alpha}}\sqrt{g_{rs}g^{r\beta}g^{s\beta}}}\notag\\
&=\frac{g^{\alpha \beta}}{\sqrt{g^{\alpha \alpha}}\sqrt{g^{\beta \beta}}}\label{TM:costheta}
\end{align}
Par exemple, en coordonnées orthogonales (curvilignes ou rectilignes), donc pour lesquelles le cosinus de l'angle est nul,
en tout point
\begin{equation*}
\forall i\neq j\qquad g_{ij}=0
\end{equation*}
ou de façon équivalente
\begin{equation*}
\forall i\neq j\qquad g^{ij}=0
\end{equation*}

Soit $(x^{i})$ un système de coordonnées quelconques et soit $x^\alpha(\lambda)=\lambda$ une ligne de coordonnée de paramètre $\lambda$,
les autres coordonnées étant nulles~:
\begin{equation*}
\forall i=1,\dots,n\qquad
\begin{dcases}
i=\alpha,\quad x^\alpha=\lambda \\
i\neq\alpha,\quad x^{i}=0
\end{dcases}
\qquad \Rightarrow \qquad
\forall i=1,\dots,n\qquad x^{i}=\lambda \delta_{i\alpha}
\end{equation*}
Soit une autre ligne de coordonnées d'équation~:
\begin{equation*}
\forall j=1,\dots,n\qquad x^{j}=\lambda \delta_{j\beta}
\end{equation*}
\eqref{TM:cos} \vpageref{TM:cos} donne l'angle $\phi$ entre ces deux lignes de coordonnées~:
\begin{align*}
\cos(\phi)
&=\frac{g_{ij}\lambda \delta_{i\alpha}\lambda \delta_{j\beta}}{\sqrt{g_{pq}\lambda \delta_{p\alpha}\lambda \delta_{q\alpha}}
\sqrt{g_{rs}\lambda \delta_{r\beta}\lambda \delta_{s\beta}}}\\
&=\frac{g_{\alpha \beta}}{\sqrt{g_{\alpha \alpha}}\sqrt{g_{\beta \beta}}}
\end{align*}
En général cet angle est différent de l'angle $\theta$ donné par \eqref{TM:costheta} \vpageref{TM:costheta}.

\begin{exem}[Angle entre deux vecteurs]
Soient $\vmatg{u}(1,0,-2,-1,0)$ et $\vmatg{v}(0,0,2,2,0)$ deux vecteurs de l'espace vectoriel euclidien $\ev{E}_5$, alors~:
\begin{align*}
&\vmatg{u}^{2}=1^{2}+0^{2}+(-2)^{2}+(-1)^{2}+0^{2}=6\\
&\vmatg{v}^{2}=0^{2}+0^{2}+2^{2}+2^{2}+0^{2}=8\\
&\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=1\times0+0\times0-2\times2-1\times2+0\times0=-6
\end{align*}
\begin{align*}
\cos(\vmatg{u},\vmatg{v})&=\frac{-6}{\sqrt6\sqrt8}=-\frac{\sqrt{3}}{{2}}\\
(\widehat{\vmatg{u},\vmatg{v}})&=\frac{5\pi}{6}
\end{align*}
\end{exem}

\begin{exem}[Familles de courbes orthogonales]
En coordonnées polaires\index{Coordonnées!polaires} d'un espace vectoriel euclidien $\evn{E}{2}$, cherchons la famille de courbes orthogonales à la famille de courbes suivante~:
\begin{equation*}
\theta=\rho-c
\end{equation*}
où $c$ est une constante. Nous pouvons la paramêtrer sous la forme~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\rho(t)=t\\
\theta(t)=t-c
\end{dcases}
\end{equation*}
Le champ de vecteurs tangents à cette famille de courbes,
\begin{align*}
\vmatg{u}
\begin{pmatrix}
u^{\rho} \\
u^{\theta}
\end{pmatrix}
=\vmatg{u}
\begin{pmatrix}
\nicefrac{\dd \rho}{\dd t}\\
\nicefrac{\dd \theta}{\dd t}
\end{pmatrix}
=\vmatg{u}
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}
\end{align*}
est constant dans le système de coordonnées polaires.
Nous cherchons la famille de courbes de paramètre $\tau$, c.-à-d. $\rho(\tau)$ et $\theta(\tau)$, dont le champ de vecteurs tangents
\begin{align*}
\vmatg{v}
\begin{pmatrix}
v^{\rho} \\
v^{\theta}
\end{pmatrix}
=\vmatg{v}
\begin{pmatrix}
\nicefrac{\dd \rho}{\dd \tau}\\
\nicefrac{\dd \theta}{\dd \tau}
\end{pmatrix}
\end{align*}
est tel que le numérateur de \eqref{TM:cos} \vpageref{TM:cos} soit nul~:
\begin{align*}
g_{ij}u^{i}v^{j}&=0\\
g_{\rho \rho}u^{\rho} v^{\rho}+g_{\rho \theta}u^{\rho} v^{\theta}+g_{\theta \rho}u^{\theta} v^{\rho}+g_{\theta \theta}u^{\theta} v^{\theta}&=0\\
v^{\rho}+\rho^{2}v^{\theta}&=0\\
\frac{\dd \rho}{\dd \tau}+\rho^{2}\,\frac{\dd \theta}{\dd \tau}&=0
\end{align*}
On résoud l'équation différentielle à variables séparables~:
\begin{align*}
\frac{\dd \rho}{\rho^{2}}&=-\dd \theta\\
\rho^{-1}&=\theta+c\\
\rho&=\frac{1}{\theta+c}
\end{align*}
où $c$ est une constante.
\end{exem}

\begin{exem}[Courbes orthogonales]
En coordonnées sphériques $(r,\theta,\phi)$ d'un espace vectoriel euclidien $\evn{E}{3}$,
soient deux courbes $\symscr{C}_1$ et $\symscr{C}_2$ sur une sphère de rayon $a$,
d'équations~:
\begin{equation*}
\symscr{C}_1\quad :\quad \phi=f(\theta)\qquad \text{et} \qquad \symscr{C}_2\quad :\quad \phi=g(\theta)
\end{equation*}
Cherchons la condition pour que ces courbes soient orthogonales.
Nous pouvons les paramêtrer~:
\begin{equation*}
\symscr{C}_1(t)\quad :\quad
\begin{dcases}
r=a\\
\theta=t\\
\phi=f(t)
\end{dcases}
\qquad \text{et} \qquad \symscr{C}_2(\tau)\quad :\quad
\begin{dcases}
r=a\\
\theta=\tau\\
\phi=g(\tau)
\end{dcases}
\end{equation*}
Les vecteurs tangents à ces courbes sont respectivement~:
\begin{equation*}
\vmatg{u}\left(0,1,\dd _{\theta} f(\theta)\right)\qquad \text{et}
\qquad \vmatg{v}\left(0,1,\dd _{\theta} g(\theta)\right)
\end{equation*}
D'après \eqref{TM:cos} \vpageref{TM:cos},
ces courbes sont orthogonales au point d'intersection $\left(a,\theta_0,\phi_0\right)$ ssi le produit scalaire des vecteurs tangents est nul en ce point,
$g_{ij}u^{i}v^{j}=0$~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & \frac{\dd f\left(\theta \right)}{\dd \theta}|_{\theta=\theta_0}
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & a^{2} & 0\\
0 & 0 & a^{2}\sin^{2}(\theta_0)
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
\frac{\dd g\left(\theta \right)}{\dd \theta}|_{\theta=\theta_0}
\end{pmatrix}&=0
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & \frac{\dd f\left(\theta \right)}{\dd \theta}|_{\theta=\theta_0}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0\\
a^{2}\\
a^{2}\sin^{2}(\theta_0)\times\frac{\dd g\left(\theta \right)}{\dd \theta}|_{\theta=\theta_0}
\end{pmatrix}&=0\\
a^{2}+\dd _{\theta} f\left(\theta \right)|_{\theta=\theta_0}\times a^{2}\sin^{2}(\theta_0)\times \dd _{\theta} g\left(\theta \right)|_{\theta=\theta_0}&=0\\
\dd _{\theta} f\left(\theta \right)|_{\theta=\theta_0}\times \dd _{\theta} g\left(\theta \right)|_{\theta=\theta_0}&=-\sin^{-2}(\theta_0)
\end{align*}
\end{exem}

\begin{exem}[Champs de vecteurs orthogonaux]
Soient deux champs de vecteurs en coordonnées cylindriques $(\rho,\phi,z)$,
\begin{equation*}
\vmatg{u}\left(0,1,2b\phi \right)\qquad \text{et} \qquad \vmatg{v}\left(0,-2b\phi,\rho^{2}\right)
\end{equation*}
où $b$ est une constante.
Montrons qu'ils sont orthogonaux~:
\begin{align*}
g_{ij}u^{i}v^{j}&=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2b\phi
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \rho^{2} & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
0\\
-2b\phi \\
\rho^{2}
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2b\phi
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\
-2b\phi \rho^{2}\\
\rho^{2}
\end{pmatrix}\\
&=0
\end{align*}
$\vmatg{u}$ est le champ de vecteurs tangents à la courbe paramétrique de paramètre $t$
\begin{equation*}
\symscr{C}\quad :\quad \rho=a,\quad \phi=t,\quad z=bt^{2}
\end{equation*}
car en dérivant on retrouve $\vmatg{u}$~:
\begin{equation*}
\dd \rho/\dd t=\dd a/\dd t=0,
\qquad \dd \phi/\dd t=\dd t/\dd t=1,\qquad \dd z/\dd t=\dd (bt^{2})/\dd t=2bt=2b\phi
\end{equation*}
D'après son système d'équations paramétriques, $\symscr{C}$ est une hélice à pas variable sur le cylindre droit de rayon $a$.
De même, la courbe $\lag$ de paramètre $\tau$~:
\begin{equation*}
\lag\quad :\quad \rho=a,\quad \frac{\dd \phi}{\dd \tau}=-2b\phi,\quad \frac{\dd z}{\dd \tau}=a^{2}
\end{equation*}
a pour champ de vecteurs tangents $\vmatg{v}$~:
\begin{equation*}
\dd \rho/\dd \tau=0,\qquad \dd \phi/\dd \tau=-2b\phi,\qquad \dd z/\dd \tau=a^{2}
\end{equation*}
Nous avons montré que cette courbe est orthogonale à la courbe $\symscr{C}$.
La courbe $\lag$ s'écrit aussi~:
\begin{equation*}
\rho=a,\quad \frac{\dd \phi}{\phi}=-2b\dd \tau,\quad z=a^{2}\tau+c_1
\end{equation*}
Supposons qu'à $\tau=0,\ z=0$~:
\begin{align*}
&\rho=a,\quad \ln\phi=-2b\tau+c_2,\quad z=a^{2}\tau\\
&\rho=a,\quad \phi=C\exp\left(-2bz/a^{2}\right)
\end{align*}
Cette solution n'inclue pas toutes les courbes orthogonales à $\symscr{C}$
car certaines n'ont pas pour champ de vecteurs tangents $\vmatg{v}$.
\end{exem}

\subsection{Espace vectoriel pseudo-euclidien}
Pour la métrique indéfinie d'un espace pseudo-euclidien,
l'angle $(\widehat{\vmatg{u},\vmatg{v}})$ entre deux vecteurs non nuls (dont la norme est non nulle)
donnés en composantes contravariantes, s'écrit~:
\begin{align*}
\cos(\vmatg{u},\vmatg{v})&=\frac{\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}}{\|\vmatg{u}\|\|\vmatg{v}\|}\\
&=\frac{g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt{|g_{pq}u^pu^q|}\sqrt{|g_{rs}v^{r}v^s|}}\\
&=\frac{g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt{\varepsilon_1 g_{pq}u^pu^q}\sqrt{\varepsilon_2g_{rs}v^{r}v^s}}
\end{align*}
Deux cas sont alors possibles~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item l'inégalité de Cauchy-Schwarz reste valable~:
\begin{align*}
|\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}|&\leqslant \|\vmatg{u}\|\|\vmatg{v}\|\\
\frac{|\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}|}{\|\vmatg{u}\|\|\vmatg{v}\|}&\leqslant1\\
-1\leqslant \cos(\vmatg{u},\vmatg{v})&\leqslant1
\end{align*}
L'angle $(\widehat{\vmatg{u},\vmatg{v}})$ des deux vecteurs existe,
est unique et compris entre $0$ et $\pi$.
\item l'inégalité de Cauchy-Schwarz n'est plus valable~:
\begin{equation*}
|\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}|>\|\vmatg{u}\|\|\vmatg{v}\|
\end{equation*}
Nous avons alors
\begin{equation*}
\cos(\vmatg{u},\vmatg{v})=k\qquad (|k|>1)
\end{equation*}
Il existe une infinité de solutions pour l'angle, toutes complexes. Par convention on choisit~:
\begin{equation*}
(\widehat{\vmatg{u},\vmatg{v}})=
\begin{dcases}
i\ln\left(k+\sqrt{k^{2}-1}\right)\qquad k>1\\
\pi+i\ln\left(-k+\sqrt{k^{2}-1}\right)\qquad k<1
\end{dcases}
\end{equation*}
avec les limites $k\to1^+$ et $k\to-1^-$
\end{itemize}

\chapter{Espaces ponctuels}
%\minitoc
\section{Définitions}
À chaque vecteur nous avons associé un couple de points (Cf.~Vol.~1 Notion d'espace).
Nous revenons ici sur cette correspondance.

\begin{defi}[Espace ponctuel pré-euclidien]\index{Espace!ponctuel!pré-euclidien}
On appelle espace ponctuel pré-euclidien, un espace ponctuel tel que l'espace vectoriel associé soit un espace pré-euclidien.
\end{defi}
\begin{defi}[Espace ponctuel euclidien]\index{Espace!ponctuel!euclidien}
On appelle espace ponctuel euclidien, un espace ponctuel tel que l'espace vectoriel associé soit un espace euclidien.
\end{defi}

\section{Repère et coordonnées d'un point}
\begin{defi}[Repère d'un espace ponctuel]\index{Espace!ponctuel!repère}
On appelle repère $\left(O,\vmatg{e}_{i}\right)$ d'un espace ponctuel $\evn{E}{n}$,
l'ensemble d'un point $O$ de $\evn{E}{n}$ appelé origine du repère,
et d'une base quelconque $(\vmatg{e}_{i})$ de l'espace vectoriel $\evn{E}{n}$ associé à l'espace ponctuel $\evn{E}{n}$.
\end{defi}
\begin{defi}[Coordonnées d'un point]\index{Coordonnées!d'un point}
Dans un système de coordonnées cartésiennes \index{Coordonnées!cartésiennes}\index{Coordonnées!rectilignes}
de centre $O$ d'un espace ponctuel pré-euclidien $\evn{E}{n}$,
les $n$ coordonnées $x^{i}$ d'un point $M$ sont aussi les $n$ composantes contravariantes $x^{i}$ du vecteur $\vv{\symup{OM}}$
de l'espace vectoriel associé $\evn{E}{n}$, exprimées dans le repère naturel $\left(O,\bnf{e}_{i}\right)$ associé au système de coordonnées.
\end{defi}
Dans un système de coordonnées quelconque, soient deux points $M(x^{i}_M)$ et $N(x^{j}_N)$.
Dans la base naturelle de ce système de coordonnées, et uniquement dans cette base~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\dd \vv{\symup{OM}}=\dd x^{i}_M\bnf{e}_{i}\\
\dd \vv{\symup{ON}}=\dd x^{i}_N\bnf{e}_{i}
\end{dcases}
\end{equation*}
$\dd x^{i}_M$ et $\dd x^{j}_N$ sont respectivement les composantes contravariantes des vecteurs $\vv{\symup{OM}}$ et $\vv{\symup{ON}}$.
En utilisant les deux premiers axiomes de la définition d'un espace ponctuel~:
\begin{align*}
\dd \vv{\symup{MN}}&=\dd \vv{\symup{MO}}+\dd \vv{\symup{ON}}\\
&=\dd \vv{\symup{ON}}-\dd \vv{\symup{OM}}\\
&=\left(\dd x^{i}_N-\dd x^{i}_M\right)\bnf{e}_{i}
\end{align*}
$\dd \left(x^{i}_N-x^{i}_M\right)$ sont les composantes contravariantes du vecteur infinitésimal $\dd \vv{\symup{MN}}$ dans la base naturelle $(\bnf{e}_{i})$.

\section{Distance}
\begin{defi}[Distance euclidienne]\index{Distance!euclidienne}
La distance euclidienne $MN$ entre deux points $M$ et $N$ d'un espace ponctuel euclidien $\evn{E}{n}$,
est la norme euclidienne du vecteur $\vv{\symup{MN}}$ de l'espace vectoriel euclidien normé $\evn{E}{n}$ associé à $\evn{E}{n}$~:
\begin{equation*}
MN=\|\vv{\symup{MN}}\|
\end{equation*}
Dans un système de coordonnées cartésiennes (rectilignes), si les points $M$ et $N$ ont respectivement pour coordonnées $x^{i}_M$ et $x^{i}_N$,
dans la base naturelle (normée) associée à ce système de coordonnées~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
MN^{2}&=\left(x^{i}_M-x^{i}_N\right)\bnf{e}_{i}\cdot\left(x^{j}_N-x^{j}_M\right)\bnf{e}_{j}\\
&=g_{ij}\left(x^{i}_N-x^{i}_M\right)\left(x^{j}_N-x^{j}_M\right)
\end{empheq}
où le produit scalaire est défini positif, c.-à-d. euclidien.
\end{defi}

\begin{defi}[Distance pré-euclidienne]\index{Distance!pré-euclidienne}
La distance $MN$ entre deux points $M$ et $N$ d'un espace ponctuel pré-euclidien $\evn{E}{n}$,
est la pseudo-norme du vecteur $\vv{\symup{MN}}$ de l'espace vectoriel pré-euclidien normé $\evn{E}{n}$ associé à $\evn{E}{n}$~:
\begin{equation*}
MN=\|\vv{\symup{MN}}\|
\end{equation*}
Dans un système de coordonnées cartésienne (rectilignes), si les points $M$ et $N$ ont respectivement pour coordonnées $x^{i}_M$ et $x^{i}_N$,
dans la base naturelle (pseudo-normée) associée à ce système de coordonnées~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align}
MN^{2}&=\left(x^{i}_M-x^{i}_N\right)\bnf{e}_{i}\cdot\left(x^{j}_N-x^{j}_M\right)\bnf{e}_{j}\notag\\
&=g_{ij}\left(x^{i}_N-x^{i}_M\right)\left(x^{j}_N-x^{j}_M\right)\label{TM:MN}
\end{empheq}
où le produit scalaire est non-dégénéré.
\end{defi}
\eqref{TM:MN} n'est valable que lorsque les $g_{ij}$ ne sont pas des fonctions des coordonnées,
c.-à-d. en coordonnées cartésiennes (rectilignes), donc dans un espace pré-euclidien (euclidien ou pseudo-eu\-cli\-dien).

Supposons $N$ infiniment proche de $M$ et désignons par $x^{i}$ les coordonnées de $M$ et $x^{i}+\dd x^{i}$ et les coordonnées de $N$.
Si l'on note $\dd s$ la distance infinitésimale $MN$,
 \eqref{TM:MN} devient la forme quadratique de différentielles, appelée \emph{forme quadratique fondamentale}\index{Forme!quadratique!fondamentale}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\dd s^{2}=g_{ij}\,\dd x^{i}\dd x^{j}
\end{empheq}
où les coefficients $g_{ij}$ sont les produits scalaires des vecteurs de base de la base naturelle du système de coordonnées quelconque $(x^{i})$.
Ils sont fonction des coordonnées $x^{i}$ lorsque la base varie localement.
En permettant le calcul de la distance infinitésimale localement en chaque point et dans toutes les directions,
les $g_{ij}$ caractérisent complètement la géométrie de l'espace considéré (pré-euclidien ou non).
Ils définissent cette géométrie de manière intrinsèque sans qu'il soit nécessaire de considérer que l'hypersurface est plongée dans un
espace de dimension supérieure.
Lorsque les $g_{ij}$ sont fonction des coordonnées $x^{i}$, soit l'espace est pré-euclidien mais le système de coordonnées n'est pas cartésien (rectiligne),
soit l'espace riemannien n'est pas pré-euclidien.
Lorsque $\evn{E}{n}$ est pré-euclidien,
le théorème d'orthonormalisation de Gram-Schmidt \vpageref{TM:Gram Schmidt}\index{Theoreme@Théorème!d'orthonormalisation de Gram-Schmidt}
nous assure qu'il est toujours possible de trouver une base orthonormale ou pseudo-orthonormale.

Lorsque $\evn{E}{n}$ est euclidien et le système de coordonnées rectangulaires,
les termes diagonaux du tenseur métrique valent l'unité et les termes non diagonaux sont nuls.
Il ne reste que les termes carrés $\dd x^{i}\dd x^{i}$, les termes rectangles $\dd x^{i}\dd x^{j},\ i\neq j$ étant nuls~:
\begin{align*}
\dd s^{2}&=\left(\dd x^{1}\right)^{2}+\left(\dd x^{2}\right)^{2}+\dots+\left(\dd x^{n}\right)^{2}\\
&=\sum_{i=1}^n\dd x^{i}\dd x^{i}\\
&=\delta_{ij}\dd x^{i}\dd x^{j}
\end{align*}
La distance est alors positive, ou nulle si les points sont confondus.
Cette expression généralise à $n$ dimensions le carré de la distance élémentaire de l'espace euclidien de la géométrie classique
en coordonnées rectangulaires (théorème de Pythagore).

\begin{exem}{Distance en coordonnées rectilignes obliques $(x^{1},x^{2})$}{}\index{Coordonnées!rectilignes!obliques}
En coordonnées cartésiennes obliques\index{Coordonnées!cartésiennes!obliques} dans le plan le carré de la distance s'écrit~:
\begin{align*}
\Delta s^{2}&=g_{ij}\Delta x^{i}\Delta x^{j}\\
&=g_{11}\left(\Delta x^{1}\right)^{2}+g_{12}\Delta x^{1}\Delta x^{2}+g_{21}\Delta x^{2}\Delta x^{1}+g_{22}\left(\Delta x^{2}\right)^{2}\\
&=g_{11}\left(\Delta x^{1}\right)^{2}+2g_{12}\Delta x^{1}\Delta x^{2}+g_{22}\left(\Delta x^{2}\right)^{2}\\
&=\left(\Delta x^{1}\right)^{2}+2\cos(\alpha)\Delta x^{1}\Delta x^{2}+\left(\Delta x^{2}\right)^{2}
\end{align*}
On retrouve la formule de Pythagore pour le triangle quelconque.
\end{exem}

\begin{exem}[Distance en coordonnées polaires $(\rho,\theta)$]\index{Distance!en coordonnées polaires}
Le carré de la distance infinitésimale
\begin{equation*}
\dd s^{2}=\dd \rho^{2}+\rho^{2}\dd \theta^{2}
\end{equation*}
est de signature $(++)$.
Le premier terme $g_{11}\left(\dd x^{1}\right)^{2}=\dd \rho^{2}$ est la distance entre deux points sur la ligne de coordonnée $x^{1}=\rho$,
et le second terme $g_{22}\left(\dd x^{2}\right)^{2}=\rho^{2}\dd \theta^{2}$ est la distance entre deux points sur la ligne de coordonnée $x^{2}=\theta$.
Le terme croisé $2g_{12}\dd x^{1}\dd x^{2}$ n'apparait pas car les coordonnées polaires sont orthogonales.
\end{exem}

Nous pouvons donner une nouvelle définition du système de coordonnées rectangulaires~:
\begin{defi}[Système de coordonnées rectangulaires]\index{Coordonnées!rectangulaires}
Dans un $\symbb{R}$-espace vectoriel de dimension $n$, un système de coordonnées $(x^{i})$ est rectangulaire
si la distance entre deux points arbitraires $P\left(x^{1}_P,\dots,x^{n}_P\right)$ et $Q\left(x^{1}_Q,\dots,x^{n}_Q\right)$ est donnée par une
généralisation du théorème de Pythagore\index{Theoreme@Théorème!de Pythagore!généralisation},
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
PQ&=\sqrt{\left(x^{1}_Q-x^{1}_P\right)^{2}+\dots+\left(x^{n}_Q-x^{n}_P\right)^{2}}\\
&=\sqrt{\delta_{ij}\Delta x^{i}\Delta x^{j}}
\end{empheq}
où $\Delta x^{i}=x^{i}_Q-x^{i}_P$.

En notation vectorielle~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\dd \left(\vmatg{P},\vmatg{Q}\right)&=\left\|\vmatg{Q}-\vmatg{P}\right\|\\
&=\sqrt{\transp{\left(\vmatg{Q}-\vmatg{P}\right)}\left(\vmatg{Q}-\vmatg{P}\right)}
\end{empheq}
\end{defi}
Cherchons l'expression de la distance entre deux points lorsque l'on applique une transformation linéaire
$\vmatg{u}'=A\vmatg{u}$ inversible $(\det A\neq0)$.
Posons $A^{-1}=B$ c.-à-d. $\vmatg{u}=B\vmatg{u}'$.
La transformation linéaire conserve les distances~:
\begin{align*}
\dd \left(\vmatg{u}',\vmatg{v}'\right)&=\dd (\vmatg{u},\vmatg{v})\\
&=\sqrt{\transp{\left(\vmatg{u}-\vmatg{v}\right)}\left(\vmatg{u}-\vmatg{v}\right)}\\
&=\sqrt{\transp{\left(B\vmatg{u}'-B\vmatg{v}'\right)}\left(B\vmatg{u}'-B\vmatg{v}'\right)}\\
&=\sqrt{\transp{\left[B\left(\vmatg{u}'-\vmatg{v}'\right)\right]}B
\left(\vmatg{u}'-\vmatg{v}'\right)}\\
&=\sqrt{\transp{\left(\vmatg{u}'-\vmatg{v}'\right)}\transp{B}B\left(\vmatg{u}'-\vmatg{v}'\right)}
\end{align*}
On pose
\begin{equation*}
G=\transp{B}B=\transp{\left(A^{-1}\right)}A^{-1}=\left(\transp{A}\right)^{-1}A^{-1}=\left(A\transp{A}\right)^{-1}
\end{equation*}
Les éléments de la matrice $A$ étant des constantes, les éléments de $G$ sont aussi des constantes.

\begin{exem}[Relativité restreinte]\label{TM:ex_RR}
Plaçons-nous dans le système de coordonnées galiléennes $(t,x,y,z)$.
La distance de carré $c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}$ n'a pas d'intérêt
car elle n'est pas invariante par la transformation de Lo\-rentz-\-Poin\-caré.
En revanche, la distance d'univers de carré
\begin{align*}
s^{2}&=\pm(c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2})\\
&=\tmr_{00}\,t^{2}+\tmr_{11}\,x^{2}+\tmr_{22}\,y^{2}+\tmr_{33}\,z^{2}
\end{align*}
est invariante par la transformation de spéciale de Lorentz (Cf.~Vol.~5 Relativité restreinte),
l'autre invariant étant la constante de structure de l'espace-temps.
Ces deux invariants relativistes remplacent les invariants de la physique non relativiste,
la distance entre deux points de l'espace et la durée entre deux instants.

Pour \enquote{pseudo-normer} la base, c.-à-d. pour avoir $\tmr_{00}=\pm1$, il suffit d'effectuer le changement de variable $\symup t=ct$,
ce qui revient à poser $c=1$.
C'est ce que nous ferons, les unités de temps et d'espace étant arbitraires,
comme d'ailleurs toutes les unités de la physique.
\end{exem}
\section{Dérivée et différentielle d'un vecteur et d'un point}
\begin{defi}[Vecteur fonction d'une variable]\index{Vecteur(s)!fonction d'une variable}
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, et soit $t$ une variable scalaire variant dans un intervalle $[a,b]$.
Si à chaque valeur de $t$ nous faisons correspondre un vecteur $\vmatf{u}$ de $E$,
nous dirons que le vecteur $\vmatf{u}$ est une fonction de la variable $t$,
et nous noterons ce vecteur variable $\vmatf{u}(t)$.
\end{defi}
\begin{defi}[Vecteur tendant vers le vecteur nul]\index{Vecteur(s)!tendant vers le vecteur nul}
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien.
Un vecteur variable $\vmatf{u}(t)$ de $E$ tend vers le vecteur nul,
si le scalaire $\|\vmatf{u}(t)\|$ tend vers zéro quand $t$ croît.
\end{defi}
\begin{defi}[Vecteur fonction continue d'une variable]
Le vecteur $\vmatf{u}(t)$ est une fonction continue de la variable $t$,
si, la variable $t$ ayant reçu un accroissement $\Delta t$, le vecteur
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\Delta\vmatf{u}=\vmatf{u}(t+\Delta t)-\vmatf{u}(t)
\end{empheq}
tend vers zéro quand $\Delta t$ tend vers zéro.
\end{defi}
\begin{defi}[Vecteur dérivée d'un vecteur]\index{Vecteur(s)!dérivée d'un vecteur}
S'il existe un vecteur $\dot{\vmatf{u}}(t)$ tel que,
\begin{equation*}
\dot{\vmatf{u}}(t)-\frac{\Delta\vmatf{u}(t)}{\Delta t}\xrightarrow[\Delta t\to 0]{} 0
\end{equation*}
nous dirons que $\dot{\vmatf{u}}(t)$ est le vecteur dérivée de $\vmatf{u}(t)$
pour la variable $t$. Nous noterons~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\dot{\vmatf{u}}(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\vmatf{u}(t)}{\Delta t}\\
&=\frac{\dd \vmatf{u}}{\dd t}
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{defi}[Vecteur différentielle d'un vecteur]\index{Vecteur(s)!différentielle!d'un vecteur}
Nous appellerons différentielle du vecteur $\vmatf{u}(t)$, le vecteur~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\dd \vmatf{u}=\dot{\vmatf{u}}\dd t
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{defi}[Point fonction d'une variable]\index{Point!fonction d'une variable}
Soit $\symcal E$ un espace ponctuel euclidien, et soit $t$ une variable scalaire variant dans un intervalle $[a,b]$.
Si à chaque valeur de $t$ nous faisons correspondre un point $M$ de $\symcal E$, nous dirons que $M$ est
une fonction de la variable $t$, et nous noterons cette fonction $M(t)$.
\end{defi}
Soit $M(t)$ une fonction de la variable $t$, et soit $O$ un point fixe arbitraire d'un espace ponctuel euclidien $\symcal E$~:
le vecteur $\vv{\symup{OM}}$ est alors une fonction de $t$. Soit $O'$ un autre point fixe arbitraire de $\symcal E$,
alors, $\vv{\symup{OO'}}$ étant constant~:
\begin{align*}
\vv{\symup{OM}}(t)&=\vv{\symup{OO'}}+\vv{\symup{O'M}}(t)\\
\frac{\dd \vv{\symup{OM}}(t)}{\dd t}&=\frac{\dd \vv{\symup{OO'}}}{\dd t}+\frac{\dd \vv{\symup{O'M}}(t)}{\dd t}\\
\frac{\dd \vv{\symup{OM}}(t)}{\dd t}&=\frac{\dd \vv{\symup{O'M}}(t)}{\dd t}
\end{align*}
Le vecteur dérivée du vecteur $\vv{\symup{OM}}$ est indépendant du point fixe $O$ choisi, d'où les notations~:
\begin{ntn}
Le vecteur dérivée d'un point $M$ fonction de la variable $t$ est noté~:
\begin{equation*}
\frac{\dd \vv{M}}{\dd t}\equiv\dot{\vv{M}}
\end{equation*}
Le vecteur différentielle d'un point $M$ fonction de la variable $t$ (ou différentielle de $M$) est noté~:
\begin{equation*}
\dd \vv{M}\equiv\dot{\vv{M}}\dd t
\end{equation*}
\end{ntn}

\begin{exem}{Vecteurs de base de la base naturelle du système de coordonnées $(x^{i})$}{}
Ils sont notés~:
\begin{equation*}
\bnf{e}_{i}=\frac{\partial \vv{M}}{\partial x^{i}}
\end{equation*}
\end{exem}

\chapter{Gradient}
%\minitoc
\section{Différentielle d'un champ de scalaires}\index{Différentielle!d'un champ de scalaires}
En un point donné d'un espace ponctuel $\symcal E$,
soient $(x^{i})$ et $(x^{i'})$ deux systèmes de coordonnées quelconques, rectilignes ou curvilignes, orthogonaux ou non.
Soit $f$ une fonction scalaire des coordonnées.
On note cette fonction $f(x^{i})$ ou $f(x^{i'})$ selon les coordonnées employées.
En un point donné, la différentielle de $f$ est la même indépendamment de tout système de coordonnées~:
\begin{align*}
\dd f(x^{i'})&=\dd f(x^{i})\\
\frac{\partial f}{\partial x^{i'}}\,\dd x^{i'}&=\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\,\dd x^{i}\\
&=\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}\,\dd x^{i'}\\
\frac{\partial f}{\partial x^{i'}}&=\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}
\end{align*}
\begin{ntn}
Les dérivées partielles sont notées avec un indice inférieur~:
\begin{equation*}
\forall i\qquad \partial_{i}f=\frac{\partial f^{i}}{\partial x^{i}}
\end{equation*}
\end{ntn}
Les dérivées partielles de $f$ par rapport aux coordonnées se transforment comme les composantes covariantes d'un vecteur~:
\begin{equation}
\forall i\qquad \partial_{i'}f=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}\,\partial_{i}f\label{TM:grad_cov}
\end{equation}

\begin{exem}[Formule de dérivation en chaine]
Soit $(\rho,\theta)$ et $(x,y)$ deux systèmes de coordonnées d'un espace ponctuel euclidien $\evn{E}{2}$.

Soit $f$ un champ de scalaires, en un point donné la différentielle de $f$ s'écrit~:
\begin{align*}
\dd f(\rho,\theta)&=\dd f(x,y)\\
\frac{\partial f}{\partial \rho}\,\dd \rho+\frac{\partial f}{\partial \theta}\,\dd \theta
&=\frac{\partial f}{\partial x}\,\dd x+\frac{\partial f}{\partial y}\,\dd y
\end{align*}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
x=x(\rho,\theta)\\
y=y(\rho,\theta)
\end{dcases}
\qquad \Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
\dd x=\partial_\rho x\,\dd \rho+\partial_{\theta} x\,\dd \theta\\
\dd y=\partial_\rho y\,\dd \rho+\partial_{\theta} y\,\dd \theta
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial \rho}\,\dd \rho+\frac{\partial f}{\partial \theta}\,\dd \theta
&=\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{\partial x}{\partial \rho}\,\dd \rho+\frac{\partial x}{\partial \theta}\,\dd \theta \right)
+\frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{\partial y}{\partial \rho}\,\dd \rho+\frac{\partial y}{\partial \theta}\,\dd \theta \right)
\end{align*}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\frac{\partial f}{\partial \rho}\,\dd \rho=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \rho}\,\dd \rho
+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \rho}\,\dd \rho \\
\frac{\partial f}{\partial \theta}\,\dd \theta=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta}\,\dd \theta
+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta}\,\dd \theta
\end{dcases}
\qquad \Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
\frac{\partial f}{\partial \rho}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \rho}
+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \rho}\\
\frac{\partial f}{\partial \theta}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta}
+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{dcases}
\end{equation*}
\end{exem}
\section{Définition du gradient d'un champ de scalaires}
La différentielle du champ de scalaires $f$ s'écrit sous la forme d'un produit scalaire,
\begin{equation*}
\dd f=\partial_{i}f\dd x^{i}
\end{equation*}
où d'après \eqref{TM:grad_cov} \vpageref{TM:grad_cov} les $\partial_{i}f$ sont les composantes covariantes d'un vecteur,
et où les $\dd x^{i}$ sont les composantes contravariantes du vecteur différentiel position.
L'expression \eqref{TM:produit scalaire uv} \vpageref{TM:produit scalaire uv} du produit scalaire permet d'écrire la définition~:

\begin{defi}[Opérateur gradient]\label{TM:def:gradient}\index{Operateur@Opérateur!gradient}\index{Gradient!d'un champ de scalaires}
On appelle gradient d'un champ de scalaires $f$, le vecteur noté $\gradient(f)$ tel que~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\dd f\parDef \gradient(f)\cdot \dd \vv{M}
\end{empheq}
L'opérateur différentiel gradient $\gradient$ prend en entrée un champ de scalaires $f$ et donne en sortie un champ de vecteurs $\gradient(f)$.
\end{defi}
Aux valeurs prises par la fonction $f$ en un point de l'espace et au voisinage de ce point,
le gradient associe le vecteur $\gradient(f)$.

À partir de la définition du gradient et de celle de la base naturelle~:
\begin{align}
\dd f&=\gradient(f)\cdot\frac{\partial \vv{M}}{\partial x^{i}}\,\dd x^{i}\notag\\
\partial_{i}f \dd x^{i}&=\gradient(f)\cdot\bnf{e}_{i}\dd x^{i}\label{TM:rel_grad}\\
\forall i\qquad \partial_{i}f&\parDef \gradient(f)\cdot\bnf{e}_{i}\notag
\end{align}
Le vecteur $\gradient(f)$ a donc pour composantes covariantes les $\partial_{i}f$ dans la base naturelle $(\bnf{e}_{i})$ du système de coordonnées $(x^{i})$.
\begin{rmq}
Par abus de langage, nous dirons que les composantes covariantes forment le \enquote{covecteur} gradient
\begin{equation*}
\cov{\gradient}(f)(\partial_1f,\partial_2f,\dots,\partial_nf)
\end{equation*}
où le soulignement rappelle que les composantes entre parenthèses sont covariantes.
\end{rmq}
Dans la base naturelle $(\bnf{e}_{i})$, posons momentanément les composantes contravariantes suivantes~:
\begin{equation*}
\gradient(f)(f^{1},f^{2},\dots,f^n)
\end{equation*}
On a alors
\begin{align*}
f^{j}\bnf{e}_{j}&=\gradient(f)\\
f^{j}\bnf{e}_{j}\cdot \dd x^{i}\bnf{e}_{i}&=\gradient(f)\cdot \dd x^{i}\bnf{e}_{i}
\end{align*}
Avec \eqref{TM:rel_grad} \vpageref{TM:rel_grad}~:
\begin{align*}
f^{j}\bnf{e}_{j}\cdot \dd x^{i}\bnf{e}_{i}&=\partial_{i}f \dd x^{i}\\
\forall j\qquad f^{j}g_{ij}&=\partial_{i}f\\
f^{j}g_{ij}g^{ik}&=\partial_{i}f g^{ik}\\
\forall k\qquad f^{k}&=g^{ki}\partial_{i}f
\end{align*}
Nous obtenons les composantes contravariantes dans la base naturelle, exprimées en fonction des composantes covariantes et du tenseur métrique~:
\begin{equation}
\gradient(f)(g^{1i}\partial_{i}f,g^{2i}\partial_{i}f,\dots,g^{ni}\partial_{i}f)\label{TM:grad_contrav}
\end{equation}
Nous pouvons écrire~:
\begin{equation*}
\gradient(f)=g^{1j}\partial_{j}f\bnf{e}_{1}+g^{2j}\partial_{j}f\bnf{e}_{2}+\dots+g^{nj}\partial_nf\bnf{e}_n
\end{equation*}
\begin{rmq}
Gradient est un vecteur qui, comme tous les vecteurs, n'est ni covariant ni contravariant.
Ce n'est qu'après avoir choisi de l'exprimer en composantes covariantes ou contravariantes que,
par abus de langage, on parle de covecteur ou de vecteur contravariant.
Les composantes covariantes du vecteur gradient apparaissent en premier
dans la théorie et permettent de calculer les composantes contravariantes.
\end{rmq}

\begin{exem}[Expressions du vecteur gradient]
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item
Soit $f(x,y,z)$ un champ de scalaires en fonction des coordonnées rectangulaires $(x,y,z)$ de l'espace euclidien.
Dans la base naturelle orthonormée $(\bnf{\imath},\bnf{\jmath},\bnf{k})$ associée,
les composantes covariantes du \tri vecteur gradient de $f$ s'écrivent~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\partial_xf=\gradient(f)\cdot\bnf{\imath}\\
\partial_yf=\gradient(f)\cdot\bnf{\jmath}\\
\partial_zf=\gradient(f)\cdot\bnf{k}
\end{dcases}
\end{equation*}
Dans toute base orthonormée, les composantes contravariantes et covariantes des vecteurs sont confondues,
et l'on a pour le \tri vecteur gradient
\begin{equation*}
\gradient(f)=\partial_xf\,\bnf{\imath}+\partial_yf\,\bnf{\jmath}+\partial_zf\,\bnf{k}
\end{equation*}
où les composantes contravariantes sont exprimées en fonction des composantes covariantes.
\item
Soit $f=f(\rho,\theta,z)$ une fonction scalaire des coordonnées cylindriques.
Dans la base naturelle orthogonale $(\bnf{e}_\rho,\bnf{e}_{\theta},\bnf{e}_z)$ associée,
les composantes covariantes du \tri vecteur gradient $f$ s'écrivent~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\gradient(f)\cdot\bnf{e}_\rho=\partial_\rho f\\
\gradient(f)\cdot\bnf{e}_{\theta}=\partial_{\theta} f\\
\gradient(f)\cdot\bnf{e}_z=\partial_z f
\end{dcases}
\end{equation*}
Dans la base naturelle associée aux coordonnées cylindriques, les composantes covariantes forment donc le covecteur~:
\begin{equation*}
\cov{\gradient}(f)(\partial_\rho f,\partial_{\theta} f,\partial_z f)
\end{equation*}
Les coordonnées cylindriques étant orthogonales, les termes croisés du tenseur métrique sont nuls.
En composantes contravariantes, avec \eqref{TM:grad_contrav} \vpageref{TM:grad_contrav} puis avec \eqref{TM:imcpbn} \vpageref{TM:imcpbn}~:
\begin{align}
\gradient(f)&=\left(g^{\rho \rho}\partial_\rho f+g^{\rho \theta}\partial_{\theta} f+g^{\rho z}\partial_z f\right)\bnf{e}_\rho \notag\\
&\qquad \qquad \qquad+\left(g^{\theta \rho}\partial_\rho f+g^{\theta \theta}\partial_{\theta} f+g^{\theta z}\partial_z f\right)\bnf{e}_{\theta} \notag\\
&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad+\left(g^{z \rho}\partial_\rho f+g^{z \theta}\partial_{\theta} f+g^{z z}\partial_z f\right)\bnf{e}_z \notag\\
&=\left(g^{\rho \rho}\partial_\rho f\right)\bnf{e}_\rho+\left(g^{\theta \theta}\partial_{\theta} f\right)\bnf{e}_{\theta}
+\left(g^{zz}\partial_z f\right)\bnf{e}_z \notag\\
&=\frac{\partial f}{\partial \rho}\,\bnf{e}_\rho+\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial f}{\partial \theta}\,\bnf{e}_{\theta}
+\frac{\partial f}{\partial z}\,\bnf{e}_z \label{TM:coord_contra_grad}
\end{align}
Dans la base tangente orthonormée associée aux coordonnées cylindriques~:
\begin{align*}
\gradient(f)=\frac{\partial f}{\partial \rho}\,\btan{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\,\btan{e}_{\theta}
+\frac{\partial f}{\partial z}\,\btan{e}_z
\end{align*}
\item Soit $f=f(r,\theta,\phi)$ une fonction scalaire des coordonnées sphériques.
Dans la base naturelle orthogonale $(\bnf{e}_{r},\bnf{e}_{\theta},\bnf{e}_{\phi})$ associée,
les composantes covariantes du \tri vecteur gradient $f$ s'écrivent~:
\begin{align*}
\gradient(f)=\frac{\partial f}{\partial r}\,\bnf{e}_{r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial f}{\partial \theta}\,\bnf{e}_{\theta}
+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}(\theta)}\frac{\partial f}{\partial \phi}\,\bnf{e}_{\phi}
\end{align*}
Dans la base tangente orthonormée associée aux coordonnées sphériques~:
\begin{align*}
\gradient(f)=\frac{\partial f}{\partial r}\,\btan{e}_{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\,\btan{e}_{\theta}
+\frac{1}{r\sin(\theta)}\frac{\partial f}{\partial \phi}\,\btan{e}_{\phi}
\end{align*}
\end{itemize}
\end{exem}

\begin{exem}[Vecteur gradient dans une base oblique normée]\label{TM:ex:oblique}
Soit $\left(x,y\right)$ un système de coordonnées rectangulaire de l'espace ponctuel euclidien $\evn{E}{2}$.
Soit $\left(\bnf{\imath},\bnf{\jmath}\right)$ la base naturelle orthonormée de l'espace vectoriel euclidien $\evn{E}{2}$ associé.
Soit $\left(x',y'\right)$ un système de coordonnées cartésiennes obliques de base naturelle associée $\left(\bnf{e}_{x'},\bnf{e}_{y'}\right)$.
En s'aidant de la figure \ref{TM:coord_obliques} la transformation de coordonnées s'écrit~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
x=x'+y'\cos(\alpha)\\
y=y'\sin(\alpha)
\end{dcases}
\end{equation*}
L'angle $\alpha$ étant constant, la transformation est linéaire.

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-3,-1)(7,4.5)
%\psgrid (-3,-1)(7,4.5)
\psline(0,0)(4.5;70)
\psline(0,0)(7;0)
\psline{->}(0,0)(1;70)
\psline{->}(0,0)(1;0)
\psline{->}(0,0)(1;90)
\psline(0,0)(4.5;90)
\psline[linestyle=dotted](6;30)(3;90)
\psline[linestyle=dotted](6;30)(4.104;0)
\psline[linestyle=dotted](6;30)(5.196;0)
\psarc{<->}(0,0){2}{1}{69}
%Lettres
\rput(6.4;30){$M$}
\rput(-.4,1){$\bnf{\jmath}$}
\rput(.8,.8){$\bnf{e}_{y'}$}
\rput(1,-.4){$\bnf{\imath}=\bnf{e}_{x'}$}
\rput(-.3,-.3){$O$}
\rput(4.05,-.3){$x'$}
\rput(.9,3.3){$y'$}
\rput(5.4,-.3){$x$}
\rput(-0.4,3.15){$y$}
\rput(2.3;35){$\alpha$}
\end{pspicture}
\caption{Base naturelle en coordonnées cartésiennes obliques}
\label{TM:coord_obliques}
\end{figure}

Inversement~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
x'=x-y'\cos(\alpha)\\
y'=\frac{y}{\sin(\alpha)}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
x'=x-\frac{y}{\tan\alpha}\\
y'=\frac{y}{\sin(\alpha)}
\end{dcases}
\end{equation*}

\begin{align*}
\vv{\symup{OM}}&=x\bnf{\imath}+y\bnf{\jmath}\\
&=\left[x'+y'\cos(\alpha)\right]\bnf{\imath}+y'\sin(\alpha)\,\bnf{\jmath}
\end{align*}
Cette relation donne les vecteurs de la base naturelle $\left(\bnf{e}_{x'},\bnf{e}_{y'}\right)$
du système de coordonnées cartésiennes obliques $\left(x',y'\right)$~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\bnf{e}_{x'}=\frac{\partial \vv{M}}{\partial x'}\\
\bnf{e}_{y'}=\frac{\partial \vv{M}}{\partial y'}
\end{dcases}
\qquad \Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
\bnf{e}_{x'}=\bnf{\imath}\\
\bnf{e}_{y'}=\cos(\alpha)\,\bnf{\imath}+\sin(\alpha)\,\bnf{\jmath}
\end{dcases}
\end{equation*}
Ils sont de norme unité
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\|\bnf{e}_{x'}\|=\|\bnf{\imath}\|\\
\|\bnf{e}_{y'}\|^{2}=\cos^{2}(\alpha)+\sin^{2}(\alpha)
\end{dcases}
\qquad \Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
\|\bnf{e}_{x'}\|=1\\
\|\bnf{e}_{y'}\|=1
\end{dcases}
\end{equation*}
On a bien
\begin{align*}
\vv{\symup{OM}}&=x\bnf{\imath}+y\bnf{\jmath}\\
&=\left[x'+y'\cos(\alpha)\right]\bnf{\imath}+y'\sin(\alpha)\left[\frac{\bnf{e}_{x'}-\cos(\alpha)\,\bnf{\imath}}{\sin(\alpha)}\right]\\
&=x'\bnf{e}_{x'}+y'\bnf{e}_{y'}
\end{align*}

Dans la base $(\bnf{\imath},\bnf{\jmath})$, les composantes covariantes du vecteur gradient $f$ s'écrivent~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\gradient(f)\cdot\bnf{\imath}=\partial f/\partial x\\
\gradient(f)\cdot\bnf{\jmath}=\partial f/\partial y
\end{dcases}
\end{equation*}

Dans la base $(\bnf{e}_{x'},\bnf{e}_{y'})$, les composantes covariantes du vecteur gradient $f$ s'écrivent~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\gradient(f)\cdot\bnf{e}_{x'}=\partial f/\partial x'\\
\gradient(f)\cdot\bnf{e}_{y'}=\partial f/\partial y'
\end{dcases}
\end{equation*}

Par exemple pour $f=x=x'+y'\cos(\alpha)$~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\gradient(f)\cdot\bnf{\imath}=1\\
\gradient(f)\cdot\bnf{\jmath}=0
\end{dcases}
\qquad \text{et} \qquad
\begin{dcases}
\gradient(f)\cdot\bnf{e}_{x'}=1\\
\gradient(f)\cdot\bnf{e}_{y'}=\cos(\alpha)
\end{dcases}
\end{equation*}
Dans la base orthonormée $(\bnf{\imath},\bnf{\jmath})$ les composantes contravariantes et covariantes sont confondues~:
\begin{align*}
\gradient(f)&=\frac{\partial f}{\partial x}\,\bnf{\imath}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\bnf{\jmath}\\
&=\bnf{\imath}
\end{align*}
Dans la base primée $(\bnf{e}_{x'},\bnf{e}_{y'})$, puisque $\bnf{\imath}=\bnf{e}_{x'}$~:
\begin{equation*}
\gradient(f)=\bnf{e}_{x'}
\end{equation*}
\end{exem}

\begin{exem}[Dérivée d'un champ de scalaires le long d'une courbe]\label{TM:ex:mult_contrac}
Dans un espace vectoriel pré-euclidien, soit la courbe $\symscr{C}$ d'équations paramétriques $x^{i}=x^{i}(p)$,
et soit $\phi(x^{i})$ une fonction scalaire le long de $\symscr{C}$.
Sa dérivée a pour expression~:
\begin{align*}
\frac{\dd \phi}{\dd p}&=\frac{\partial \phi}{\partial x^{i}}\,\frac{\dd x^{i}}{\dd p}\\
&=\partial_{i}\phi u^{i}
\end{align*}
$u^{i}=\dd x^{i}/\dd p$ est un vecteur partout tangent à $\symscr{C}$.
Il se transforme suivant les relations~:
\begin{align*}
\forall i\qquad &\dd x^{i'}=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^{i}}\,\dd x^{i}\\
&\frac{\dd x^{i'}}{\dd p}=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^{i}}\,\frac{\dd x^{i}}{\dd p}\\
&u^{i'}=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^{i}}\,u^{i}
\end{align*}
$u^{i}$ est contravariant.
$\partial_{i}\phi$ est le gradient de la fonction $\phi$, il est covariant d'après \eqref{TM:grad_cov} \vpageref{TM:grad_cov}.
$\dd \phi/\dd p$ est donc invariant par changement de coordonnées~:
\begin{align*}
\frac{\dd \phi(x^{i})}{\dd p}&=\frac{\partial \phi}{\partial x^{i}}\,\frac{\dd x^{i}}{\dd p}\\
&=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^{i}}\,\frac{\partial \phi}{\partial x^{i'}}\,\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}\,\frac{\dd x^{i'}}{\dd p}
\end{align*}
\begin{align*}
\frac{\dd \phi(x^{i})}{\dd p}&=\frac{\partial \phi}{\partial x^{i'}}\,\frac{\dd x^{i'}}{\dd p}\\
&=\frac{\dd \phi(x^{i'})}{\dd p}
\end{align*}
En effet $\dd \phi/\dd p$ est le rapport de deux invariants.
Le produit du covecteur $\partial_{i}\phi$ par le vecteur $u^{i}$ est appelé \emph{multiplication contractée}.
\end{exem}

\begin{exem}[Covecteur gradient en relativité restreinte]\index{Covecteur!gradient}
La \quadri vitesse d'un mobile a pour expression en composantes contravariantes (Cf.~Vol.~5 Relativité restreinte) en unités géométriques~:
\begin{align*}
\qvec{u}
\begin{pmatrix}
\cqvec{u}^t\\
\cqvec{u}^x\\
\cqvec{u}^y\\
\cqvec{u}^z
\end{pmatrix}
=\qvec{u}
\begin{pmatrix}
\dd \cqvec{t}/\dd \tau\\
\dd \cqvec{x}/\dd \tau\\
\dd \cqvec{y}/\dd \tau\\
\dd \cqvec{z}/\dd \tau
\end{pmatrix}
\end{align*}
où $\tau$ est le temps propre de ce mobile.
Soit $\phi(t,x,y,z)$ une fonction scalaire, sa différentielle s'écrit~:
\begin{equation*}
\dd \phi(t,x,y,z)=\frac{\partial \phi}{\partial t}\,\dd t+\frac{\partial \phi}{\partial x}\,\dd x
+\frac{\partial \phi}{\partial y}\,\dd y+\frac{\partial \phi}{\partial z}\,\dd z
\end{equation*}

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,5)
%\psgrid (-2,-1.5)(4,5)
\psline{->}(-1,0)(5,0)
\psline{->}(0,-1)(0,5)
\psline{->}(2.5,2)(2.6,3)
\psdot(2,.5)
\psdot(2.5,2)
\psdot(2.25,4)
\pscurve(1.75,-.5)(2,.5)(2.5,2)(2.25,4)(2.25,4.75)
%Lettres
\put(.8,.5){$\tau=0$}
\put(1.3,2){$\tau=1$}
\put(1.05,4){$\tau=2$}
\put(-.3,4.7){$t$}
\put(4.7,-.4){$x$}
\put(2.8,2.8){$\qvec{u}$}
\put(2.5,1.2){$\phi \left[t(\tau),x(\tau),y(\tau),z(\tau)\right]$}
\end{pspicture}
\caption{Champ de scalaires le long d'une ligne d'univers}
\label{TM:fig_cslu}
\end{figure}

Si l'on prend un point sur la ligne d'univers du mobile (Fig.~\ref{TM:fig_cslu}),
les coordonnées en entrée de $\phi$ sont toutes des fonctions du temps propre $\tau$,
et $\phi$ qui est une fonction explicite des coordonnées, est aussi une fonction implicite du temps propre~:
\begin{align*}
\frac{\dd \phi \left[t(\tau),x(\tau),y(\tau),z(\tau)\right]}{\dd \tau}&=
\frac{\partial \phi}{\partial t}\frac{\dd t}{\dd \tau}+\frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{\dd x}{\dd \tau}
+\frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{\dd y}{\dd \tau}+\frac{\partial \phi}{\partial z}\frac{\dd z}{\dd \tau}\\
&=\partial_t\phi \,u^t+\partial_x\phi \,u^x+\partial_y\phi \,u^y+\partial_z\phi \,u^z
\end{align*}
On peut réécrire cette égalité sous forme matricielle~:
\begin{align*}
\frac{\dd \phi}{\dd \tau}&=
\begin{pmatrix}
\partial_t\phi & \partial_x\phi & \partial_y\phi & \partial_z\phi
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cqvec{u}^t\\
\cqvec{u}^x\\
\cqvec{u}^y\\
\cqvec{u}^z
\end{pmatrix}
\end{align*}
Les composantes $\partial_t\phi,\,\partial_x\phi,\,\partial_y\phi,\,\partial_z\phi$ étant covariantes, nous définissons le covecteur gradient phi par~:
\begin{align*}
\cov{\dd }\phi
\begin{pmatrix}
\partial_t\phi & \partial_x\phi & \partial_y\phi & \partial_z\phi
\end{pmatrix}
\end{align*}

Pour chaque évènement $(t,x,y,z)$ de la ligne d'univers du mobile,
$\phi(t,x,y,z)$ étant un scalaire, il en va de mê\-me de $\dd \phi/\dd \tau$,
si bien que la multiplication contractée du covecteur gradient par le \quadri vecteur vitesse donne un champ de scalaires.
Le covecteur gradient est donc une forme, une application qui à un vecteur fait correspondre un scalaire.


Contrairement au produit scalaire, la contraction (le fait d'égaler un indice contravariant et un indice covariant dans un monome)
ne fait pas intervenir le tenseur métrique.
En effet, l'un des deux membres est déjà un covecteur.
\end{exem}

\begin{exem}[Covecteur \quadri vitesse]
D'après l'ex.~\ref{TM:ex_RR} \vpageref{TM:ex_RR}, avec une métrique de genre temps de signature\index{Signature!lorentzienne!$(+---)$} $(+---)$ et
avec \eqref{TM:passage_contrav_cov} \vpageref{TM:passage_contrav_cov} qui donnent le passage des composantes contravariantes aux covariantes,
les composantes covariantes du covecteur \quadri vitesse sont données par~:
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\dd \cqvec{t}/\dd \tau\\
\dd \cqvec{x}/\dd \tau\\
\dd \cqvec{y}/\dd \tau\\
\dd \cqvec{z}/\dd \tau
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\dd \cqvec{t}/\dd \tau\\
-\dd \cqvec{x}/\dd \tau\\
-\dd \cqvec{y}/\dd \tau\\
-\dd \cqvec{z}/\dd \tau
\end{pmatrix}
\end{align*}
La notation du terme de droite sous forme de matrice colonne semble indiquer que les composantes sont contravariantes
alors qu'elles sont covariantes.
Seul le signe négatif permet la distinction.
On note le covecteur en ligne,
\begin{equation*}
\cov{u}(\dd \cqvec{t}/\dd \tau,-\dd \cqvec{x}/\dd \tau,-\dd \cqvec{y}/\dd \tau,-\dd \cqvec{z}/\dd \tau)
\end{equation*}
où les virgules entre les composantes indiquent qu'il ne s'agit pas d'une matrice uniligne qui serait la transposée d'un vecteur unicolonne,
mais d'un ensemble ordonné de valeurs.
On note aussi les composantes du covecteur explicitement avec un indice en bas~:
\begin{align*}
&\cqvec{u}_1=\dd \cqvec{t}/\dd \tau\\
&\cqvec{u}_2=-\dd \cqvec{x}/\dd \tau\\
&\cqvec{u}_3=-\dd \cqvec{y}/\dd \tau\\
&\cqvec{u}_4=-\dd \cqvec{z}/\dd \tau
\end{align*}
D'après \eqref{TM:gii} \vpageref{TM:gii} et \eqref{TM:grad_contrav} \vpageref{TM:grad_contrav},
le vecteur adjoint (ou associé, ou réciproque) du covecteur gradient de $\phi$,
c.-à-d. le vecteur gradient de $\phi$ écrit en composantes contravariantes, s'écrit en relativité restreinte~:
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
1/1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1/(-1) & 0 & 0\\
0 & 0 & 1/(-1) & 0\\
0 & 0 & 0 & 1/(-1)
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\partial_t\phi \\
\partial_x\phi \\
\partial_y\phi \\
\partial_z\phi
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\partial_t\phi \\
-\partial_x\phi \\
-\partial_y\phi \\
-\partial_z\phi
\end{pmatrix}
\quad \Rightarrow \quad
\gradient(\phi)
\begin{pmatrix}
\partial_t\phi \\
-\partial_x\phi \\
-\partial_y\phi \\
-\partial_z\phi
\end{pmatrix}
\end{align*}
Les composantes contravariantes sont écrites en fonction des composantes covariantes.
\end{exem}
\begin{rmq}
La notation n'est pas parfaite, dans l'écriture verticale des composantes contravariantes,
l'indice de dérivation partielle est en bas et semble indiquer une covariance des composantes.
\end{rmq}
\begin{ntn}
On peut trouver la notation $\transp{\vmatg{u}}=(\cqvec{x}\ \cqvec{y}\ \cqvec{z})$ pour le covecteur adjoint au vecteur $\vmatg{u}$.
Or le covecteur n'est la transposée du vecteur que dans un espace vectoriel euclidien car le tenseur métrique est alors la matrice identité.
En effet, l'ex.~\ref{TM:ex_RR} \vpageref{TM:ex_RR} montre que dans l'espace-temps pseudo-eu\-cli\-dien de la relativité restreinte
un signe négatif apparait.
\end{ntn}

 \section{Représentation du gradient}\index{Gradient!représentation}
Il s'agit de représenter un covecteur gradient en un point donné de l'espace,
en ayant à l'esprit que le covecteur gradient est l'archétype des covecteurs.
Sa représentation servira pour tous les covecteurs.
On représente de petites tangentes aux courbes de niveau (non représentées) localement autour du point
(Fig.~\ref{TM:repcov}).

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(0,1)(3,3)
%\psgrid (0,1)(3,3)
\rput(1.6,1.15){\psdot(1;104)}
\rput(1,1){\psline(0,0)(2;104)}
\rput(1.2,1.05){\psline(0,0)(2;104)}
\rput(1.4,1.1){\psline(0,0)(2;104)}
\rput(1.6,1.15){\psline(0,0)(2;104)}
\rput(1.8,1.2){\psline(0,0)(2;104)}
\rput(2,1.25){\psline(0,0)(2;104)}
\rput(2.2,1.3){\psline(0,0)(2;104)}
\end{pspicture}
\caption{Représentation d'un covecteur en un point}
\label{TM:repcov}
\end{figure}

Plus les lignes parallèles sont rapprochées et plus la norme du covecteur est grande
(plus le gradient est fort).
La contraction des composantes d'un covecteur et d'un vecteur est le nombre de segments de droite traversés par le vecteur en ce point,
ici environ $3,4$ (Fig.~\ref{TM:fig_ccv}).

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(0,1)(3,3)
%\psgrid (0,1)(3,3)
\rput(1.6,1.15){\psdot(1;104)}
\rput(1,1){\psline(0,0)(2;104)}
\rput(1.2,1.05){\psline(0,0)(2;104)}
\rput(1.4,1.1){\psline(0,0)(2;104)}
\rput(1.6,1.15){\psline(0,0)(2;104)}
\rput(1.8,1.2){\psline(0,0)(2;104)}
\rput(2,1.25){\psline(0,0)(2;104)}
\rput(2.2,1.3){\psline(0,0)(2;104)}
\rput(1.6,1.15){\rput(1;104){\psline{->}(0,0)(1;-30)}}
\end{pspicture}
\caption{Contraction d'un covecteur et d'un vecteur}
\label{TM:fig_ccv}
\end{figure}

\section{Base réciproque de la base naturelle}\index{Base!réciproque!de la base naturelle}
Soit $(x^{i})$ un système de coordonnées curvilignes d'un espace ponctuel euclidien $\evn{E}{n}$,
et soit $M$ un point de cet espace. Soit $(\bnf{e}_{i})$ une base naturelle de l'espace vectoriel
euclidien $\evn{E}{n}$ as\-socié à $\evn{E}{n}$.
Montrons que la base formée par les vecteurs~$\gradient(x^{j})$
est la base réciproque de la base $(\bnf{e}_{i})$.
D'après la déf.~\ref{TM:def:gradient} \vpageref{TM:def:gradient} du vecteur gradient\index{Gradient}~:
\begin{equation*}
\dd f=\gradient(f)\cdot \dd \vv{M}
\end{equation*}
Pour $f=x^{1}$~:
\begin{align*}
\dd x^{1}&=\gradient(x^{1})\cdot \dd \vv{M}\\
&=\gradient(x^{1})\cdot\left(\bnf{e}_{1}\,\dd x^{1}+\bnf{e}_{2}\,\dd x^{2}+\dots+\bnf{e}_n\,\dd x^{n}\right)
\end{align*}
\begin{equation*}
\Leftrightarrow \qquad
\begin{dcases}
\gradient(x^{1})\cdot\bnf{e}_{1}=1\\
\gradient(x^{1})\cdot\bnf{e}_{k}=0\qquad \forall k=2,\dots,n
\end{dcases}
\end{equation*}
De même pour $f=x^{2},\dots,x^{n}$. Par conséquent,
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\forall i,j\qquad \gradient(x^{j})\cdot\bnf{e}_{i}=\delta_{ij}
\end{empheq}
qui est la définition de bases réciproques.
En général, les vecteurs de base de la base réciproque de la base naturelle ne sont pas de norme unité,
comme on peut le constater dans l'ex.~\ref{TM:ex:oblique} \vpageref{TM:ex:oblique}.

Montrons que les vecteurs de base de la base réciproque sont perpendiculaires aux hypersurfaces de coordonnées.
Dans le système de coordonnées $(x^{i})$,
considérons l'hypersurface de coordonnée $x^{1}=\cste$, sur laquelle la différentielle de $x^{1}$ est nulle~:
\begin{align*}
\dd x^{1}&=\gradient(x^{1})\cdot \dd \vv{M}\\
&=0
\end{align*}
$\gradient(x^{1})$ est donc perpendiculaire à $\dd \vv{M}$, lui même tangent en $M$ à l'hypersurface $x^{1}=\cste$.
Par conséquent $\gradient(x^{1})$ est perpendiculaire en~$M$ à l'hypersurface $x^{1}=\cste$.

\begin{exem}[Base réciproque de la base naturelle polaire]\index{Base!réciproque!de la base naturelle polaire}
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item en utilisant l'expression du gradient en coordonnées cylindriques
\index{Gradient!en coordonnées!cylindriques} \eqref{TM:coord_contra_grad} \vpageref{TM:coord_contra_grad}~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\bnf{e}^{\,\rho}=\gradient(\rho)\\
\bnf{e}^{\,\theta}=\gradient(\theta)
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\bnf{e}^{\,\rho}=\partial_\rho \rho\,\bnf{e}_\rho
+\frac{1}{\rho^{2}}\,\partial_{\theta} \rho \,\bnf{e}_{\theta}\\
\bnf{e}^{\,\theta}=\partial_\rho \theta \,\bnf{e}_\rho
+\frac{1}{\rho^{2}}\,\partial_{\theta} \theta\,\bnf{e}_{\theta}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\bnf{e}^{\,\rho}=\bnf{e}_\rho \\
\bnf{e}^{\,\theta}=\frac{\bnf{e}_{\theta}}{\rho^{2}}
\end{dcases}
\end{equation*}
\item en utilisant l'expression du gradient en coordonnées rectangulaires\index{Gradient!en coordonnées!rectangulaires}~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\bnf{e}^{\,\rho}=\gradient(\rho) \\
\bnf{e}^{\,\theta}=\gradient(\theta)
\end{dcases}
\qquad \Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
\bnf{e}^{\,\rho}=\partial_x\rho \bnf{\imath}+\partial_y\rho \bnf{\jmath}\\
\bnf{e}^{\,\theta}=\partial_x\theta \bnf{\imath}+\partial_y\theta \bnf{\jmath}
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
\bnf{e}^{\,\rho}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,\bnf{\imath}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,\bnf{\jmath}\\
\bnf{e}^{\,\theta}=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,\bnf{\imath}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,\bnf{\jmath}\\
\end{dcases}
\end{equation*}
Par conséquent~:
\begin{equation*}
\Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\bnf{e}^{\,\rho}=\cos(\theta)\,\bnf{\imath}+\sin(\theta)\,\bnf{\jmath}\\
\bnf{e}^{\,\theta}=-\frac{1}{\rho}\sin(\theta)\,\bnf{\imath}+\frac{1}{\rho}\cos(\theta)\,\bnf{\jmath}
\end{dcases}
\Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\bnf{e}^{\,\rho}=\bnf{e}_\rho \\
\bnf{e}^{\,\theta}=\frac{\bnf{e}_{\theta}}{\rho^{2}}
\end{dcases}
\end{equation*}
\end{itemize}
\end{exem}

\chapter{Algèbre tensorielle}\index{Algebre@Algèbre tensorielle}
%\minitoc
\section{Introduction}
Les lois de la géométrie et de la physique ont une existence intrinsèque indépendante du système de coordonnées dans lequel on les exprime.
Il est donc naturel d'essayer de se débarasser des systèmes de coordonnées et de raisonner sur des objets géométriques ou physiques.
On a d'abord fait correspondre à ces objets des éléments simples euclidiens sur lesquels on a défini des opérations
dont on a étudié les propriétés.
Ce procédé a conduit au \emph{Calcul vectoriel}, puis au \emph{Calcul tensoriel}.
Cependant, le choix d'un système de coordonnées est resté nécessaire, et les vecteurs et tenseurs, bien qu'indépendants de tout système de coordonnées,
sont donnés par leurs coordonnées, sans que cela soit contradictoire. Plutôt que de particulariser un système de coordonnées en en choisissant un,
on écrit les équations sous une forme valable dans n'importe quel système de coordonnées.

Il existe en physique des quantités intrinsèques qui,
comme les vecteurs, existent en elles-mêmes indépendamment de la base dans laquelle on les exprime.
Par exemple la matrice inertie ou la matrice rotation d'un solide.
Ces matrices carrées particulières sont appelées des \emph{tenseurs}.
Toute combinaison linéaire de deux tenseurs donne un tenseur, les tenseurs sont donc des vecteurs.
Les matrices de $\symcal M_{n,p}(\symbb K)$ sont aussi des vecteurs, et $\symcal M_{n,p}(\symbb K)$ est donc un $\symbb K$-espace vectoriel.
En effet, toute combinaison linéaire de deux matrices de $\symcal M_{n,p}(\symbb K)$ donne une matrice de $\symcal M_{n,p}(\symbb K)$.
Elles sont de plus invariantes par changement de base de $\symcal M_{n,p}(\symbb K)$.
Les tenseurs sont des matrices particulières car ils sont invariants par changement de base lié au changement de coordonnées
de l'espace-temps physique. Un changement de coordonnées de l'espace-temps induit un changement de base de l'espace vectoriel des forces,
des vitesses, des accélérations, et des tenseurs en général, mais pas de celui des matrices.
Les tenseurs ont donc un sens physique que n'ont pas les matrices.

Un tenseur ayant $p$ indices contravariants est dit contravariant d'ordre $p$ et de type $(p,0)$.
Un tenseur ayant $q$ indices covariants est dit covariant d'ordre $q$ et de type $(0,q)$.
S'il est les deux il est dit d'ordre $p+q$ et de type $(p,q)$.
L'ordre (ou rang) d'un tenseur est son nombre d'indices, et n'a donc rien à voir avec l'ordre $n$ d'une matrice carré $n\times n$ qui est de combien varient ses indices.

Habituellement on appelle \enquote{vecteurs} uniquement les tenseurs d'ordre un alors que tous les tenseurs sont des vecteurs,
quel que soit leur ordre.
En physique, nous utiliserons cet abus de langage pour dire que les vecteurs appartiennent à une catégorie plus
grande d'objets mathématiques, les tenseurs.
Les scalaires sont alors des tenseurs d'ordre zéro.

Les tenseurs d'ordre deux sont souvent représentés par des matrices carrées dont les éléments sont leurs composantes.
Pour les tenseur d'ordre trois la multiplication des matrices $3D$ n'est pas définie.
Il faut alors abandonner la représentation matricielle des tenseurs et n'utiliser que la représentation indicielle.

Toutes les équations de la physique doivent être \emph{invariantes de forme} par changement de coordonnées, donc par changement de base,
elles sont dites \emph{covariantes}. Elles varient toutes de la même façon, c'est le principe de covariance des équations de la physique.
\index{Principe!de covariance}\index{Covariance!principe de}
Or, pour les vecteurs comme pour les tenseurs, les composantes de même variance se transforment de la même façon.
Par conséquent, toutes les équations de la physique doivent être écrites sous la forme d'une égalité entre tenseurs de même ordre et de même variance.
Pour assurer l'invariance des tenseurs, leurs composantes doivent se transformer d'une façon bien précise que nous allons déterminer.
Cette propriété d'invariance des tenseurs par changement de base est fondamentale puisqu'elle nous servira de définition des tenseurs.
Dans un second temps, de même que nous avons défini les vecteurs et les espaces vectoriels uniquement à partir de leurs propriétés opératoires,
nous définirons les tenseurs et les espaces tensoriels uniquement à partir de leurs propriétés opératoires.

\begin{exem}[Multiplication des composantes de deux vecteurs]
Une façon simple de former un nouveau vecteur (dans le sens d'une quantité indépendante de la base dans laquelle on l'exprime),
consiste à multiplier les composantes de deux vecteurs dans un ordre déterminé.
Soient $\vmatg{u}\left(u^{1},u^{2}\right)$ et $\vmatg{v}\left(v^{1},v^{2}\right)$ deux vecteurs de l'espace vectoriel $\evn{E}{2}$,
le nouveau vecteur $\tens{T}$ a quatre composantes et appartient à l'espace vectoriel $\evn{E}{4}$
(les dimensions des espaces vectoriels de départ se multiplient)~:
\begin{equation*}
\tens{T}=\left(u^{1}v^{1},u^{1}v^{2},u^{2}v^{1},u^{2}v^{2}\right)
\end{equation*}

\begin{ntn}
En notation indicielle, si $\vmatg{u}=u^{i}\vmatg{e}_{i}$ et $\vmatg{v}=v^{i}\vmatg{e}_{i}$ alors
\begin{equation*}
\forall i,j\qquad t^{ij}=u^{i}v^{j}
\end{equation*}
où l'ordre des indices $i$ et $j$ compte car en général $u^{1}v^{2}\neq u^{2}v^{1}$ donc $t^{ij}\neq t^{ji}$.
\end{ntn}

En utilisant cette notation~:
\begin{equation*}
\tens{T}=\left(t^{11},t^{12},t^{21},t^{22}\right)
\end{equation*}
$\tens{T}$ est un tenseur, appelé produit tensoriel de $\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$.
On note $\tens{T}=\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}$, et on lit \enquote{$\vmatg{u}$ tensoriel $\vmatg{v}$} . On défini le produit tensoriel par~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}
&=\left(u^{1}\vmatg{e}_{1}+u^{2}\vmatg{e}_{2}\right)\otimes\left(v^{1}\vmatg{e}_{1}
+v^{2}\vmatg{e}_{2}\right)\\
&=u^{1}\vmatg{e}_{1}\otimes v^{1}\vmatg{e}_{1}+u^{1}\vmatg{e}_{1}\otimes v^{2}\vmatg{e}_{2}
+u^{2}\vmatg{e}_{2}\otimes v^{1}\vmatg{e}_{1}+u^{2}\vmatg{e}_{2}\otimes v^{2}\vmatg{e}_{2}\\
&=u^{1}v^{1}\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1}+u^{1}v^{2}\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2}
+u^{2}v^{1}\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{1}+u^{2}v^{2}\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{2}\\
&=t^{11}\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1}+t^{12}\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2}
+t^{21}\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{1}+t^{22}\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{2}\\
&=\tens{T}
\end{align*}
Soient $\vmatg{e}_{1}=(1,0)$ et $\vmatg{e}_{2}=(0,1)$ les vecteurs de base d'une base orthonormée de $\evn{E}{2}$~:
\begin{align*}
\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1}&=\left(1\times1,1\times0,0\times1,0\times0\right)\\
&=\left(1,0,0,0\right)\\
\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2}&=\left(1\times0,1\times1,0\times0,0\times1\right)\\
&=\left(0,1,0,0\right)
\end{align*}
\begin{align*}
\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{1}&=\left(0\times1,0\times0,1\times1,1\times0\right)\\
&=\left(0,0,1,0\right)\\
\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{2}&=\left(0\times0,0\times1,1\times0,1\times1\right)\\
&=\left(0,0,0,1\right)
\end{align*}

En écriture matricielle, effectuons le produit de Kronecker (chapitre \ref{TM:Prod_Kro})~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}
&=\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
v^{1}\\
v^{2}
\end{pmatrix}
\\
&=\begin{pmatrix}
u^{1}\begin{pmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{pmatrix}\\
u^{2}\begin{pmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u^{1}v^{1}\\
u^{1}v^{2}
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
u^{2}v^{1}\\
u^{2}v^{2}
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
t^{11}\\
t^{12}
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
t^{21}\\
t^{22}
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
\end{align*}
Notez qu'ici le produit de Kronecker a deux composantes et non quatre.
En effectuant le produit tensoriel nous avons~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}
&=\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
v^{1}\\
v^{2}
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
u^{1}v^{1}\\u^{1}v^{2}\\u^{2}v^{1}\\u^{2}v^{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
t^{11}\\t^{12}\\t^{21}\\t^{22}
\end{pmatrix}\\
&=\tens{T}
\end{align*}
\end{exem}

\section{Composantes deux fois contravariantes}\index{Composantes!covariantes!deux fois}

Par changement de base, les composantes du tenseur $\tens{T}$ produit tensoriel des vecteurs
$\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$, se tranforment selon~:
\begin{align}
\forall i,j\qquad t^{i'j'}&=u^{i'}v^{j'}\notag\\
&=B^{i'}_{k}u^{k}B^{j'}_{l}v^l\notag\\
&=B^{i'}_{k}B^{j'}_{l}u^{k}v^l\notag\\
&=B^{i'}_{k}B^{j'}_{l}t^{kl}\label{TM:transfo_compo_contrav_tens}
\end{align}
Les $t^{ij}$ sont les composantes deux fois contravariantes du tenseur $\tens{T}$.
Par changement de base naturelle~:
\begin{equation*}
\forall i,j\qquad t^{i'j'}=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^{k}}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^l}\,t^{kl}
\end{equation*}

Le produit tensoriel des vecteurs des bases est défini de façon à assurer l'invariance du tenseur $\tens{T}$ par changement de base~:
\begin{align}
\forall i,j\qquad (\bng{e}_{i}\otimes\bng{e}_{j})'&=\bng{e}_{i'}\otimes\bng{e}_{j'}\notag\\
&=A^{k}_{i'}\bng{e}_{k}\otimes A^{l}_{j'}\bng{e}_l\notag\\
&=A^{k}_{i'}A^{l}_{j'}(\bng{e}_{k}\otimes\bng{e}_l)
\label{TM:inv_vect_chgt_base}
\end{align}
$\tens{T}$ est alors indépendant de la base naturelle dans laquelle on l'exprime~:
\begin{align*}
(\vmatg{u}\otimes\vmatg{v})'&=(u^{i}\bng{e}_{i}\otimes v^{j}\bng{e}_{j})'\\
&=(u^{i}v^{j}\bng{e}_{i}\otimes\bng{e}_{j})'\\
&=t^{i'j'}(\bng{e}_{i}\otimes\bng{e}_{j})'\\
&=B^{i'}_{k}B^{j'}_{l}t^{kl}A^{k}_{i'}A^{l}_{j'}(\bng{e}_{k}\otimes\bng{e}_l)\\
&=t^{kl}\bng{e}_{k}\otimes\bng{e}_l\\
&=u^{k}\bng{e}_{k}\otimes v^l\bng{e}_l\\
&=\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}
\end{align*}

\begin{exem}[Composantes d'un produit tensoriel]
Dans une base quelconque $(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2})$ de l'espace vectoriel euclidien $\evn{E}{2}$,
on considère les deux vecteurs $\vmatg{u}=4\vmatg{e}_{1}+3\vmatg{e}_{2}$ et
$\vmatg{v}=\vmatg{e}_{1}+5\vmatg{e}_{2}$.
Déterminons les composantes contravariantes du produit tensoriel de $\vmatg{u}$ par $\vmatg{v}$
dans la base $(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2})\otimes(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2})$.
\begin{align*}
\tens{T}&=\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}\\
&=\left(4\vmatg{e}_{1}+3\vmatg{e}_{2}\right)\otimes\left(\vmatg{e}_{1}+5\vmatg{e}_{2}\right)\\
&=4\,\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1}+20\,\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2}
+3\,\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{1}+15\,\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{2}
\end{align*}
Nous avons~:
\begin{equation*}
t^{11}=4,\qquad t^{12}=20,\qquad t^{21}=3,\qquad t^{22}=15
\end{equation*}

En reprenant l'exercice de rotation d'une base vu dans le Vol.~1 Notion d'espace,
déterminons les composantes contravariantes du produit tensoriel dans la nouvelle base.
Par changement de base, les composantes de $\tens{T}$ se tranforment
selon \eqref{TM:transfo_compo_contrav_tens} \vpageref{TM:transfo_compo_contrav_tens}
avec $B^{j'}_{i}$ telle que~:
\begin{equation*}
B^{1'}_1=\cos(\alpha),\qquad B^{2'}_1=-\sin(\alpha),\qquad B^{1'}_2=\sin(\alpha),\qquad B^{2'}_2=\cos(\alpha)
\end{equation*}
Nous avons alors~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
t^{1'1'}=B^{1'}_1B^{1'}_1t^{11}+B^{1'}_1B^{1'}_2t^{12}+B^{1'}_2B^{1'}_1t^{21}+B^{1'}_2B^{1'}_2t^{22}\\
t^{1'2'}=B^{1'}_1B^{2'}_1t^{11}+B^{1'}_1B^{2'}_2t^{12}+B^{1'}_2B^{2'}_1t^{21}+B^{1'}_2B^{2'}_2t^{22}\\
t^{2'1'}=B^{2'}_1B^{1'}_1t^{11}+B^{2'}_1B^{1'}_2t^{12}+B^{2'}_2B^{1'}_1t^{21}+B^{2'}_2B^{1'}_2t^{22}\\
t^{2'2'}=B^{2'}_1B^{2'}_1t^{11}+B^{2'}_1B^{2'}_2t^{12}+B^{2'}_2B^{2'}_1t^{21}+B^{2'}_2B^{2'}_2t^{22}
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
t^{1'1'}=4\cos^{2}(\alpha)+23\cos(\alpha)\sin(\alpha)+15\sin^{2}(\alpha)\\
t^{1'2'}=11\sin(\alpha)\cos(\alpha)+20\cos^{2}(\alpha)-3\sin^{2}(\alpha)\\
t^{2'1'}=11\sin(\alpha)\cos(\alpha)-20\sin^{2}(\alpha)+3\cos^{2}(\alpha)\\
t^{2'2'}=4\sin^{2}(\alpha)-23\sin(\alpha)\cos(\alpha)+15\cos^{2}(\alpha)
\end{dcases}
\end{equation*}
\end{exem}

\section{Produit tensoriel}\index{Produit!tensoriel}
Dans ce paragraphe nous formalisons ce que nous venons de voir en introduction.
\subsection{Produit tensoriel de deux vecteurs}\label{TM:pt}\index{Produit!tensoriel!de deux vecteurs}

Soient $\evn{E}{n}$ et $\evn{F}{p}$ deux espaces vectoriels de dimensions respectives $n$ et $p$,
et soit $\evn{E}{n}\times \evn{F}{p}$ un espace à $q=n\times p$ dimensions.
$\forall \vmatg{u}\in \evn{E}{n},\forall \vmatg{v}\in \evn{F}{p}$,
au couple de vecteurs $(\vmatg{u},\vmatg{v})$ nous faisons correspondre l'élément noté
$\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}$ de l'espace $\evn{E}{n}\times \evn{F}{p}$,
la loi de composition $\otimes$\index{Loi!de composition!$\otimes$} ayant les propriétés suivantes~:
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item\label{TM:ax1}
$\forall(\vmatg{u},\vmatg{u}_1,\vmatg{u}_2)\in \evn{E}{n}$,
$\forall(\vmatg{v},\vmatg{v}_1,\vmatg{v}_2)\in \evn{F}{p}$,
la loi $\otimes$ est distributive à droite et à gauche par rapport à l'addition vectorielle (notée $+$)~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\otimes(\vmatg{v}_1+\vmatg{v}_2)
&=\vmatg{u}\otimes \vmatg{v}_1+\vmatg{u}\otimes \vmatg{v}_2\\
(\vmatg{u}_1+\vmatg{u}_2)\otimes\vmatg{v}
&=\vmatg{u}_1\otimes \vmatg{v}+\vmatg{u}_2\otimes \vmatg{v}
\end{align*}
\item\label{TM:ax2} Soit $\alpha$ un scalaire. La loi $\otimes$ est associative par rapport à la multiplication par un scalaire~:
\begin{align*}
\alpha \left(\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}\right)&=\alpha \vmatg{u}\otimes \vmatg{v}\\
&=\vmatg{u}\otimes\alpha \vmatg{v}
\end{align*}
\end{enumerate}
\begin{defi}[Élément produit tensoriel de deux vecteurs]
La loi de composition $\otimes$ est appelée multiplication tensorielle\index{Loi!de multiplication!tensorielle}.
L'élément $\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}$ est appelé produit tensoriel des vecteurs $\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$ ou produit dyadique.
\end{defi}

\begin{defi}[Espace produit cartésien]\index{Espace!produit!cartésien}
L'espace produit cartésien $\evn{E}{n}\times \evn{F}{p}$ est l'ensemble des produits tensoriels de tous les vecteurs des espaces vectoriels $\evn{E}{n}$ et $\evn{F}{p}$.
Ce n'est pas un espace vectoriel car une combinaison linéaire de ses éléments ne donne pas nécessairement un élément de cet espace.
\end{defi}

\begin{defi}[Espace produit tensoriel]\index{Espace!produit!tensoriel}
L'espace vectoriel $\ev{G}_q=\evn{E}{n}\otimes \evn{F}{p}$ est appelé produit tensoriel des espaces vectoriels $\evn{E}{n}$ et $\evn{F}{p}$.
C'est l'espace de toutes les combinaisons linéaires des éléments de $\evn{E}{n}\times \evn{F}{p}$.
\end{defi}
La loi de composition $\otimes$ a également la propriété suivante~:
\begin{enumerate}[start=3]
\item\label{TM:ax3} Soit $(\vmatg{e}_{i})$ une base de $\evn{E}{n}$ et soit $\left(\br{f}_\alpha \right)$ une base de $\evn{F}{p}$.
Les $np$ éléments,
\begin{equation*}
\vmatg{e}_{i}\otimes\br{f}_\alpha
\end{equation*}
forment une base de $\ev{G}_q$.
\end{enumerate}
\begin{rmq}
L'espace $\evn{E}{n}\otimes \evn{F}{p}$ se distingue de l'espace $\ev{G}_q$ en ce qu'il est muni de la loi $\otimes$. Nous dirons que $\ev{G}_q$ constitue
le support de $\evn{E}{n}\otimes \evn{F}{p}$.
\end{rmq}

\subsection{Expression analytique du produit tensoriel}\index{Produit!tensoriel!expression analytique}
\begin{theo}\label{TM:th:ldc}
Les espaces $\evn{E}{n}$, $\evn{F}{p}$, et $\evn{E}{n}\otimes \evn{F}{p}$ étant rapportés à des bases
associées par les relations $\vmatg{e}_{i}\otimes\br{f}_\alpha=\br{\epsilon}_{i\alpha}$,
la seule loi de composition satisfaisant aux propriétés du \S~\ref{TM:pt} \vpageref{TM:pt}
est celle qui aux vecteurs $\vmatg{u}=u^{i}\vmatg{e}_{i}$ et $\vmatg{v}=v^\alpha \br{f}_\alpha$
fait correspondre le vecteur $u^{i}v^\alpha \br{\epsilon}_{i\alpha}$ de $\evn{E}{n}\otimes \evn{F}{p}$.
\end{theo}

\begin{proof}
Soient $(\vmatg{e}_{i})_{i=1,\dots,n}$, $\left(\br{f}_\alpha \right)_{\alpha=1,\dots,p}$, et
$\left(\br{\epsilon}_{i\alpha}\right)_{i=1,\dots,n\ ;\ \alpha=1,\dots,p}$
des bases respectives de $\evn{E}{n}$, $\evn{F}{p}$ et de $\evn{E}{n}\otimes \evn{F}{p}$. Alors~:
\begin{equation*}
\forall \vmatg{u}\in \evn{E}{n}, \forall \vmatg{v}\in \evn{F}{p},
\quad \vmatg{u}\otimes\vmatg{v}=u^{i}\vmatg{e}_{i}\otimes v^\alpha \br{f}_\alpha
\end{equation*}
Supposons $n=2$ et $p=3$~:
\begin{equation*}
\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}=\left(u^{1}\vmatg{e}_{1}+u^{2}\vmatg{e}_{2}\right)
\otimes\left(v^{1}\br{f}_1+v^{2}\br{f}_2+v^{3}\br{f}_3\right)
\end{equation*}
En utilisant l'axiome~\eqref{TM:ax1}~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}=u^{1}\vmatg{e}_{1}\otimes v^{1}\br{f}_1
&+u^{1}\vmatg{e}_{1}\otimes v^{2}\br{f}_2+u^{1}\vmatg{e}_{1}\otimes v^{3}\br{f}_3\\
&+u^{2}\vmatg{e}_{2}\otimes v^{1}\br{f}_1+u^{2}\vmatg{e}_{2}\otimes v^{2}\br{f}_2
+u^{2}\vmatg{e}_{2}\otimes v^{3}\br{f}_3
\end{align*}
En utilisant l'axiome~\eqref{TM:ax2}~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}=u^{1}v^{1}\vmatg{e}_{1}\otimes \br{f}_1
&+u^{1}v^{2}\vmatg{e}_{1}\otimes \br{f}_2+u^{1}v^{3}\vmatg{e}_{1}\otimes \br{f}_3\\
&+u^{2}v^{1}\vmatg{e}_{2}\otimes \br{f}_1+u^{2}v^{2}\vmatg{e}_{2}\otimes \br{f}_2
+u^{2}v^{3}\vmatg{e}_{2}\otimes \br{f}_3
\end{align*}
En généralisant à $n$ et $p$ quelconques,
\begin{equation*}
\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}=u^{i}v^\alpha \vmatg{e}_{i}\otimes\br{f}_\alpha
\end{equation*}
et avec l'axiome~\eqref{TM:ax3}~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}\label{TM:ea}
\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}=u^{i}v^\alpha \br{\epsilon}_{i\alpha}
\end{empheq}
Les trois axiomes du \S~\ref{TM:pt} \vpageref{TM:pt} impliquent que les composantes du produit tensoriel
$\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}$ s'écrivent sous la forme $u^{i}v^\alpha$ dans la base $\br{\epsilon}_{i\alpha}$.


L'expression analytique~\eqref{TM:ea} de la loi de composition~$\otimes$, implique-t-elle à son tour ces trois axiomes~?

Pour retrouver l'axiome \eqref{TM:ax1} \vpageref{TM:ax1}, posons $\vmatg{v}_1+\vmatg{v}_2=\vmatg{v}_3$~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\otimes\left(\vmatg{v}_1+\vmatg{v}_2\right)
&=\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}_3\\
&=u^{i}v^\alpha_3\vmatg{e}_{i}\otimes\br{f}_\alpha \\
&=u^{i}\left(v^\alpha_1+v^\alpha_2\right)\vmatg{e}_{i}\otimes\br{f}_\alpha \\
&=\left(u^{i}v^\alpha_1+u^{i}v^\alpha_2\right)\vmatg{e}_{i}\otimes\br{f}_\alpha \\
&=u^{i}v^\alpha_1\vmatg{e}_{i}\otimes\br{f}_\alpha+u^{i}v^\alpha_2\vmatg{e}_{i}\otimes\br{f}_\alpha \\
&=u^{i}\vmatg{e}_{i}\otimes v^\alpha_1\br{f}_\alpha+u^{i}\vmatg{e}_{i}\otimes v^\alpha_2\br{f}_\alpha \\
&=\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}_1+\vmatg{u}\otimes \vmatg{v}_2
\end{align*}
Pour retrouver l'axiome \eqref{TM:ax2} \vpageref{TM:ax2} à partir de \eqref{TM:ea} \vpageref{TM:ea},
posons $\vmatg{w}=\alpha \vmatg{u}$~:
\begin{align*}
\vmatg{w}\otimes\vmatg{v}&=w^{i}v^\beta \vmatg{e}_{i}\otimes\br{f}_\beta \\
\left(\alpha \vmatg{u}\right)\otimes\vmatg{v}
&=\sum_{i}\left[\left(\alpha u^{i}\right)v^\beta \vmatg{e}_{i}\otimes\br{f}_\beta \right]\\
&=\alpha \left(u^{i}v^\beta \vmatg{e}_{i}\otimes\br{f}_\beta \right)\\
&=\alpha \vmatg{u}\otimes \vmatg{v}
\end{align*}

\eqref{TM:ea} \vpageref{TM:ea} est elle compatible avec l'axiome~\eqref{TM:ax3} \vpageref{TM:ax3}~?

Soit $(\vmatg{e}_{i})$ une base de $\evn{E}{n}$ et soit $\left(\br{f}_\alpha \right)$ une base de $\evn{F}{p}$,
le produit tensoriel $(\vmatg{e}_{i})\otimes \left(\br{f}_\alpha \right)$
forme une base de $\evn{E}{n}\otimes \evn{F}{p}$ par hypothèse.
Soit $\left(\vmatg{e}_{j'}\right)$ une autre base de $\evn{E}{n}$ et soit $\left(\br{f}_{\beta'}\right)$ une autre base de $\evn{F}{p}$,
le produit tensoriel $\left(\vmatg{e}_{j'}\right)\otimes \left(\br{f}_{\beta'}\right)$
est-t-il une base de $\evn{E}{n}\otimes \evn{F}{p}$~?

Soient $A_{i}^{j'}$ et $B_\alpha^{\beta'}$ les matrices changement de base~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\forall i \ \vmatg{e}_{i}=A_{i}^{j'}\vmatg{e}_{j'}\\
\forall \alpha \ \br{f}_\alpha=B_\alpha^{\beta'}\br{f}_{\beta'}
\end{dcases}
\end{equation*}
Les éléments $\tens{T}$ s'écrivent sous la forme~:
\begin{align}
\tens{T}&=\vmatg{u}\otimes \vmatg{v}\notag\\
&=u^{i}v^\alpha \vmatg{e}_{i}\otimes \br{f}_\alpha \notag\\
&=t^{i\alpha}\vmatg{e}_{i}\otimes \br{f}_\alpha \label{TM:t}
\end{align}
Effectuons le changement de base~:
\begin{align}
\tens{T}&=t^{i\alpha}\,A_{i}^{j'}\vmatg{e}_{j'}
\otimes B_\alpha^{\beta'}\br{f}_{\beta'}\notag\\
&=t^{i\alpha}\,A_{i}^{j'}B_\alpha^{\beta'}\vmatg{e}_{j'}
\otimes\br{f}_{\beta'}\label{TM:base}
\end{align}
Les $\vmatg{e}_{i}\otimes \br{f}_\alpha$ formant une base par hypothèse, d'après \eqref{TM:t},
\begin{equation*}
\tens{T}=\vmatg{0}\quad \Rightarrow \quad \forall i,\alpha,\quad t^{i\alpha}=0
\end{equation*}
Cette implication restant vraie pour \eqref{TM:base},
les éléments $\vmatg{e}_{j'}\otimes\br{f}_{\beta'}$ sont li\-néai\-re\-ment indépendants,
et constituent donc une base de l'espace $\evn{E}{n}\otimes \evn{F}{p}$.
Nous dirons que $\left(\vmatg{e}_{j'}\right)\otimes\left(\br{f}_{\beta'}\right)$
est la base associée aux bases $\left(\vmatg{e}_{j'}\right)$ et $\left(\br{f}_{\beta'}\right)$.
\end{proof}

\subsection{Éléments d'un espace produit tensoriel}\label{TM:subsec_eept}
Tous les éléments de l'espace $\evn{E}{n}\otimes \evn{F}{p}$ sont-ils des produits tensoriels~?

Soit $\tens{T}$ un élément de l'espace $\evn{E}{n}\otimes \evn{F}{p}$~:
\begin{equation*}
\tens{T}=t^{i\alpha}\vmatg{e}_{i}\otimes \br{f}_\alpha
\end{equation*}
Peut-on toujours l'écrire sous la forme~:
\begin{equation*}
\tens{T}=u^{i}v^\alpha \vmatg{e}_{i}\otimes \br{f}_\alpha
\end{equation*}
où $\vmatg{u}=u^{i}\vmatg{e}_{i}$ est un vecteur de $\evn{E}{n}$ et $\vmatg{v}=v^\alpha \br{f}_\alpha$ un
vecteur de $\evn{F}{p}$~? Raisonnons par l'absurde et supposons que, quel que soit $t^{i\alpha}$, l'on ait~:
\begin{equation*}
\forall i,\alpha \qquad t^{i\alpha}=u^{i}v^\alpha
\end{equation*}
Pour $n=p=2$~:
\begin{equation*}
\tens{T}(t^{11},t^{12},t^{21},t^{22})=\tens{T}(u^{1}v^{1},u^{1}v^{2},u^{2}v^{1},u^{2}v^{2})
\end{equation*}
soit,
\begin{equation*}
u^{1}v^{1}=t^{11}\quad ;\quad u^{1}v^{2}=t^{12}\quad ;\quad u^{2}v^{1}=t^{21}\quad ;\quad u^{2}v^{2}=t^{22}
\end{equation*}
par conséquent~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\frac{v^{1}}{v^{2}}=\frac{t^{11}}{t^{12}}\\
\frac{v^{1}}{v^{2}}=\frac{t^{21}}{t^{22}}
\end{dcases}\qquad \Rightarrow \qquad
\frac{t^{11}}{t^{12}}=\frac{t^{21}}{t^{22}}
\end{equation*}
ce qui \emph{a priori} n'est pas toujours vrai, les composantes de l'élément $\tens{T}$ étant quelconques.
Nous en concluons qu'il existe des éléments de l'espace $\evn{E}{n}\otimes \evn{F}{p}$ qui ne sont pas des produits tensoriels de deux vecteurs.

\begin{exem}[Identification d'un tenseur comme produit tensoriel]
Le tenseur $\tens{T}$ suivant est-il le produit tensoriel de deux vecteurs~?
\begin{equation*}
\tens{T}=11\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1}
+8\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2}
+20\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{1}
+12\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{2}
\end{equation*}
Si $\tens{T}$ est le produit tensoriel de deux vecteurs alors il est de la forme
\begin{equation*}
\tens{T}=u^{i}v^{j}(\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j})
\end{equation*}
et l'on a~:
\begin{equation*}
u^{1}v^{1}=11,\qquad u^{1}v^{2}=8,\qquad u^{2}v^{1}=20,\qquad u^{2}v^{2}=12
\end{equation*}
En faisant les rapports des deux premières expressions puis celui des deux dernières~:
\begin{equation*}
\frac{v^{1}}{v^{2}}=\frac{11}{8}\qquad \qquad \frac{v^{1}}{v^{2}}=\frac{20}{12}
\end{equation*}
Ces valeurs étant différentes, $\tens{T}$ n'est pas le produit tensoriel de deux vecteurs.
\end{exem}

\subsection{Produit tensoriel de deux espaces identiques}\label{TM:ptddei}\index{Produit!tensoriel!de deux espaces identiques}

En pratique on a très souvent à effectuer le produit tensoriel de vecteurs appartenant à des espaces vectoriels identiques.
Soient $(\vmatg{e}_{i})$ une base de $\evn{E}{n}$,
et soient $\vmatg{u}=u^{i}\vmatg{e}_{i}$ et $\vmatg{v}=v^{j}\vmatg{e}_{j}$
deux vecteurs de cet espace.
Le produit tensoriel des vecteurs $\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$ s'écrit~:
\begin{align*}
\tens{T}&=\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}\\
&=u^{i}v^{j}\left(\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}\right)\\
&=t^{ij}\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}
\end{align*}
Le produit tensoriel de $\evn{E}{n}$ par lui-même est noté $\evn{E}{n}\otimes \evn{E}{n}$ ou encore $\evn{E}{n}^{(2)}$.
D'après l'axiome~\eqref{TM:ax3} \vpageref{TM:ax3},
les vecteurs (les tenseurs) $\br{\epsilon}_{ij}=\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}$ constituent une base de $\evn{E}{n}^{(2)}$.

\begin{exem}[Espace vectoriel du tenseur métrique]
Le tenseur métrique appartient à l'espace produit tensoriel de l'espace vectoriel $\evn{E}{n}$ avec lui-même, $\evn{E}{n}^{(2)}$.
\end{exem}

\subsection{Non commutativité du produit tensoriel}\label{TM:subsec_ncpt}

Le produit tensoriel d'un espace vectoriel $\evn{E}{n}$ avec lui-même, $\evn{E}{n}\otimes \evn{E}{n}$,
a pour vecteurs de base les produits tensoriels $\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}$.
Par exemple, les vecteurs $(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})$ et
$(\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{1})$ sont chacun des vecteurs de base, et ne peuvent donc pas être confondus.
Le produit tensoriel des vecteurs $\vmatg{e}_{i}$ et $\vmatg{e}_{j}$ n'est
donc pas commutatif.
Il en va de même pour tout produit tensoriel de vecteurs.

\begin{exem}[Non commutativité du produit tensoriel]
Soient $\vmatg{u}=u^{i}\vmatg{e}_{i}$ et $\vmatg{v}=v^{j}\vmatg{e}_{j}$
deux vecteurs de l'espace vectoriel~$\evn{E}{2}$~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}
&=u^{i}v^{j}\left(\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}\right)\\
&=u^{1}v^{1}\left(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1}\right)
+u^{1}v^{2}\left(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2}\right)
+u^{2}v^{1}\left(\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{1}\right)
+u^{2}v^{2}\left(\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{2}\right)\\
&=\tens{T}\left(u^{1}v^{1},u^{1}v^{2},u^{2}v^{1},u^{2}v^{2}\right)
\end{align*}
et~:
\begin{align*}
\vmatg{v}\otimes\vmatg{u}&=v^{j}u^{i}\left(\vmatg{e}_{j}\otimes\vmatg{e}_{i}\right)\\
&=v^{1}u^{1}\left(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1}\right)
+v^{1}u^{2}\left(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2}\right)
+v^{2}u^{1}\left(\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{1}\right)
+v^{2}u^{2}\left(\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{2}\right)\\
&=\tens{Z}\left(u^{1}v^{1},u^{2}v^{1},u^{1}v^{2},u^{2}v^{2}\right)
\end{align*}
Par suite, en général~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}\neq\vmatg{v}\otimes\vmatg{u}
\end{empheq}
\end{exem}


\subsection{Associativité du produit tensoriel}

Soient $\vmatg{u}, \vmatg{v}, \vmatg{w}$,
trois vecteurs appartenant respectivement aux espaces vec\-to\-ri\-els $\evn{E}{n}$, $ \evn{F}{p}, \ev{G}_q$.
Nous pouvons multiplier tensoriellement l'élément $\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}$ de $\evn{E}{n}\otimes \evn{F}{p}$ par le vecteur
$\vmatg{w}$ de $\ev{G}_q$. Nous obtenons alors l'élément
$\left(\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}\right)\otimes\vmatg{w}$ de l'espace vectoriel
$H_{npq}=\left(\evn{E}{n}\otimes \evn{F}{p}\right)\otimes \ev{G}_q$.


Nous posons comme nouvel axiome que le produit tensoriel des espaces vectoriels est associatif~:
\begin{align*}
H_{npq}&=\left(\evn{E}{n}\otimes \evn{F}{p}\right)\otimes \ev{G}_q\\
&= \evn{E}{n}\otimes \evn{F}{p}\otimes \ev{G}_q
\end{align*}
Cela revient à poser l'associativité des vecteurs de base~:
\begin{align}
\left(\vmatg{e}_{i}\otimes\br{f}_\alpha \right)\otimes \br{g}_\beta
&=\vmatg{e}_{i}\otimes\br{f}_\alpha \otimes \br{g}_\beta \label{TM:ep}
\end{align}
Pour les éléments résultants, nous avons~:
\begin{align*}
\left(\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}\right)\otimes\vmatg{w}
&=(u^{i}\vmatg{e}_{i}\otimes v^\alpha \br{f}_\alpha)\otimes w^\beta \br{g}_\beta
\end{align*}
En utilisant le th.~\ref{TM:th:ldc} \vpageref{TM:th:ldc}
\begin{align*}
\left(\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}\right)\otimes\vmatg{w}
&=\left(u^{i}v^\alpha \br{\epsilon}_{i\alpha}\right)\otimes w^\beta \br{g}_\beta \\
&=u^{i}v^\alpha w^\beta \br{\epsilon}_{i\alpha}\otimes \br{g}_\beta \\
&=u^{i}v^\alpha w^\beta \left(\vmatg{e}_{i}\otimes\br{f}_\alpha \right)\otimes \br{g}_\beta
\end{align*}
et, en utilisant l'axiome~\eqref{TM:ep}~:
\begin{align*}
\left(\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}\right)\otimes\vmatg{w}
&=u^{i}v^\alpha w^\beta \vmatg{e}_{i}\otimes\br{f}_\alpha \otimes \br{g}_\beta \\
&=u^{i}\vmatg{e}_{i}\otimes\left(v^\alpha w^\beta \br{f}_\alpha \otimes \br{g}_\beta \right)\\
&=u^{i}\vmatg{e}_{i}\otimes\left(v^\alpha \br{f}_\alpha \otimes w^\beta \br{g}_\beta \right)\\
&=\vmatg{u}\otimes\left(\vmatg{v}\otimes\vmatg{w}\right)
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\left(\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}\right)\otimes\vmatg{w}
=\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}\otimes\vmatg{w}
\end{empheq}

\subsection{Produit tensoriel de plusieurs espaces}\index{Produit!tensoriel!de plusieurs espaces}

Étant donné un nombre fini $r$ d'espaces vectoriels $\evn{E}{n}, \evn{F}{p}, \ev{G}_q,\dots$ la définition par récurrence du produit tensoriel de
ces $r$ espaces résulte du \S~précédent.
D'après le \S~\ref{TM:subsec_eept} \vpageref{TM:subsec_eept},
tout élément de $\evn{E}{n}\otimes \evn{F}{p}\otimes \ev{G}_q\otimes\dots$ n'étant pas nécessairement le produit tensoriel
de $r$ vecteurs appartenant respectivement à $\evn{E}{n}, \evn{F}{p}, \ev{G}_q,\dots$
nous sommes conduit à la définition suivante~:

\begin{defi}[Tenseur]\index{Tenseur!definition@définition}
On appelle tenseur construit sur les espaces de base $\evn{E}{n}, \evn{F}{p}, \ev{G}_q,\dots$
tout élément de l'espace vectoriel $\evn{E}{n}\otimes \evn{F}{p}\otimes \ev{G}_q\otimes\dots$
\end{defi}
Soit $\tens{T}$ un tenseur \enquote{contravariant d'ordre $p$} et \enquote{covariant d'ordre $q$} ,
et soit $\tens{U}$ un tenseur \enquote{contravariant d'ordre $r$} et \enquote{covariant d'ordre $s$} .
Le produit tensoriel de ces deux tenseurs donne un tenseur $\tens{V}$ \enquote{contravariant d'ordre $p+r$} et
\enquote{covariant d'ordre $q+s$} ~:
\begin{align*}
\tens{T}\otimes\tens{U}=&t^{i_1\,i_2\,\dots\,i_p}_{j_1\,j_2\,\dots\,j_q}\left(\vmatg{e}_{i_1}
\otimes\vmatg{e}_{i_2}\otimes\dots\otimes\vmatg{e}_{i_p}\otimes\vmatg{e}^{j_1}
\otimes\vmatg{e}^{j_2}\otimes\dots\otimes\vmatg{e}^{j_q}\right)\\
&\qquad \qquad \qquad \qquad \otimes u^{k_1\,k_2\,\dots\,k_{r}}_{l_1\,l_2\,\dots\,l_s}\left(\vmatg{e}_{k_1}\otimes\vmatg{e}_{k_2}
\otimes\dots\otimes\vmatg{e}_{k_{r}}\otimes\vmatg{e}^{l_1}\otimes\vmatg{e}^{l_2}
\otimes\dots\otimes\vmatg{e}^{l_s}\right)\\
=&t^{i_1\,i_2\dots\,i_p}_{j_1\,j_2\,\dots\,j_q}\,u^{k_1\,k_2\,\dots\,k_{r}}_{l_1\,l_2\,\dots\,l_s}\left(\vmatg{e}_{i_1}
\otimes\vmatg{e}_{i_2}\otimes\dots\otimes\vmatg{e}_{i_p}\otimes\vmatg{e}^{j_1}
\otimes\vmatg{e}^{j_2}\otimes\dots\otimes\vmatg{e}^{j_q}\right.\\
&\qquad \qquad \qquad \qquad \otimes\left.\vmatg{e}_{k_1}\otimes\vmatg{e}_{k_2}\otimes\dots\otimes\vmatg{e}_{k_{r}}
\otimes\vmatg{e}^{l_1}\otimes\vmatg{e}^{l_2}\otimes\dots\otimes\vmatg{e}^{l_s}\right)\\
=&\tens{V}
\end{align*}
\begin{rmq}
Les tenseurs ont un ordre mais pas de variance. Parler d'un tenseur contravariant d'ordre $p$ et covariant d'ordre $q$ est un abus de langage
pour parler d'un tenseur d'ordre $p+q$ dont $p$ composantes sont contravariantes et $q$ sont covariantes.
\end{rmq}

\section{Produit scalaire}
\subsection{Produit scalaire d'un produit tensoriel par un vecteur de base}
\begin{defi}[Produit scalaire d'un produit tensoriel par un vecteur de base]\label{TM:def:defps}\index{Produit!scalaire!d'un produit tensoriel}
Soient $\vmatg{u}=u^{i}\vmatg{e}_{i}$ et $\vmatg{v}=v^{i}\vmatg{e}_{i}$ deux vecteurs d'un espace vectoriel
euclidien $\evn{E}{n}$.
Le produit scalaire du produit tensoriel $\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}$ par un vecteur de base
$\left(\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}\right)$ de $\evn{E}{n}^{(2)}$ s'écrit~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\forall i,j\qquad (\vmatg{u}\otimes\vmatg{v})\cdot\left(\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}\right)\parDef u_{i}v_{j}
\end{empheq}
\end{defi}
Par conséquent~:
\begin{align}
\forall i,j\qquad u^{k}v^l(\vmatg{e}_{k}\otimes\vmatg{e}_l)\cdot\left(\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}\right)&=u^{k}v^lg_{ki}g_{lj}\notag\\
\forall i,j,k,l\qquad \left(\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}\right)\cdot(\vmatg{e}_{k}\otimes\vmatg{e}_l)&=g_{ik}g_{jl}\label{TM:klij}
\end{align}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\forall i,j,k,l\qquad
\left(\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}\right)\cdot(\vmatg{e}_{k}\otimes\vmatg{e}_l)
&=\left(\vmatg{e}_{i}\cdot\vmatg{e}_{k}\right)\left(\vmatg{e}_{j}\cdot\vmatg{e}_l\right)
\end{empheq}

\begin{exem}[Composantes du tenseur métrique de l'espace produit tensoriel]
Soit $\{\vmatg{e}_{1}(2,0,0),\vmatg{e}_{2}(1,3,0),\vmatg{e}_{3}(1,1,1)\}$ une base de l'espace vectoriel $\evn{E}{3}$.
Déterminons les composantes du tenseur métrique de l'espace produit tensoriel $\evn{E}{3}\otimes \evn{E}{3}$.
Les vecteurs de base s'écrivent~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1}=(4,0,0,0,0,0,0,0,0)\\
\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2}=(2,6,0,0,0,0,0,0,0)\\
\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{3}=(2,2,2,0,0,0,0,0,0)\\
\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{1}=(2,0,0,6,0,0,0,0,0)\\
\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{2}=(1,3,0,3,9,0,0,0,0)\\
\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{3}=(1,1,1,3,3,3,0,0,0)\\
\vmatg{e}_{3}\otimes\vmatg{e}_{1}=(2,0,0,2,0,0,2,0,0)\\
\vmatg{e}_{3}\otimes\vmatg{e}_{2}=(1,3,0,1,3,0,1,3,0)\\
\vmatg{e}_{3}\otimes\vmatg{e}_{3}=(1,1,1,1,1,1,1,1,1)
\end{dcases}
\end{equation*}


Leur produit scalaire donne $81$ composantes dont voici les premières~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})\cdot(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})=16\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})\cdot(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})=8\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})\cdot(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{3})=8\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})\cdot(\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{1})=8\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})\cdot(\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{2})=4\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})\cdot(\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{3})=4\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})\cdot(\vmatg{e}_{3}\otimes\vmatg{e}_{1})=8\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})\cdot(\vmatg{e}_{3}\otimes\vmatg{e}_{2})=4\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})\cdot(\vmatg{e}_{3}\otimes\vmatg{e}_{3})=4
\end{dcases}\qquad
\begin{dcases}
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})\cdot(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})=8\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})\cdot(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})=40\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})\cdot(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{3})=16\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})\cdot(\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{1})=4\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})\cdot(\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{2})=20\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})\cdot(\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{3})=8\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})\cdot(\vmatg{e}_{3}\otimes\vmatg{e}_{1})=4\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})\cdot(\vmatg{e}_{3}\otimes\vmatg{e}_{2})=20\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})\cdot(\vmatg{e}_{3}\otimes\vmatg{e}_{3})=8
\end{dcases}\qquad \dots
\end{equation*}


On retrouve le résultat précédent en utilisant \eqref{TM:klij} \vpageref{TM:klij}.
Le tenseur métrique de $\evn{E}{3}$ a pour composantes~:
\begin{equation*}
\tm
\begin{bmatrix}
4 & 2 & 2\\
2 & 10 & 4\\
2 & 4 & 3
\end{bmatrix}
\end{equation*}


\begin{equation*}
\begin{dcases}
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})\cdot(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})=g_{11}g_{11}=16\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})\cdot(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})=g_{11}g_{12}=8\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})\cdot(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{3})=g_{11}g_{13}=8\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})\cdot(\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{1})=g_{12}g_{11}=8\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})\cdot(\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{2})=g_{12}g_{12}=4\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})\cdot(\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{3})=g_{12}g_{13}=4\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})\cdot(\vmatg{e}_{3}\otimes\vmatg{e}_{1})=g_{13}g_{11}=8\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})\cdot(\vmatg{e}_{3}\otimes\vmatg{e}_{2})=g_{13}g_{12}=4\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})\cdot(\vmatg{e}_{3}\otimes\vmatg{e}_{3})=g_{13}g_{13}=4
\end{dcases}\qquad
\begin{dcases}
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})\cdot(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1})=g_{11}g_{21}=8\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})\cdot(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})=g_{11}g_{22}=40\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})\cdot(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{3})=g_{11}g_{23}=16\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})\cdot(\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{1})=g_{12}g_{21}=4\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})\cdot(\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{2})=g_{12}g_{22}=20\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})\cdot(\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}_{3})=g_{12}g_{23}=8\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})\cdot(\vmatg{e}_{3}\otimes\vmatg{e}_{1})=g_{13}g_{21}=4\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})\cdot(\vmatg{e}_{3}\otimes\vmatg{e}_{2})=g_{13}g_{22}=20\\
(\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2})\cdot(\vmatg{e}_{3}\otimes\vmatg{e}_{3})=g_{13}g_{23}=8
\end{dcases}\qquad \dots
\end{equation*}
\end{exem}

\subsection{Composantes deux fois covariantes d'un tenseur d'ordre deux}
\begin{ntn}
Si $u_{i}=\vmatg{u}\cdot\vmatg{e}_{i}$, $v_{j}=\vmatg{v}\cdot\vmatg{e}_{j}$,
et $\tens{T}=\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}$ alors
\begin{equation*}
\forall i,j\qquad t_{ij}=u_{i}v_{j}
\end{equation*}
\end{ntn}

Pour tout tenseur $\tens{T}=\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}$ d'un espace vectoriel euclidien $\evn{E}{n}^{(2)}$,
avec \eqref{TM:klij} \vpageref{TM:klij} et la déf.~\ref{TM:def:defps} \vpageref{TM:def:defps},
le produit scalaire de ce tenseur par un vecteur de base s'écrit~:
\begin{align*}
\forall i,j\qquad (\vmatg{u}\otimes\vmatg{v})\cdot\left(\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}\right)
&=(u^{k}\vmatg{e}_{k}\otimes v^l\vmatg{e}_l)\cdot\left(\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}\right)\\
\forall i,j\qquad u_{i}v_{j}
&=u^{k}v^l(\vmatg{e}_{k}\otimes\vmatg{e}_l)\cdot\left(\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}\right)\\
\forall i,j\qquad t_{ij}&=t^{kl}g_{ki}g_{lj}
\end{align*}
Les $t_{ij}$ sont les composantes deux fois covariantes du tenseur d'ordre deux $\tens{T}$.

\subsection{Produit scalaire de deux tenseurs contravariants d'ordre deux}

Soient $\tens{U}$ et $\tens{V}$ deux tenseurs de composantes deux fois contravariantes,
de l'espace vectoriel euclidien $\evn{E}{n}^{(2)}$~:
\begin{align*}
\tens{U}\cdot\tens{V}&=\left[u^{ij}\left(\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}\right)\right]
\cdot\left[v^{kl}(\vmatg{e}_{k}\otimes\vmatg{e}_l)\right]\\
&=u^{ij}v^{kl}\left(\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}\right)
\cdot(\vmatg{e}_{k}\otimes\vmatg{e}_l)\\
&=u^{ij}v^{kl}g_{ik}g_{jl}\\
&=u^{ij}v_{ij}
\end{align*}

\section{Base}
\subsection{Base duale d'un espace produit tensoriel}

Soit $(\vmatg{e}^{1},\vmatg{e}^{2},\dots,\vmatg{e}^n)$ la base duale de la base
$\left(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2},\dots,\vmatg{e}_n\right)$ de l'espace vectoriel $\evn{E}{n}$.
D'après le \S~\ref{TM:ptddei} \vpageref{TM:ptddei}
les vecteurs $\br{\epsilon}_{ij}=\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}$ constituent une base de $\evn{E}{n}^{(2)}$.
D'après le \S~\ref{TM:sec_{i}ndep_lin_vec_recip} \vpageref{TM:sec_{i}ndep_lin_vec_recip},
les vecteurs $\vmatg{e}^{j}$ forment une base de $\evn{E}{n}$.
Par conséquent, les vecteurs $\CovContra{\br{\epsilon}}{i}{j}=\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}^{j}$,
les vecteurs $\ContraCov{\br{\epsilon}}{i}{j}=\vmatg{e}^{i}\otimes\vmatg{e}_{j}$,
et les vecteurs $\br{\epsilon}^{ij}=\vmatg{e}^{i}\otimes\vmatg{e}^{j}$, sont trois bases de $\evn{E}{n}^{(2)}$.

\begin{rmq}
L'écriture $\br{\epsilon}_{i}^{j}$ avec les indices l'un sous l'autre est à éviter, elle ne permet pas de distinguer
$\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}^{j}$
de $\vmatg{e}^{j}\otimes\vmatg{e}_{i}$.
Or d'après le \S~\ref{TM:subsec_ncpt} \vpageref{TM:subsec_ncpt} le produit tensoriel n'est pas commutatif,
\begin{equation*}
\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}^{j}\neq\vmatg{e}^{j}\otimes\vmatg{e}_{i}
\end{equation*}
autrement dit
\begin{equation*}
\CovContra{\br{\epsilon}}{i}{j}\neq\ContraCov{\br{\epsilon}}{j}{i}
\end{equation*}
\end{rmq}

\subsection{Composantes mixtes}

Soit $(\vmatg{e}^{j})$ la base duale de la base $(\vmatg{e}_{i})$.
La décomposition du tenseur $\tens{T}$ sur la base mixte
$\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}^{j}$ s'écrit~:
\begin{equation*}
\tens{T}=\ContraCov{t}{i}{j}\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}^{j}
\end{equation*}
Les $\ContraCov{t}{i}{j}$ sont les composantes mixtes du tenseur $\tens{T}$, une fois contravariante et une fois covariante.
\begin{align*}
\tens{T}&=\ContraCov{t}{i}{j}\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}^{j}\\
t^{ik}\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{k}&=\ContraCov{t}{i}{j}g^{jk}\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{k}\\
\forall i,k\qquad t^{ik}&=\ContraCov{t}{i}{j}g^{jk}
\end{align*}
\begin{ntn}
L'ordre des indices est important.
Par conséquent, en indices mixtes il faut garder l'ordre des indices en conservant une espace typographique, $\ContraCov{t}{i}{j}$ ou $\CovContra{t}{j}{i}$,
mais pas $t^{i}_{j}$.
En abaissant puis en élevant un indice on obtiendrait
\begin{equation*}
t^{ij}\to t^{i}_{j}\to t^{ji}
\end{equation*}
Si le tenseur de départ $t^{ij}$ est symétrique cela n'a pas d'importance.
En revanche, s'il est antisymétrique on commet ici une erreur de signe puisque
\begin{equation*}
t^{ij}=-t^{ji}
\end{equation*}
Pour un tenseur non symétrique, on retiendra que~:
\begin{align*}
\ContraCov{t}{i}{j}&\neq\CovContra{t}{j}{i}\\
\ContraCov{t}{i}{j}&\neq\ContraCov{t}{j}{i}
\end{align*}
car en remontant les indices on aurait
\begin{equation*}
t^{ij}=t^{ji}
\end{equation*}
\end{ntn}

\begin{exem}[Tenseur métrique en composantes mixtes]
D'après \eqref{TM:inv_tens_metr} \vpageref{TM:inv_tens_metr}~:
\begin{align*}
\forall i,j\qquad g^{i}_{j}&=g^{ik}g_{kj}\\
&=\delta^{i}_{j}
\end{align*}
Les composantes mixtes $g^{i}_{j}$ sont donc identiques dans tous les systèmes de coordonnées.
Quel que soit le tenseur $\tens{A}$~:
\begin{align*}
a_{i}g^{i}_{j}=a_{j}\\
a^{i}g_{i}^{j}=a^{j}
\end{align*}
$g^{i}_{j}$ est un opérateur de substitution d'indice.
Les trois ensembles de composantes $g^{i}_{j},g^{ik},g_{kj}$ forment un groupe.
Ils définissent le tenseur fondamental d'ordre deux $\tm$.
\end{exem}

\begin{exem}[Symbole de Kronecker]
Le symbole de Kronecker en composantes mixtes,
\begin{align*}
\delta^{i}_{j}\parDef
\begin{dcases}
1\text{ si }i=j\\
0\text{ si }i\neq j
\end{dcases}
\end{align*}
est-il un tenseur comme le suggère l'exemple précédent~? On note que le symbole de Kronecker mixte est symétrique~:
\begin{equation*}
\delta^{i}_{j}=\delta^{j}_{i}
\end{equation*}
Supposons que dans la base $\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}^{j}$ on ait
\begin{equation*}
t^{i}_{j}=\delta^{i}_{j}
\end{equation*}
et effectuons un changement de base.
Avec les matrices changement de base $A$ et $B$ telles que $A=B^{-1}$~:
\begin{align*}
t^{i}_{j}\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}^{j}&=\delta^{i}_{j}\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}^{j}\\
t^{i}_{j}A^{k}_{i}\vmatg{e}_{k}\otimes B^{j}_{m}\vmatg{e}^{m}&=\delta^{i}_{j}A^{k}_{i}\vmatg{e}_{k}\otimes B^{j}_{m}\vmatg{e}^{m}\\
t^{i}_{j}A^{k}_{i}B^{j}_{m}\vmatg{e}_{k}\otimes\vmatg{e}^{m}&=A^{k}_{i}B^{i}_{m}\vmatg{e}_{k}\otimes\vmatg{e}^{m}\\
t^{k}_{m}\vmatg{e}_{k}\otimes\vmatg{e}^{m}&=\delta^{k}_{m}\vmatg{e}_{k}\otimes\vmatg{e}^{m}\\
t^{k}_{m}&=\delta^{k}_{m}
\end{align*}
Le symbole de Kronecker mixte est donc bien un tenseur, appelé \emph{tenseur unitaire}.
En relativité restreinte c'est donc le \quadri vecteur unitaire dont la trace, appelée norme pour un vecteur, vaut $4$.


Le symbole de Kronecker $\delta_{ij}$ est-il un tenseur~?
Supposons que dans la base $\vmatg{e}^{i}\otimes\vmatg{e}^{j}$ on ait $t_{ij}=\delta_{ij}$ et effectuons un changement de base~:
\begin{align*}
t_{ij}\vmatg{e}^{i}\otimes\vmatg{e}^{j}&=\delta_{ij}\vmatg{e}^{i}\otimes\vmatg{e}^{j}\\
t_{ij}A^{i}_{k}A^{j}_{m}\vmatg{e}^{k}\otimes\vmatg{e}^{m}&=\sum_{i}\sum_{j}\delta_{ij}A^{i}_{k}A^{j}_{m}\vmatg{e}^{k}\otimes\vmatg{e}^{m}\\
t_{km}&=\sum_{i}A^{i}_{k}A^{i}_{m}
\end{align*}
$\delta_{ij}$ n'est donc pas un tenseur, de même on montre que $\delta^{ij}$ n'est pas un tenseur.
\end{exem}

\subsection{Changement de base}\label{TM:cdb}

Soient $(\bng{e}_{i})$ et $(\bng{e}_{p'})$ deux bases naturelles d'un espace vectoriel $\evn{E}{n}$.
Prenons le cas d'un espace tensoriel $\evn{E}{n}^{(3)}$ dont la base associée à $(\bng{e}_{i})$ est
$\left(\bng{e}_{j}\otimes\bng{e}_{k}\otimes\bng{e}_l\right)$,
et celle associée à $(\bng{e}_{p'})$ est
$\left(\bng{e}_{q'}\otimes\bng{e}_{r'}\otimes\bng{e}_{s'}\right)$.
D'après \eqref{TM:inv_vect_chgt_base} \vpageref{TM:inv_vect_chgt_base}~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\forall j,k,l\qquad \bng{e}_{j}\otimes\bng{e}_{k}\otimes\bng{e}_l
=\frac{\partial x^{q'}}{\partial x^{j}}\,\frac{\partial x^{r'}}{\partial x^{k}}\,\frac{\partial x^{s'}}{\partial x^l}
\left(\bng{e}_{q'}\otimes\bng{e}_{r'}\otimes\bng{e}_{s'}\right)\\
\forall q,r,s\qquad \bng{e}_{q'}\otimes\bng{e}_{r'}\otimes\bng{e}_{s'}
=\frac{\partial x^{j}}{\partial x^{q'}}\,\frac{\partial x^{k}}{\partial x^{r'}}\,\frac{\partial x^l}{\partial x^{s'}}
\left(\bng{e}_{j}\otimes\bng{e}_{k}\otimes\bng{e}_l\right)
\end{dcases}
\end{equation*}

Soit $(\bng{e}^{j})$ la base naturelle duale de $(\bng{e}_{i})$, et soit $(\bng{e}^{q'})$ la base naturelle duale de $(\bng{e}_{p'})$.
Utilisons le changement de base naturelle duale \eqref{TM:tvbr1} et~\eqref{TM:tvbr2} \vpageref{TM:tvbr1}~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\forall j\qquad \bng{e}^{j}=\frac{\partial x^{j}}{\partial x^{q'}}\,\bng{e}^{q'}\\
\forall q\qquad \bng{e}^{q'}=\frac{\partial x^{q'}}{\partial x^{j}}\,\bng{e}^{j}
\end{dcases}
\end{equation*}
Soient $\left(\bng{e}^{j}\otimes\bng{e}_{k}\otimes\bng{e}_l\right)$
et $\left(\bng{e}^{q'}\otimes\bng{e}_{r'}\otimes\bng{e}_{s'}\right)$ deux bases naturelles de $\evn{E}{n}^{(3)}$.
Nous avons les relations suivantes~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\forall j,k,l\qquad \bng{e}^{j}\otimes\bng{e}_{k}\otimes\bng{e}_l
=\frac{\partial x^{j}}{\partial x^{q'}}\,\frac{\partial x^{r'}}{\partial x^{k}}\,\frac{\partial x^{s'}}{\partial x^l}
\left(\bng{e}^{q'}\otimes\bng{e}_{r'}\otimes\bng{e}_{s'}\right)\\
\forall q,r,s\qquad \bng{e}^{q'}\otimes\bng{e}_{r'}\otimes\bng{e}_{s'}
=\frac{\partial x^{q'}}{\partial x^{j}}\,\frac{\partial x^{k}}{\partial x^{r'}}\,\frac{\partial x^l}{\partial x^{s'}}
\left(\bng{e}^{j}\otimes\bng{e}_{k}\otimes\bng{e}_l\right)
\end{dcases}
\end{equation*}

 \section{Transformation des composantes d'un tenseur}
\subsection{Transformation des composantes contravariantes}

Soit $\tens{T}$ un tenseur de l'espace tensoriel $\evn{E}{n}^{(2)}$~:
\begin{align}
t^{i'j'}\left(\bng{e}_{i'}\otimes\bng{e}_{j'}\right)
&=t^{pq}\left(\bng{e}_p\otimes\bng{e}_q\right)\notag\\
&=t^{pq}\,\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^p}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^q}
\left(\bng{e}_{i'}\otimes\bng{e}_{j'}\right)\notag\\
\forall i,j\qquad t^{i'j'}&=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^p}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^q}\,t^{pq}\label{TM:cdbccon}
\end{align}
On change l'ordre des termes de sorte que les indices muets $p$ puis $q$ donne un produit de matrices~:
\begin{align}
\forall i,j\qquad t^{i'j'}&=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^p}\,t^{pq}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^q}\notag\\
\tens{T}'_{\,\symup{con}}&=J\tens{T}_{\,\symup{con}}\transp{J}\label{TM:JTJT}
\end{align}
Les $t^{i'j'}$ sont appelées composantes contravariantes du tenseur $\tens{T}$.
\begin{rmq}
Les tenseurs de composantes deux fois contravariantes généralisent à l'ordre deux les vecteurs ordinaires (donnés en composantes contravariantes).
\end{rmq}

Généralisons à un produit tensoriel d'espace supérieur à deux.
Soit $\tens{T}$ un tenseur de l'espace tensoriel $\evn{E}{n}\otimes \evn{E}{n}\otimes \evn{E}{n}\otimes\dots$ tel que
\begin{align*}
t^{i'j'k'\dots}\left(\bng{e}_{i'}\otimes\bng{e}_{j'}\otimes\bng{e}_{k'}\otimes\dots\right)
&=t^{pqr\dots}\left(\bng{e}_p\otimes\bng{e}_q\otimes\bng{e}_{r}\otimes\dots\right)\\
&=t^{pqr\dots}\,\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^p}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^q}\,\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{r}}
\dots\left(\bng{e}_{i'}\otimes\bng{e}_{j'}\otimes\bng{e}_{k'}\otimes\dots\right)\\
\forall i,j,k,\dots\qquad t^{i'j'k'\dots}
&=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^p}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^q}\,\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{r}}\dots t^{pqr\dots}
\end{align*}
Inversement,
\begin{align*}
t^{pq}\left(\bng{e}_p\otimes\bng{e}_q\right)
&=t^{i'j'}\left(\bng{e}_{i'}\otimes\bng{e}_{j'}\right)\\
&=t^{i'j'}\,\frac{\partial x^p}{\partial x^{i'}}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}
\left(\bng{e}_p\otimes\bng{e}_q\right)\\
\forall p,q\qquad t^{pq}&=\frac{\partial x^p}{\partial x^{i'}}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}\,t^{i'j'}\\
&=\frac{\partial x^p}{\partial x^{i'}}\,t^{i'j'}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}\\
\tens{T}_{\,\symup{con}}&=J^{-1}\tens{T}'_{\,\symup{con}}\transp{\left(J^{-1}\right)}
\end{align*}
On trouve cette relation directement à partir de \eqref{TM:JTJT} \vpageref{TM:JTJT}~:
\begin{align*}
J^{-1}\tens{T}'&=J^{-1}J\tens{T}\transp{J}\\
J^{-1}\tens{T}'\left(\transp{J}\right)^{-1}&=\tens{T}\transp{J}\left(\transp{J}\right)^{-1}\\
&=\tens{T}
\end{align*}
En généralisant~:
\begin{equation*}
\forall p,q,r,\dots\qquad
t^{pqr\dots}=\frac{\partial x^p}{\partial x^{i'}}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}\,\frac{\partial x^{r}}{\partial x^{k'}}
\dots t^{i'j'k'\dots}
\end{equation*}

\begin{exem}[Transformation des composantes contravariantes d'un tenseur]
Dans la base naturelle du système de coordonnées $(x^{1},x^{2})$, soit le tenseur de composantes deux fois contravariantes
$\tens{T}\left(t^{11},t^{12},t^{21},t^{22}\right)=(1,1,-1,2)$.
Quelles sont ses composantes deux fois contravariantes $t^{i'j'}$ lors du changement de coordonnées~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
x^{1'}=(x^{2})^{2}\\
x^{2'}=x^{1}x^{2}
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item en notation indicielle
\begin{align*}
t^{1'1'}&=\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{1}}\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{1}}\,t^{11}
+\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{1}}\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{2}}\,t^{12}
+\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{2}}\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{1}}\,t^{21}
+\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{2}}\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{2}}\,t^{22}\\
&=2x^{2}\times2x^{2}\times t^{22}\\
&=8(x^{2})^{2}
\end{align*}
\begin{align*}
t^{1'2'}&=\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{1}}\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{1}}\,t^{11}
+\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{1}}\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{2}}\,t^{12}
+\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{2}}\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{1}}\,t^{21}
+\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{2}}\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{2}}\,t^{22}\\
&=2x^{2}\times x^{2}\times t^{21}+2x^{2}\times x^{1}\times t^{22}\\
&=-2(x^{2})^{2}+4x^{1}x^{2}
\end{align*}
\begin{align*}
t^{2'1'}&=\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{1}}\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{1}}\,t^{11}
+\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{1}}\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{2}}\,t^{12}
+\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{2}}\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{1}}\,t^{21}
+\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{2}}\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{2}}\,t^{22}\\
&=x^{2}\times2x^{2}\times t^{12}+x^{1}\times2x^{2}\times t^{22}\\
&=2(x^{2})^{2}+4x^{1}x^{2}
\end{align*}
\begin{align*}
t^{2'2'}&=\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{1}}\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{1}}\,t^{11}
+\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{1}}\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{2}}\,t^{12}
+\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{2}}\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{1}}\,t^{21}
+\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{2}}\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{2}}\,t^{22}\\
&=x^{2}x^{2}\times t^{11}+x^{2}x^{1}\times t^{12}+x^{1}x^{2}\times t^{21}+x^{1}x^{1}\times t^{22}\\
&=(x^{2})^{2}+2(x^{1})^{2}
\end{align*}
\item en notation matricielle

\eqref{TM:JTJT} \vpageref{TM:JTJT}, $\tens{T}'_{\,\symup{con}}=J\tens{T}_{\,\symup{con}}\transp{J}$, donne~:
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
t^{1'1'} & t^{1'2'}\\
t^{2'1'} & t^{2'2'}
\end{bmatrix}
&=\begin{bmatrix}
0 & 2x^{2}\\
x^{2} & x^{1}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
-1 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & x^{2}\\
2x^{2} & x^{1}
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
-2x^{2} & 4x^{2}\\
x^{2}-x^{1} & x^{2}+2x^{1}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & x^{2}\\
2x^{2} & x^{1}
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
8(x^{2})^{2} & -2(x^{2})^{2}+4x^{1}x^{2}\\
2(x^{2})^{2}+4x^{1}x^{2} & (x^{2})^{2}+2(x^{1})^{2}
\end{bmatrix}
\end{align*}
\end{itemize}
Par exemple au point de coordonnées $x^{1}=1$, $x^{2}=-2$, le tenseur a pour composantes~:
\begin{align*}
\tens{T}'
\begin{bmatrix}
32 & -16\\
0 & 6
\end{bmatrix}
\end{align*}
\end{exem}

\subsection{Transformation des composantes covariantes}

Soit $\tens{T}$ un tenseur de l'espace tensoriel $\evn{E}{n}^{(2)}$ tel que
\begin{align}
\tens{T}\cdot\left(\bng{e}_{i'}\otimes\bng{e}_{j'}\right)
&=\tens{T}\cdot\left[\frac{\partial x^p}{\partial x^{i'}}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}
\left(\bng{e}_p\otimes\bng{e}_q\right)\right]\notag\\
\forall i,j\qquad t_{i'j'}&=\frac{\partial x^p}{\partial x^{i'}}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}\,\tens{T}\cdot
\left(\bng{e}_p\otimes\bng{e}_q\right)\notag\\
&=\frac{\partial x^p}{\partial x^{i'}}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}\,t_{pq}\label{TM:cdbccov}
\end{align}
On change l'ordre des termes de sorte que les indices muets $p$ puis $q$ donne un produit de matrices~:
\begin{align}
\forall i,j\qquad t_{i'j'}&=\frac{\partial x^p}{\partial x^{i'}}\,t_{pq}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}\notag\\
\tens{T}'_{\,\symup{cov}}&=\transp{\left(J^{-1}\right)}\tens{T}_{\,\symup{cov}}J^{-1}\label{TM:T'cov}
\end{align}
Les $t_{i'j'}$ sont appelées composantes covariantes du tenseur $\tens{T}$.
\begin{rmq}
Les tenseurs d'ordre deux de composantes deux fois covariantes généralisent à l'ordre deux les vecteurs de type gradient\index{Gradient}
(qui sont exprimés en composantes covariantes).
\end{rmq}

Généralisons à un produit tensoriel d'espace supérieur à deux.
Soit $\tens{T}$ un tenseur de l'espace tensoriel $\evn{E}{n}\otimes \evn{E}{n}\otimes \evn{E}{n}\otimes\dots$ tel que,
\begin{equation*}
\forall i,j,k,\dots\qquad t_{i'j'k'\dots}=\tens{T}\cdot\left(\bng{e}_{i'}\otimes\bng{e}_{j'}\otimes\bng{e}_{k'}\otimes\dots\right)
\end{equation*}
\begin{align*}
\forall i,j,k,\dots\qquad t_{i'j'k'\dots}
&=\tens{T}\cdot
\left[\frac{\partial x^p}{\partial x^{i'}}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}\,\frac{\partial x^{r}}{\partial x^{k'}}\dots\left(\bng{e}_p\otimes\bng{e}_q\otimes\bng{e}_{r}\otimes\dots\right)\right]\\
&=\frac{\partial x^p}{\partial x^{i'}}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}\,\frac{\partial x^{r}}{\partial x^{k'}}\dots\tens{T}\cdot\left(\bng{e}_p\otimes\bng{e}_q\otimes\bng{e}_{r}\otimes\dots\right)\\
&=\frac{\partial x^p}{\partial x^{i'}}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}\,\frac{\partial x^{r}}{\partial x^{k'}}\dots t_{pqr\dots}
\end{align*}

Inversement~:
\begin{align*}
\forall p,q\qquad t_{pq}&=\tens{T}\cdot\left(\bng{e}_p\otimes\bng{e}_q\right)\\
&=\tens{T}\cdot\left[\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^p}
\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^q}\left(\bng{e}_{i'}\otimes\bng{e}_{j'}\right)\right]\\
&=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^p}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^q}\,t_{i'j'}\\
&=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^p}\,t_{i'j'}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^q}\\
\tens{T}_{\,\symup{cov}}&=\transp{J}\tens{T}'_{\,\symup{cov}}J
\end{align*}
On trouve cette relation directement à partir de \eqref{TM:T'cov} \vpageref{TM:T'cov}~:
\begin{align*}
\tens{T}'_{\,\symup{cov}}J&=\transp{\left(J^{-1}\right)}\tens{T}_{\,\symup{cov}}J^{-1}J\\
\transp{J}\tens{T}'_{\,\symup{cov}}J&=\transp{J}\transp{\left(J^{-1}\right)}\tens{T}_{\,\symup{cov}}\\
&=\tens{T}_{\,\symup{cov}}
\end{align*}
En généralisant~:
\begin{equation*}
\forall p,q,r,\dots\qquad t_{pqr\dots}
=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^p}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^q}\,\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{r}}\dots t_{i'j'k'\dots}
\end{equation*}

Pour le tenseur métrique habituellement donné en composantes covariantes~:
\begin{equation*}
G=\transp{J}G'J
\end{equation*}
En particulier si le nouveau système de coordonnées (primé) est rectangulaire, la base naturelle est orthonormée et $G'=I$,
dans l'ancien système de coordonnées le tenseur métrique s'écrit alors~:
\begin{equation}
G=\transp{J}J\label{TM:GJTJ}
\end{equation}

\begin{exem}[Transformation des composantes covariantes d'un tenseur]
Dans la base naturelle du système de coordonnées $(x^{1},x^{2})$, soit le tenseur de composantes deux fois covariantes
$\tens{T}\left(t_{11},t_{12},t_{21},t_{22}\right)=(1,1,-1,2)$.
Quelles sont ses composantes deux fois covariantes $t_{i'j'}$ lors du changement de coordonnées~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
x^{1}=(x^{2'})^{2}\\
x^{2}=x^{1'}x^{2'}
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item en notation indicielle
\begin{align*}
t_{1'1'}&=\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{1'}}\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{1'}}\,t_{11}
+\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{1'}}\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{1'}}\,t_{12}
+\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{1'}}\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{1'}}\,t_{21}
+\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{1'}}\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{1'}}\,t_{22}\\
&=x^{2'}\times x^{2'}\times t_{22}\\
&=2(x^{2'})^{2}
\end{align*}
\begin{align*}
t_{1'2'}&=\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{1'}}\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{2'}}\,t_{11}
+\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{1'}}\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{2'}}\,t_{12}
+\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{1'}}\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{2'}}\,t_{21}
+\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{1'}}\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{2'}}\,t_{22}\\
&=x^{2'}\times 2x^{2'}\times t_{21}+x^{2'}\times x^{1'}\times t_{22}\\
&=-2(x^{2'})^{2}+2x^{1'}x^{2'}
\end{align*}
\begin{align*}
t_{2'1'}&=\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{2'}}\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{1'}}\,t_{11}
+\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{2'}}\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{1'}}\,t_{12}
+\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{2'}}\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{1'}}\,t_{21}
+\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{2'}}\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{1'}}\,t_{22}\\
&=2x^{2'}\times x^{2'}\times t_{12}+x^{1'}\times x^{2'}\times t_{22}\\
&=2(x^{2'})^{2}+2x^{1'}x^{2'}
\end{align*}
\begin{align*}
t_{2'2'}&=\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{2'}}\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{2'}}\,t_{11}
+\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{2'}}\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{2'}}\,t_{12}
+\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{2'}}\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{2'}}\,t_{21}
+\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{2'}}\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{2'}}\,t_{22}\\
&=2x^{2'}\times 2x^{2'}\times t_{11}+2x^{2'}x^{1'}\times t_{12}+2x^{1'}x^{2'}\times t_{21}+x^{1'}x^{1'}\times t_{22}\\
&=4(x^{2'})^{2}+2x^{2'}x^{1'}-2x^{1'}x^{2'}+2(x^{1'})^{2}\\
&=4(x^{2'})^{2}+2(x^{1'})^{2}
\end{align*}
\item en notation matricielle

\eqref{TM:T'cov} \vpageref{TM:T'cov}, $\tens{T}'_{\,\symup{cov}}=\transp{\left(J^{-1}\right)}\tens{T}_{\,\symup{cov}}J^{-1}$, donne~:
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
t_{1'1'} & t_{1'2'}\\
t_{2'1'} & t_{2'2'}
\end{bmatrix}
&=\begin{bmatrix}
0 & x^{2'}\\
2x^{2'} & x^{1'}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
-1 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 2x^{2'}\\
x^{2'} & x^{1'}
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
-x^{2'} & 2x^{2'}\\
2x^{2'}-x^{1'} & 2x^{2'}+2x^{1'}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 2x^{2'}\\
x^{2'} & x^{1'}
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
2(x^{2'})^{2} & -2(x^{2'})^{2}+2x^{1'}x^{2'}\\
2(x^{2'})^{2}+2x^{1'}x^{2'} & 4(x^{2'})^{2}+2(x^{1'})^{2}
\end{bmatrix}
\end{align*}
\end{itemize}
Par exemple au point de coordonnées $x_{1}=1$, $x_{2}=-2$, le tenseur a pour composantes~:
\begin{align*}
\tens{T}'
\begin{bmatrix}
8 & -12\\
4 & 18
\end{bmatrix}
\end{align*}
\end{exem}

\subsection{Transformation des composantes mixtes}

Soit $\tens{T}$ un tenseur de l'espace tensoriel $\evn{E}{n}^{(2)}$ tel que,
\begin{align}
\CovContra{t}{i'}{j'}\left(\bng{e}^{i'}\otimes\bng{e}_{j'}\right)\notag
&=\CovContra{t}{p}{q}\left(\bng{e}^p\otimes\bng{e}_q\right)\notag\\
&=\CovContra{t}{p}{q}\,\frac{\partial x^p}{\partial x^{i'}}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^q}\left(\bng{e}^{i'}\otimes\bng{e}_{j'}\right)\notag\\
\forall i,j\qquad \CovContra{t}{i'}{j'}&=\frac{\partial x^p}{\partial x^{i'}}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^q}\,\CovContra{t}{p}{q}\label{TM:cdbcm}
\end{align}
On change l'ordre des termes de sorte que les indices muets $p$ puis $q$ donne un produit de matrices~:
\begin{align}
\forall i,j\qquad \CovContra{t}{i'}{j'}&=\frac{\partial x^p}{\partial x^{i'}}\,\CovContra{t}{p}{q}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^q}\notag\\
\tens{T}'_{\,\symup{mix}}&=\transp{\left(J^{-1}\right)}\tens{T}_{\,\symup{mix}}\transp{J}\label{TM:TPJMUTTJT}
\end{align}
Les $\CovContra{t}{i'}{j'}$ sont appelées composantes mixtes covariante-contravariante du tenseur $\tens{T}$.
Nous avons également
\begin{equation*}
\forall i,j\qquad \ContraCov{t}{i'}{j'}=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^p}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}\,\ContraCov{t}{p}{q}
\end{equation*}
On change l'ordre des termes de sorte que les indices muets $p$ puis $q$ donne un produit de matrices~:
\begin{align}
\forall i,j\qquad \ContraCov{t}{i'}{j'}&=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^p}\,\ContraCov{t}{p}{q}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}\notag\\
\tens{T}'_{\,\symup{mix}}&=J\tens{T}_{\,\symup{mix}}J^{-1}\label{TM:TPJMUTTJT2}
\end{align}
Les $\ContraCov{t}{i'}{j'}$ sont appelées composantes mixtes contravariante-covariante du tenseur $\tens{T}$.


On généralise à un produit tensoriel d'espace supérieur à deux.
Soit $\tens{T}$ un tenseur de l'espace tensoriel $\evn{E}{n}\otimes \evn{E}{n}\otimes \evn{E}{n}\otimes\dots$ tel que,
\begin{align*}
t_{i'_1i'_2\dots}^{\ \ \ \ \ j'_1j'_2\dots}
&\left(\bng{e}^{i'_1}\otimes\bng{e}^{i'_2}\otimes\dots
\otimes\bng{e}_{j'_1}\otimes\bng{e}_{j'_2}\otimes\dots\right)
=t_{p_1p_2\dots}^{\ \ \ \ \ q_1q_2\dots}
\left(\bng{e}^{p_1}\otimes\bng{e}^{p_2}\otimes\dots\bng{e}_{q_1}\otimes\bng{e}_{q_2}\dots\right)\\
&=t_{p_1p_2\dots}^{\ \ \ \ \ q_1q_2\dots}\,\frac{\partial x^{p_1}}{\partial x^{i'_1}}\,\frac{\partial x^{p_2}}{\partial x^{i'_2}}\dots
\frac{\partial x^{j'_1}}{\partial x^{q_1}}\frac{\partial x^{j'_2}}{\partial x^{q_2}}\dots\left(\bng{e}^{i'_1}\otimes
\bng{e}^{i'_2}\otimes\dots\otimes\bng{e}_{j'_1}\otimes\bng{e}_{j'_2}\otimes\dots\right)\\
&=\frac{\partial x^{p_1}}{\partial x^{i'_1}}\,\frac{\partial x^{p_2}}{\partial x^{i'_2}}
\dots\frac{\partial x^{j'_1}}{\partial x^{q_1}}\frac{\partial x^{j'_2}}{\partial x^{q_2}}\dots t_{p_1p_2\dots}^{\ \ \ \ \ q_1q_2\dots}
\end{align*}

Les indices $i'$ et $j'$ étant muets~:
\begin{equation*}
\CovContra{t}{i'}{j'}\left(\bng{e}^{i'}\otimes\bng{e}_{j'}\right)
=t^{\ i'}_{j'}\left(\bng{e}^{j'}\otimes\bng{e}_{i'}\right)
\end{equation*}
En revanche, la matrice représentative du tenseur d'ordre deux $\ContraCov{t}{i'}{j'}\left(\bng{e}_{i'}\otimes\bng{e}^{j'}\right)$
est la transposée de la matrice représentative du tenseur $\CovContra{t}{i'}{j'}\left(\bng{e}^{i'}\otimes\bng{e}_{j'}\right)$
(la notion de transposée n'a pas de sens pour les tenseurs d'ordre supérieur à deux)~:
\begin{align*}
\ContraCov{t}{i'}{j'}\left(\bng{e}_{i'}\otimes\bng{e}^{j'}\right)
&=\ContraCov{t}{p}{q}\left(\bng{e}_p\otimes\bng{e}^q\right)\\
&=\ContraCov{t}{p}{q}\,\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^p}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}
\left(\bng{e}_{i'}\otimes\bng{e}^{j'}\right)\\
\forall i,j\qquad \ContraCov{t}{i'}{j'}&=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^p}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}\,\ContraCov{t}{p}{q}\\
&=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^p}\,\ContraCov{t}{p}{q}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}\\
\tens{T}'^{T}_{\,\symup{mix}}&=J\transp{\tens{T}}_{\,\symup{mix}}J^{-1}
\end{align*}
On obtient directement le résultat en prenant la transposé de \eqref{TM:TPJMUTTJT} \vpageref{TM:TPJMUTTJT}~:
\begin{align*}
\tens{T}'^{T}_{\,\symup{mix}}&=\transp{\left[\transp{\left(J^{-1}\right)}\tens{T}_{\,\symup{mix}}\transp{J}\right]}\\
&=\transp{\left(\tens{T}_{\,\symup{mix}}\transp{J}\right)}J^{-1}\\
&=J\transp{\tens{T}}_{\,\symup{mix}}J^{-1}
\end{align*}

Inversement,
\begin{align*}
\CovContra{t}{p}{q}\left(\bng{e}^p\otimes\bng{e}_q\right)
&=\CovContra{t}{i'}{j'}\left(\bng{e}^{i'}\otimes\bng{e}_{j'}\right)\\
&=\CovContra{t}{i'}{j'}\,\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^p}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}
\left(\bng{e}^p\otimes\bng{e}_q\right)\\
\forall p,q\qquad \CovContra{t}{p}{q}&=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^p}\,\CovContra{t}{i'}{j'}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}\\
\tens{T}_{\,\symup{mix}}&=\transp{J}\tens{T}'_{\,\symup{mix}}\transp{\left(J^{-1}\right)}
\end{align*}
La transposée s'écrit,
\begin{align*}
\ContraCov{t}{p}{q}\left(\bng{e}_p\otimes\bng{e}^q\right)
&=\ContraCov{t}{i'}{j'}\left(\bng{e}_{i'}\otimes\bng{e}^{j'}\right)\\
&=\ContraCov{t}{i'}{j'}\,\frac{\partial x^p}{\partial x^{i'}}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^q}
\left(\bng{e}_p\otimes\bng{e}^q\right)\\
\forall p,q\qquad \ContraCov{t}{p}{q}&=\frac{\partial x^p}{\partial x^{i'}}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^q}\,\ContraCov{t}{i'}{j'}\\
&=\frac{\partial x^p}{\partial x^{i'}}\,\ContraCov{t}{i'}{j'}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^q}\\
\transp{\tens{T}}_{\,\symup{mix}}&=J^{-1}\transp{\left(\tens{T}'_{\,\symup{mix}}\right)}J
\end{align*}
En généralisant~:
\begin{equation*}
\forall p_1,p_2,\dots,q_1,q_2,\dots\qquad t_{p_1p_2\dots}^{\ \ \ \ \ q_1q_2\dots}=\frac{\partial x^{i'_1}}{\partial x^{p_1}}
\,\frac{\partial x^{i'_2}}{\partial x^{p_2}}\dots\frac{\partial x^{q_1}}{\partial x^{j'_1}}
\frac{\partial x^{q_2}}{\partial x^{j'_2}}\dots t_{i'_1i'_2\dots}^{\ \ \ \ \ j'_1j'_2\dots}
\end{equation*}

\begin{exem}[Changement des coordonnées sphériques en rectangulaires]\index{Coordonnées!sphériques}
À partir du changement de coordonnées sphériques en rectangulaires,
cherchons l'expression du tenseur métrique euclidien
en coordonnées sphériques.
\begin{equation*}
\begin{dcases}
x=r\sin(\theta)\cos(\phi)\\
y=r\sin(\theta)\sin(\phi)\\
z=r\cos(\theta)
\end{dcases}
\qquad r \geqslant0,\qquad 0\leqslant \theta<\pi,\qquad 0\leqslant \phi<2\pi
\end{equation*}
D'après \eqref{TM:GJTJ} \vpageref{TM:GJTJ},
\begin{align*}
G&=\transp{J}J\\
&=
\begin{bmatrix}
\sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\\
r\cos\theta\cos\phi & r\cos\theta\sin\phi & -r\sin\theta\\
-r\sin\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi \\
\sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi \\
\cos\theta & -r\sin\theta & 0
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & r^{2} & 0\\
0 & 0 & r^{2}\sin^{2}(\theta)
\end{bmatrix}
\end{align*}
\end{exem}

\begin{exem}[Tenseur métrique par changement de système de coordonnées]
Soit le système de coordonnées $(u,v)$, défini à partir des coordonnées rectangulaires $(x,y)$~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
u=x\\
v=\exp\left(y-x\right)
\end{dcases}
\end{equation*}
Cherchons les composantes du tenseur métrique euclidien dans ce système de coordonnées.
Nous devons inverser le système d'équations pour avoir la matrice jacobienne de la transformation $x=x(u,v)$ et $y=y(u,v)$~:
\begin{equation}\label{TM:chang_var}
\begin{dcases}
x=u\\
y=u+\ln v
\end{dcases}
\end{equation}
D'après \eqref{TM:GJTJ} \vpageref{TM:GJTJ},
\begin{align*}
G&=\transp{J}J\\
&=
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & \left(v\right)^{-1}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
1 & \left(v\right)^{-1}
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
2 & \left(v\right)^{-1}\\
\left(v\right)^{-1} & \left(v\right)^{-2}
\end{bmatrix}
\end{align*}

Calculons la longueur de la courbe suivante~:
\begin{equation*}
\symscr{C}(p)\quad :\quad
\begin{dcases}
u=3p \\
v=e^p
\end{dcases}
\qquad 2 \geqslant p \geqslant 0
\end{equation*}
Le carré de la dérivée de la distance élémentaire s'écrit~:
\begin{align*}
\left(\frac{\dd s}{\dd p}\right)^{2}&=g_{ij}\,\frac{\dd x^{i}}{\dd p}\,\frac{\dd x^{j}}{\dd p}\\
&=2\left(\frac{\dd u}{\dd p}\right)^{2}+2\left(v\right)^{-1}\frac{\dd u}{\dd p}\frac{\dd v}{\dd p}
+\left(v\right)^{-2}\left(\frac{\dd v}{\dd p}\right)^{2}\\
&=2\times9+2e^{-p}\times3e^p+e^{-2p}e^{2p}\\
&=25\\
\int_0^{2}\sqrt{\left(\frac{\dd s}{\dd p}\right)^{2}}\,\dd p&=5\int_0^{2}\dd p \\
\Gamma&=10
\end{align*}
Nous pouvons effectuer le même calcul en coordonnées rectangulaires.
En nous servant du changement de variable \eqref{TM:chang_var} \vpageref{TM:chang_var},
l'équation de $\symscr{C}$ devient en coordonnées rectangulaires $(x,y)$~:
\begin{equation*}
\symscr{C}(p)\quad :\quad
\begin{dcases}
x=3p \\
y=3p+p=4p
\end{dcases}
\qquad 2 \geqslant p \geqslant 0
\end{equation*}
C'est l'équation de la droite
\begin{equation*}
y=\tfrac{4}{3}\,x
\end{equation*}
qui passe au point $(0,0)$ en $p=0$, et au point $(6,8)$ en $p=2$.
La distance entre ces points vaut $\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$.
\end{exem}


\section{Définition d'un tenseur}
Au \S~\ref{TM:cdb} \vpageref{TM:cdb},
nous avons vu comment se transforment les composantes d'un tenseur lors d'un changement de base.


Réciproquement, donnons nous $n^{3}$ quantités que nous rattachons à une base naturelle
$\bng{e}_{i}\otimes\bng{e}_{j}\otimes\bng{e}_{k}$.
Si, lors d'un changement de base naturelle,
vers une nouvelle base naturelle $\bng{e}_{p'}\otimes\bng{e}_{q'}\otimes\bng{e}_{r'}$,
les $n^{3}$ quantités se transforment selon les formules \eqref{TM:cdbccon} \vpageref{TM:cdbccon},
alors on peut faire correspondre un tenseur à ces $n^{3}$ quantités, dont elles constituent les composantes contravariantes.
De même, si les $n^{3}$ quantités se transforment par changement de base naturelle selon les formules \eqref{TM:cdbccov} \vpageref{TM:cdbccov}
ou \eqref{TM:cdbcm} \vpageref{TM:cdbcm} alors elles constituent respectivement
les composantes covariantes ou mixtes d'un tenseur.
Ce résultat se généralise à $n^p$ quantités. Nous pouvons énoncer le théorème suivant~:
\begin{theo}\label{TM:th:f}\index{Theoreme@Théorème!sur les composantes d'un tenseur}
Pour que $n^p$ quantités rapportées à une base naturelle d'un espace vectoriel $\evn{E}{n}^{(p)}$ soient les composantes d'un tenseur,
il faut et il suffit que ces quantités se transforment par changement de base naturelle selon les formules
du \S~\ref{TM:cdb} \vpageref{TM:cdb}.
\end{theo}
Ce théorème est en fait aussi une définition des tenseurs. Ce n'est un théorème que si l'on définit d'abord les tenseurs comme un ensemble non vide d'éléments
muni de deux lois de composition, l'addition tensorielle et la multiplication par un scalaire.

\begin{exem}[Caractère tensoriel des invariants]
Soit $E$ un invariant par changement de base.
\begin{align*}
E'&=E\\
\forall i\qquad \frac{\partial E'}{\partial x^{i'}}&=\frac{\partial E}{\partial x^{i'}}\\
&=\frac{\partial E}{\partial x^{j}}\frac{\partial x^{j}}{\partial x^{i'}}
\end{align*}
Les invariants sont des tenseur.
\end{exem}

\begin{exem}[Dérivée d'un champ de scalaires]\label{TM:ex:ct}
Soit $f(x^{1},x^{2},\dots,x^{n})$ une fonction dérivable par rapport aux $n$ coordonnées $x^{i}$.
Montrons que les dérivées partielles de $f$ sont les composantes d'un tenseur d'ordre un.

Soit la transformation de coordonnées $x^{i'}=x^{i'}(x^{j})$
et soit $x^{j}=x^{j}(x^{i'})$ la transformation inverse.
La dérivation partielle de $f$ s'écrit~:
\begin{equation*}
\forall i\qquad \frac{\partial f}{\partial x_{i'}}=\frac{\partial x^{j}}{\partial x_{i'}}\,\frac{\partial f}{\partial x_{j}}
\end{equation*}
Donc les dérivées partielles se transforment comme les vecteurs de la base naturelle.
Ce sont donc les composantes covariantes d'un tenseur d'ordre un, justifiant la notation $\partial_{i}f$ et $f_{,i}$ avec l'indice en bas.
\end{exem}

\begin{exem}[Différentielles de composantes covariantes]
Montrons que les différentielles des composantes covariantes $\dd u_{i}$ ne sont pas les composantes d'un tenseur~:
\begin{align*}
\forall i\qquad u_{i}&=\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{i}}\,u_{k'}\\
\dd u_{i}&=\dd \left(\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{i}}\right)u_{k'}+\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{i}}\,\dd u_{k'}
\end{align*}
Le premier terme est nul si les coordonnées $x^{k'}$ sont des fonctions affines des coordonnées $x^{j}$.
En effet, les $a_{i}$ et $b$ étant des constantes~:
\begin{align*}
\forall k'\qquad x^{k'}&=a_{i}x^{i}+b\\
\forall k',i\qquad \dd \left(\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{i}}\right)&=da_{i}\\
&=0
\end{align*}
Il faut donc que les coordonnées $x^{j}$ et $x^{k'}$ soient rectilignes.
Pour autant, pour être un tenseur la loi de transformation des composantes doit être valable quelle que soit la transformation de coordonnées.
\end{exem}

\begin{exem}[Dérivée partielle de composantes covariantes]
Soit $\vmatg{u}$ un vecteur de composantes covariantes $u_{i}$.
Montrons que les dérivées partielles $\deriveePartB{u}{i}{j}$ des composantes covariantes ne sont pas les composantes deux fois covariantes d'un tenseur.
Dans la base naturelle, les composantes covariantes d'un vecteur se transforment selon
\begin{equation*}
\forall i\qquad u_{i}=\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{i}}\,u_{k'}
\end{equation*}
La dérivation partielle de cette expression nous donne~:
\begin{align}
\forall i,j\qquad \deriveePartB{u}{i}{j}
&=\frac{\partial^{2}x^{k'}}{\partial x^{j}\partial x^{i}}\,u_{k'}+\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{i}}\,\deriveePartB{u}{k'}{j}\notag\\
&=\frac{\partial^{2}x^{k'}}{\partial x^{j}\partial x^{i}}\,u_{k'}
+\frac{\partial x^{k'}\partial x^{l'}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}\,\deriveePartB{u}{k'}{l'}\label{TM:djui}
\end{align}
Le premier terme est nul si les coordonnées $x^{k'}$ sont des fonctions affines des coordonnées $x^{j}$,
c.-à-d. si $x^{j}$ et $x^{k'}$ sont des coordonnées cartésiennes (rectilignes).
Les $a_{i}$ et $b$ étant des constantes~:
\begin{align*}
\forall k'\qquad x^{k'}&=a_{i}x^{i}+b\\
\forall k',i\qquad \left(\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{i}}\right)&=a_{i}\\
\forall k',i,j\qquad \left(\frac{\partial^{2} x^{k'}}{\partial x^{j}\partial x^{i}}\right)&=0
\end{align*}
Pour autant, pour être un tenseur la loi de transformation des composantes doit être valable quelle que soit la transformation de coordonnées.
\end{exem}

\begin{exem}[Transformation du rotationnel par changement de coordonnées]
Déterminons les formules de transformation du rotationnel d'un vecteur lors d'un changement de coordonnées curvilignes.
Avec \eqref{TM:djui} valables lors d'un changement de base naturelle~:
\begin{align*}
\forall i,j\qquad \rot_{ij}(\vmatg{u})&=\deriveePartB{u}{i}{j}-\deriveePartB{u}{j}{i}\\
&=\left(\frac{\partial^{2} x^{k'}}{\partial x^{j}\partial x^{i}}\,u_{k'}
+\frac{\partial x^{k'}\partial x^{l'}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}\,\deriveePartB{u}{k'}{l'}\right)
-\left(\frac{\partial^{2} x^{k'}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}\,u_{k'}
+\frac{\partial x^{k'}\partial x^{l'}}{\partial x^{j}\partial x^{i}}\,\deriveePartB{u}{k'}{l'}\right)
\end{align*}
où les indices $k$ et $l$ sont muets.
Or
\begin{equation*}
\forall i,j,k\qquad \frac{\partial^{2} x^{k'}}{\partial x^{j}\partial x^{i}}=\frac{\partial^{2} x^{k'}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}
\end{equation*}
donc~:
\begin{align*}
\forall i,j\qquad \rot_{ij}(\vmatg{u})
&=\frac{\partial x^{k'}\partial x^{l'}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}\,\deriveePartB{u}{k'}{l'}
-\frac{\partial x^{m'}\partial x^{n'}}{\partial x^{j}\partial x^{i}}\,\deriveePartB{u}{m'}{n'}\\
&=\frac{\partial x^{k'}\partial x^{l'}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}\,\deriveePartB{u}{k'}{l'}
-\frac{\partial x^{l'}\partial x^{k'}}{\partial x^{j}\partial x^{i}}\,\deriveePartB{u}{l'}{k'}\\
\deriveePartB{u}{i}{j}-\deriveePartB{u}{j}{i}&=
\frac{\partial x^{k'}\partial x^{l'}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}\left(\deriveePartB{u}{k'}{l'}-\deriveePartB{u}{l'}{k'}\right)
\end{align*}
C'est la formule de transformation des composantes deux fois covariantes d'un tenseur d'ordre deux lors d'un changement de base naturelle.


Examinons l'autre possibilité pour l'expression du rotationnel.
Supposons $\vmatg{u}$ de composantes contravariantes $u^{i}$.
Par changement de base naturelle, les composantes contravariantes se transforment selon~:
\begin{align*}
\forall i\qquad u^{i}&=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{k'}}\,u^{k'}\\
\forall i,j\qquad \deriveePartH{u}{i}{j}&=\frac{\partial^{2} x^{i}}{\partial x^{j}\partial x^{k'}}\,u^{k'}+\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{k'}}\,\partial_{j} u^{k'}\\
&=\frac{\partial^{2} x^{i}}{\partial x^{j}\partial x^{k'}}\,u^{k'}
+\frac{\partial x^{i}\partial x^{l'}}{\partial x^{k'}\partial x^{j}}\,\deriveePartH{u}{k'}{l'}
\end{align*}
\begin{align*}
\forall i,j\quad \deriveePartH{u}{i}{j}-\deriveePartH{u}{j}{i}&=\left(\frac{\partial^{2} x^{i}}{\partial x^{j}\partial x^{k'}}\,u^{k'}
+\frac{\partial x^{i}\partial x^{l'}}{\partial x^{k'}\partial x^{j}}\,\deriveePartH{u}{k'}{l'}\right)
-\left(\frac{\partial^{2} x^{j}}{\partial x^{i}\partial x^{k'}}\,u^{k'}
+\frac{\partial x^{j}\partial x^{l'}}{\partial x^{k'}\partial x^{i}}\,\deriveePartH{u}{k'}{l'}\right)
\end{align*}
Ce ne sont pas les composantes mixtes d'un tenseur d'ordre deux car en général
\begin{align*}
\forall i\neq j\qquad \frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j}}\neq\frac{\partial x^{j}}{\partial x^{i}}
\qquad \Rightarrow \qquad
\forall i\neq j\qquad \frac{\partial^{2} x^{i}}{\partial x^{j}\partial x^{k'}}\neq\frac{\partial^{2} x^{j}}{\partial x^{i}\partial x^{k'}}
\end{align*}
\end{exem}

 \section{Le tenseur métrique}\label{TM:tenseur m}
À partir de la définition \ref{TM:def:metrique} \vpageref{TM:def:metrique} du tenseur métrique, dans une base naturelle~:
\begin{equation*}
\forall i,j\qquad g_{ij}=\bng{e}_{i}\cdot\bng{e}_{j}
\end{equation*}
Lors d'un changement de base naturelle~:
\begin{align*}
\forall i,j\qquad g_{ij}
&=\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{i}}\,\bng{e}_{k'}\cdot\frac{\partial x^{l'}}{\partial x^{j}}\,\bng{e}_{l'}\\
&=\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{i}}\,\frac{\partial x^{l'}}{\partial x^{j}}\,\bng{e}_{k'}\cdot\bng{e}_{l'}\\
&=\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{i}}\,\frac{\partial x^{l'}}{\partial x^{j}}\,g_{k'l'}
\end{align*}
Les $g_{ij}$ sont les composantes deux fois covariantes d'un tenseur d'ordre deux.
Cette condition est nécessaire et suffisante pour que la forme quadratique\index{Forme!quadratique!associée au tenseur métrique} associée
à la matrice $\tm$ soit invariante par changement de coordonnées.
En effet~:
\begin{equation*}
\forall i,j\qquad g_{i'j'}=g_{pq}\,\frac{\partial x^p}{\partial x^{i'}}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}
\end{equation*}
et l'on a~:
\begin{align*}
g_{i'j'}\,\dd x^{i'}\dd x^{j'}&=g_{pq}\,\frac{\partial x^p}{\partial x^{i'}}\,\frac{\partial x^q}{\partial x^{j'}}
\ \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^{r}}\,\dd x^{r}\ \frac{\partial x^{j'}}{\partial x^s}\,\dd x^s\\
&=g_{pq}\,\delta^p_{r}\delta^q_s\,\dd x^{r}\dd x^s\\
&=g_{pq}\,\dd x^p\dd x^q
\end{align*}
De même,
\begin{align*}
\forall i,j\qquad g^{ij}&=\bng{e}^{i}\cdot\bng{e}^{j}\\
&=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{k'}}\,\bng{e}^{k'}\cdot\frac{\partial x^{j}}{\partial x^{l'}}\,\bng{e}^{l'}\\
&=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{k'}}\,\frac{\partial x^{j}}{\partial x^{l'}}\,\bng{e}^{k'}\cdot\bng{e}^{l'}\\
&=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{k'}}\,\frac{\partial x^{j}}{\partial x^{l'}}\,g^{k'l'}
\end{align*}
Les $g^{ij}$ sont les composantes deux fois contravariantes d'un tenseur d'ordre deux.
Formons le déterminant des matrices figurant de part et d'autre de cette égalité~:
\begin{align*}
\frac{1}{g}&=J^{2}\frac{1}{g'}\\
g'&=J^{2}g
\end{align*}

\begin{exem}[Tenseur métrique par changement de base]
Soit le changement de base quelconque d'un espace vectoriel $\evn{E}{2}$~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}_{1'}=3\vmatg{e}_{1}+\vmatg{e}_{2}\\
\vmatg{e}_{2'}=-\vmatg{e}_{1}+2\vmatg{e}_{2}
\end{dcases}
\end{equation*}
Déterminons les nouvelles composantes du tenseur métrique $g_{k'l'}$ en fonction de ses anciennes composantes $g_{ij}$.
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item en partant de la définition du tenseur métrique dans une base quelconque~:
\begin{equation*}
g_{k'l'}=\vmatg{e}_{k'}\cdot\vmatg{e}_{l'}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
g_{1'1'}=(3\vmatg{e}_{1}+\vmatg{e}_{2})\cdot(3\vmatg{e}_{1}+\vmatg{e}_{2})\\
g_{1'2'}=(3\vmatg{e}_{1}+\vmatg{e}_{2})\cdot(-\vmatg{e}_{1}+2\vmatg{e}_{2})\\
g_{2'1'}=(-\vmatg{e}_{1}+2\vmatg{e}_{2})\cdot(3\vmatg{e}_{1}+\vmatg{e}_{2})\\
g_{2'2'}=(-\vmatg{e}_{1}+2\vmatg{e}_{2})\cdot(-\vmatg{e}_{1}+2\vmatg{e}_{2})
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
g_{1'1'}=9g_{11}+6g_{12}+g_{22}\\
g_{1'2'}=-3g_{11}+5g_{12}+2g_{22}\\
g_{2'1'}=-3g_{11}+5g_{12}+2g_{22}\\
g_{2'2'}=g_{11}-4g_{12}+4g_{22}
\end{dcases}
\end{equation*}
\item en utilisant la formule de changement de base quelconque d'un tenseur d'ordre deux~:
\begin{equation*}
\forall k,l\quad g_{k'l'}=A^{i}_{k'}A^{j}_{k'}\,g_{ij}
\end{equation*}
Pour déterminer les $A^{i}_{k'}$ on utilise~:
\begin{equation*}
\forall k\qquad \vmatg{e}_{k'}=A^{i}_{k'}\,\vmatg{e}_{i}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}_{1'}=A^{1}_{1'}\vmatg{e}_{1}+A^{2}_{1'}\vmatg{e}_{2}\\
\vmatg{e}_{2'}=A^{1}_{2'}\vmatg{e}_{1}+A^{2}_{2'}\vmatg{e}_{2}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
A^{1}_{1'}=3\ ;\ A^{2}_{1'}=1\ ;\ A^{1}_{2'}=-1\ ;\ A^{2}_{2'}=2
\end{equation*}

\begin{equation*}
\begin{dcases}
g_{1'1'}=A^{1}_{1'}A^{1}_{1'}g_{11}+A^{2}_{1'}A^{1}_{1'}g_{21}+A^{1}_{1'}A^{2}_{1'}g_{12}+A^{2}_{1'}A^{2}_{1'}g_{22}\\
g_{1'2'}=A^{1}_{1'}A^{1}_{2'}g_{11}+A^{2}_{1'}A^{1}_{2'}g_{21}+A^{1}_{1'}A^{2}_{2'}g_{12}+A^{2}_{1'}A^{2}_{2'}g_{22}\\
g_{2'1'}=A^{1}_{2'}A^{1}_{1'}g_{11}+A^{2}_{2'}A^{1}_{1'}g_{21}+A^{1}_{2'}A^{2}_{1'}g_{12}+A^{2}_{2'}A^{2}_{1'}g_{22}\\
g_{2'2'}=A^{1}_{2'}A^{1}_{2'}g_{11}+A^{2}_{2'}A^{1}_{2'}g_{21}+A^{1}_{2'}A^{2}_{2'}g_{12}+A^{2}_{2'}A^{2}_{2'}g_{22}
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow
\begin{dcases}
g_{1'1'}=9g_{11}+6g_{12}+g_{22}\\
g_{1'2'}=-3g_{11}+5g_{12}+2g_{22}\\
g_{2'1'}=-3g_{11}+5g_{12}+2g_{22}\\
g_{2'2'}=g_{11}-4g_{12}+4g_{22}
\end{dcases}
\end{equation*}
\end{itemize}
\end{exem}

\section{Symétrie et antisymétrie des tenseurs}
\subsection{Tenseurs deux fois contravariant ou deux fois covariant}
Un tenseur est symétrique pour deux indices de même variance (soit covariants soit contravariants) si l'on peut échanger ces deux indices.
La symétrie d'un tenseur ou son antisymétrie sont des propriétés intrinsèques, indépendantes de la base dans laquelle on exprime le tenseur.
\begin{exem}
Si le tenseur $\ContraCovContraCov{t}{i}{j}{k}{l}$ est symétrique en $i$ et $k$, alors~:
\begin{equation*}
\ContraCovContraCov{t}{i}{j}{k}{l}=\ContraCovContraCov{t}{k}{j}{i}{l}
\end{equation*}
Par changement de base~:
\begin{align*}
\ContraCovContraCov{t}{p'}{q'}{r'}{s'}
=\frac{\partial x^{p'}}{\partial x^{i}}\frac{\partial x^{j}}{\partial x^{q'}}\frac{\partial x^{r'}}{\partial x^{k}}\frac{\partial x^{l}}{\partial x^{s'}}\,\ContraCovContraCov{t}{i}{j}{k}{l}
\qquad&\text{et}\qquad\ContraCovContraCov{t}{r'}{q'}{p'}{s'}
=\frac{\partial x^{r'}}{\partial x^{k}}\frac{\partial x^{j}}{\partial x^{q'}}\frac{\partial x^{p'}}{\partial x^{i}}\frac{\partial x^{l}}{\partial x^{s'}}\,\ContraCovContraCov{t}{k}{j}{i}{l}\\
\ContraCovContraCov{t}{p'}{q'}{r'}{s'}&=\ContraCovContraCov{t}{r'}{q'}{p'}{s'}
\end{align*}
\end{exem}
\subsection{Symétrie des tenseurs mixtes}
En revanche, la symétrie d'un tenseur mixte pour deux indices de variance différente est fortuite, elle ne se produit que dans une base particulière.
\begin{exem}
Soit la matrice changement de base suivante~:
\begin{equation*}
A
\begin{bmatrix}
1 & -1\\
2 & 2
\end{bmatrix}
\end{equation*}
Déterminons les nouvelles composantes mixtes du tenseur contravariant-covariant \emph{a priori}
symétrique $\ContraCov{t}{i}{j}(1,2,2,3)$.
Avec \eqref{TM:TPJMUTTJT2} \vpageref{TM:TPJMUTTJT2}~:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\tens{t}'&=\transp{\left(A^{-1}\right)}\tens{t}\transp{A}\\
&=
\begin{bmatrix}
\tfrac{1}{2} & \tfrac{-1}{2}\\
\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2\\
2 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2\\
-1 & 2
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
\tfrac{-1}{2} & \tfrac{-1}{2}\\
\tfrac{3}{4} & \tfrac{5}{4}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2\\
-1 & 2
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
0 & -2\\
\tfrac{-1}{2} & 4
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\end{equation*}
Le tenseur mixte n'est plus symétrique dans la nouvelle base.
\end{exem}
\subsection{Décomposition d'un tenseur}
\begin{theo}
Tout tenseur ayant deux indices de même variance peut se décomposer en une somme de deux tenseurs, l'un symétrique, l'autre antisymétrique.
\end{theo}
\begin{proof}
Soit le tenseur $\ContraCov{t}{ij}{k}$. Supposons la décomposition possible, alors
\begin{equation*}
\ContraCov{t}{ij}{k}=\ContraCov{s}{ij}{k}+\ContraCov{a}{ij}{k}
\end{equation*}
avec $\ContraCov{s}{ij}{k}=\ContraCov{s}{ji}{k}$ et $\ContraCov{a}{ij}{k}=-\ContraCov{a}{ji}{k}$. Alors~:
\begin{align*}
\ContraCov{t}{ij}{k}+\ContraCov{t}{ji}{k}&=\ContraCov{s}{ij}{k}+\ContraCov{a}{ij}{k}+\ContraCov{s}{ji}{k}+\ContraCov{a}{ji}{k}\\
\ContraCov{t}{ij}{k}+\ContraCov{t}{ji}{k}&=2\ContraCov{s}{ij}{k}
\end{align*}
De même nous avons~:
\begin{align*}
\ContraCov{t}{ij}{k}-\ContraCov{t}{ji}{k}&=\ContraCov{s}{ij}{k}+\ContraCov{a}{ij}{k}-\ContraCov{s}{ji}{k}-\ContraCov{a}{ji}{k}\\
\ContraCov{t}{ij}{k}-\ContraCov{t}{ji}{k}&=2\ContraCov{a}{ij}{k}
\end{align*}
Si la décomposition est possible nous avons nécessairement
\begin{equation*}
\ContraCov{s}{ij}{k}=\tfrac{1}{2}(\ContraCov{t}{ij}{k}+\ContraCov{t}{ji}{k})\qquad\text{et}
\qquad\ContraCov{a}{ij}{k}=\tfrac{1}{2}(\ContraCov{t}{ij}{k}-\ContraCov{t}{ji}{k})
\end{equation*}
Réciproquement, si l'on pose le tenseur symétrique par construction $\ContraCov{s}{ij}{k}=\tfrac{1}{2}(\ContraCov{t}{ij}{k}+\ContraCov{t}{ji}{k})$
et le tenseur antisymétrique par construction $\ContraCov{a}{ij}{k}=\tfrac{1}{2}(\ContraCov{t}{ij}{k}-\ContraCov{t}{ji}{k})$, alors on a bien
\begin{equation*}
\ContraCov{t}{ij}{k}=\ContraCov{s}{ij}{k}+\ContraCov{a}{ij}{k}
\end{equation*}
La décomposition étant toujours possible.
\end{proof}

\section{Opérations sur les tenseurs}
Les opérations sur les tenseurs généralisent celles sur les vecteurs définies dans le Vol.~1 Notion d'espace.
Leurs propriétés permettent de définir les tenseurs.
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item \label{TM:addtens}
Pour être additionnés, les tenseurs doivent être du même ordre et être rapportés à une même base
(leurs composantes ont alors même variance).
Dans un espace vectoriel $\evn{E}{n}^{(2)}$, soient $\tens{U}=u^{ij}\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}$ et
$\tens{V}=v^{ij}\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}$
deux tenseurs \enquote{contravariants} d'ordre deux.
L'addition tensorielle consiste à additionner les composantes respectives des tenseurs~:
\begin{align*}
\tens{U}\oplus\tens{V} &=u^{ij}\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}+v^{ij}\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}\\
&=\left(u^{ij}+v^{ij}\right)\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}\\
&=w^{ij}\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}\\
&=\tens{W}
\end{align*}
L'addition tensorielle fait correspondre aux deux tenseurs initiaux un tenseur de même ordre et du même espace vectoriel.
\item
La multiplication d'un tenseur par un scalaire $\alpha$ consiste à multiplier chaque composante du tenseur par ce scalaire.
Dans un espace vectoriel $\evn{E}{n}^{(2)}$, soit $\alpha$ un scalaire
et soit $\tens{U}=u^{ij}\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}$ un tenseur \enquote{contravariant} d'ordre deux.
\begin{align*}
\alpha \tens{U}&=\alpha(u^{ij}\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j})\\
&=(\alpha u^{ij})(\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j})\\
&=v^{ij}\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}\\
&=\tens{V}
\end{align*}
La multiplication d'un tenseur par un scalaire lui fait correspondre un tenseur de même ordre et du même espace vectoriel.
\end{enumerate}

\subsection{Propriétés des lois de composition tensorielles}
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item L'addition tensorielle a les propriétés suivantes~:
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item commutativité~: $\forall i,j\quad u^{ij}+v^{ij}=v^{ij}+u^{ij}$
\item associativité~: $\forall i,j\quad u^{ij}+\left(v^{ij}+w^{ij}\right)=\left(u^{ij}+v^{ij}\right)+w^{ij}=u^{ij}+v^{ij}+w^{ij}$
\item existence d'un élément neutre noté $\vmatg{0}$, de composantes nulles $\forall i,j\ n^{ij}=0$, et tel que
$\forall \tens{T},\ \tens{T}+\vmatg{0}=\tens{T}$
\item pour tout tenseur $\tens{U}$ il existe le tenseur \emph{opposé} noté $-\tens{U}$, tel que~:
\begin{align*}
\tens{U}+(-\tens{U})&=\vmatg{0}\\
\forall i,j\qquad u^{ij}+(-u^{ij})&=0
\end{align*}
\end{enumerate}
\item La multiplicaton par un scalaire a les propriétés suivantes~:
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item associativité~: $\forall i,j\ \lambda \,(\mu \,u^{ij})=(\lambda \,\mu)\,u^{ij}$
\item distributivité par rapport à l'addition des scalaires~: $\forall i,j\ (\lambda+\mu)\,u^{ij}=\lambda \,u^{ij}+\mu \,u^{ij}$
\item distributivité par rapport à l'addition tensorielle~: $\forall i,j\ \lambda \,(u^{ij}+v^{ij})=\lambda \,u^{ij}+\lambda \,v^{ij}$
\item il existe un élément neutre, le réel $1$, tel que~: $\forall i,j\quad 1\times u^{ij}=u^{ij}$
\end{enumerate}
\end{itemize}
\subsection{Combinaison linéaire de tenseurs}

Soient $u^{ij}$ et $v^{ij}$ les composantes deux fois contravariantes de deux tenseurs d'ordre deux.
Soit $t^{ij}$ leur combinaison linéaire~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\forall i,j\qquad t^{ij}=u^{ij}+\lambda v^{ij}
\end{empheq}
Par changement de base naturelle~:
\begin{align*}
\forall i,j\qquad t^{ij}&=\left(\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{k'}}\,\frac{\partial x^{j}}{\partial x^{l'}}\,u^{k'l'}\right)
+\lambda \left(\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{k'}}\,\frac{\partial x^{j}}{\partial x^{l'}}\,v^{k'l'}\right)\\
&=\left(\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{k'}}\,\frac{\partial x^{j}}{\partial x^{l'}}\right)\left(u^{k'l'}+\lambda v^{k'l'}\right)\\
&=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{k'}}\,\frac{\partial x^{j}}{\partial x^{l'}}\,t^{k'l'}
\end{align*}
D'après le th.~\ref{TM:th:f} \vpageref{TM:th:f}, les quantités $t^{ij}$ constituent les composantes deux fois contravariantes d'un tenseur d'ordre deux.
La combinaison linéaire de deux tenseurs du même ordre donne un tenseur du même ordre.

\begin{exem}[Caractère tensorielle d'opérations sur les composantes]
Soient $t^{ij}$ les composantes d'un tenseur, montrer que les $t^{ij}-t^{ji}$ sont également les composantes d'un tenseur.
Commençons par montrer que si les $t^{ij}$ sont les composantes deux fois contravariantes d'un tenseur alors les composantes transposées $t^{ji}$ sont
aussi deux fois contravariantes~:
\begin{align*}
\forall i,j\qquad t^{i'j'}&=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^{k}}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^l}\,t^{kl}\\
t^{j'i'}&=\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{k}}\,\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^l}\,t^{kl}
\end{align*}
Par conséquent les $t^{ji}$ sont les composantes deux fois contravariantes d'un tenseur,
ainsi que les $t^{ij}-t^{ji}$ d'après le \S~\ref{TM:addtens} \vpageref{TM:addtens}.
\end{exem}
\begin{exem}
Soit $\tens{T}$ un tenseur de composantes mixtes, contravariante-covariante, montrons que sa transposée est un tenseur.
Les composantes mixtes de $\tens{T}$ se transforment par changement de base selon~:
\begin{align*}
\forall i,j\qquad \ContraCov{t}{i'}{j'}&=\ContraCov{t}{i}{j}\,\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^{i}}\,\frac{\partial x^{j}}{\partial x^{j'}}\\
\ContraCov{t}{j'}{i'}&=\ContraCov{t}{j}{i}\,\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j'}}\,\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^{j}}
\end{align*}
Par conséquent $\transp{\tens{T}}$ est un tenseur.
\end{exem}

\subsection{Classification des tenseurs}

L'addition tensorielle et la multiplication par un scalaire sont des lois de composition de $\evn{E}{n}^{(2)}$ dans $\evn{E}{n}^{(2)}$.
Les tenseurs suivent donc la définition d'un espace vectoriel
et sont par conséquent des vecteurs d'un espace vectoriel $H_{n,p,q,\dots}$ muni d'une structure de produit tensoriel.
Les espaces produits tensoriels deviennent pré-euclidiens lorsqu'on les munit d'un produit scalaire.

Afin d'unifier la classification, les espaces élémentaires $\evn{E}{1}$ non munis d'une structure de produit tensoriel
ont pour éléments des tenseurs d'ordre un, que l'on appellera vecteurs.
Comme vu précédemment, les tenseurs d'ordre zéro sont appelés des scalaires.

\subsection{Multiplication tensorielle}

Les produits tensoriels d'espaces vectoriels sont des espaces vectoriels.
Ils peuvent à leur tour former de nouveaux espaces vectoriels par multiplication tensorielle.

Soit $\tens{U}=u^{ij}\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}$ un tenseur de $\evn{E}{n}^{(2)}$,
et soit $\tens{V}=\ContraCovContra{v}{i}{j}{k}\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}^{j}\otimes\vmatg{e}_{k}$ un tenseur de $\evn{E}{n}^{(3)}$.
La multiplication tensorielle leur fait correspondre le tenseur $\tens{T}$ d'ordre cinq,
de l'espace $\evn{E}{n}^{(5)}=\evn{E}{n}^{(2)}\otimes \evn{E}{n}^{(3)}$,
tel que~:
\begin{align*}
\tens{T}&=\tens{U}\otimes \tens{V}\\
\ContraCovContra{t}{ijk}{l}{m}\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}\otimes\vmatg{e}_{k}\otimes\vmatg{e}^l\otimes\vmatg{e}_m
&=(u^{ij}\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j})
\otimes(\ContraCovContra{v}{k}{l}{m}\vmatg{e}_{k}\otimes\vmatg{e}^l\otimes\vmatg{e}_m)\\
&=u^{ij}\,\ContraCovContra{v}{k}{l}{m}(\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}
\otimes\vmatg{e}_{k}\otimes\vmatg{e}^l\otimes\vmatg{e}_m)\\
\forall i,j,k,l,m\quad \ContraCovContra{t}{ijk}{l}{m}&=u^{ij}\ContraCovContra{v}{k}{l}{m}
\end{align*}
\begin{ntn}
Le produit tensoriel est aussi noté~:
\begin{equation*}
\tens{T}=\left[\tens{U}\tens{V}\right]
\end{equation*}
\end{ntn}

\subsection{Contraction des composantes}

La contraction des composantes d'un tenseur consiste à égaler l'un des indices contravariants avec l'un des indices covariants.
À partir d'un tenseur d'ordre $q$ de composantes mixtes, elle permet d'obtenir de nouveaux tenseurs d'ordre $q-2$,
le tenseur initial étant amputé d'une composante covariante et d'une composante contravariante.

Soit un tenseur d'ordre deux de composantes contravariantes $t^{ij}$. Nous pouvons toujours l'écrire en composantes mixtes,
l'un des systèmes de composantes mixtes étant $\ContraCov{t}{i}{j}$, l'autre étant $\CovContra{t}{i}{j}$.
La contraction de ce tenseur, appelé sa \emph{trace} est un scalaire. En effet
\begin{align*}
\ContraCov{t}{i}{i}&=A^{k'}_{i}A^{j}_{l'}\ContraCov{t}{l'}{k'}\\
&=\delta^{k'}_{l'}\ContraCov{t}{l'}{k'}\\
&=\ContraCov{t}{k'}{k'}\\
&=t^{1}_{1}+t^{2}_{2}+\cdots+t^{n}_{n}
\end{align*}
Nous obtenons le même résultat en partant de $\CovContra{t}{i}{i}$, nous avons $\ContraCov{t}{i}{i}=\CovContra{t}{i}{i}=t^{i}_{i}$

\begin{exem}[Contraction des composantes d'un tenseur d'ordre deux]
Soient $\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$ deux vecteurs de $\evn{E}{n}$ de composantes respectives contravariantes $u^{i}$ et covariantes $v_{j}$,
et soit $\tens{T}$ leur produit tensoriel~:
\begin{align*}
\tens{T}&=\vmatg{u}\otimes\vmatg{v}\\
t^{i}_{j}(\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}^{j})&=u^{i}\vmatg{e}_{i}\otimes v_{j}\vmatg{e}^{j}\\
\forall i,j\qquad t^{i}_{j}&=u^{i} v_{j}
\end{align*}
En posant $i=j$ nous additionnons les composantes et formons le produit scalaire des vecteurs
$\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$~:
\begin{align*}
\forall i\qquad t^{i}_{i}&=u^{i} v_{i}\\
&=u^{1}v_1+u^{2}v_2+u^{3}v_3+\dots\\
&=t^{1}_1+t^{2}_2+t^{3}_3+\dots
\end{align*}
L'opération de contraction des composantes fait passer un tenseur d'ordre deux de composantes mixtes à un scalaire ou tenseur d'ordre zéro.
Par contraction répétée des composantes d'un tenseur d'ordre pair on déduit donc un invariant.
\end{exem}

\begin{exem}[Contraction des composantes d'un tenseur d'ordre trois]
Soit $\tens{U}$ un tenseur d'ordre trois de composantes mixtes $\ContraCov{u}{ij}{k}$, deux fois contravariantes et une fois covariantes.
La contraction des composantes d'indices $j$ et $k$ donne les quantités suivantes~:
\begin{equation*}
\forall i\qquad \ContraCov{u}{ij}{j}=v^{i}
\end{equation*}
Par exemple $v^{1}=\ContraCov{u}{11}{1}+\ContraCov{u}{12}{2}+\ContraCov{u}{13}{3}$.
Montrons qu'elles constituent les composantes d'un vecteur.
Par changement de base naturelle~:
\begin{align*}
\forall i\qquad \ContraCov{u}{ij}{j}
&=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{k'}}\,\frac{\partial x^{j}}{\partial x^{m'}}\,\frac{\partial x^{n'}}{\partial x^{j}}\,\ContraCov{u}{k'm'}{n'}\\
&=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{k'}}\,\delta_{m'}^{n'}\ContraCov{u}{k'm'}{n'}\\
&=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{k'}}\,\ContraCov{u}{k'm'}{m'}\\
\forall i\qquad v^{i}&=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{k'}}\,v^{k'}
\end{align*}
Les $v^{i}$ se transforment par changement de base naturelle comme les composantes contravariantes d'un tenseur.
L'opération de contraction des composantes fait passer un \enquote{tenseur mixte} d'ordre trois à un tenseur d'ordre un (vecteur).
\end{exem}

\subsection{Multiplication contractée}

\begin{defi}[Multiplication contractée]\index{Multiplication contractée}\index{Produit!tensoriel!contracté}
La multiplication tensorielle suivie de la contraction des composantes s'appelle la multiplication contractée, ou multiplication mixte, ou produit tensoriel contracté.
\end{defi}
En particulier, appliquée à deux tenseurs du premier ordre de variances différentes, elle donne un invariant $u_{i}v^{i}$ appelé
\emph{produit intérieur} de $\tens{U}$ par $\tens{V}$, analogue du produit scalaire du calcul vectoriel
(Cf. ex.~\ref{TM:ex:mult_contrac} \vpageref{TM:ex:mult_contrac}).
\begin{ntn}
La multiplication contractée de $\tens{U}$ par $\tens{V}$ est notée~:
\begin{equation*}
\tens{T}=\tens{U}\tens{V}
\end{equation*}
\end{ntn}

Elle donne un critère de tensorialité.
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item\label{TM:cas_mc1}
Si pour tout vecteur de composantes contravariantes $v^{i}$
\begin{equation*}
u_{i}v^{i}=E
\end{equation*}
est un invariant, alors les $u_{i}$ sont les composantes covariantes d'un vecteur
(tenseur d'ordre un). En effet, $E$ est par hypothèse invariant par changement de base~:
\begin{align*}
E&=E'\\
u_{i}v^{i}&=u_{j'}v^{j'}
\end{align*}
Les $v^{i}$ sont par hypothèse les composantes contravariantes d'un vecteur,
par changement de base naturelle,
\begin{align*}
u_{i}v^{i}&=u_{j'}v^{k}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{k}}\\
&=u_{j'}v^{i}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}
\end{align*}
relation vraie quelles que soient les $v^{i}$, donc par changement de base naturelle~:
\begin{equation*}
\forall i\qquad u_{i}=u_{j'}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}
\end{equation*}
et les $u_{i}$ sont les composantes covariantes d'un vecteur.
\item\label{TM:cas_mc2}
Si pour tout vecteur de composantes contravariantes $u^{i}$
\begin{equation*}
\forall j\qquad t_{ij}u^{i}=v_{j}
\end{equation*}
sont les composantes covariantes d'un vecteur,
alors les $t_{ij}$ sont les composantes deux fois covariantes d'un tenseur d'ordre deux.
En effet, les $v_{j}$ sont par hypothèse les composantes covariantes d'un vecteur.
Par changement de base naturelle~:
\begin{align*}
\forall j\qquad v_{j'}&=v_{k}\,\frac{\partial x^{k}}{\partial x^{j'}}\\
\forall j\qquad t'_{ij}u^{i'}&=t_{lk}u^l\,\frac{\partial x^{k}}{\partial x^{j'}}
\end{align*}
Les $u^{i}$ sont par hypothèse les composantes contravariantes d'un vecteur,
\begin{align*}
\forall j\qquad t'_{ij}u^{i'}&=t_{lk}u^{m'}\frac{\partial x^l}{\partial x^{m'}}\,\frac{\partial x^{k}}{\partial x^{j'}}\\
&=t_{lk}u^{i'}\,\frac{\partial x^l}{\partial x^{i'}}\,\frac{\partial x^{k}}{\partial x^{j'}}\\
\forall i,j\qquad t'_{ij}&=t_{lk}\,\frac{\partial x^l}{\partial x^{i'}}\,\frac{\partial x^{k}}{\partial x^{j'}}
\end{align*}
et les $t'_{ij}$ sont les composantes deux fois covariantes d'un tenseur.
Dans la suite, nous les noterons $t_{i'j'}$.
\item\label{TM:cas_mc3}
Si pour tous vecteurs de composantes contravariantes $u^{i}$ et $v^{i}$
\begin{equation*}
t_{ij}u^{i}v^{j}=E
\end{equation*}
est un invariant par changement de base, alors les $t_{ij}$ sont les composantes deux fois covariantes d'un tenseur d'ordre deux.
En effet, d'après \eqref{TM:cas_mc1}, les $t_{ij}u^{i}$ sont les composantes covariantes d'un vecteur,
et par conséquent d'après \eqref{TM:cas_mc2} les $t_{ij}$ sont les composantes deux fois covariantes d'un tenseur d'ordre deux.
\item Si les $t_{ij}$ sont symétriques et si pour tout vecteur de composantes contravariantes $v^{i}$
\begin{equation*}
t_{ij}v^{i}v^{j}=E
\end{equation*}
est un invariant par changement de base,
alors les $t_{ij}$ sont les composantes deux fois covariantes d'un tenseur d'ordre deux.
En effet, soit $u^{i}$ les composantes contravariantes d'un autre vecteur, alors $w^{i}=u^{i}+v^{i}$ est aussi un vecteur contravariant.
Alors,
\begin{align*}
t_{ij}w^{i}w^{j}&=t_{ij}\left(u^{i}+v^{i}\right)\left(u^{j}+v^{j}\right)\\
&=t_{ij}u^{i}u^{j}+t_{ij}v^{i}u^{j}+t_{ij}u^{i}v^{j}+t_{ij}v^{i}v^{j}\\
&=t_{ij}u^{i}u^{j}+t_{ij}v^{i}v^{j}+2t_{ij}u^{i}v^{j}
\end{align*}
où le terme de gauche et les deux premiers termes de droite sont des invariants par hypothèse.
Par conséquent $t_{ij}u^{i}v^{j}$ doit aussi être un invariant, et d'après \eqref{TM:cas_mc3},
les $t_{ij}$ sont les composantes deux fois covariantes d'un tenseur d'ordre deux.
\end{itemize}
La généralisation des exemples \eqref{TM:cas_mc1}, \eqref{TM:cas_mc2} et \eqref{TM:cas_mc3} permet d'énoncer le théorème suivant~:
\begin{theo}[Critère général de tensorialité - Théorème du quotient]\label{TM:th:crit_gen_tens}\index{Theoreme@Théorème!du quotient}
Pour qu'une suite ordonnée de quantité constitue les composantes d'un tenseur, il faut et il suffit
que le produit contracté de cette suite ordonnée de quantités avec un tenseur donne un tenseur.
\end{theo}

\begin{exem}[Différentielle d'un champ de scalaires]
Reprenons l'ex.~\ref{TM:ex:ct} \vpageref{TM:ex:ct}.
Soit $f\left(v^{1},v^{2},\dots,v^n\right)$ une fonction dérivable par rapport à ses $n$ variables $v^{i}$.
Montrons que les dérivées partielles de $f$ sont les composantes covariantes d'un tenseur d'ordre un.

La différentielle de $f$ s'écrit~:
\begin{equation*}
\dd f=f_{,i}\,\dd u^{i}
\end{equation*}
C'est le produit contracté du vecteur gradient\index{Gradient!produit contracté} de $f$ avec le vecteur différentiel $\dd \vmatg{M}$ dont les
composantes sont contravariantes.
Or $df$ est un scalaire donc les dérivées partielles sont les composantes covariantes d'un tenseur d'ordre un.
\end{exem}

\begin{exem}[Tenseur métrique]
Montrons que les $n^{2}$ quantités $g_{ij}$ sont les composantes covariantes d'un tenseur d'ordre deux.
Le produit tensoriel des $g_{ij}$ avec les composantes contravariantes d'un vecteur
quelconque $\vmatg{v}$ donne $g_{ij}v^{k}$. La contraction sur les indices $j$ et $k$ donne
les composantes covariantes du vecteur $\vmatg{v}$~:
\begin{equation*}
\forall i\qquad g_{ij}v^{j}=v_{i}
\end{equation*}
Selon le critère général de tensorialité, les $n^{2}$ quantités $g_{ij}$ sont donc les composantes deux fois covariantes d'un tenseur d'ordre deux.
\end{exem}

\subsection{Produit complètement contracté}

Soit une suite ordonnée de $n^{3}$ quantités $\ContraCov{u}{ij}{k}$
attachées à une base quelconque $\vmatg{e}_{i}\otimes\vmatg{e}_{j}\otimes\vmatg{e}^{k}$~:
\begin{align*}
\ContraCov{u}{11}{1}\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}^{1}
+\ContraCov{u}{11}{2}\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}^{2}
+\dots +\ContraCov{u}{11}{n}\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}^n
+\ContraCov{u}{12}{1}\vmatg{e}_{1}\otimes\vmatg{e}_{2}\otimes\vmatg{e}^{1}+\dots
\end{align*}

Ces quantités sont-elles les composantes d'un tenseur~?
Si le produit complètement contracté avec trois vecteurs quelconques $\vmatg{x}=x^{i}\vmatg{e}_{i}$,
$\vmatg{y}=y^{j}\vmatg{e}_{j}$ et $\vmatg{z}=z^{k}\vmatg{e}_{k}$ donne un tenseur (un scalaire puisque complètement contracté),
\begin{equation*}
\ContraCov{u}{ij}{k}x_{i}y_{j}z^{k}=\alpha
\end{equation*}
(où l'on a pris les composantes covariantes des vecteurs $\vmatg{x}$ et $\vmatg{y}$)
alors d'après le critère général de tensorialité appliqué trois fois, la suite des $n^{3}$ quantités $\ContraCov{u}{ij}{k}$ constitue les composantes d'un tenseur.


Réciproquement, si la suite des $n^{3}$ quantités $\ContraCov{u}{ij}{k}$ constitue les composantes d'un tenseur,
alors par définition de la multiplication tensorielle et de la contraction des composantes,
le produit complètement contracté $\ContraCov{u}{ij}{k}x_{i}y_{j}z^{k}$ donne un tenseur (un scalaire).
Les $n^{3}$ quantités $\ContraCov{u}{ij}{k}$ sont les composantes mixtes d'un tenseur d'ordre trois.

\begin{theo}[Critère de tensorialité]\label{TM:th:}\index{Theoreme@Théorème!critère de tensorialité}
Pour qu'un ensemble de $n^{p+q}$ quantités ayant $p$ indices supérieurs et $q$ indices inférieurs soit un tenseur,
il faut et il suffit que leur produit complètement contracté par les composantes contravariantes de $p$ vecteurs quelconques
et par les composantes covariantes de $q$ vecteurs quelconques donne un scalaire.
\end{theo}
Ce théorème est équivalent au critère général de tensorialité \ref{TM:th:crit_gen_tens} \vpageref{TM:th:crit_gen_tens}
lorsque le produit est complètement contracté.

\begin{exem}[Produit contracté et produit scalaire]
Démontrons que le produit contracté des tenseurs $\tens{U}$ et $\tens{V}$ est invariant par changement de base.
Effectuons un changement de base naturelle~:
\begin{equation*}
\forall j\qquad u^{j'}=\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}\,u^{i}\qquad ;
\qquad \forall l\quad v_{l'}=\frac{\partial x^{k}}{\partial x^{l'}}\,v_{k}
\end{equation*}
Le produit des composantes donne~:
\begin{equation*}
\forall j,l\qquad u^{j'}v_{l'}
=\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}\,\frac{\partial x^{k}}{\partial x^{l'}}\,u^{i}v_{k}
\end{equation*}
Contractons des indices $j$ et $l$~:
\begin{align*}
u^{j'}v_{j'}
&=\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}\,\frac{\partial x^{k}}{\partial x^{j'}}\,u^{i}v_{k}\\
&=\delta_{i}^{k}u^{i}v_{k}\\
&=u^{k}v_{k}
\end{align*}
$u^{k}v_{k}$ est invariant par changement de base naturelle. C'est le produit scalaire des vecteurs $\tens{U}$ et $\tens{V}$.
\end{exem}

\section{Équations tensorielles}\index{Equation@Équation(s)!tensorielles}
\subsection{Changement de système de coordonnées}
Une équation tensorielle vraie dans un système de coordonnées est vraie dans tout système de coordonnées.

\begin{exem}[Tenseur zéro d'ordre deux]\index{Tenseur!zéro}
Soit $\tens{T}$ un tenseur dont les composantes deux fois covariantes sont nulles dans la base naturelle d'un certain système de coordonnées~:
\begin{equation*}
\forall i,j\qquad t_{ij}=0
\end{equation*}
Alors, par changement de base naturelle~:
\begin{align*}
\forall k,l\qquad t_{k'l'}&=\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{i}}\,\frac{\partial x^{l'}}{\partial x^{j}}\,t_{ij}\\
&=0
\end{align*}
et les composantes du tenseur $\tens{T}$, appelé tenseur zéro, sont nulles dans toute base naturelle.
\end{exem}

\begin{exem}[Validité d'une équation tensorielle]
Dans une base quelconque, soit l'équation suivante,
\begin{equation*}
\forall i,j\qquad r_{ijk}s^{k}=3\CovContra{t}{i}{kl}u_{jk}v_l+w_{ij}
\end{equation*}
qui peut toujours s'écrire~:
\begin{equation*}
\forall i,j\qquad r_{ijk}s^{k}-3\CovContra{t}{i}{kl}u_{jk}v_l-w_{ij}=0
\end{equation*}
Si l'on peut montrer que les composantes
\begin{equation*}
z_{ij}=r_{ijk}s^{k}-3\CovContra{t}{i}{kl}u_{jk}v_l-w_{ij}
\end{equation*}
sont les composantes (covariantes) d'un tenseur (d'ordre deux),
alors d'après l'exemple précédent cette équation tensorielle est vraie dans toute base naturelle,
autrement dit dans tout système de coordonnées.
\end{exem}

\subsection{Règles sur les indices}
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item indice muet

Dans tout monome tensoriel, on peut inverser les positions haut et bas de tout indice muet. Soient $A$ et $B$ deux tenseurs~:
\begin{align*}
A^{i}_{\;j}B_{i}&=g^{ik}A_{kj}g_{il}B^l\\
&=g^{ik}g_{il}A_{kj}B^l\\
&=\delta^{k}_lA_{kj}B^l\\
&=A_{lj}B^l\\
&=A_{ij}B^{i}
\end{align*}
\item indice libre

Si dans \emph{tous} les termes d'une équation tensorielle figure un même indice libre,
on a une équation équivalente en élevant ou en abaissant partout cet indice. Soient $\tens{S}$ et $\tens{Q}$ deux tenseurs, et soit $\chi$ un scalaire~:
\begin{align*}
\forall \lambda,\mu \quad \tens{S}_{\lambda \mu}&=\chi \tens{Q}_{\lambda \mu}\\
\forall \nu,\mu \quad g^{\lambda \nu}\tens{S}_{\lambda \mu}&=g^{\lambda \nu}\chi \tens{Q}_{\lambda \mu}\\
\forall \nu,\mu \quad \tens{S}^{\nu}_{\ \mu}&=\chi \tens{Q}^{\nu}_{\ \mu}\\
\forall \lambda,\mu \quad \tens{S}^{\lambda}_{\ \mu}&=\chi \tens{Q}^{\lambda}_{\ \mu}
\end{align*}
Si nous appliquons cette règle une seconde fois~:
\begin{align*}
&\forall \lambda,\xi\quad g^{\mu \xi}\tens{S}^\lambda_{\ \mu}=g^{\mu \xi}\chi \tens{Q}^\lambda_{\ \mu}\\
&\forall \lambda,\xi\quad \tens{S}^{\lambda \xi}=\chi \tens{Q}^{\lambda \xi}\\
&\forall \lambda,\mu \quad \tens{S}^{\lambda \mu}=\chi \tens{Q}^{\lambda \mu}
\end{align*}
\end{itemize}

\chapter{Annexes}
\section{Théorème d'orthonormalisation de Gram-Schmidt}\label{TM:demo_GS}\index{Theoreme@Théorème!d'orthonormalisation de Gram-Schmidt}
\begin{proof}Méthode d'orthonormalisation de Gram-Schmidt\label{TM:Gram Schmidt}

Pour tout espace vectoriel pré-euclidien,
la méthode d'orthonormalisation de Schmidt permet la construction effective d'une base or\-tho\-normée.

Soit $\left(\vmatg{u}_1,\vmatg{u}_2,\dots,\vmatg{u}_n\right)$
une base quelconque d'un espace vectoriel pré-euclidien~$\evn{E}{n}$.
Cherchons~$n$ vecteurs $\vmatg{v}_1,\vmatg{v}_2,\dots,\vmatg{v}_n$,
orthogonaux entre eux et li\-néai\-re\-ment indépendants pour former une base orthogonale.
Pour le premier de ces vecteurs, nous posons~:
\begin{equation*}
\vmatg{v}_1=\vmatg{u}_1
\end{equation*}
Bien entendu, $\left(\vmatg{v}_1,\vmatg{u}_2,\dots,\vmatg{u}_n\right)$ forme une base de $\evn{E}{n}$.
Cherchons le deuxième vecteur $\vmatg{v}_2$ sous la forme de la combinaison linéaire suivante,
où $\lambda_1$ est l'inconnue~:
\begin{equation*}
\vmatg{v}_2=\lambda_1\vmatg{v}_1+\vmatg{u}_2
\end{equation*}
Écrivons la relation d'orthogonalité entre $\vmatg{v}_1$ et $\vmatg{v}_2$~:
\begin{align*}
\vmatg{v}_1\cdot\vmatg{v}_2&=0\\
\vmatg{u}_1\cdot(\lambda_1\vmatg{u}_1+\vmatg{u}_2)&=0\\
\lambda_1\vmatg{u}_1\cdot\vmatg{u}_1+\vmatg{u}_1\cdot\vmatg{u}_2&=0\\
\lambda_1&=-\frac{\vmatg{u}_1\cdot\vmatg{u}_2}{\|\vmatg{u}_1\|^{2}}
\end{align*}
$\lambda_1$ est non nul car $\vmatg{u}_1$ et $\vmatg{u}_2$ sont supposés non orthogonaux.
Le vecteur~$\vmatg{v}_2$ est non nul car le système
$(\vmatg{v}_1,\vmatg{u}_2,\dots,\vmatg{u}_n)$ étant libre,
$\vmatg{v}_1$ et $\vmatg{u}_2$ sont non nuls et li\-néai\-re\-ment indépendants.
$(\vmatg{v}_1,\vmatg{v}_2,\vmatg{u}_3,\dots,\vmatg{u}_n)$ est donc un système libre.
Cherchons le troisième vecteur $\vmatg{v}_3$ sous la forme~:
\begin{equation*}
\vmatg{v}_3=\mu_{1}\vmatg{v}_1+\mu_{2}\vmatg{v}_2+\vmatg{u}_3
\end{equation*}
Les coefficients $\mu_{1}$ et $\mu_{2}$ se calculent en écrivant d'une part les relations d'orthogonalité entre
$\vmatg{v}_1$ et $\vmatg{v}_3$~:
\begin{align*}
\vmatg{v}_1\cdot\vmatg{v}_3&=0\\
\vmatg{u}_1\cdot\left(\mu_{1}\vmatg{v}_1+\mu_{2}\vmatg{v}_2+\vmatg{u}_3\right)&=0\\
\vmatg{u}_1\cdot\left[\mu_{1}\vmatg{u}_1+\mu_{2}\left(\lambda_1\vmatg{u}_1+\vmatg{u}_2\right)
+\vmatg{u}_3\right]&=0\\
\mu_{1}\vmatg{u}_1\cdot\vmatg{u}_1+\mu_{2}\lambda_1\vmatg{u}_1\cdot\vmatg{u}_1
+\mu_{2}\vmatg{u}_1\cdot\vmatg{u}_2+\vmatg{u}_1\cdot\vmatg{u}_3&=0\\
\mu_{1}\|\vmatg{u}_1\|^{2}+\mu_{2}\lambda_1\|\vmatg{u}_1\|^{2}-\mu_{2}\lambda_1\|\vmatg{u}_1\|^{2}
+\vmatg{u}_1\cdot\vmatg{u}_3&=0\\
\mu_{1}&=-\frac{\vmatg{u}_1\cdot\vmatg{u}_3}{\|\vmatg{u}_1\|^{2}}
\end{align*}
et d'autre part les relations d'orthogonalité entre $\vmatg{v}_2$ et $\vmatg{v}_3$~:
\begin{align*}
\vmatg{v}_2\cdot\vmatg{v}_3&=0&\\
\left(\lambda_1\vmatg{v}_1+\vmatg{u}_2\right)\cdot\left(\mu_{1}\vmatg{v}_1+\mu_{2}\vmatg{v}_2
+\vmatg{u}_3\right)&=0\\
\lambda_1\mu_{1}\vmatg{v}_1\cdot\vmatg{v}_1+\lambda_1\mu_{2}\vmatg{v}_1\cdot\vmatg{v}_2
+\lambda_1\vmatg{v}_1\cdot\vmatg{u}_3+\mu_{1}\vmatg{u}_2\cdot\vmatg{v}_1
+\mu_{2}\vmatg{u}_2\cdot\vmatg{v}_2+\vmatg{u}_2\cdot\vmatg{u}_3&=0\\
\lambda_1\mu_{1}\vmatg{v}_1\cdot\vmatg{v}_1+\lambda_1\mu_{2}\vmatg{v}_1\cdot\vmatg{v}_2
+\lambda_1\vmatg{v}_1\cdot\vmatg{u}_3+\mu_{1}\left(\vmatg{v}_2-\lambda_1\vmatg{v}_1\right)\cdot
\vmatg{v}_1\qquad &\\
+\mu_{2}\left(\vmatg{v}_2-\lambda_1\vmatg{v}_1\right)\cdot\vmatg{v}_2+\left(\vmatg{v}_2
-\lambda_1\vmatg{v}_1\right)\cdot\vmatg{u}_3&=0\\
\mu_{1}\vmatg{v}_2\cdot\vmatg{v}_1+\mu_{2}\|\vmatg{v}_2\|^{2}
+\vmatg{v}_2\cdot\vmatg{u}_3&=0\\
\mu_{2}\|\vmatg{v}_2\|^{2}+\vmatg{v}_2\cdot\vmatg{u}_3&=0\\
\mu_{2}&=-\frac{\vmatg{v}_2\cdot\vmatg{u}_3}{\|\vmatg{v}_2\|^{2}}
\end{align*}
Nous avons déterminé le vecteur $\vmatg{v}_3$, orthogonal aux vecteurs $\vmatg{v}_1$ et~$\vmatg{v}_2$.
Ce vecteur est non nul, car le système
$(\vmatg{v}_1,\vmatg{v}_2,\vmatg{u}_3,\dots,\vmatg{u}_n)$ étant libre,
$\vmatg{v}_1$, $\vmatg{v}_2$ et $\vmatg{u}_3$ sont non nuls et li\-néai\-re\-ment indépendants.
Le système $(\vmatg{v}_1,\vmatg{v}_2,\vmatg{v}_3,\dots,\vmatg{u}_n)$ est donc libre.
On cons\-tru\-it ainsi de proche en proche le système de vecteurs
$(\vmatg{v}_1,\vmatg{v}_2,\dots,\vmatg{v}_n)$ orthogonaux entre eux,
dont aucun n'est nul, et dont l'ensemble forme une base orthogonale de $\evn{E}{n}$.

En divisant chacun de ces vecteurs par sa norme,
\begin{equation*}
\forall i=1,\dots,n\qquad \vmatg{e}_{i}=\frac{\vmatg{v}_{i}}{\|\vmatg{v}_{i}\|}
\end{equation*}
l'ensemble des vecteurs $\left(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2},\dots,\vmatg{e}_n\right)$
forme une base orthonormée de $\evn{E}{n}$.
\end{proof}
\printindex
\end{document}
