\DocumentMetadata{}
\documentclass[french, a4paper, 12pt, twoside]{book}
\usepackage[french]{babel}% prise en compte les particularités de la typographie française. Remplace [francais et frenchb]
\usepackage{mathtools}
\usepackage{fontspec} % Pour charger les polices texte OpenType
\usepackage[math-style=ISO, bold-style=ISO]{unicode-math} % Style physique norme ISO. Lettres grecques en gras
\setmainfont{TeX Gyre Termes}[Ligatures=TeX]  % Nom exact de la famille
\setmathfont{Stix Two Math}

\usepackage[twoside, inner=3cm, outer=2cm, top=2.5cm, bottom=2.5cm]{geometry}% bordure des pages
\usepackage{varioref}% hyperlien vers les pages

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}

\usepackage{xspace}% gère les espaces après les guillemets, après dots, et 1\ier
\usepackage{microtype}% améliore la justification et l'espacement des caractères
\usepackage[autostyle, english=american]{csquotes}

\usepackage[d]{esvect}% vecteur OM, option a,b,c,d,e,f,g pour le type de fleche
\usepackage{wasysym}% symboles astronomiques
\usepackage[retainorgcmds]{IEEEtrantools}% tableau spéciaux
\usepackage{siunitx}% remplace siunit
    \sisetup{
    locale=FR,
    output-decimal-marker={,},% virgule à la place du point comme séparateur des décimales
    group-minimum-digits=3,% nombre de chiffres entre chaque séparation
    group-separator={~},% séparateur des milliers
    quantity-product={~},% séparateur entre un nombre et son unité
    inter-unit-product={~}% une espace insécable entre deux unités
    }
\usepackage{enumitem}% personnalisation des listes
\usepackage{nicefrac}% symbole de fraction
\usepackage{esint}% symboles intégrale
\usepackage{stackengine}% superposer deux mots
\usepackage{pst-3dplot}% dessiner en 3D
\usepackage{float}% begin figure[H] (ne marche pas avec subfigure, conserver [h!])
\usepackage{caption}% légende des figures
    \captionsetup{figurename=Fig.}
    \counterwithin{figure}{chapter}% numérotation des figures avec celui du chapitre
    \counterwithin{equation}{chapter}% numérotation des équations avec celui du chapitre

\usepackage{graphicx}

\usepackage{imakeidx}% avant hyperref
    \makeindex[columns=2, title=Index, intoc]

\usepackage{xcolor}
    \definecolor{jauneOlive}{rgb}{0.7, 0.7, 0.3}
    \definecolor{bleuNuit}{rgb}{0, 0, 0.8}% Bleu nuit
    \definecolor{coulOr}{rgb}{1.0, 0.843, 0.0}% Couleur proche de l'or
    \definecolor{grisClair}{rgb}{0.827, 0.827, 0.827}% Gris clair

\usepackage{mdframed}

\newcounter{defi}[chapter]
\renewcommand{\thedefi}{\thechapter.\arabic{defi}}

\newenvironment{defi}[1][]{%
  \refstepcounter{defi}%
  \begin{mdframed}[
    linecolor=coulOr,
    linewidth=2pt,
    topline=false, bottomline=false, rightline=false,
    backgroundcolor=coulOr!6,
    frametitle={\textbf{Définition~\thedefi\ifx&#1&\else\ :\ #1\fi}},
    frametitlebackgroundcolor=coulOr!6,
    frametitleaboveskip=4pt,
    frametitlebelowskip=4pt,
    innertopmargin=8pt,
    skipabove=6pt,
    skipbelow=6pt
  ]%
}{%
  \end{mdframed}
}
\newcounter{theo}[chapter]
\renewcommand{\thetheo}{\thechapter.\arabic{theo}}

\newenvironment{theo}[1][]{%
  \refstepcounter{theo}%
  \begin{mdframed}[
    linecolor=black,
    linewidth=3pt,
    topline=false, bottomline=false, rightline=false,
    backgroundcolor=black!4,
    frametitle={\textbf{Théorème~\thetheo\ifx&#1&\else\ :\ #1\fi}},
    frametitlebackgroundcolor=black!4,
    frametitleaboveskip=4pt,
    frametitlebelowskip=4pt,
    innertopmargin=8pt,
    skipabove=6pt,
    skipbelow=6pt
  ]%
  \slshape
}{%
  \end{mdframed}
}

\newcounter{prop}[chapter]
\renewcommand{\theprop}{\thechapter.\arabic{prop}}

\newenvironment{prop}[1][]{%
  \refstepcounter{prop}%
  \begin{mdframed}[
    linecolor=coulOr,
    linewidth=1.5pt,
    topline=false, bottomline=false, rightline=false,
    backgroundcolor=coulOr!4,
    frametitle={\textbf{Propriété~\theprop\ifx&#1&\else\ :\ #1\fi}},
    frametitlebackgroundcolor=coulOr!4,
    frametitleaboveskip=4pt,
    frametitlebelowskip=4pt,
    innertopmargin=8pt,
    skipabove=6pt,
    skipbelow=6pt
  ]%
}{%
  \end{mdframed}
}

\newcounter{exem}[chapter]
\renewcommand{\theexem}{\thechapter.\arabic{exem}}

\newenvironment{exem}[1][]{%
  \refstepcounter{exem}%
  \begin{mdframed}[
    linecolor=jauneOlive,
    linewidth=1.5pt,
    topline=false, bottomline=false, rightline=false,
    backgroundcolor=white,
    frametitle={\textbf{Exemple~\theexem\ifx&#1&\else\ :\ #1\fi}},
    frametitlebackgroundcolor=white,
    frametitleaboveskip=4pt,
    frametitlebelowskip=4pt,
    innertopmargin=8pt,
    skipabove=6pt,
    skipbelow=6pt
  ]%
}{%
  \end{mdframed}
}

\newcounter{rmq}[chapter]
\renewcommand{\thermq}{\thechapter.\arabic{rmq}}

\newenvironment{rmq}[1][]{%
  \refstepcounter{rmq}%
  \begin{mdframed}[
    linecolor=grisClair,
    linewidth=1pt,
    topline=false, bottomline=false, rightline=false,
    backgroundcolor=white,
    frametitle={\textbf{Remarque~\thermq\ifx&#1&\else\ (#1)\fi}},
    frametitlebackgroundcolor=white,
    frametitleaboveskip=4pt,
    frametitlebelowskip=4pt,
    innertopmargin=8pt,
    skipabove=6pt,
    skipbelow=6pt
  ]%
  \scriptsize
}{%
  \end{mdframed}
}

\newcounter{rmqs}[chapter]
\renewcommand{\thermqs}{\thechapter.\arabic{rmqs}}

\newenvironment{rmqs}[1][]{%
  \refstepcounter{rmqs}%
  \begin{mdframed}[
    linecolor=grisClair,
    linewidth=1pt,
    topline=false, bottomline=false, rightline=false,
    backgroundcolor=white,
    frametitle={\textbf{Remarque~\thermqs\ifx&#1&\else\ (#1)\fi}},
    frametitlebackgroundcolor=white,
    frametitleaboveskip=4pt,
    frametitlebelowskip=4pt,
    innertopmargin=8pt,
    skipabove=6pt,
    skipbelow=6pt
  ]%
  \scriptsize
}{%
  \end{mdframed}
}

\newcounter{ntn}[chapter]
\renewcommand{\thentn}{\thechapter.\arabic{ntn}}

\newenvironment{ntn}[1][]{%
  \refstepcounter{ntn}%
  \begin{mdframed}[
    linecolor=grisClair,
    linewidth=1pt,
    topline=false, bottomline=false, rightline=false,
    backgroundcolor=white,
    frametitle={\textbf{Notation~\thentn\ifx&#1&\else\ :\ #1\fi}},
    frametitlebackgroundcolor=white,
    frametitleaboveskip=4pt,
    frametitlebelowskip=4pt,
    innertopmargin=8pt,
    skipabove=6pt,
    skipbelow=6pt
  ]%
}{%
  \end{mdframed}
}

\newenvironment{boxA}{%
  \begin{mdframed}[
    linecolor=coulOr,
    linewidth=2pt,
    topline=false, bottomline=false, rightline=false,
    backgroundcolor=coulOr!6,
    skipabove=6pt,
    skipbelow=6pt
  ]%
}{%
  \end{mdframed}
}

\newcommand*\maboite[1]{\fcolorbox{brown}{white}{\hspace{1em}#1\hspace{1em}}}
\newcommand*\maboitedef[1]{{\hspace{1em}#1\hspace{1em}}}
\newcommand*\maboitetheo[1]{{\hspace{1em}#1\hspace{1em}}}
\usepackage{empheq}% encadre les formules importantes

\usepackage{hyperref}% option [breaklinks] pour les titres trop longs dans la ToC
\hypersetup{
    pdftoolbar=false,% affichage de la barre d'outils Acrobat
    pdftitle={Notion d'espace},% titre
    pdfauthor={Olivier Castéra},% auteur
    pdfstartview= FitH,% la page prend toute la largeur
    colorlinks=true,% false : liens encadrés ; true : liens colorés
    linkcolor=bleuNuit,
    urlcolor=black,
    }
\usepackage{fancyhdr}% entete fancy (fancy header)
    \fancyhf{}% vide head and foot
    \pagestyle{fancy}
    \fancyfoot[LE,RO]{\thepage} % LE~: left even ; RO~: right odd
    \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}% epaisseur du filet (ligne horizontale) en haut des pages
    \setlength{\headheight}{16pt}% hauteur de l'entete, normal=8pt
    \setlength{\headsep}{28pt}% distance entre entete et corps du text, normal=14pt
    \setlength{\footskip}{28pt}% place du numéro en bas de page
    \fancyhead[l]{\color{jauneOlive}\slshape{\leftmark}}% titre en entete à gauche
    \fancypagestyle{plain}{% pour la ToC et les chapitres
        \fancyhf{}% vide tout
        }

\renewcommand{\numberline}[1]{#1~~}% problème de numérotation de la ToC (table of content)
\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{Chapitre \thechapter\ : #1}{}}

\usepackage[nobottomtitles]{titlesec}% formatage des titres, pas de titre en bas de page
    \renewcommand{\chaptertitlename}{\color{jauneOlive}Chapitre}% Chapitre en jauneOlive à la place de Chapter en noir
    \renewcommand{\bottomtitlespace}{.2\textheight}% espace minimal requis pour ne pas changer le titre de page (defaut .2)
    \titleformat{\chapter}[display]{\Large\bfseries\filcenter}{\chaptertitlename\ \thechapter}{1.5cm}{\uppercase}[]
    \titleformat{\section}{\normalfont\large\bfseries}{}{0ex}{{\color{jauneOlive}{\hrule height .5ex}}\vspace{3ex}{\thesection}\hspace{2em}}
    \titlespacing*{\section}{0em}{.2\baselineskip}{.75\baselineskip}
    \titleformat{\subsection}{\normalfont\bfseries}{}{0ex}{{\color{jauneOlive}{\hrule height .3ex}}\vspace{2ex}{\thesubsection}\hspace{2em}}
    \titlespacing*{\subsection}{0em}{.6\baselineskip}{.4\baselineskip}
    \titleformat{\subsubsection}{\fontsize{12}{1}\bfseries}{}{0ex}{{\color{jauneOlive}\hrule height .3ex}\vspace{2ex}{\thesubsubsection}\hspace{2em}}
    \titlespacing*{\subsubsection}{0em}{.6\baselineskip}{.4\baselineskip}

\usepackage{parskip}% espaces dans les paragraphes
    \setlength{\parindent}{0pt}% supprime les indentations
    \setlength{\parskip}{2mm}% ajoute une espace verticale entre les paragraphes (sauter deux lignes). Dans les exemples, utiliser medskip.

\def\divergence{\mathop{\symup{div}}\nolimits}% opérateur divergence
\def\gradf{\mathop{\vv{\symup{grad}}}\nolimits}% opérateur gradient
\def\rot{\mathop{\vv{\symup{rot}}}\nolimits}% opérateur rotationnel
\def\gradg{\mathop{\symbf{grad}}\nolimits}% opérateur gradient
\DeclareMathOperator{\atantwo}{arctan2}% opérateur arctangente

\graphicspath{{./asy/}}% chemin pour les images
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}% tableau plus large

\newcommand\mt[1]{\mbox{\tiny{#1}}}% petits caractères en mode math

%Notations
\newcommand{\ev}[1]{#1}% Espace vectoriel
\newcommand{\evn}[2]{{#1}_{#2}}% Espace vectoriel de dimension n
\newcommand{\ep}[1]{\symup{#1}}% Espace ponctuel
\newcommand{\epn}[2]{{\symup{#1}}_{#2}}% Espace ponctuel de dimension n
\newcommand{\refQuelc}[0]{\symup{R}}% Référentiel quelconque
\newcommand{\refGal}[0]{\symcal{R}}% Référentiel galiléen
\newcommand{\refRie}[0]{\symcal{R}}% Référentiel riemannien
\newcommand{\refIne}[0]{\symcal{R}}% Référentiel inertiel
\newcommand{\lag}[0]{\symcal{L}}% Lagrangien
\newcommand{\act}[0]{\symcal{S}}% Action
\newcommand{\pot}[1]{\symcal{#1}}% Potentiel U ou V
\newcommand{\Vol}[0]{\symtt{V}}% Volume V
\newcommand{\vol}[0]{\symtt{v}}% volume v
\newcommand{\Surf}[0]{S}% Surface S
\newcommand{\surf}[0]{s}% surface s
\newcommand{\mat}[1]{\symcal{#1}}% Matrice

% Calcul tensoriel
\newcommand{\tm}[0]{G}% tenseur métrique
\newcommand{\transp}[1]{{#1}^T}% transposée
\newcommand{\cov}[1]{\underline{#1}}% covecteur
\newcommand{\tri}[0]{3-}% tri-quelque chose
\newcommand{\quadri}[0]{4-}% quadri-quelque chose

% Mécanique classique
% Trivecteurs
\newcommand{\tvmc}[1]{\vv{\symup{#1}}}% trivecteur mécanique classique
\newcommand{\momf}[1]{\vv{\symscr{#1}}}% moment de force
\newcommand{\tvmcmg}[1]{\symbf{#1}}% trivecteur mécanique classique lettres majuscules gras
\newcommand{\ntvmc}[1]{\symup{#1}}% norme d'un trivecteur mécanique classique
\newcommand{\ctvmc}[1]{#1}% composante d'un trivecteur mécanique classique
\newcommand{\ptvmc}[1]{\vv{#1}\mkern2mu\vphantom{#1}}% trivecteur mécanique classique primés
\newcommand{\cste}[0]{c^{\,ste}}% Constante
\newcommand{\vcste}[0]{\tvmc{C}^{\,ste}}% Vecteur constant
\newcommand{\tope}[1]{\vv{#1}}% tri-opérateur (nabla)

% Math
\newcommand{\parDef}[0]{\overset{\text{déf}}{=}}% symbole par définition
\newcommand{\parObs}[0]{\overset{\text{obs}}{=}}% symbole par observation
\newcommand{\bng}[1]{\symbfup{#1}}% base naturelle gras
\newcommand{\bnf}[1]{\vv{#1}}% base naturelle fleche
\newcommand{\btan}[1]{\vv{\symup{#1}}}% base tangente
\newcommand{\br}[1]{\symbfit{#1}}% Base réciproque
\newcommand{\bd}[2]{{#1}^{\ast{#2}}}% Base duale
\newcommand{\vmatg}[1]{\symbf{#1}}% vecteur mathematique gras
\newcommand{\vmatf}[1]{\vv{#1}}% vecteur mathematique fleche
\newcommand{\cvmat}[1]{\symbf{#1}}% composante vecteur mathematique
\newcommand{\fLin}[1]{\tilde{#1}}% forme linéaire
\newcommand{\fBiLin}[0]{B}% forme bilinéaire
\newcommand{\dd}{\symup{d}}% d droit pour élément différentiel

\usepackage{emptypage}% pages de fin de chapitre vierges

%\usepackage{refcheck}% indique dans Messages Unlabelled equation et Unused references (à mettre après hyperref)

\begin{document}
\begin{titlepage}
\parindent=0pt
\href{mailto:o.castera@free.fr}{o.castera@free.fr}\\
\href{http://sciences-physiques.neocities.org}{sciences-physiques.neocities.org}
\vspace*{\stretch{1}}
\vspace*{\stretch{1}}
{\color{jauneOlive}\hrule width \hsize height .4pt \kern 3pt \hrule width \hsize height 1.6pt}
\vspace*{.7cm}
\begin{center}
\textbf{\fontsize{40}{54}\selectfont Physique Vol.~1\\[12pt]Notion d'espace}
\end{center}
\vspace*{.7cm}
{\color{jauneOlive}\hrule width \hsize height 1.6pt \kern 3pt \hrule width \hsize height .4pt}
\vspace*{1cm}
\begin{center}\bfseries\large
Olivier Castéra
\end{center}
\vspace*{\stretch{2}}
\begin{flushright}
Le \today
\end{flushright}
\end{titlepage}
\cleardoublepage
\pagenumbering{roman}% numérotation romaine explicite
\setcounter{page}{1}% force le compteur à 1
\setcounter{tocdepth}{2}% profondeur de la ToC
\setcounter{secnumdepth}{4}% profondeur de la numérotation des sous paragraphes
\tableofcontents% affiche la ToC
\cleardoublepage
\mainmatter% début de la numérotation en chiffres arabes 1,2,3,...
\pagestyle{fancy}

\chapter{La notion d'espace}
%\minitoc
Disons de suite que l'on ne peut définir tous les termes,
certaines notions \emph{primitives} sont sans définition.
Par exemple certaines définitions sont circulaires,
elles dépendent d'autres définitions qui dépendent elles-mêmes de ce que l'on cherche à définir.
La mise en place des premières notions est souvent un procédé itératif, on doit en parler avant de les avoir définies.

\section{Systèmes de coordonnées}\label{Notion:sec_double_impl}
Dans ce qui suit on fonctionne par analogie avec notre perception de l'environnement,
principalement la feuille de papier et la surface de la Terre.
Les systèmes de coordonnées ont probablement pour origine les premières cartes de navigation indiquant les parallèles et les méridiens.
\begin{defi}[Coordonnées]\index{Coordonnées!definition@définition}
Les $n$ valeurs ordonnées $\left(p_{1},p_{2},\dots,p_n\right)$ aussi notées $(p_{i})$,
permettant de repérer un point $P$ sont appelées les coordonnées de ce point.
\end{defi}
Réciproquement, un point $P$ est l'ensemble des $n$ valeurs ordonnées $\left(p_{1},p_{2},\dots,p_n\right)$.
Avant de définir les systèmes de coordonnées nous devons définir les espaces topologiques.
\begin{defi}[Espace topologique]\index{Espace!topologique}
Ensemble de points dans lequel le voisinage (arbitrairement petit) de chaque point est défini,
et grâce auquel on définit les concepts de continuité, de limite et de connexité.
C'est donc un espace dont les éléments sont des points,
muni d'une structure appelée topologie\index{Topologie}, qui définit la notion de voisinage d'un point.
\end{defi}
L'espace topologique est l'espace le plus général dans lequel on puisse faire des mathématiques.

\begin{defi}[Système de coordonnées]\index{Systeme@Système(s)!de coordonnées!definition@définition}
Un ensemble de $n$ variables $(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ aussi noté $(x_{i})$, est un système de coordonnées d'un espace topologique à $n$ dimensions,
si à chaque ensemble de valeurs prises par ces $n$ variables correspond un point de cet espace.
\end{defi}
\begin{rmq}
Selon cette définition, à un point de l'espace topologique peut correspondre plusieurs ensemble de valeurs d'un même système de coordonnées.
\end{rmq}
\begin{rmq}
En règle générale, mais pas nécessairement, les coordonnées ont une origine commune, que l'on note $O$.
Sauf mention contraire, on suppose que c'est toujours le cas.
\end{rmq}
\begin{defi}[Ligne de coordonnée]\index{Ligne!de coordonnée}
Dans un espace topologique à $n$ dimensions de système de coordonnées $(x_{i})$,
une ligne de coordonnée, ou courbe-coordonnée, est le lieu des points pour lesquels seule la coordonnée $x_{j}$ diffère d'un point à l'autre.
Soient $p$ un paramètre et $c_{i}$ des constantes~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\begin{dcases}
x_{i}=c_{i}\qquad \forall i=1,\dots,j-1,j+1,\dots,n\\
x_{j}=x_{j}(p)\qquad i=j
\end{dcases}
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{rmq}
En un point d'un espace topologique de dimension $n$ se croisent $n$ lignes de coordonnée.
\end{rmq}
Afin de poursuivre nous avons besoin de quelques définitions.
Des êtres, aussi bien physiques (cailloux, tables, humains\dots{}) qu'objet de notre pensée (nombres, fonctions\dots{}) sont bien définis si nous possédons un
critère permettant d'affirmer que deux de ces objets sont soit identiques soit distincts. La notion d'ensemble correspond aux notions courantes d'ensemble, de collection,
de groupement, de classe, etc. d'objets de nature quelconque, tels ceux considérés précédemment.
Ces objets sont les éléments, membres, individus\dots{} de l'ensemble, de la
collection, du groupement\dots{} Nous dirons qu'un ensemble est constitué d'éléments.
Un ensemble est bien défini lorsque l'on possède un critère permettant d'affirmer pour tout objet, qu'il appartient ou non à l'ensemble.

\begin{defi}[Application]\label{Notion:def:appli}\index{Application!definition@définition}
Une application ou fonction est une relation qui à tout élément d'un ensemble de départ associe ou fait correspondre un unique élément d'un ensemble d'arrivé,
appelé image de l'élément de départ.
\end{defi}

\begin{defi}[Bijection]\label{Notion:def:bij}\index{Bijection définition}\index{Application!bijective}
Une application bijective, bijection, correspondance biunivoque, ou encore correspondance un à un,
est une application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée $B$ possède exactement un antécédent dans l'ensemble de départ $A$.
Autrement dit, à tout élément de l'ensemble $A$, correspond un élément et un seul de l'ensemble $B$,
et inversement, à tout élément de $B$, correspond un élément et un seul de $A$.
\end{defi}

\begin{rmq}
D'après la déf.~\ref{Notion:def:appli} \vpageref{Notion:def:appli} d'une application,
comme une bijection est une application, tous les éléments de l'ensemble de départ ont une image par l'application bijective.
\end{rmq}

\begin{defi}[Équipotence]\index{Equipotence@Équipotence définition}
Deux ensembles en bijection sont dits équipotents.
L'ensemble $A$ est équipotent à l'ensemble $B$ s'il existe une bijection de $A$ dans $B$, et l'on écrit
\begin{equation*}
A\leftrightarrow B
\end{equation*}
La relation binaire ainsi définie s'appelle équipotence.
\end{defi}

\begin{defi}[Système de coordonnées non dégénéré]\index{Systeme@Système(s)!de coordonnées!non dégénéré}
Système de coordonnées qui assigne un unique ensemble de coordonnées à chaque point,
et réciproquement un point unique à chaque ensemble de coordonnées,
de sorte qu'il existe une bijection entre les deux.
\end{defi}

Deux droites sécantes définissent un plan et peuvent servir de système de coordonnées pour ce plan.
De même, trois droites non coplanaires deux à deux, sécantes en un point,
définissent l'espace à trois dimensions et peuvent servir de système de coordonnées pour ce volume.
\begin{defi}[Système de coordonnées cartésiennes]\label{Notion:def:sc_cart}\index{Coordonnées!cartésiennes}
Un système de coordonnées dont les axes de coordonnées sont des droites toutes sécantes en un même point
est appelé système de coordonnées rectilignes\index{Coordonnées!rectilignes}, ou système de coordonnées affines\index{Coordonnées!affines},
ou encore système de coordonnées cartésiennes.
\end{defi}

Le système de coordonnées cartésiennes est non dégénéré.
\begin{exem}[Système de coordonnées cartésiennes du plan]
Le point $M$ a pour coordonnées $(x^{1}_M,x^{2}_M)$~:
\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-3,-1.5)(5,4)
%\psgrid (-3,-1.5)(5,4)
\psset{unit=1}
\rput(-2,0){\psline(-1;70)(4;70)}
\rput(-1,0){\psline(-1;70)(4;70)}
\psline(-1;70)(4;70)
\rput(1,0){\psline(-1;70)(4;70)}
\rput(2,0){\psline(-1;70)(4;70)}
\rput(3,0){\psline[linecolor=blue](-1;70)(4;70)}
\rput(4,0){\psline(-1;70)(4;70)}
\psline(-2,0)(6;0)
\rput(0,1){\psline(-2,0)(6;0)}
\rput(0,2){\psline[linecolor=blue](-2,0)(6;0)}
\rput(0,3){\psline(-2,0)(6;0)}
\rput(4.2,2.4){$M$}
\rput(-.5,-.4){$O$}
\rput(2.6,-1.4){$\blue{x^{1}_M=3}$}
\rput(-3.1,2.1){$\blue{x^{2}_M=2}$}
\end{pspicture}
\caption{Lignes de coordonnées cartésiennes}
\label{Notion:fig_coordobliq}
\end{figure}
\end{exem}
\begin{defi}[Système de coordonnées rectangulaire]\label{Notion:def:coord_rect}\index{Coordonnées!rectangulaires}
Lorsque les droites sont toutes perpendiculaires deux à deux,
le système est appelé système de coordonnées rectangulaires ou système de coordonnées cartésiennes normales\index{Coordonnées!cartésiennes!normales}.
Sinon il est appelé système de coordonnées cartésiennes obliques\index{Coordonnées!cartésiennes!obliques} ou cartésiennes.
\end{defi}
\begin{rmq}
Pour des raisons historiques de traduction des travaux du physicien et philosophe français René Descartes,
partout ailleurs qu'en France le système de coordonnées cartésiennes désigne un système de coordonnées rectilignes et orthogonales,
autrement dit rectangulaires.
En France, le système de coordonnées cartésiennes désigne un système de coordonnées rectilignes non nécessairement orthogonales.
\end{rmq}
\begin{defi}[Système de coordonnées curviligne]\index{Coordonnées!curvilignes}
Lorsque les axes de coordonnées ne sont pas tous des droites mais l'un au moins est une courbe,
le système de coordonnées est appelé système de coordonnées curviligne.
\end{defi}
\begin{defi}[Système de coordonnées dégénéré]\label{Notion:def:sysCoordDeg}\index{Systeme@Système(s)!de coordonnées!degenere@dégénéré}

Si la correspondance n'est pas biunivoque entre chaque point de l'espace topologique et les valeurs des coordonnées, le système de coordonnées est dit dégénéré.
\end{defi}

\begin{exem}
Le système de coordonnés polaires est un système de coordonnées curvilignes dégénéré au point origine $O$, l'angle pouvant prendre n'importe quelle valeur en ce point.
La coordonnée radiale $\rho$ est appelé rayon. La coordonnée angulaire $\theta$ est appelée angle ou azimut.
\begin{figure}[H]\centering
\includegraphics{sys_coord_polaires.eps}
\caption{Système de coordonnées polaires dans le plan}
\end{figure}
Les lignes de coordonnée radiale constante, $\rho=\cste$, sont des cercles centrés sur l'origine.
Les lignes de coordonnée angulaire constante, $\theta=\cste$, sont des demi-droites issues de l'origine.
Le système de coordonnées polaires est orthogonal car les cercles coupent leurs rayons à angle droit.
\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,3)
%\psgrid (-6,-3)(6,3)
\psset{unit=0.7}
\psline{->}(4;-90)(4;90)
\psline{->}(-4;0)(4;0)
\pscircle(0,0){1}
\pscircle(0,0){2}
\pscircle(0,0){3}
\psline(-4;30)(4;30)
\psline(-4;60)(4;60)
\psline(-4;-30)(4;-30)
\psline(-4;-60)(4;-60)
%Lettres
\rput(4.3;0){$x$}
\rput(0,4.3){$y$}
\rput[Bl](4.2;30){$\theta=\ang{30}$}
\rput[Bl](4.2;60){$\theta=\ang{60}$}
\rput[Bl](4.2;-30){$\theta=-\ang{30}$}
\rput[Bl](4.3;-60){$\theta=-\ang{60}$}
\rput[Bl](3.2;12){$\rho=3$}
\rput[Bl](2.1;-15){$\scriptstyle{\rho=2}$}
\rput[Bl](1.1;12){$\scriptstyle{\rho=1}$}
\end{pspicture}
\caption{Lignes de coordonnées polaires}
\label{Notion:fig_cp}
\end{figure}
\end{exem}

\begin{defi}[Système de coordonnées direct en deux ou trois dimensions]\label{Notion:def:sys_dir}\index{Systeme@Système!de coordonnées!direct}
Un système de coordonnées est direct lorsque les axes sont orientés de manière à respecter la règle de la main droite~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item le pouce pointe dans la direction de l'axe $x$
\item l'index pointe dans la direction de l'axe $y$
\item le majeur pointe dans la direction de l'axe $z$
\end{itemize}
\end{defi}
\begin{rmqs}
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item Il existe des espaces non orientables, par exemple en deux dimensions le ruban de Möbius et en trois dimensions la bouteille de Klein
\item En relativité, les orientations de l'espace et du temps sont distinctes, il n'y a pas d'orientation spatio-temporelle globale
\end{itemize}
\end{rmqs}

\begin{figure}[H]\centering
\includegraphics{sys_coord_3D_rect_direct.eps}
\caption{Système de coordonnées rectangulaires direct de l'espace en 3 dimensions}
\end{figure}
\begin{rmq}
Si un espace admet un système de coordonnées cartésiennes obliques alors il admet aussi un système de coordonnées rectangulaires,
et réciproquement, si un espace admet un système de coordonnées rectangulaires alors il admet aussi un système de coordonnées cartésiennes obliques.
\end{rmq}
Les coordonnées cartésiennes d'un point sont obtenues par projection de ce point selon des droites parallèles aux droites de coordonnées.
De ce fait, le système de coordonnées cartésiennes en deux dimensions ne peut exister que dans le plan.
Réciproquement, tout plan admet une infinité de systèmes de coordonnées cartésiennes.
Nous avons l'équivalence~:
\begin{equation*}
\text{plan}\Leftrightarrow\text{système de deux coordonnées cartésiennes}
\end{equation*}
Le plan est un espace euclidien à deux dimensions.
En généralisant à un espace de plus de deux dimensions~:
\begin{defi}[Espace euclidien]\index{Espace!euclidien définition}
Un espace est euclidien ssi\footnote{ssi est l'abréviation de \enquote{si, et seulement si} (Cf.~annexe~\ref{Notion:sec_implication} \vpageref{Notion:sec_implication}).}
on peut y définir un système de coordonnées cartésiennes.
\end{defi}
\begin{rmq}
Un espace euclidien est toujours un espace plat. Nous verrons que la réciproque est fausse, un espace plat n'est pas nécessairement euclidien.
L'espace-temps de la relativité restreinte est un espace plat et pseudo-euclidien,
dans lequel on définit habituellement un système de coordonnées pseudo-cartésiennes normales.
\end{rmq}
Le plan admet aussi une infinité de systèmes de coordonnées curvilignes.
Un système de coordonnées a donc deux caractéristiques~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item rectiligne ou curviligne
\item orthogonal ou non orthogonal
\end{itemize}
S'il est rectiligne on peut le choisir rectangulaire ou non, mais l'existence d'un système de coordonnées rectiligne implique toujours que l'espace est euclidien.
\begin{defi}[Dimension d'un espace topologique]\index{Dimension!d'un espace topologique}
Nombre minimal de coordonnées nécessaires pour spécifier un point de cet espace.
\end{defi}

Le point et la droite sont des objets mathématiques primitifs, sans définition.
On les imagine \emph{plongés} dans le plan, alors que celui-ci n'est pas défini et qu'il n'est jamais nécessaire de plonger un espace dans un autre pour le définir.
Pour repérer un point sur une droite dont on a fixé l'origine, nous n'avons besoin que d'une seule coordonnée.
On peut en utiliser deux si on la plonge dans un plan, mais une seule est nécessaire.
Nous pouvons dire que c'est un espace topologique de dimension $1$,
constitué d'une succession infinie de points, sans extrémités et sans courbure.
Néanmoins, la courbure n'étant pas définie, cette définition ne fait que repousser le problème à une autre définition.

Une courbe est un espace topologique de dimension $1$,
constitué d'une succession infinie de points, sans extrémités.
Elle généralise la notion de droite, celle-ci étant une courbe particulière sans courbure.
Pour repérer un point sur une courbe, seule est nécessaire la distance parcourue le long de la courbe à partir d'un point de la courbe pris pour origine,
cette distance est appelée \emph{abscisse curviligne}.

Un plan est un espace topologique de dimension $2$, d'extension infinie et sans courbure.
C'est un objet mathématique primitif.
Le plan est l'analogue en deux dimensions de la droite.
Une surface est un espace topologique de dimension $2$.
Elle généralise le plan, celui-ci étant une surface particulière sans courbure.

\section{Variétés}

\begin{defi}[Variété]\index{Variete@Variété!definition@définition}
Une variété ou variété topologique, de dimension $n$, est un espace topologique \emph{localement} (c.-à-d. au voisinage immédiat de chacun de ses points)
équivalent à un espace euclidien de même dimension $n$.
Nous dirons que la variété est localement homéomorphe\footnote{Du grec, même forme.} ou localement topologiquement isomorphe à un espace euclidien de même dimension qu'elle.
Localement, nous pouvons passer par déformation continue d'une variété à un espace euclidien de même dimension.
Il existe entre ces deux espaces topologiquement équivalents, une fonction bijective continue, de réciproque continue (fonction bijective bicontinue).
\end{defi}

Tout système de $n$ coordonnées indépendantes $(x_{i})_{i=1,\dots,n}$ occupant un certain domaine constitue une variété à $n$ dimensions.
En général il n'est pas possible de couvrir une variété avec un seul système de coordonnées qui ne soit pas dégénéré
(déf.~\ref{Notion:def:sysCoordDeg} \vpageref{Notion:def:sysCoordDeg}).
Lorsque l'on ne peut pas lever la dégénérescence par changement de coordonnées
on couvre la variété avec des \emph{cartes}, en référence aux cartes de géographie,
chaque carte étant un système de coordonnées couvrant une région de la variété.
Ces cartes sont des applications d'une région de la variété dans un espace euclidien de même dimension $n$.
Les cartes $\phi_1$ et $\phi_2$ d'une variété sont compatibles si à l'endroit où elles se recouvrent,
les lois de composition $\phi_1\circ\phi^{-1}_2$ et $\phi_2\circ\phi^{-1}_1$ qui sont des fonctions de $\symbb{R}_n$ dans $\symbb{R}_n$,
sont différentiables.
Comme en géographie terrestre, l'ensemble des cartes compatibles nécessaires pour couvrir toute la variété forme un \emph{atlas}.

\begin{defi}[Variété différentielle]\index{Variete@Variété!différentielle}
Une variété différentielle (ou différentiable) est une variété sur laquelle on peut faire du calcul différentiel.
\end{defi}

La plupart des variétés en physique sont des variétés différentielles,
ce qui signifie qu'elles sont continues et différentiable dans le sens suivant~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item une variété est continue s'il existe au voisinage de tout point d'autres points dont les coordonnées ne diffèrent qu'infinitésimalement.
Nous dirons qu'elles sont continuement paramétrables, les paramètres étant les coordonnées de la variété
\item une variété est différentiable s'il est possible de définir un champ
scalaire\footnote{En mathématique, un scalaire est un nombre, habituellement un réel ou un complexe.
Ils sont définis au \S~\ref{Notion:sub_def_ev} \vpageref{Notion:sub_def_ev}.
Si en chaque point de l'espace on associe un scalaire, on a un champ de scalaires.
Le scalaire est alors une fonction des coordonnées.}
en tout point de la variété qui puisse être partout différentié
\end{itemize}
L'association des points et des valeurs des paramètres peut être vue comme une application allant des points de la variété
vers les points d'un espace euclidien de même dimension. Localement, une variété ressemble donc à un espace euclidien.

Soient $P$ et $Q$ deux points d'une variété, infiniment proches, de coordonnées respectives $x_{i}$ et $x_{i}+\dd x_{i}$.
La distance infinitésimale entre $P$ et $Q$ détermine la géométrie locale de la variété au point $P$.
Dans le cas le plus général, le carré de la distance est une fonction des coordonnées et de leurs différentielles~:
\begin{equation*}
\dd s^{2}=f\left(x_{i},\dd x_{i}\right)
\end{equation*}
La distance s'exprime dans un système de coordonnées mais c'est un \emph{invariant} (par changement de coordonnées),
sa valeur est la même dans tous les systèmes de coordonnées.

\begin{exem}[Mécanique classique]
L'espace euclidien\index{Espace!euclidien} de la mécanique classique est une variété différentielle à trois dimensions.
Les paramètres sont les trois coordonnées d'espace.
\end{exem}

\begin{exem}[Espace-temps de la relativité restreinte]
L'espace-temps de la relativité restreinte est une variété différentielle à quatre dimensions.
Les paramètres sont les trois coordonnées d'espace et celle de temps.
\end{exem}

\begin{exem}[Espace des configurations d'un système dynamique]
L'espace des configurations d'un système dynamique à $n$ degrés de liberté est une variété différentielle\index{Variete@Variété!différentielle} à $n$ dimensions.
À chaque point de cet espace correspond une configuration du système.
\end{exem}

\begin{exem}[Espace des phases]\index{Espace!des phases}
L'espace des phases d'un mobile en mécanique classique est un exemple abstrait de variété différentielle à six dimensions.
Les paramètres sont les trois coordonnées de position et les trois quantités de mouvement.
\end{exem}

\begin{exem}[Rotations d'un système de coordonnées rectangulaires]
Un autre exemple abstrait est l'ensemble des rotations d'un
système de coordonnées rectangulaires dans un espace à trois dimensions.
Les paramètres sont les trois angles d'Euler et l'ensemble des rotations est une variété à trois dimensions.
\end{exem}

\section{Géodésiques d'un espace}
Les géodésiques sont la généralisation des droites\index{Droite} aux espaces courbes de dimension quelconque.
Ce sont les courbes de courbure minimale, elles possèdent la même courbure locale que l'espace lui-même.
Sur un plan leur courbure est nulle, ce sont des droites.
On réserve le terme \enquote{droite} aux espaces plats, sans courbure intrinsèque.
Un arc de géodésique est aussi une géodésique.
Les courbes qui minimisent la distance entre deux points, appelées orthodromies,
sont des géodésiques mais la réciproque est fausse,
toutes les géodésiques ne sont pas des orthodromies\footnote{Certains auteurs définissent les géodésiques comme les courbes qui minimisent
la distance entre deux points et ne font pas de distinction entre géodésiques et orthodromies.}.
\begin{defi}[Géodésique]\label{Notion:def:geodesique}\index{Geodesique@Géodésique(s)!definition@définition}
Une courbe entre deux points $a$ et $b$ d'un espace quelconque est une géodésique ssi sa longueur est extrémale,
c.-à-d. minimale ou maximale\footnote{Plus précisément, la définition mathématique ci-dessus dit que la longueur doit être stationnaire.
Elle ne précise pas que la dérivée seconde doit être non nulle, elle peut donc être un point d'inflexion sans être minimale ou maximale.}
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\delta\int_a^b \dd s=0
\end{empheq}
où $\delta$ est une variation infinitésimale d'ordre un, $s$ est l'abscisse curviligne le long de la courbe et $\dd s$ est un élément de longueur de la courbe.
\end{defi}
Une courbe de longueur extrémale ne peut dépendre du système de coordonnées utilisé pour la définir.
Les géodésiques sont donc indépendantes du système de coordonnées, et invariantes par changement de coordonnées.
\begin{exem}
Un cercle de la sphère dont le plan contenant ce cercle passe par le centre de la sphère est appelé grand cercle.
Si le plan du cercle ne passe pas par le centre de la sphère il est appelé petit cercle.
Sur une sphère les grands cercles et les arcs de grands cercles sont des géodésiques.
Prenons deux points sur un grand cercle. S'ils ne sont pas antipodaux ils définissent un petit et un grand arc de grand cercle,
qui sont tous les deux des géodésiques, mais dont seul le petit est une orthodromie.
\end{exem}
On peut se représenter une géodésique comme un ruban pas trop large collé au mieux
(avec un minimum de pliures) sur la surface.
Si l'on sait tracer des géodésiques et mesurer des angles (rapport de deux longueurs),
une surface est plane ssi la somme des angles de tout triangle tracé à l'aide de géodésiques sur cette surface vaut $\pi$ (dans ce cas, les géodésiques sont des droites).
On peut également utiliser la somme des angles d'un carré qui vaut $2\pi$,
ou l'aire de toute figure géométrique fermée, celle d'un disque de rayon $r$ vaut $\pi r^{2}$,
celle d'un carré de côté $r$ vaut $r^{2}$, etc.

\section{Plongement d'un espace}\index{Plongement}
Bien qu'ayant une existence propre, les droites, les courbes, les plans et les surfaces sont habituellement représentés dans un
espace plat de dimension supérieure, appelé espace hôte.
Les courbes sont représentées dans le plan ou dans l'espace (à trois dimensions), les plans et les surfaces dans l'espace.
S'il aide à se faire une représentation mentale, ce plongement n'a aucune nécessité.
Les espaces topologiques ont une existence propre sans plongement dans un espace de dimension supérieure,
sans quoi ce dernier devrait à son tour être plongé dans un espace de dimension plus grande\dots

\section{Courbure}\index{Courbure}
Il est important de distinguer la courbure intrinséque de la courbure extrinsèque.
Le cylindre et le cône sont des espaces topologiques euclidiens, donc plats, ils peuvent être déroulés pour en faire un plan et ont même topologie que le plan.
Ils ont une courbure extrinsèque mais n'ont pas de courbure intrinsèque (qui leur est propre).
En restant à la surface d'un cylindre ou d'un cône rien ne permet de mettre en évidence une quelconque courbure locale.
La somme des angles d'un triangle tracé sur un cylindre ou un cône vaut $\pi$.
En revanche, la courbure globale apparait lorsque en avançant perpendiculairement à la génératrice du cylindre l'on revient sur nos pas.
Dans les cas du cylindre et du cône la courbure globale est liée à leur seule courbure extrinsèque.
Seule la courbure intrinsèque est utile en géométrie, la courbure extrinsèque est de moindre importance,
elle est liée au plongement de la surface dans un espace de dimension supérieure.
En physique, les espaces de courbure nulle sont dits plats.
En mathématique ils sont dits pré-euclidiens, c.-à-d. euclidiens (physique non relativiste) ou pseudo-euclidien (relativité restreinte).

\subsection{Courbure positive}\index{Courbure!positive}
La sphère est un espace topologique courbe, sa courbure intrinsèque fait que l'on ne peut la déplier sans déformations pour en faire un plan.
Sa courbure constante positive est mise en évidence en traçant un triangle sphérique,
dont les côtés sont des arcs de grands cercles. La somme des angles de ces triangles est comprise,
selon le rapport de leur dimension par rapport à celui de la sphère, entre $\pi$ (très petit triangle sphérique) et $4\pi$ (prenant la sphère entière).
De même, l'aire du triangle sphérique est supérieure à celle d'un triangle plat.
Dans le cas de la sphère, la courbure globale est la courbure intrinsèque.

Plus le triangle tracé sur une sphère est petit, plus la somme de ses angles tend vers $\pi$ et son aire tend vers celle d'un triangle plat.
Au voisinage infinitésimal d'un point, c.-à-d. \enquote{localement},
la surface de la sphère est assimilable au plan qui lui est tangent en ce point, autrement dit à l'espace euclidien tangent de même dimension.
La sphère est une variété.

\subsection{Courbure négative}\index{Courbure!négative}
Le paraboloïde hyperbolique, ou selle de cheval, est une surface dont certaines sections planes sont des paraboles,
et d'autres sections planes sont des hyperboles.
Cette surface a aussi une courbure intrinsèque, négative et non constante, elle tend vers zéro à mesure que l'on s'éloigne du siège.
À noter qu'une surface de coubure négative constante ne peut être réalisée dans l'espace ordinaire à trois dimensions.
La somme des angles d'un triangle hyperbolique, dont les côtés sont des géodésiques du paraboloïde hyperbolique, est inférieure à $\pi$,
et l'aire du triangle hyperbolique est inférieure à celle d'un triangle plat.

\section{Géométrie dans l'espace}
On généralise le plan à un espace à trois dimensions, plat, sans courbure.
On passe ainsi de la géométrie plane à la géométrie dans l'espace.
Cet espace n'a pas d'existence propre, il est purement mathématique.
Il permet de construire toute la physique newtonienne, c'est le modèle le plus simple d'espace physique.
Pour mesurer sa courbure nulle il ne s'agit plus de tracer un triangle, même si l'on peut toujours se placer dans un plan de cet espace.
Un espace de dimension trois est plat ssi en tout point le volume d'une sphère de rayon quelconque $r$ vaut $\frac{4}{3}\pi r^{3}$,
le volume d'un cube de côté $r$ vaut $r^{3}$, etc.
On généralise à des espaces de dimension supérieure à trois grâce aux hypersphères, aux hypercubes\dots{}
Ces espaces plats sont dits euclidiens\index{Espace!euclidien}
(nous verrons que les espaces pseudo-eu\-cli\-diens sont aussi des espaces plats).
Trois droites non coplanaires sécantes en un point
forment un système de coordonnées cartésiennes d'un espace à trois dimensions nécessairement plat, c.-à-d. euclidien ou pseudo-euclidien.
En généralisant à un espace de dimension $n$, nous avons la double implication déjà vue au \S~\ref{Notion:sec_double_impl} \vpageref{Notion:sec_double_impl} pour le plan~:
\begin{align*}
\text{espace euclidien}&\Leftrightarrow\text{système de coordonnées cartésiennes (déf.~\ref{Notion:def:sc_cart} \vpageref{Notion:def:sc_cart})}\\
\text{espace pseudo-euclidien}&\Leftrightarrow\text{système de coordonnées pseudo-cartésiennes}
\end{align*}
Tous les espaces euclidiens de même dimension sont isomorphes (équivalents).
Il n'existe donc qu'un seul espace euclidien pour une dimension donnée.
En coordonnées cartésiennes, un espace euclidien de dimension $n$ est isomorphe au $n$-espace réel $\symbb{R}_n$.

\begin{defi}[Hyperplans]\index{Hyperplan définition}
Espaces topologiques plats de dimension $n-1$ plongés dans un espace topologique de dimension $n$.
\end{defi}

\begin{defi}[Hypersurfaces]\index{Hypersurface!definition@définition}
Espaces topologiques de dimension $n-1$ plongés dans un espace topologique de dimension $n$.
\end{defi}
\begin{defi}[Courbe paramétrique]\index{Courbe!paramétrique définition}
Une courbe paramétrique de classe $C^{k}$ (dérivable\footnote{Une fonction dérivable est toujours continue.} $k$ fois et de dérivées continues) est le couple $(I,f)$,
où $I$ est un intervalle sur $R$ et $f$ est une fonction de classe $C^{k}$.
\end{defi}
Dans un espace topologique à $n$ dimensions de système de coordonnées $(x_{i})$,
une courbe paramétrique de paramètre $p$ est l'ensemble des points tels que chaque coordonnée de ces points est une fonction de $p$, notée~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\forall i=1,\dots,n\qquad x_{i}=x_{i}(p)
\end{empheq}
\begin{defi}[Trajectoire]\index{Trajectoire définition}
Courbe décrite dans l'espace par le centre d'inertie d'un mobile.
Dans le cas général, nous avons trois équations paramétriques $x(t),y(t),z(t)$ de paramètre le temps $t$, appelées lois horaires.
Si on élimine le temps il reste une équation qui lie les coordonnées $x,y,z$, par exemple $z=z(x,y)$,
qui est l'équation de la trajectoire décrite par le centre d'inertie du mobile dans l'espace.
Sauf précision contraire, la trajectoire n'est pas donnée en fonction du temps.
\end{defi}

\begin{rmq}
L'équation donnée sous la forme explicite $y=f(x)$ est équivalente aux équations paramétriques $y=f(p),\ x=p$.
En physique, pour la description d'une \emph{trajectoire} le paramètre $p$ est arbitraire.
En revanche, pour la description d'un \emph{mouvement} le paramètre est toujours le temps (temps propre ou temps coordonnée).
Par exemple le mouvement plan de lois horaires $x=x(t),\ y=y(t)$.
\end{rmq}
\begin{exem}[Courbe paramétrique en coordonnées sphériques]
Courbe $\symscr{C}$ de paramètre $p$ en coordonnées sphériques sur une sphère de rayon $a$
\begin{equation*}
\symscr{C}(p)\quad :\quad
\begin{dcases}
r=a\\
\theta=p \\
\phi=\phi(p)
\end{dcases}
\end{equation*}
\end{exem}

\begin{defi}[Hypersurface de coordonnée]\index{Hypersurface!de coordonnée}
Ensemble des points dont une des coordonnées reste constante~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
x_{j}=\cste
\end{empheq}
\end{defi}
Dans un espace topologique de dimension $2$, les hypersurfaces de coordonnée sont simplement les lignes de coordonnée.
Par exemple l'hypersurface de coordonnée $x_{1}=c_{1}$ se confond avec la ligne de coordonnée $x_{2}$.
Dans un espace topologique de dimension $3$, les hypersurfaces de coordonnée sont les surfaces de coordonnée,
elles se coupent deux à deux suivant les lignes de coordonnée.
\section{Distance}
En physique, les notions de distance et de direction, donc d'angle, sont nécessaires pour situer deux points l'un par rapport à l'autre.
\begin{defi}[Distance]\index{Distance!definition@définition}
On appelle distance sur un ensemble $\symscr{E}$ non vide d'éléments (habituellement des points), toute application $d$ telle que
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
d~: \symscr{E}\times\symscr{E}\to \symbb{R}_+
\end{empheq}
qui vérifie les trois propriétés suivantes~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item séparation~: $\forall (a,b)\in\symscr{E}^{2}\quad d(a,b)=0 \Leftrightarrow a=b$
\item symétrie~: $\forall (a,b)\in\symscr{E}^{2}\quad d(a,b)=d(b,a)$
\item inégalité triangulaire~: $\forall (a,b,c)\in\symscr{E}^{3}\quad d(a,c)+d(c,b)\geqslant d(a,b)$
\end{itemize}
\end{defi}
Une distance est toujours non négative (positive ou nulle). En effet, si $a=b$ alors l'inégalité triangulaire et la séparation, puis la symétrie donnent~:
\begin{align*}
\forall (a,c)\in\symscr{E}^{2}\quad d(a,c)+d(c,a)& \geqslant 0\\
2d(a,c)& \geqslant 0\\
d(a,c)& \geqslant 0
\end{align*}

\begin{defi}[Espace métrique]\index{Espace!métrique}
On appelle espace métrique tout couple $(\symscr{E},d)$, où $\symscr{E}$ est un ensemble non vide, et où $d$ est une distance sur $\symscr{E}$.
\end{defi}
Nous dirons que $\symscr{E}$ est l'ensemble sous-jacent à $(\symscr{E},d)$. Dans la pratique on confond souvent $\symscr{E}$ et $(\symscr{E},d)$,
et l'on parle de l'espace métrique $\symscr{E}$. Ainsi l'espace métrique $\symbb{R}$ n'est autre que $(\symbb{R},d)$, où $d$ est la distance usuelle sur $\symbb{R}$ :
$d(x,y)=|x-y|$.
\begin{exem}[Distance de Manhattan]
Dans l'espace euclidien de dimension $n$, noté $\evn{E}{n}$, la distance de Manhattan entre les points $A(a_1,a_2,\dots,a_n)$ et $B(b_1,b_2,\dots,b_n)$ est définie par~:
\begin{equation*}
d(A,B)=\sum_{i=1}^n|a_{i}-b_{i}|
\end{equation*}
Pour $n=2$ c'est la distance parcourue par un véhicule dans le réseau orthogonal des rues de Manhattan.
\end{exem}
\begin{defi}[Distance euclidienne]\label{Notion:def:dist_eucl}
Dans un système de coordonnées rectangulaires d'un espace euclidien $\evn{E}{n}$, soient les points $A(a_1,a_2,\dots,a_n)$ et $B(b_1,b_2,\dots,b_n)$.
Leur distance euclidienne s'écrit~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
d(A,B)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(a_{i}-b_{i})^{2}}
\end{empheq}
\end{defi}
C'est le théorème de Pythagore en $n$ dimensions.
\begin{exem}[Distance en mécanique classique]
Dans l'espace euclidien $\evn{E}{3}$ de la mécanique classique, la distance euclidienne entre les points $A(a_1,a_2,\dots,a_n)$ et $B(b_1,b_2,\dots,b_n)$ est définie par~:
\begin{equation*}
d(A,B)=\sqrt{(a_1-b_1)^{2}+(a_2-b_2)^{2}+(a_3-b_3)^{2}}
\end{equation*}
\end{exem}

\begin{defi}[Pseudo-distance]\index{Pseudo!Distance définition}
On appelle pseudo-distance sur un ensemble $\symscr{E}$ non vide d'éléments (habituellement des points), toute application $d$ telle que~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
d~: \symscr{E}\times\symscr{E}\to \symbb{R}_+
\end{empheq}
qui vérifie les trois propriétés suivantes~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item $\forall a\in\symscr{E}^{2}\quad d(a,a)=0$
\item symétrie~: $\forall (a,b)\in\symscr{E}^{2}\quad d(a,b)=d(b,a)$
\item inégalité triangulaire~: $\forall (a,b,c)\in\symscr{E}^{3}\quad d(a,c)+d(c,b)\geqslant d(a,b)$
\end{itemize}
\end{defi}
Cette définition est moins contraignante que celle de distance, car contrairement à celle-ci on peut avoir $d(a,b)=0$ avec $a\neq b$.
Une pseudo-distance est toujours non négative. En effet, si $a=b$ alors l'inégalité triangulaire et la symétrie donnent~:
\begin{align*}
\forall (a,c)\in\symscr{E}^{2}\quad d(a,c)+d(c,a)& \geqslant 0\\
2d(a,c)& \geqslant 0\\
d(a,c)& \geqslant 0
\end{align*}
\begin{defi}[Espace pseudo-métrique]\index{Espace!pseudo-métrique}
Si $d$ est une pseudo-distance sur un ensemble $\symscr{E}$ nous dirons que le couple $(\symscr{E},d)$ constitue un espace pseudo-métrique.
\end{defi}

\begin{defi}[Distance relativiste]\index{Distance!relativiste}
Le carré de la distance relativiste entre deux points $E(t,x,y,z)$ et $E'(t',x',y',z')$
de l'espace mathématique à quatre dimensions de la relativité restreinte s'écrit~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
d(E,E')^{2}&=\pm[(t'-t)^{2}-(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}]\\
\epsilon d(E,E')^{2}&=(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\qquad(\epsilon=\pm1)
\end{empheq}
\end{defi}
Ce n'est pas une pseudo-distance car le carré de la distance relativiste peut être positif, nul ou négatif selon les valeurs des parties temporelle et spatiale.
\begin{rmq}
L'espace mathématique à quatre dimensions de la relativité restreinte est appelé espace-temps,
les points de cet espace mathématique sont appelés \emph{évènements} de l'espace-temps,
et la distance relativiste est appelée \emph{intervalle}.
\end{rmq}

\chapter{Notations}
%\minitoc
\section{Notation indicielle}\index{Notation indicielle}
\begin{ntn}[Les coordonnées]\label{Notion:ntn:coordonnees}
En notation indicielle les coordonnées $x,y,z,$ sont notées $x_{1},x_{2},x_{3}$ ou $x^{1},x^{2},x^{3}$.
\end{ntn}

\begin{ntn}[Convention sur les indices latins et grecs]
Nous prenons la convention que les indices
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item latins $i,j,k,\dots$ varient de $1$ à $3$ ou $4$, ou parfois $n$
\item grecs $\alpha,\beta,\gamma,\dots$ varient de $0$ à $3$
\end{itemize}
\end{ntn}
La notation \ref{Notion:ntn:coordonnees} permet d'adopter une autre notation, appelée convention de sommation.

\begin{ntn}[Convention de sommation sur les indices répétés]\label{Notion:ntn:conv_somm}\index{Convention!de sommation sur les indices répétés}
Toutes les fois que dans un terme figure le même indice en haut et en bas,
nous devons sommer tous les termes obtenus en donnant à cet indice toutes les valeurs qu'il peut prendre.
\end{ntn}

\begin{exem}[Différentielle totale d'une fonction]
La différentielle totale de la fonction $f(x,y,z)$ exprimée dans le système de coordonnées $(x,y,z)$ s'écrit~:
\begin{equation*}
\dd f=\frac{\partial f}{\partial x}\,\dd x+\frac{\partial f}{\partial y}\,\dd y+\frac{\partial f}{\partial z}\,\dd z
\end{equation*}
Sous forme indicielle~:
\begin{align*}
\dd f&=\frac{\partial f}{\partial x^{1}}\,\dd x^{1}+\frac{\partial f}{\partial x^{2}}\,\dd x^{2}+\frac{\partial f}{\partial x}\,\dd x^{3}\\
&=\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\,\dd x^{i}
\end{align*}
Avec la convention de sommation, en considérant qu'un indice haut au dénominateur compte comme un indice bas~:
\begin{equation*}
\dd f=\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\,\dd x^{i}\qquad(i\text{ de }1\text{ à }3)
\end{equation*}
\end{exem}

\begin{ntn}
La dérivée partielle première par rapport à la $i^{\,\text{ème}}$ variable d'une fonction $f(\dots,x^i,\dots)$ est notée
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x^{i}}&\equiv\partial_{i}f\\
&\equiv f_{,i}
\end{align*}
où $\equiv$ est le symbole d'équivalence.
Pour la dérivée partielle seconde~:
\begin{align*}
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{i}\partial x^{j}}&\equiv\partial_{ij}f\\
&\equiv f_{,ij}
\end{align*}
\end{ntn}

\begin{ntn}\label{Notion:ntn:notation_prime}
Pour un système de coordonnées primées nous mettons le prime sur l'indice~:
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x^{i'}}&\equiv\partial_{i'}f\\
&\equiv f_{,i'}
\end{align*}
Dans l'écriture $x^{i'}$ il ne s'agit pas de l'indice $i'$ mais de l'indice $i$ et de la coordonnées $x'$ (c.-à-d. la $i^{\,\text{ème}}$ coordonnée $x'$).
L'écriture correcte serait $x'^{i}$, cependant nous écrirons $x^{i'}$ car cette
notation permet au symbole $\partial_{i'}$ d'indiquer une dérivation partielle par rapport à la $i^{\,\text{ème}}$
coordonnée du système de coordonnées primées.
\end{ntn}

\begin{exem}[Notation dans un système de coordonnées primées]
La différentielle totale de la fonction $f(t',x',y',z')$ exprimée dans le référentiel $(t',x',y',z')$,
s'écrit sous forme indicielle avec la convention de sommation sur les indices répétés~:
\begin{align*}
\dd f
&=\frac{\partial f}{\partial t'}\,\dd t'+\frac{\partial f}{\partial x'}\,\dd x'+\frac{\partial f}{\partial y'}\,\dd y'+\frac{\partial f}{\partial z'}\,\dd z'\\
&=\frac{\partial f}{\partial x^{0'}}\,\dd x^{0'}+\frac{\partial f}{\partial x^{1'}}\,\dd x^{1'}+\frac{\partial f}{\partial x^{2'}}\,\dd x^{2'}
+\frac{\partial f}{\partial x'}\,\dd x^{3'}\\
&=\partial_{\mu'} f\,\dd x^{\mu'}\qquad(\mu\text{ de }0\text{ à }3)\\
&=f_{,\mu'}\dd x^{\mu'}
\end{align*}
\end{exem}

\section{Identités en notation indicielle}
\begin{ntn}
En notation indicielle la matrice colonne $[u]$ est notée $u^{i}$, la matrice carrée $[a]$ est notée $a_{ij}$.
\end{ntn}

\begin{equation*}
\forall i=1,2,3\qquad a_{ij}u^{j}\parDef a_{i1}u^{1}+a_{i2}u^{2}+a_{i3}u^{3}
\end{equation*}
où le symbole $\parDef $ signifie \enquote{par définition}, ici par définition de la notation employée.
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item lorsque la matrice $a_{ij}$ est non symétrique, $\forall i\neq j,\ a_{ij}\neq a_{ji}$, nous avons
\begin{equation*}
a_{ij}u^{i}v^{j}\equiv a_{ij}v^{j}u^{i}\qquad \text{et} \qquad a_{ij}u^{i}v^{j}\equiv a_{ji}u^{j}v^{i}
\end{equation*}
Nous avons également les inégalités (pour $u^{i}\neq v^{i}$)~:
\begin{equation}
a_{ij}u^{i}v^{j}\neq a_{ij}u^{j}v^{i}\qquad \text{et} \qquad a_{ij}u^{i}v^{j}\neq a_{ji}u^{i}v^{j}\label{Notion:inegalites}
\end{equation}
Par exemple
\begin{equation*}
\forall i,j=1,2\qquad
\begin{dcases}
a_{ij}u^{i}v^{j}\parDef a_{11}u^{1}v^{1}+a_{12}u^{1}v^{2}+a_{21}u^{2}v^{1}+a_{22}u^{2}v^{2}\\
a_{ij}u^{j}v^{i}\parDef a_{11}u^{1}v^{1}+a_{12}u^{2}v^{1}+a_{21}u^{1}v^{2}+a_{22}u^{2}v^{2}
\end{dcases}
\end{equation*}
À partir des inégalités \eqref{Notion:inegalites} on déduit pour $a_{ij}\neq a_{ji}$~:
\begin{equation*}
(a_{ij}+a_{ji})u^{i}v^{j}\neq 2a_{ij}u^{i}v^{j}
\end{equation*}
\item en posant $z^{j}=u^{j}+v^{j}$~:
\begin{align*}
a_{ij}(u^{j}+v^{j})&\equiv a_{ij}u^{j}+a_{ij}v^{j}\\
a_{ij}(z^{j})&=a_{ij}u^{j}+a_{ij}v^{j}
\end{align*}
\item grâce à $u^{i}u^{j}\equiv u^{j}u^{i}$~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
(a_{ij}+a_{ji})u^{i}u^{j}\equiv 2a_{ij}u^{i}u^{j}\\
(a_{ij}-a_{ji})u^{i}u^{j}\equiv 0
\end{dcases}
\end{equation*}
\end{itemize}

\section{Symbole de Kronecker}
\begin{defi}[Symbole de Kronecker]\label{Notion:def:kronecker}\index{Symbole(s)!de Kronecker}
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\delta_{ij}\parDef
\begin{dcases}
1\text{ si }i=j\\
0\text{ si }i\neq j
\end{dcases}
\end{empheq}
\end{defi}
Exemples~: $\delta_{12}=0$ et $\delta_{33}=1$.

Ce symbole permet d'utiliser la convention de sommation sur les indices répétés \ref{Notion:ntn:conv_somm} \vpageref{Notion:ntn:conv_somm},
en fonction du placement des indices~: $\delta_{ij},\delta^{j}_{i},\delta^{i}_{j},\delta^{ij}$.
\begin{exem}[Symbole de Kronecker et convention de sommation]
\begin{align*}
(\dd s)^{2}&=\left(\dd x^{1}\right)^{2}+\left(\dd x^{2}\right)^{2}+\dots+\left(\dd x^{n}\right)^{2}\\
&=\delta_{ij}\dd x^{i}\dd x^{j}\qquad (i,j=1,\dots,n)
\end{align*}
\end{exem}
Ici les indices du symbole de Kronecker sont en bas pour respecter la convention de sommation.
C'est aussi un opérateur de substitution d'indice.

\begin{exem}[Substitution d'indice]\label{Notion:ex:Kronecker_1}
Soit $(x^{i})$ un système de coordonnées~:
\begin{align*}
\forall i\qquad x^{i}&=0\times x^{1}+0\times x^{2}+\dots+1\times x^{i}+\dots+0\times x^{n}\\
&=\delta^{i}_{j}x^{j}
\end{align*}
\end{exem}

\begin{exem}[Équivalence du symbole de Kronecker]
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item Soit $(x^{i})$ un système de coordonnées~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}% pour laisser les fractions en displaystyle
\forall i=j\quad \frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j}}=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{i}}=1\\
\forall i\neq j\quad \frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j}}=0\quad \text{car } x^{i}\text{ et }x^{j}\text{ sont indépendants}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\forall i,j\quad \frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j}}=\delta^{i}_{j}
\end{equation*}
\item Soient $(x^{i})$ et $(y^{j})$ deux systèmes de coordonnées.
Les $n$ fonctions
\begin{equation*}
\forall i=1,\dots,n\qquad x^{i}=x^{i}\left(y^{1},y^{2},\dots,y^n\right)
\end{equation*}
sont supposées au moins de classe $C^{2}$~: les dérivées partielles secondes existent et sont continues,
donc a fortiori les dérivées partielles premières.
Elles sont aussi supposées indépendantes de sorte que l'on puisse résoudre les $n$ équations en fonction des $x^{i}$,
\begin{equation*}
\forall j=1,\dots,n\qquad y^{j}=y^{j}\left(x^{1},x^{2},\dots,x^{n}\right)
\end{equation*}
qui sont alors aussi de classe $C^{2}$.
D'une part~:
\begin{align}
\forall i\qquad \dd x^{i}&=\frac{\partial x^{i}}{\partial y^{k}}\,\dd y^{k}\qquad(k\text{ de }1\text{ à }n)\notag\\
&=\frac{\partial x^{i}}{\partial y^{k}}\,\frac{\partial y^{k}}{\partial x^{j}}\,\dd x^{j}\label{Notion:chaine}
\end{align}
D'autre part, en différentiant le résultat de l'ex.~\ref{Notion:ex:Kronecker_1} \vpageref{Notion:ex:Kronecker_1}~:
\begin{equation*}
\forall i\qquad \dd x^{i}=\delta^{i}_{j}\dd x^{j}\qquad(j\text{ de }1\text{ à }n)
\end{equation*}
Les deux égalités précédentes donnent~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}
\forall i,j\qquad \frac{\partial x^{i}}{\partial y^{k}}\,\frac{\partial y^{k}}{\partial x^{j}}&=\delta^{i}_{j}\label{Notion:ex_Kroneker}
\end{empheq}
Si l'on pose $i=j$ la somme sur $k$ disparait dans \eqref{Notion:chaine}, et on retrouve bien $\delta^{i}_{i}=1$.
\end{itemize}
\end{exem}

\section{Symbole d'antisymétrie}
Le symbole d'antisymétrie, aussi appelé symbole de permutation,
est complètement antisymétrique et ne prend que les valeurs $-1$, $0$ ou $1$.
Les valeurs prisent par ses composantes sont indépendantes du système de coordonnées choisi\footnote{Nous verrons que ce n'est donc pas un tenseur}.
Il est noté $\varepsilon^{ijk\dots}$ ou bien $\varepsilon_{ijk\dots}$,
où le nombre d'indice $i,j,k,\dots$ est habituellement le nombre de dimensions de l'espace vectoriel dans lequel on se trouve.
\begin{defi}[Symbole d'antisymétrie bidimensionnel]\label{Notion:def:symb_antisym}\index{Symbole(s)!d'antisymétrie}
Les deux indices $i$ et $j$ prennent les valeurs $1$ et $2$.
Le symbole est défini par~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\begin{dcases}
\varepsilon^{12}=+1\\
\varepsilon^{21}=-1\\
\varepsilon^{11}=\varepsilon^{22}=0\
\end{dcases}
\end{empheq}
\end{defi}
Le symbole est bien antisymétrique~:
\begin{equation*}
\varepsilon^{ij}=-\varepsilon^{ji}
\end{equation*}
On vérifie que pour deux indices on a~:
\begin{equation*}
\varepsilon^{ij}=\tfrac{1}{2}(j-i)ij
\end{equation*}
On peut le représenter par la matrice $2\times 2$ antisymétrique suivante~:
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
\varepsilon^{11} & \varepsilon^{12}\\
\varepsilon^{21} & \varepsilon^{22}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}
\end{align*}

\begin{exem}[Déterminant d'une matrice]\index{Matrice!determinant@déterminant}
Grâce au symbole d'antisymétrie et à la convention de sommation sur les indices répétés, le déterminant d'une matrice s'écrit~:
\begin{align*}
\det(A)&=
\begin{vmatrix}
a^{1}_1 & a^{2}_1\\
a^{1}_2 & a^{2}_2
\end{vmatrix}\\
&=a^{1}_1a^{2}_2-a^{1}_2a^{2}_1\\
&=\varepsilon^{ij}a^{1}_{i}a^{2}_{j}
\end{align*}
\end{exem}

\begin{defi}[Symbole d'antisymétrie tridimensionnel]
Les trois indices $i$, $j$ et $k$ prennent les valeurs $1$, $2$ et $3$.
Le symbole est défini par~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\varepsilon^{ijk}=+1\text{  pour  }(i,j,k)=(1,2,3),\ (2,3,1)\text{  ou  }(3,1,2)\\
\varepsilon^{ijk}=-1\text{  pour  }(i,j,k)=(3,2,1),\ (1,3,2)\text{  ou  }(2,1,3)\\
\varepsilon^{ijk}=0\text{  pour  }i=j,\text{  ou  }j=k,\text{  ou  }k=i
\end{dcases}
\end{equation*}
\end{defi}
Autrement dit
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\varepsilon^{ijk}=+1\text{ si le nombre de permutations de $(1,2,3)$ est pair}\\
\varepsilon^{ijk}=-1\text{ si le nombre de permutations de $(1,2,3)$ est impair}\\
\varepsilon^{ijk}=0\text{  si deux indices au moins ont même valeur}
\end{dcases}
\end{equation*}
On vérifie que pour trois indices on a~:
\begin{equation*}
\varepsilon^{ijk}=\tfrac{1}{2}(i-j)(j-k)(k-i)
\end{equation*}
Nous pouvons représenter le symbole d'antisymétrie tridimensionnel par une hyper matrice $3\times 3\times 3$
bien que cela ait peu d'intérêt.
\begin{defi}[Symbole d'antisymétrie quadridimensionnel]
Les quatre indices $i$, $j$, $k$ et $l$ prennent les valeurs $1$, $2$, $3$ et $4$.
Le symbole d'antisymétrie noté $\varepsilon^{ijkl}$ ou $\varepsilon_{ijkl}$ est défini par~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\varepsilon^{ijkl}=+1\text{ si le nombre de permutations de $(0,1,2,3)$ est pair}\\
\varepsilon^{ijkl}=-1\text{ si le nombre de permutations de $(0,1,2,3)$ est impair}\\
\varepsilon^{ijkl}=0\text{  sinon}
\end{dcases}
\end{equation*}
\end{defi}
On peut généraliser ce symbole à un nombre quelconque d'indices.
\chapter{Vecteurs}\label{Notion:ch_vecteurs}
%\minitoc
Historiquement, les vecteurs modélisèrent d'abord des notions issues de la mécanique classique,
principalement celles de force et de vitesse.

\section{Représentation géométrique}\label{Notion:Representation_geometrique}\index{Vecteur(s)!représentation!géométrique}
\begin{ntn}
Les vecteurs sont notés par des lettres grasses, ou par des lettres surmontées d'une flèche.
\end{ntn}
Par exemple la force est notée $\symbf{f}$ ou $\vv{f}$.
Dans l'espace physique de la mécanique classique modélisé par l'espace à trois dimensions de la géométrie classique,
les vecteurs forces sont représentés par une flèche ayant une longueur proportionnelle à l'intensité (ou magnitude) de la force,
une direction et un sens qui sont celui de la force, et ayant pour origine le point d'application de la force.

\subsection{Opérations sur les vecteurs}\label{Notion:subsec_oslv}\index{Vecteur(s)!opérations sur les}

En accord avec la notion physique de force qu'ils modélisent, on définit sur les vecteurs les deux opérations suivantes,
appelées lois de composition~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item l'addition de deux vecteurs ayant même origine donne un vecteur appelé \emph{résultante} des deux vecteurs.
C'est la règle du parallélogramme pour la composition des forces ayant même point d'application.
De même que la somme de deux forces est une force, la somme de deux vecteurs est un vecteur.
Pour additionner deux forces nous devons les rapporter à une même origine.
De même, nous n'additionnerons que des vecteurs ayant même origine, et la théorie des espaces vectoriels sera construite sous cette hypothèse.
Nous parlons de vecteur \emph{lié} (à un point) lorsque le point d'application du vecteur est spécifié,
et de vecteur \emph{libre} lorsque ce point n'est pas spécifié.

\begin{figure}[H]\centering
\includegraphics{addition_vecteurs.eps}
\caption{Addition des vecteurs $\symbf{u}$ et $\symbf{v}$}
\end{figure}

\item la multiplication d'un vecteur par un
scalaire\footnote{En mathématique, un scalaire est un nombre (habituellement réel ou complexe) qui permet de changer l'échelle (en anglais \enquote{scale} ) d'un vecteur.
La définition mathématique d'un scalaire est donnée plus loin, déf.~\ref{Notion:def:scal_m} \vpageref{Notion:def:scal_m}.}
donne un vecteur homothétique au vecteur de départ.
Il a même direction, il est de même sens si $\alpha$ est positif, de sens contraire si $\alpha$ est négatif, et sa longueur est multipliée par $|\alpha|$.
\begin{figure}[H]\centering
\includegraphics{multiplication_vecteur_scalaire.eps}
\caption{Multiplication du vecteur $\symbf{u}$ par le scalaire $\alpha$}
\end{figure}
\end{itemize}
\begin{defi}[Combinaison linéaire]\label{Notion:def:combi_lin}\index{Combinaison linéaire}
Une combinaison linéaire est une expression construite à partir d'un ensemble de termes en multipliant chaque terme par une constante et en faisant leur somme.
Soient $\alpha$ et $\beta$ deux constantes, une combinaison linéaire de $x$ et $y$ est une expression de la forme
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\alpha x+\beta y
\end{empheq}
Les constantes $\alpha$ et $\beta$ sont les coefficients de la combinaison linéaire.
\end{defi}
Les deux lois de composition sur les vecteurs fusionnent en une seule loi~:
\begin{defi}[Combinaison linéaire de vecteurs]\label{Notion:def:cl_vect}\index{Combinaison linéaire!de vecteurs}\index{Vecteur(s)!combinaison linéaire de}
Soient $\alpha$ et $\beta$ deux scalaires. $\vmatg{w}$ est appelé combinaison linéaire des vecteurs $\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$ ssi
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\vmatg{w}=\alpha \vmatg{u}+\beta \vmatg{v}
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{rmq}
Notons que la vitesse est un vecteur et que la combinaison linéaire de deux forces ne donne jamais une vitesse.
Il faudra donc toujours préciser à quel ensemble de vecteurs, c.-à-d. à quel \emph{espace vectoriel} appartient le vecteur dont on parle.
Lorsque le scalaire est un réel sans dimension physique, la multiplication par ce réel donne un vecteur du même espace vectoriel.
C'est par exemple le cas lorsque l'intensié d'une force varie.
Lorsque le scalaire a une dimension physique, les vecteurs de départ et d'arrivée n'appartiennent pas au même espace vectoriel,
comme dans la définition du vecteur quantité de mouvement~:
\begin{equation*}
\tvmc{p}\parDef m\tvmc{v}
\end{equation*}
\end{rmq}

\begin{exem}[Addition de deux vecteurs]
Imaginons un cube homogène vu de dessus sur lequel on exerce deux forces perpendiculaires aux faces~:
\begin{figure}[H]\centering
\includegraphics{cube1.eps}
\end{figure}

En négligeant les frottements, sous l'action de ces deux forces le cube se déplace en translation.
Pour sommer ces deux forces en une unique force nous les translatons pour qu'elles aient même origine.
Pour que le cube ait un mouvement de translation sans rotation, la force résultante doit passer par le centre de gravité $G$ du cube.
On en déduit le point d'application de cette force.
\begin{figure}[H]\centering
\includegraphics{cube2.eps}
\end{figure}
\end{exem}

Les objets mathématiques qui modélisent la physique doivent être des \emph{objets géométriques},
c.-à-d. indépendants du système de coordonnées dans lequel on les exprime.
\begin{defi}[Scalaire]\index{Scalaire(s)!definition@définition!physique}
En physique, un scalaire est une propriété physique définie par un nombre unique, indépendant du système de coordonnées.
\end{defi}

\begin{exem}
L'inertie, le temps, la distance et le volume sont des scalaires en mécanique classique mais pas en relativité.
La masse et la charge électrique sont des scalaires en mécanique classique et en relativité.
\end{exem}
\begin{defi}[Fonction scalaire]\label{Notion:def:fs}\index{Fonction!scalaire}
On appelle fonction à valeur scalaire ou simplement fonction scalaire, une fonction qui donne un scalaire.
\end{defi}

\begin{defi}[Champ de scalaires - Fonction scalaire des coordonnées]\index{Champ!de scalaires}\index{Fonction!scalaire des coordonnées}
Si en tout point de coordonnées $(x,y,z)$ d'une région $R$ de l'espace on fait correspondre le scalaire $f(x,y,z)$,
alors $f$ est appelée fonction scalaire des coordonnées (ou fonction scalaire de la position), et définit un champ de scalaires dans $R$.
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
R&\to\symbb{R}\\
(x,y,z)&\mapsto f(x,y,z)
\end{empheq}
$f$ prend en entrée les coordonnées d'un point et donne en sortie un scalaire.
\end{defi}
On généralise facilement à un espace de plus de trois dimensions.

\begin{exem}
Dans un solide, un liquide ou un gaz, la température, la pression et la masse volumique sont des exemples de champs de scalaires.
\end{exem}

\begin{defi}[Vecteurs]
Dans un espace de dimension $n$, un vecteur est une propriété physique \textbf{indépendante} du système de coordonnées, définie
par ses $n$ composantes \textbf{dépendantes} du système de coordonnées.
\end{defi}
\begin{rmq}
C'est la définition physique d'un vecteur. La définition mathématique est donnée plus loin, déf.~\ref{Notion:def:ev} \vpageref{Notion:def:ev}.
\end{rmq}
\begin{defi}[Tenseurs]
Dans un espace de dimension $n$, un tenseur d'ordre $p$ est une propriété physique indépendante du système de coordonnées, définie
par ses $n^p$ composantes dépendantes du système de coordonnées.
\end{defi}
Si en chaque point de l'espace on associe un vecteur ou un tenseur, on parle de \emph{champ de vecteurs} ou de \emph{champ de tenseurs}.
Le vecteur ou le tenseur est alors une fonction des coordonnées.

\begin{defi}[Fonction vectorielle]\label{Notion:def:fv}\index{Fonction!vectorielle}
On appelle fonction à valeur vectorielle ou fonction vectorielle, une fonction qui donne un vecteur.
\end{defi}

\begin{defi}[Champ de vecteurs - Fonction vectorielle de la position]\index{Champ!de vecteurs}\index{Fonction!vectorielle de la position}
Si en tout point de coordonnées $(x,y,z)$ d'une région $R$ de l'espace on fait correspondre le vecteur $\vmatg{v}(x,y,z)$,
alors $\vmatg{v}$ est appelée fonction à valeur vectorielle ou fonction vectorielle de la position et définit un champ de vecteurs dans $R$.
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
R&\to\symbb{R}^{3}\\
(x,y,z)&\mapsto \vmatg{v}(x,y,z)
\end{empheq}
\end{defi}
On généralise facilement à un espace de plus de trois dimensions.

\begin{exem}
La vitesse du vent est un exemple de champ de vecteurs, la tension mécanique dans un solide est un exemple de champ de tenseurs.
\end{exem}
\subsection{Propriétés des lois de composition vectorielles}\label{Notion:sub_prop_vec}\index{Vecteur(s)!propriétés des lois de composition}
\begin{ntn}
Nous notons $\oplus$ l'addition vectorielle pour la distinguer de l'addition des réels,
et $\odot$ la multiplication d'un vecteur par un scalaire pour la distinguer de la multiplication des réels.
\end{ntn}
Supposons que nous ayons un ensemble d'éléments sur lesquels on puisse appliquer deux lois de composition.
Ces éléments sont-ils des vecteurs ?

Pour répondre, il faut savoir si les deux lois sont identiques à celles que nous avons définies au \S~\ref{Notion:subsec_oslv} \vpageref{Notion:subsec_oslv}.
Elles le seront si elles vérifient les mêmes propriétés, c.-à-d.~:

\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item pour l'addition vectorielle. $\forall \vmatg{u},\vmatg{v},\vmatg{w}$ trois vecteurs~:
\begin{enumerate}
\item commutativité~: $\vmatg{u}\oplus\vmatg{v}=\vmatg{v}\oplus\vmatg{u}$
(on peut commuter les vecteurs)
\item associativité~: $\vmatg{u}\oplus\left(\vmatg{v}\oplus\vmatg{w}\right)=\vmatg{u}\oplus\vmatg{v}\oplus\vmatg{w}$
(on peut associer les vecteurs grâce à des parenthèses)
\item existence d'un élément neutre, le vecteur nul $\vmatg{0}$, tel que~: $\vmatg{u}\oplus\vmatg{0}=\vmatg{u}$\\
Le vecteur nul généralise le chiffre zéro de l'addition des réels.
\item pour tout vecteur $\vmatg{u}$ il existe le vecteur opposé $\bar{\vmatg{u}}$, tel que~: $\vmatg{u}\oplus\bar{\vmatg{u}}=\vmatg{0}$\\
L'existence d'un opposé nécessite l'existence d'un élément neutre, c'est pour cette raison que ce dernier doit être défini avant.

De plus, nous définissons la soustraction vectorielle comme l'addition vectorielle avec l'opposé~: $\vmatg{u}\ominus\vmatg{v}=\vmatg{u}\oplus\bar{\vmatg{v}}$.
On montre plus loin que $\bar{\vmatg{u}}=(-1)\odot\vmatg{u}$.
\end{enumerate}
\item pour la multiplication d'un vecteur par un scalaire, $\forall(\alpha,\beta)\in\symbb{R}^{2}$~:
\begin{enumerate}
\item associativité~: $\alpha \odot\left(\beta \odot\vmatg{u}\right)=\left(\alpha \times\beta \right)\odot\vmatg{u}$\\
Il s'agit ici d'un abus de langage, il n'y a pas associativité puisque le signe $\odot$ du membre de gauche de l'égalité est le signe
opératoire de la multiplication d'un vecteur par un réel,
alors que le signe $\times$ du membre de droite est celui de la multiplication dans $\symbb{R}$.
\item distributivité par rapport à l'addition des scalaires~:
\begin{equation*}
\left(\alpha+\beta \right)\odot\vmatg{u}=(\alpha \odot\vmatg{u})\oplus(\beta \odot\vmatg{u})
\end{equation*}
Il s'agit ici aussi d'un abus de langage, il n'y a pas distributivité puisque le signe $+$ du membre de gauche est le signe
opératoire de l'addition dans $\symbb{R}$, alors que le signe $\oplus$ du membre de droite est celui de l'addition vectorielle.
\item distributivité par rapport à l'addition des vecteurs~: $\alpha \odot\left(\vmatg{u}\oplus\vmatg{v}\right)=(\alpha \odot\vmatg{u})\oplus(\alpha \odot\vmatg{v})$
\item existence d'un élément neutre, le scalaire (réel) $1$, tel que~: $1\odot\vmatg{u}=\vmatg{u}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{Quelques propriétés des vecteurs}\label{Notion:qqes_prop}\index{Vecteur(s)!propriétés}

Soient $\vmatg{u}$ un vecteur et $k$ un scalaire~: $0\odot\vmatg{u}=\vmatg{0}$
\begin{proof}
\begin{align*}
(0+0)\odot\vmatg{u}&=0\odot\vmatg{u}\\
0\odot\vmatg{u}+0\odot\vmatg{u}&=0\odot\vmatg{u}+\vmatg{0}\\
0\odot\vmatg{u}&=\vmatg{0} \qedhere
\end{align*}
\end{proof}
Soient $\vmatg{0}$ le vecteur nul et $k$ un scalaire~: $k\odot\vmatg{0}=\vmatg{0}$
\begin{proof}
\begin{align*}
k\odot(\vmatg{0}\oplus\vmatg{0})&=k\odot\vmatg{0}\\
k\odot\vmatg{0}\oplus k\odot\vmatg{0}&=k\odot\vmatg{0}\oplus\vmatg{0}\\
k\odot\vmatg{0}&=\vmatg{0} \qedhere
\end{align*}
\end{proof}
Soient $\vmatg{u}$ un vecteur et $\bar{\vmatg{u}}$ son opposé~: $\bar{\vmatg{u}}=(-1)\odot\vmatg{u}$
\begin{proof}
\begin{align*}
\vmatg{0}&=0\odot\vmatg{u}\\
k\odot\vmatg{0}&=(k-k)\odot\vmatg{u}\\
k\odot(\vmatg{u}\oplus\bar{\vmatg{u}})&=\left[k+(-k)\right]\odot\vmatg{u}\\
k\odot\vmatg{u}\oplus k\odot\bar{\vmatg{u}}&=k\odot\vmatg{u}\oplus(-k)\odot\vmatg{u}\\
k\odot\bar{\vmatg{u}}&=(-k)\odot\vmatg{u}\\
1\odot\bar{\vmatg{u}}&=(-1)\odot\vmatg{u}\\
\bar{\vmatg{u}}&=(-1)\odot\vmatg{u} \qedhere
\end{align*}
\end{proof}
Soient $\vmatg{u}$ un vecteur, $\vmatg{0}$ le vecteur nul et $k$ un scalaire~:
\begin{equation*}
k\odot\vmatg{u}=\vmatg{0}\quad\Rightarrow\quad k=0\text{ ou }\vmatg{u}=\vmatg{0}
\end{equation*}
\begin{proof} Prenons les deux possibilités suivantes~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item Supposons $k=0$~:
\begin{equation*}
0\odot\vmatg{u}=\vmatg{0}
\end{equation*}
\item Supposons $k\neq0$~:
\begin{align*}
k\odot\vmatg{u}&=\vmatg{0}\\
k^{-1}\odot(k\odot\vmatg{u})&=k^{-1}\odot\vmatg{0}\\
(k^{-1}k)\odot\vmatg{u}&=\vmatg{0}\\
\vmatg{u}&=\vmatg{0} \qedhere
\end{align*}
\end{itemize}
\end{proof}

\subsection{Définition des espaces vectoriels}\label{Notion:sub_def_ev}

\begin{defi}[Produit cartésien d'ensembles]\index{Produit!cartésien d'ensembles}\index{Ensemble produit}
Soient $A$ et $B$ deux ensembles, leur produit cartésien noté $A\times B$ décrit un nouvel ensemble appelé ensemble produit ou produit cartésien de $A$ par $B$,
constitué de tous les couples ordonnés $(x,y)$,
où $x\in A$ et $y\in B$~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
A\times B=\{(x,y) : x\in A, y\in B\}
\end{empheq}
\end{defi}
Si $x\in A$ et $y\in B$ alors $(x,y)\in A\times B$ et $(y,x)\in B\times A$, mais en général $(y,x)\notin A\times B$.
Dans le cas où $A=B$, $(x,y)=(y,x)$ ssi $x=y$, donc en général $(x,y)\neq(y,x)$.
\begin{ntn}
$A\times B$ se lit $A$ croix $B$.
Le produit cartésien $n$ fois d'un ensemble par lui-même est noté $A^n$, par exemple $A\times A$ est noté $A^{2}$.
\end{ntn}

\begin{defi}[Espaces vectoriels, scalaires, vecteurs]\label{Notion:def:ev}\index{Espace!vectoriel!definition@définition}\index{Vecteur(s)!definition@définition}
Soit $\symbb K$ un corps commutatif (habituellement le corps des réels $\symbb{R}$ ou celui des complexes $\symbb{C}$),
dont les éléments sont appelés scalaires.
Considérons un ensemble non vide $\symscr{E}$ d'éléments
notés $\vmatg{u},\vmatg{v},\vmatg{w}\dots$
Supposons qu'il existe entre les éléments de $\symscr{E}$ une loi de composition interne
(une application de $\symscr{E}\times\symscr{E}$ dans $\symscr{E}$), notée $\oplus$,
et une loi de composition externe à gauche sur $\symscr{E}$ de domaine $\symbb K$
(une application de $\symbb K\times\symscr{E}$ dans $\symscr{E}$),
notée $\odot$, telles que~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item à deux éléments $\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$ de $\symscr{E}$,
la loi $\oplus$ fasse correspondre un élément $\vmatg{w}$ de $\symscr{E}$,
noté $\vmatg{u}\oplus\vmatg{v}$.
En outre, la loi $\oplus$ possède les quatre propriétés du \S~\ref{Notion:sub_prop_vec} \vpageref{Notion:sub_prop_vec}.
\item à un scalaire $\alpha \in\symbb K$ et à un élément $\vmatg{u}$ de $\symscr{E}$,
la loi $\odot$ fasse correspondre un élément de $\symscr{E}$, noté $\alpha \odot\vmatg{u}$.
En outre, pour $\beta \in\symbb K$, la loi $\odot$ possède les quatre propriétés du \S~\ref{Notion:sub_prop_vec} \vpageref{Notion:sub_prop_vec}.
\end{itemize}
Les éléments $\vmatg{u},\vmatg{v},\vmatg{w}\dots$ sont appelés des vecteurs.
La loi $\oplus$ est appelée addition vectorielle, et la loi $\odot$ multiplication par un scalaire.
Le triplet $(\symscr{E},\oplus,\odot)$ noté $\ev{E}$, est appelé espace vectoriel sur le corps $\symbb K$,
ou $\symbb K$-espace vectoriel. $\symscr{E}$ est le support de l'espace vectoriel $\ev{E}$
et les lois de composition constituent une structure pour $\symscr{E}$.
\end{defi}
Cette définition dit simplement que la combinaison linéaire de deux vecteurs est encore un vecteur.
La déf.~\ref{Notion:def:cl_vect} \vpageref{Notion:def:cl_vect} définit à la fois ce qu'est une combinaison linéaire de deux vecteurs et ce que sont les vecteurs.
\begin{rmq}
Une conséquence de la définition des vecteurs est que tous les vecteurs ne sont pas représentables par une flèche.
\end{rmq}
\begin{defi}[Scalaire]\label{Notion:def:scal_m}\index{Scalaire(s)!definition@définition!mathématique}
En mathématique, un scalaire est un élément d'un corps $\symbb K$ servant à définir un $\symbb K$-espace vectoriel.
$\symbb K$ est appelé corps de base du $\symbb K$-espace vectoriel.
Les scalaires permettent de définir la multiplication par un scalaire,
opération qui prend en entrée un vecteur et donne en sortie un vecteur du même espace vectoriel.
\end{defi}
\begin{rmq}
Les composantes d'un vecteur sont des scalaires en mathématique en tant qu'éléments du corps $\symbb R$,
mais pas en physique puisqu'elles ne sont pas invariantes par changement de coordonnées.
\end{rmq}
\begin{defi}[Groupe]\index{Groupe définition}
Soit $G$ un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne binaire notée $\hexstar$,
qui a chaque paire d'éléments $(a,b)\in G^{2}$ associe un élément $a\hexstar b\in G$.
La structure algébrique $(G,\hexstar)$ est un groupe ssi
$\forall (a,b,c)\in G^{3}$ les axiomes suivants sont vérifiés~:
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item associativité~: $a\hexstar\left(b\hexstar c\right)=\left(a\hexstar b\hexstar\right)c=a\hexstar b\hexstar c$
\item existence d'un élément neutre ou élément identité $e$, tel que~: $a\hexstar e=e\hexstar a=a$
\item $\forall a\in G\ \exists \bar{a}\in G$, élément symétrique (opposé ou inverse) de $a$, tel que~: $a\hexstar\bar{a}=\bar{a}\hexstar a=e$
\end{enumerate}
Le groupe $G$ est abélien (ou commutatif) ssi la loi est commutative~: $a\hexstar b=b\hexstar a$
\end{defi}
\begin{exem}[Les nombres entiers]
L'ensemble des nombres entiers relatifs (positifs, négatifs ou nul), noté $\symbb{Z}$, muni de l'addition des entiers $(\symbb{Z},+)$ forme un groupe.
En effet $\forall (a,b,c)\in \symbb{Z}^{3}$, $(a+b)+c=a+(b+c)$, zéro est l'élément neutre et pour tout entier $a$ il existe $-a$ tel que $a+(-a)=0$.
Ce groupe est abélien puisque $a+b=b+a$.
\end{exem}

L'ensemble $\symscr{E}$ des vecteurs muni de l'addition vectorielle, $(\symscr{E},\oplus)$, est un groupe abélien pour
l'addition vectorielle. Les quatre axiomes de la loi $\odot$ définissent \enquote{l'action} du corps $\symbb K$ sur l'ensemble $\symscr{E}$.

\begin{ntn}
Pour simplifier l'écriture, l'addition vectorielle $\oplus$ est souvent notée $+$ par analogie avec l'addition des réels.
De même, la multiplication par un scalaire $\odot$ est souvent notée $\times$, ou encore on pourra omettre le symbole,
par analogie avec la multiplication des réels. Par convention, la loi $\odot$ est prioritaire sur la loi $\oplus$.
\end{ntn}

Si la seconde loi est définie pour tout nombre réel~$\alpha$,
nous dirons que l'ensemble $\symscr{E}$ muni des deux lois $\oplus$ et $\odot$ est un
espace vectoriel sur l'ensemble des nombres réels, ou $\symbb{R}$-espace vectoriel,
ou encore espace vectoriel réel.
Si la seconde loi est définie pour tout nombre complexe $\alpha$,
nous dirons que l'ensemble $\symscr{E}$ muni des deux lois $\oplus$ et $\odot$ est un
espace vectoriel sur l'ensemble des nombres complexes, ou $\symbb{C}$-espace vectoriel,
ou encore espace vectoriel complexe.
Dans ce qui suit nous nous limiterons aux espaces vectoriels réels.

\section{Représentation algébrique}\index{Vecteur(s)!représentation!algébrique}
Pour effectuer des calculs sur les vecteurs on dote l'espace ponctuel d'un système de coordonnées.
\begin{exem}
Dans le cadre de la physique newtonienne, on dote l'espace d'un système de coordonnées habituellement rectangulaires $(O,x,y,z)$,
déf.~\ref{Notion:def:coord_rect} \vpageref{Notion:def:coord_rect}.
\end{exem}
À l'aide des points de cet espace ponctuel, on peut construire des vecteurs de la façon suivante.
À chaque point $A(x_A,y_A,z_A)$ de l'espace ponctuel on associe le vecteur $\vmatg{a}=\vmatg{OA}$,
et à chaque vecteur $\vmatg{a}$ on associe le point $A$ tel que $\vmatg{OA}=\vmatg{a}$.
Ainsi en généralisant à $n$ dimensions, il existe une bijection $\varphi$ entre l'espace ponctuel $\epn{E}{n}$ et l'espace vectoriel $\evn{E}{n}$,
ils sont équipotents (déf.~\ref{Notion:def:bij} \vpageref{Notion:def:bij})~:
\begin{align*}
\varphi~:\quad \evn{E}{n}&\to\epn{E}{n}\\
\vmatg{a}&\mapsto A=\varphi(\vmatg{a})\\
\vmatg{0}&\mapsto O=\varphi(\vmatg{0})
\end{align*}

\begin{defi}[Espace ponctuel]\label{Notion:def:espace_ponct}\index{Espace!ponctuel}
Soit $\symcal E$ un ensemble d'éléments appelés points et notés $A,B,C\dots$
Supposons qu'à tout couple $(A,B)$ de points de $\symcal E$ pris dans cet ordre, on fasse correspondre un vecteur, noté $\vmatg{AB}$,
la correspondance suivant les trois axiomes~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item Existence d'un vecteur opposé~: $\vmatg{AB}=-\vmatg{BA}$\notag
\item Relation de Chasles~: $\vmatg{AB}+\vmatg{BC}=\vmatg{AC}$\label{Notion:rel_Chasles}
\item $\forall O\in\symcal E,\ \forall \vmatg{u}\in \evn{E}{n},\ \exists!\,M\in\symcal E,\text{ tel que }\vmatg{OM}=\vmatg{u}$
\end{itemize}
Nous dirons que l'ensemble $\symcal E$ constitue le support de l'espace ponctuel à $n$ dimensions $\epn{E}{n}$.
De plus, $\evn{E}{n}$ est appelé espace vectoriel associé à $\epn{E}{n}$.
\end{defi}
L'ensemble des points correspondant aux valeurs des $n$ coordonnées dans un certain domaine, constitue
le support d'un espace ponctuel à $n$ dimensions.
Pour obtenir un espace ponctuel, il faut structurer cet ensemble en ajoutant la correspondance que nous venons d'énoncer.
\begin{rmq}
Par abus de langage nous dirons que le point $A$ est l'origine du vecteur $\vmatg{AB}$, et le point $B$ son extrémité.
\end{rmq}

Si les axes de coordonnées portent la même unité on parle \emph{d'espace métrique} car on peut y définir une distance (plus généralement une métrique).
Dans le cas contraire on parle d'espace affine\index{Espace!affine}.
\begin{exem}
En thermodynamique, le diagramme de Clapeyron\index{Diagramme!de Clapeyron} $(P,V)$ est un espace affine car on ne peut y définir une distance.
\end{exem}

Les coordonnées des points $A$ et $B$ définissent le vecteur $\vmatg{AB}$.
Dans un espace à trois dimensions, ce vecteur est associé à un ensemble de six nombres réels ordonnés $(x_A,y_A,z_A,x_B,y_B,z_B)$.
Nous dirons que ce vecteur est \emph{lié} à son point origine $A$.
Cependant, il n'est pas utile de conserver le point origine dans la définition des vecteurs, nous supposons qu'ils ont tous même origine.

En utilisant la relation de Chasles et l'existence d'un vecteur opposé, déf.~\ref{Notion:def:espace_ponct} \vpageref{Notion:def:espace_ponct}~:
\begin{align*}
\vmatg{AB}&=\vmatg{AO}+\vmatg{OB}\\
&=\vmatg{OB}-\vmatg{OA}
\end{align*}
Dans un espace à trois dimensions,
on associe au vecteur $\vmatg{AB}$ les trois nombres réels ordonnés
$(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$, qui sont les coordonnées du point à son extrémité lorsque le vecteur $\vmatg{AB}$ est translaté au point origine $O$.

\begin{exem}[Vecteur $\vmatg{f}$ dans le système de coordonnées rectangulaires $(O,x,y,z)$]
\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-4,-1.5)(4,3)% en 3D asymptote pixelise si l'on zoom, pas pstricks
%\psgrid (-4,-1.5)(4,3)
\psset{viewpoint=2.2 1 1, viewangle=0}
\ThreeDput[normal=1 -1 0](0,0,0)
	{
	\psline[arrowscale=3]{->}(0,0)(2,1.5)% vecteur
	}
\ThreeDput[normal=0 0 1](0,0,1.5)
	{
	\psline[linestyle=dotted](0;0)(2;45)
	}
\ThreeDput[normal=0 -1 0](0,0,0)
	{
	\psline(0,0)(2.5,0)% axe x
	}
\ThreeDput[normal=1 0 0](0,0,0)
	{
	\psline(0,0)(2.5,0)% axe y
	\rput(2.8,0){$y$}
	\psline(0,0)(0,2.5)% axe z
	}
\ThreeDput[normal=.5 -.5 0](0,0,0)
	{
	\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,1.5)
	\psline[linestyle=dotted](0,0)(2,0)
	}
\ThreeDput[normal=1 0 0](1.414,0,0)
	{
	\rput(1.7,1.8){$\vmatg{f}$}
	}
\ThreeDput[normal=0 1 0](1.414,1.414,0)
	{
	\psline[linestyle=dotted](0,0)(1.414,0)
	}
\ThreeDput[normal=1 0 0](1.414,1.414,0)
	{
	\psline[linestyle=dotted](0,0)(-1.414,0)
	}
\rput(0,2.6){$z$}
\rput(-1.3,-1){$x$}
\rput(-1,-.4){$x_{\scriptstyle f}$}
\rput(1.3,.1){$y_{\scriptstyle f}$}
\rput(-.4,1.5){$z_{\scriptstyle f}$}
\rput(-.3,.1){$O$}
\end{pspicture}
\caption{Coordonnées du vecteur $\vmatg{f}$}
\end{figure}
\end{exem}
Dans le système de coordonnées rectangulaires $(O,x,y,z)$, le point à l'extrémité du vecteur $\vmatg{f}$ a pour coordonnées
$(x_{\scriptstyle f},y_{\scriptstyle f},z_{\scriptstyle f})$.
\begin{rmq}
Par abus de langage, on parle des coordonnées d'un vecteur pour parler des coordonnées du point à son extrémité.
\end{rmq}
Les vecteurs sont des objets géométriques, ils ont une existence propre indépendante du système de coordonnées.
En effet, ils modélisent la réalité alors que le choix d'un système de coordonnées est toujours arbitraire.
Les coordonnées du point à l'extrémité d'un vecteur dépendent du système de coordonnées choisi et ont par conséquent le même arbitraire.
\begin{exem}
Une force physique exercée sur quelque chose ne peut dépendre du système de coordonnées utilisé pour définir le vecteur qui modélise cette force.
\end{exem}
\begin{ntn}
Nous utiliserons la notation indicielle pour les axes et pour les coordonnées~:
\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-4,-1.5)(4,3)% en 3D asymptote pixelise si l'on zoom, pas pstricks
%\psgrid (-4,-1.5)(4,3)
\psset{viewpoint=2.2 1 1, viewangle=0}
\ThreeDput[normal=1 -1 0](0,0,0)
	{%\psgrid[linecolor=gray](4,4)%plan vertical
	%\uput[0](.5,.5){Plan}
	\psline[arrowscale=3]{->}(0,0)(2,1.5)%vecteur
	}
\ThreeDput[normal=0 0 1](0,0,1.5)
	{%\psgrid[linecolor=gray](4,4)%plan horizontal
	%\uput[0](.5,.5){Plan xy}
	\psline[linestyle=dotted](0;0)(2;45)
	}
\ThreeDput[normal=0 -1 0](0,0,0)
	{%\psgrid[linecolor=gray](4,4)
	%\uput[0](1,1){Plan xz}
	\psline(0,0)(2.5,0)% axe x
		}
\ThreeDput[normal=1 0 0](0,0,0)
	{%\psgrid[linecolor=gray](4,4)
	%\uput[0](1,1){Plan yz}
	\psline(0,0)(2.5,0)% axe y
	\rput(2.9,0){$x^{2}$}
	\psline(0,0)(0,2.5)% axe z
	}
\ThreeDput[normal=.5 -.5 0](0,0,0)
	{%\psgrid[linecolor=gray](4,4)%plan vertical
	\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,1.5)
	\psline[linestyle=dotted](0,0)(2,0)
	}
\ThreeDput[normal=1 0 0](1.414,0,0)
	{%\psgrid[linecolor=gray](4,4)
	%\uput[0](1,1){Plan yz}
	\rput(1.7,1.8){$\vmatg{f}$}
	}
\ThreeDput[normal=0 1 0](1.414,1.414,0)
	{%\psgrid[linecolor=gray](4,4)
	%\uput[0](1,1){Plan xz}
	\psline[linestyle=dotted](0,0)(1.414,0)
	}
\ThreeDput[normal=1 0 0](1.414,1.414,0)
	{%\psgrid[linecolor=gray](4,4)
	%\uput[0](1,1){Plan yz}
	\psline[linestyle=dotted](0,0)(-1.414,0)
	}
\rput(0,2.7){$x^{3}$}
\rput(-.9,-.3){$x_f^{1}$}
\rput(-1.4,-1){$x^{1}$}
\rput(1.4,.1){$x_f^{2}$}
\rput(-.3,1.7){$x_f^{3}$}
\rput(-.3,.1){$O$}
\end{pspicture}
\caption{Notation indicielle}
\end{figure}
Dans le système de coordonnées rectangulaires $(O,x^{1},x^{2},x^{3})$,
le point à l'extrémité du vecteur $\vmatg{f}$ a pour coordonnées $(x_f^{1},x_f^{2},x_f^{3})$.
\end{ntn}

\subsection{Base vectorielle}\label{Notion:Base_vect}\index{Base!vectorielle}

Nous sommes passés par les coordonnées d'un point pour traiter de vecteurs
mais nous pouvons nous abstraire momentanément de la notion de point.
En effet, à chaque système de coordonnées, qu'il soit rectiligne ou curviligne, orthogonal ou non,
nous pouvons associer au plus deux bases vectorielles~:
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item en plaçant un vecteur de base tangent à chaque ligne de coordonnées
\item en plaçant un vecteur de base perpendiculaire à chaque hypersurface de coordonnées (espace pour lequel une seule coordonnée est constante)
\end{enumerate}
Ces deux bases sont \emph{réciproques}.
Nous appelons \enquote{base tangente} la première de ces bases,
et \enquote{base réciproque} \index{Base!réciproque} la seconde.
Tous les vecteurs de l'espace associé à ce système de coordonnées peuvent s'écrire d'une manière unique comme combinaison linéaire
des vecteurs de l'une de ces deux bases.

Au système de coordonnées rectangulaires en trois dimensions, nous associons les vecteurs $\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}$
tangents aux lignes de coordonnées, qui forment la base orthonormée $(\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$ dite base \emph{canonique},
signifiant ici \enquote{la plus simple}.
Les autres bases seront définies par rapport à la base canonique qui préexiste donc souvent de façon implicite à toute autre base.
Une fois posée, nous pouvons nous abstraire du système de coordonnées rectangulaires.

\begin{exem}[Base vectorielle des vecteurs force]
Soient $\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}$ les vecteurs de base unitaires
(d'intensité un newton) deux à deux orthogonaux
de l'espace vectoriel des forces de la physique newtonienne.
Le vecteur force $\tvmc{f}$ s'écrit sous la forme d'une combinaison linéaire de ces trois vecteurs force
$\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}$~:
\begin{equation*}
\tvmc{f}=f^{1}\vec{\imath}+f^{2}\vec{\jmath}+f^{3}\vec{k}
\end{equation*}

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-4,-2.5)(4,1.5)% en 3D asymptote pixelise si l'on zoom, pas pstricks
%\psgrid (-4,-2.5)(4,1.5)
\psset{viewpoint=2.2 1 1, viewangle=0}
\ThreeDput[normal=1 -1 0](0,0,0)
	{
	\psline[arrowscale=3]{->}(0,0)(6,3)%vecteur
	}
\ThreeDput[normal=0 -1 0](0,0,0)
	{
	\psline{->}(0,0)(1,0)%vecteur i
	\psline[linestyle=dotted]{->}(0,0)(4.242,0)
	}
\ThreeDput[normal=1 0 0](0,0,0)
	{
	\psline{->}(0,0)(1,0)%vecteur j
	\psline{->}(0,0)(0,1)%vecteur k
	}
\ThreeDput[normal=1 0 0](1.414,0,0)
	{
	\rput(2,1.6){$\tvmc{f}$}
	}
\ThreeDput[normal=1 0 0](4.242,4.242,0)
	{
	\psline[linestyle=dotted]{<-}(0,0)(-4.242,0)
	\psline[linestyle=dotted]{->}(0,0)(0,3)
	}
\rput(-.6,-.2){$\vec{\imath}$}
\rput(1.1,-.2){$\vec{\jmath}$}
\rput(0,1.2){$\vec{k}$}
\rput(-1.5,-.8){$f^{1}\vec{\imath}$}
\rput(.2,-2.1){$f^{2}\vec{\jmath}$}
\rput(2.5,-.8){$f^{3}\vec{k}$}
\end{pspicture}
\caption{Le vecteur force comme combinaison linéaire de vecteurs force}
\end{figure}
Nous dirons que le vecteur force $\tvmc{f}$ se décompose dans la base orthonormée
$(\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$ de l'espace des forces,
et que les nombres $f^{1}$, $f^{2}$ et $f^{3}$ sont les composantes du vecteur force $\tvmc{f}$ dans cette base.
\end{exem}

\subsection{Repère}
En tout point d'un système de coordonnées nous associons une base de vecteurs tangents aux lignes de coordonnées.
La base associée au système de coordonnées rectangulaires est notée $(\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$.
L'ensemble d'un point et de sa base locale forme un repère.
\begin{defi}[Repère]\index{Repere@Repère}
Dans un espace vectoriel, un repère est la donnée d'un point pris pour origine et d'une base de trois vecteurs.
Par exemple en trois dimension $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$.
\end{defi}
Un repère est donc un ensemble d'objets mathématiques différents, un point et des vecteurs.
\begin{defi}[Composantes d'un vecteur]\label{}\index{Composantes!d'un vecteur}
Tout vecteur se décompose de façon unique dans une base (Cf.~th.~\ref{Notion:th:decomp} \vpageref{Notion:th:decomp}),
sous la forme d'une combinaison linéaire des vecteurs de base.
Les coefficients de cette combinaison linéaire sont appelés les composantes du vecteur dans cette base.
\end{defi}
\begin{rmq}
On trouve parfois le terme de \enquote{coordonnées} d'un vecteur dans une base à la place de \enquote{composantes}.
Nous ferons la distinction et parlerons de coordonnées pour un point dans un système de coordonnées.
\end{rmq}

\begin{exem}[Base vectorielle tangente associée au système de coordonnées polaires]\label{Notion:ex:base_vect_coor_pol}\index{Coordonnées!polaires}
Pour toute base associée à des coordonnées curvilignes, les vecteurs de base forment un champ de vecteurs fonction des coordonnées
(chaque point est l'origine d'une base).
Les vecteurs de base de la base polaire tangente sont pris tangentiels aux lignes de coordonnées polaires (fig.~\ref{Notion:fig_cp} \vpageref{Notion:fig_cp}),
la base polaire est donc orthogonale
et n'est pas définie au point origine $O(0,0)$.

\begin{figure}[H]\centering
\includegraphics{vecteurs_unitaires_bp.eps}
\caption{Vecteurs unitaires de la base polaire orthonormée au point $M$}
\label{Notion:bp}
\end{figure}
Cherchons l'expression des vecteurs de base de la base polaire locale orthonormée $(\vmatg{e}_{\rho},\vmatg{e}_{\theta})$
en fonction des vecteurs de base de la base globale orthonormée $(\vmatg{i},\vmatg{j})$.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item première méthode

En se servant de la figure \ref{Notion:bp},
exprimons les vecteurs unitaires de base $\vmatg{e}_{\rho}$ et $\vmatg{e}_{\theta}$
en fonction de ceux de la base rectangulaire normée $(\vmatg{i},\vmatg{j})$~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}_{\rho}(\theta)=\cos(\theta)\,\vmatg{i}+\sin(\theta)\,\vmatg{j}\\
\vmatg{e}_{\theta}(\theta)=-\sin(\theta)\,\vmatg{i}+\cos(\theta)\,\vmatg{j}
\end{dcases}
\end{equation*}
Réciproquement, à partir de la figure \ref{Notion:bp},
ou en multipliant par $\cos(\theta)$ l'une des égalités et par $\sin(\theta)$ l'autre égalité et en additionnant~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{i}=\vmatg{e}_{\rho}\cos(\theta)-\vmatg{e}_{\theta}\sin(\theta)\\
\vmatg{j}=\vmatg{e}_{\rho}\sin(\theta)+\vmatg{e}_{\theta}\cos(\theta)
\end{dcases}
\end{equation*}

\item seconde méthode

Soit $M$ un point de coordonnées polaires $(\rho,\theta)$ et de coordonnées rectangulaires $(x,y)$.
La transformation des coordonnées polaires vers rectangulaires s'écrit~:
\begin{equation}
T\quad : \quad
\begin{dcases}\label{Notion:transfo_pol_rec}
x=\rho \cos(\theta)\\
y=\rho \sin(\theta)
\end{dcases}
\qquad \rho \geqslant0\ \text{ et }\ 2\pi> \theta \geqslant 0
\end{equation}
\begin{ntn}
Cette transformation est notée
\begin{equation*}
(\rho,\theta)\to(x,y)
\end{equation*}
\end{ntn}
Déterminons les vecteurs unitaires de base $\vmatg{e}_{\rho}$ et $\vmatg{e}_{\theta}$
en différentiant le vecteur position\index{Vecteur(s)!position} $\vmatg{r}=\vmatg{OM}$
exprimé en coordonnées polaires $(\rho,\theta)$ dans la base rectangulaire normée $(\vmatg{i},\vmatg{j})$~:
\begin{align*}
\vmatg{r}\left(x,y\right)&=x\vmatg{i}+y\vmatg{j}\\
\vmatg{r}\left(\rho,\theta\right)&=\rho \cos(\theta)\,\vmatg{i}+\rho \sin(\theta)\,\vmatg{j}\\
\dd \vmatg{r}\left(\rho,\theta\right)&=\left(\frac{\partial \vmatg{r}}{\partial \rho}\right)_{\theta} \dd \rho
+\left(\frac{\partial \vmatg{r}}{\partial \theta}\right)_{\rho} \dd \theta\\
&=\left[\cos(\theta)\,\vmatg{i}+\sin(\theta)\,\vmatg{j}\right]\dd \rho+\rho\left[-\sin(\theta)\,\vmatg{i}+\cos(\theta)\,\vmatg{j}\right]\dd \theta
\end{align*}
Les vecteurs unitaires de la base polaire ont alors pour expression,
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}_{\rho}(\theta)=\cos(\theta)\,\vmatg{i}+\sin(\theta)\,\vmatg{j}\\
\vmatg{e}_{\theta}(\theta)=-\sin(\theta)\,\vmatg{i}+\cos(\theta)\,\vmatg{j}
\end{dcases}
\end{equation*}
et l'on a~:
\begin{equation*}
\dd \vmatg{r}\left(\rho,\theta\right)=\dd \rho \vmatg{e}_{\rho}+\rho \dd \theta \vmatg{e}_{\theta}
\end{equation*}
\end{enumerate}
Cherchons l'expression du vecteur position en coordonnées polaires $(\rho,\theta)$
dans la base polaire orthonormée $(\vmatg{e}_{\rho},\vmatg{e}_{\theta})$~:
\begin{align*}
\vmatg{r}\left(\rho,\theta\right)&=\rho \cos(\theta)\,\vmatg{i}+\rho \sin(\theta)\,\vmatg{j}\\
&=\rho[\cos(\theta)\,\vmatg{i}+\sin(\theta)\,\vmatg{j}]\\
&=\rho \vmatg{e}_{\rho}
\end{align*}
Nous aurons besoin de la dérivée des vecteurs de base de la base polaire orthonormée
pour exprimer la vitesse et l'accélération d'un point matériel en coordonnées polaires~:
\begin{equation}
\begin{dcases}
\dot{\vmatg{e}}_{\rho}(\theta)=-\dot\theta \sin(\theta)\,\vmatg{i}+\dot\theta \cos(\theta)\,\vmatg{j}\\
\dot{\vmatg{e}}_{\theta}(\theta)=-\dot\theta \cos(\theta)\,\vmatg{i}-\dot\theta \sin(\theta)\,\vmatg{j}
\end{dcases}
\qquad \Rightarrow \qquad
\begin{dcases}\label{Notion:derivee_vpol}
\dot{\vmatg{e}}_{\rho}=\dot\theta \vmatg{e}_{\theta}\\
\dot{\vmatg{e}}_{\theta}=-\dot\theta \vmatg{e}_{\rho}
\end{dcases}
\end{equation}
\end{exem}

\begin{rmq}
Les vecteurs force, position, vitesse, accélération, champ électrique, etc. appartiennent à des espaces vectoriels différents.
En physique nous ramenons tous ces vecteurs dans le même espace vectoriel, l'espace géométrique.
Ceci est possible car les propriétés mathématiques de ces vecteurs sont identiques et les règles de calcul que nous verrons (p. ex. le produit scalaire)
y sont définies de la même manière. Seule leur nature physique distingue ces vecteurs (dimension physique), mais pas leur nature mathématique.
Nous les considérons tous comme des éléments d'un même espace vectoriel.
Ce faisant, nous procédons à l'assimilation d'espaces isomorphes à l'un d'entre eux.
\end{rmq}
\begin{ntn}
En notation indicielle les vecteurs de base sont notés avec un indice en bas ce qui permet d'utiliser la convention de sommation sur les indices répétés~:
\begin{align*}
\vmatg{f}&=f^{1}\vmatg{e}_{1}+f^{2}\vmatg{e}_{2}+f^{3}\vmatg{e}_{3}\\
&=\sum_{i=1}^{3}f^{i}\vmatg{e}_{i}\\
&=f^{i}\vmatg{e}_{i}\qquad(i\text{ de }1\text{ à }3)
\end{align*}
\end{ntn}
Il faut s'assurer que les vecteurs que l'on utilise pour former une base sont li\-néai\-re\-ment indépendants,
c.-à-d. tels que l'on ne puisse pas exprimer l'un de ces vecteurs en fonction des autres car il serait redondant.
\begin{defi}[Famille de vecteurs linéairement indépendants d'ordre $p$]\label{Notion:def:ordre}
Soient $\{\vmatg{u}_1,\vmatg{u}_2,\dots,\vmatg{u}_p\}$
une famille de $p$ vecteurs non nuls d'un espace vectoriel $\ev{E}$.
Ces vecteurs forment un système linéairement indépendant d'ordre $p$,
ou encore une famille libre d'ordre $p$,
s'il est impossible de trouver~$p$ nombres $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_p$ non tous nuls,
tels que~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\lambda_1\vmatg{u}_1+\lambda_2\vmatg{u}_2+\dots+\lambda_p\vmatg{u}_p=\vmatg{0}
\end{empheq}
Une famille de vecteurs qui n'est pas libre est dite liée.
\end{defi}
\begin{rmq}
Interprétation géométrique~:

Utilisons la représentation intuitive des vecteurs par des flèches.
Un ensemble de vecteurs est linéairement indépendant s'il n'est pas possible de construire une figure fermée avec deux
ou plusieurs de ces vecteurs,
même en ajustant leurs longueurs.
Aucun vecteur de cet ensemble ne peut alors être exprimé comme combinaison linéaire des autres car chacun définit une nouvelle dimension.
\end{rmq}

\begin{exem}[Vecteurs linéairement indépendants]
Montrons que les vecteurs non nuls $\vmatg{u}_1(a,0,0),\vmatg{u}_2(b,c,0),\vmatg{u}_3(0,0,d)$
sont linéairement indépendants~:
\begin{align*}
\lambda_1\vmatg{u}_1+\lambda_2\vmatg{u}_2+\lambda_3\vmatg{u}_3&=\vmatg{0}\\
\lambda_1\left(a,0,0\right)+\lambda_2\left(b,c,0\right)+\lambda_3\left(0,0,d\right)&=(0,0,0)\\
\left(\lambda_1a+\lambda_2b,\lambda_2c,\lambda_3d\right)&=(0,0,0)
\end{align*}
La seule solution est $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$ par conséquent les vecteurs sont li\-néai\-re\-ment indépendants.
\end{exem}
Il faut également s'assurer que la famille de vecteur que l'on a choisi pour former une base de l'espace vectoriel permet bien
de générer tous les vecteurs de cet espace. Nous dirons que cette famille est génératrice,
et que chaque vecteur de l'espace vectoriel se décompose sur les vecteurs de cette famille, ou encore que tout vecteur
est une combinaison linéaire des vecteurs de cette famille.

\begin{defi}[Famille génératrice]
Soient $\{\vmatg{u}_1,\vmatg{u}_2,\dots,\vmatg{u}_p\}$
une famille de $p$ vecteurs non nuls d'un espace vectoriel $\ev{E}$.
Ces vecteurs forment une famille génératrice de $\ev{E}$ ssi
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\forall \vmatg{v}\in E,\exists\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_p\in\symbb{R}\ /\ \vmatg{v}
=\lambda_1\vmatg{u}_1+\lambda_2\vmatg{u}_2+\dots+\lambda_p\vmatg{u}_p
\end{empheq}
\end{defi}
Nous pouvons maintenant donner une définition précise de la notion de base~:

\begin{defi}[Base d'un espace vectoriel]\index{Base!d'un espace vectoriel}
On appelle base d'un espace vectoriel $\ev{E}$, une famille libre et génératrice de $\ev{E}$.
\end{defi}
Une définition alternative est possible.
Dans un espace vectoriel le nombre maximal de vecteurs li\-néai\-re\-ment indépendants
(c.-à-d. l'ordre maximal d'après la déf.~\ref{Notion:def:ordre} \vpageref{Notion:def:ordre}) est appelé dimension de cet espace.
Par exemple pour une droite $n=1$, pour un plan $n=2$, pour un volume $n=3$.

\begin{defi}[Dimension d'un espace vectoriel]\index{Dimension!d'un espace vectoriel}
L'ordre maximal d'un espace vectoriel est appelé dimension de cet espace vectoriel.
\end{defi}

\begin{ntn}
Un espace vectoriel de dimension $n$, donc d'ordre maximal $n$, est noté $\evn{E}{n}$.
Ainsi, $\evn{E}{1}$ est une droite vectorielle\index{Droite!vectorielle}, $\evn{E}{2}$ est un plan vectoriel.
\end{ntn}

\begin{defi}[Base d'un espace vectoriel]\index{Base!d'un espace vectoriel}
On appelle base d'un espace vectoriel, tout système libre de vecteurs d'ordre maximal.
\end{defi}

\begin{ntn}
Soit un espace vectoriel $\evn{E}{n}$, sa base canonique est notée $\left(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2},\dots,\vmatg{e}_n\right)$ ou $(\vmatg{e}_{i})$.
\end{ntn}

\begin{theo}\label{Notion:th:decomp}\index{Theoreme@Théorème!de décomposition unique d'un vecteur}
La décomposition d'un vecteur dans une base est unique.
\end{theo}

\begin{proof}
Soient $\left(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2},\dots,\vmatg{e}_n\right)$ une base de $\evn{E}{n}$
et soit $\vmatg{u}$ un vecteur de $\evn{E}{n}$. La base étant par définition génératrice de $\evn{E}{n}$,
le vecteur $\vmatg{u}$ est une combinaison linéaire des vecteurs de la base~:
\begin{equation*}
\vmatg{u}=u^{1}\vmatg{e}_{1}+u^{2}\vmatg{e}_{2}+\dots+u^n\vmatg{e}_n
\end{equation*}
Supposons l'existence d'une autre décomposition~:
\begin{equation*}
\vmatg{u}=\symup{u}^{1}\vmatg{e}_{1}+\symup{u}^{2}\vmatg{e}_{2}+\dots+\symup{u}^n\vmatg{e}_n
\end{equation*}
Par soustraction~:
\begin{equation*}
\left(u^{1}-\symup{u}^{1}\right)\vmatg{e}_{1}+\left(u^{2}-\symup{u}^{2}\right)\vmatg{e}_{2}+\dots+\left(u^n-\symup{u}^n\right)\vmatg{e}_n=\vmatg{0}
\end{equation*}
La base étant libre par définition (les vecteurs de base sont indépendants)~:
\begin{equation*}
u^{1}=\symup u^{1},\ u^{2}=\symup u^{2},\dots,\ u^n=\symup u^n
\end{equation*}
La décomposition est donc unique.
\end{proof}
\begin{defi}[Vecteur-coordonnée]
Le $n$-tuple $(u^{1},u^{2},\dots,u^n)$ est appelé vecteur-coordonnée du vecteur $\vmatg{u}$ sur la base $(\vmatg{e}_{i})$.
On le note $[u]_{\vmatg{e}}$.
\end{defi}


\subsection{Opérations sur les composantes}\label{Notion:sub_ope_comp}

On définit l'addition vectorielle des composantes et la multiplication des composantes d'un vecteur par un scalaire
de sorte que l'on retrouve les propriétés de la représentation géométrique, \S~\ref{Notion:Representation_geometrique} \vpageref{Notion:Representation_geometrique}.

\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item l'addition vectorielle consiste à additionner les composantes respectives des vecteurs~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\oplus\vmatg{v} &=\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\oplus\left(v^{1},v^{2},v^{3}\right)\\
&=\left(u^{1}+v^{1},u^{2}+v^{2},u^{3}+v^{3}\right)\\
&=\left(w^{1},w^{2},w^{3}\right)\\
&=\vmatg{w}
\end{align*}

\item la multiplication d'un vecteur par un scalaire $\alpha$ consiste à multiplier chaque composante du vecteur par ce scalaire~:
\begin{align*}
\alpha \odot \vmatg{u}&=\alpha \odot\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\\
&=\left(\alpha u^{1},\alpha u^{2},\alpha u^{3}\right)\\
&=\left(v^{1},v^{2},v^{3}\right)\\
&=\vmatg{v}
\end{align*}
\end{enumerate}

\subsection{Propriétés des lois de composition vectorielles}
Nous retrouvons effectivement les propriétés des lois de composition du \S~\ref{Notion:sub_prop_vec} \vpageref{Notion:sub_prop_vec}~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item pour l'addition vectorielle. $\forall \vmatg{u},\vmatg{v},\vmatg{w}$ trois vecteurs
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item commutativité~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\oplus\vmatg{v}&=\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\oplus\left(v^{1},v^{2},v^{3}\right)\\
&=\left(u^{1}+v^{1},u^{2}+v^{2},u^{3}+v^{3}\right)\\
&=\left(v^{1}+u^{1},v^{2}+u^{2},v^{3}+u^{3}\right)\\
&=\left(v^{1},v^{2},v^{3}\right)\oplus\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\\
&=\vmatg{v}\oplus\vmatg{u}
\end{align*}
\item associativité~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\oplus\left(\vmatg{v}\oplus\vmatg{w}\right)
&=\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\oplus\left[\left(v^{1},v^{2},v^{3}\right)\oplus\left(w^{1},w^{2},w^{3}\right)\right]\\
&=\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\oplus\left(v^{1}+w^{1},v^{2}+w^{2},v^{3}+w^{3}\right)\\
&=\left(u^{1}+v^{1}+w^{1},u^{2}+v^{2}+w^{2},u^{3}+v^{3}+w^{3}\right)\\
&=\left(u^{1}+v^{1},u^{2}+v^{2},u^{3}+v^{3}\right)\oplus\left(w^{1},w^{2},w^{3}\right)\\
&=\left[\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\oplus\left(v^{1},v^{2},v^{3}\right)\right]\oplus\left(w^{1},w^{2},w^{3}\right)\\
&=\left(\vmatg{u}\oplus\vmatg{v}\right)\oplus\vmatg{w}\\
&=\vmatg{u}\oplus\vmatg{v}\oplus\vmatg{w}
\end{align*}
\item existence d'un élément neutre appelé vecteur nul et noté $\vmatg{0}$, tel que~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\oplus\vmatg{0}&=\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\oplus\left(0,0,0\right)\\
&=\left(u^{1}+0,u^{2}+0,u^{3}+0\right)\\
&=\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\\
&=\vmatg{u}
\end{align*}
\item pour tout vecteur $\vmatg{u}$ il existe le vecteur opposé noté $-\vmatg{u}$, tel que~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\oplus\left(-\vmatg{u}\right)&=\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\oplus\left(-u^{1},-u^{2},-u^{3}\right)\\
&=\left(u^{1}-u^{1},u^{2}-u^{2},u^{3}-u^{3}\right)\\
&=\left(0,0,0\right)\\
&=\vmatg{0}
\end{align*}
De plus, nous définissons la soustraction vectorielle comme étant l'addition vectorielle avec l'opposé~:
\begin{equation*}
\vmatg{u}\ominus\vmatg{v}=\vmatg{u}\oplus\left(-\vmatg{v}\right)
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item pour la multiplication par un scalaire. $\forall(\alpha,\beta)\in\symbb{R}^{2}$
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item associativité~:
\begin{align*}
\alpha \odot\left(\beta \odot \vmatg{u}\right)&=\alpha \odot\left[\beta \odot\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\right]\\
&=\alpha \odot\left(\beta u^{1},\beta u^{2},\beta u^{3}\right)\\
&=\left(\alpha \beta u^{1},\alpha \beta u^{2},\alpha \beta u^{3}\right)\\
&=\left(\alpha \times\beta \right)\odot\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\\
&=\left(\alpha \times\beta \right)\odot \vmatg{u}
\end{align*}
\item distributivité par rapport à l'addition des scalaires~:
\begin{align*}
\left(\alpha+\beta \right)\odot \vmatg{u}&=\left(\alpha+\beta \right)\odot\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\\
&=\left((\alpha+\beta)u^{1},(\alpha+\beta)u^{2},(\alpha+\beta)u^{3}\right)\\
&=\left(\alpha u^{1}+\beta u^{1},\alpha u^{2}+\beta u^{2},\alpha u^{3}+\beta u^{3}\right)\\
&=\left(\alpha u^{1},\alpha u^{2},\alpha u^{3}\right)\oplus\left(\beta u^{1},\beta u^{2},\beta u^{3}\right)\\
&=\left[\alpha \odot\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\right]\oplus\left[\beta \odot\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\right]\\
&=(\alpha \odot \vmatg{u})\oplus(\beta \odot \vmatg{u})
\end{align*}
\item distributivité par rapport à l'addition des vecteurs~:
\begin{align*}
\alpha \odot\left(\vmatg{u}\oplus\vmatg{v}\right)
&=\alpha \odot\left[\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\oplus\left(v^{1},v^{2},v^{3}\right)\right]\\
&=\alpha \odot\left(u^{1}+v^{1},u^{2}+v^{2},u^{3}+v^{3}\right)\\
&=\left[\alpha \left(u^{1}+v^{1}\right),\alpha \left(u^{2}+v^{2}\right),\alpha \left(u^{3}+v^{3}\right)\right]\\
&=\left(\alpha u^{1}+\alpha v^{1},\alpha u^{2}+\alpha v^{2},\alpha u^{3}+\alpha v^{3}\right)\\
&=\left(\alpha u^{1},\alpha u^{2},\alpha u^{3}\right)\oplus\left(\alpha v^{1},\alpha v^{2},\alpha v^{3}\right)\\
&=\left[\alpha \odot\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\right]\oplus\left[\alpha \odot\left(v^{1},v^{2},v^{3}\right)\right]\\
&=(\alpha \odot \vmatg{u})\oplus(\alpha \odot \vmatg{v})
\end{align*}
\item existence d'un élément neutre, le réel $1$, tel que~:
\begin{align*}
1\odot \vmatg{u}&=1\odot\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\\
&=\left(1u^{1},1u^{2},1u^{3}\right)\\
&=\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\\
&=\vmatg{u}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{itemize}

\subsection{Composantes d'un vecteur}

Pour introduire les vecteurs nous nous sommes servi d'objets géométriques représentés par une flèche,
mais tous les vecteurs ne sont pas représentables par une flèche.
Par exemple les matrices carrées d'ordre deux à coefficients dans $\symbb{R}$ ou $\symbb{C}$ sont des vecteurs,
elles suivent bien la déf.~\ref{Notion:def:ev} \vpageref{Notion:def:ev}.
En revanche, tout vecteur peut s'exprimer comme une liste ordonnée de nombres qui sont ses composantes dans une base.

D'après le \S~\ref{Notion:Base_vect} \vpageref{Notion:Base_vect},
à partir d'un système de coordonnées cartésiennes obliques\index{Coordonnées!cartésiennes!obliques},
nous pouvons construire deux bases réciproques.
Choisissons l'une de ces deux bases, un vecteur peut y être projeté de deux façons~:
parallèlement ou perpendiculairement aux vecteurs de base. En projetant
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item parallèlement on obtient les composantes \emph{contravariantes} du vecteur dans cette base
\item perpendiculairement on obtient les composantes \emph{covariantes} du vecteur dans cette base
\end{itemize}
\begin{rmqs}
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item les composantes contravariantes dans une base sont égales aux composantes covariantes dans la base réciproque.
Ceci est dû au fait que prendre la parallèle à la perpendiculaire à une droite, est équivalent à prendre la perpendiculaire à la parallèle à cette droite
\item les composantes contravariantes et covariantes sont confondues ssi la base est orthonormée
\end{itemize}
\end{rmqs}
\begin{ntn}\label{Notion:ntn:notation_indicielle}
En écriture indicielle, les composantes
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item contravariantes sont notées avec l'indice en haut
\item covariantes sont notées avec l'indice en bas
\end{itemize}
\end{ntn}

\begin{theo}
Soit $\evn{E}{n}$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur le corps $\symbb{K}$. Alors $\evn{E}{n}$ et $\symbb{K}^n$ sont isomorphes.
On écrit $\evn{E}{n}\cong\symbb{K}^n$.
\end{theo}
\begin{proof}
Le th.~\ref{Notion:th:decomp} \vpageref{Notion:th:decomp} montre qu'à chaque vecteur $\vmatg{u}\in \evn{E}{n}$,
il correspond relativement à une base donnée $(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2},\dots,\vmatg{e}_n)$,
un $n$-tuple $[u]_{\vmatg{e}}$ de $\symbb{K}^n$.

Réciproquement, si $(u_{1},u_{2},\dots,u_n)\in\symbb{K}^n$,
il existe un unique vecteur $\vmatg{u}$ de la forme $u^1\vmatg{e}_{1}+u^2\vmatg{e}_{2}+\dots+u^n\vmatg{e}_n$.
La base $(\vmatg{e}_{i})$ détermine une correspondance biunivoque entre les vecteurs de $\evn{E}{n}$ et les $n$-tuples de $\symbb{K}^n$.
De plus cette correspondance conserve la structure d'espace vectoriel~:
\begin{align*}
\vmatg{u}&=u^{1}\vmatg{e}_{1}+u^{2}\vmatg{e}_{2}+\dots+u^n\vmatg{e}_n\quad\text{correspond}\quad \left(u^{1},u^{2},\dots,u^n\right)\ \text{c.-à-d. }[u]_{\vmatg{e}}\\
\vmatg{v}&=v^{1}\vmatg{e}_{1}+v^{2}\vmatg{e}_{2}+\dots+v^n\vmatg{e}_n\quad\text{correspond}\quad \left(v^{1},v^{2},\dots,v^n\right)\ \text{c.-à-d. }[v]_{\vmatg{e}}
\end{align*}
alors à
\begin{align*}
&\vmatg{u}+\vmatg{v}=\left(u^{1}+v^{1}\right)\vmatg{e}_{1}+\left(u^{2}+v^{2}\right)\vmatg{e}_{2}+\dots+\left(u^n+v^n\right)\vmatg{e}_n
\quad\text{correspond}\quad [u]_{\vmatg{e}}+[v]_{\vmatg{e}}\\
&\forall \alpha\in\symbb{K},\ \alpha\vmatg{u}=\left(\alpha u^{1}\right)\vmatg{e}_{1}+\left(\alpha u^{2}\right)\vmatg{e}_{2}+\dots+\left(\alpha u^n\right)\vmatg{e}_n
\quad\text{correspond}\quad \alpha[u]_{\vmatg{e}}
\end{align*}
Autrement dit
\begin{align*}
[u]_{\vmatg{e}}+[v]_{\vmatg{e}}&=[u+v]_{\vmatg{e}}\\
k[u]_{\vmatg{e}}&=[ku]_{\vmatg{e}}\qedhere
\end{align*}
\end{proof}

Se donner une base et se donner des composantes contravariantes ou covariantes est équivalent à se donner un vecteur.
Réciproquement, se donner un vecteur c'est se donner une base et des composantes contravariantes ou covariantes.

La covariance ou la contravariance des nombres d'une suite ordonnée est une condition nécessaire et suffisante pour former un vecteur.
Nous pouvons donner une nouvelle définition des vecteurs~:
un vecteur est une suite ordonnée de nombres covariants ou contravariants par changement de coordonnées.
Nous énoncerons cela plus précisément au th.~\ref{Notion:th:def_vec} \vpageref{Notion:th:def_vec}.

Dans une base donnée, nous avons l'équivalence~:
\begin{equation*}
(u^{1},u^{2},u^{3})\equiv(u_{1},u_{2},u_{3})
\end{equation*}
\begin{rmqs}
Lorsque l'on décrit un vecteur en composantes covariantes on parle de covecteur ou de vecteur covariant.
C'est un abus de langage, il n'existe qu'une sorte de vecteur, dont on peut exprimer les composantes de deux façons différentes dans une base donnée.
\end{rmqs}
\begin{ntn}
Les notations $\vmatg{v}$ et $\vmatf{v}$ ne donnent pas d'information sur la variance (le fait d'être contravariantes ou covariantes) des composantes.
Nous noterons donc souvent les vecteurs par leurs composantes, contravariantes ou covariantes~:
\begin{equation*}
v^i\qquad\text{ou}\qquad v_i
\end{equation*}
\end{ntn}

\begin{exem}[Système de coordonnées et composantes contravariantes]
Au système de coordonnées cartésiennes obliques de la fig.~\ref{Notion:fig_coordobliq} \vpageref{Notion:fig_coordobliq} nous associons le repère
$\left(O,\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2}\right)$ tel que
la base $\left(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2}\right)$ soit normée et les vecteurs de base pris le long des droites de coordonnées\index{Droite!de coordonnées}.
\begin{figure}[H]\centering
\includegraphics{composantes_contravariantes_u.eps}
\caption{Composantes contravariantes du vecteur $\vmatg{u}$}
\end{figure}
\end{exem}
Dans cette base, le vecteur $\vmatg{u}=\tvmcmg{OM}$ a pour composantes contravariantes $u^{1}$ et $u^{2}$~:
\begin{equation*}
\vmatg{u}=u^{1}\vmatg{e}_{1}+u^{2}\vmatg{e}_{2}
\end{equation*}
Dans un système de coordonnées cartésiennes obliques\index{Coordonnées!cartésiennes!obliques}, les coordonnées d'un point
et les composantes contravariantes du vecteur associé sont confondues ssi la base est normée~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
u^{1}=x^{1}_M\\
u^{2}=x^{2}_M
\end{dcases}
\end{equation*}

\begin{defi}[Composantes contravariantes d'un vecteur]\index{Composantes!contravariantes!d'un vecteur}
Soit $\left(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2},\dots,\vmatg{e}_n\right)$ une base quelconque d'un espace vectoriel $\evn{E}{n}$.
On appelle composantes contravariantes du vecteur $\vmatg{u}$ dans cette base, les quantités $u^{1},u^{2},\dots,u^n$ tels que~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\vmatg{u}&=u^{1}\vmatg{e}_{1}+u^{2}\vmatg{e}_{2}+\dots+u^n\vmatg{e}_n\\
&=\sum_{i=1}^nu^{i}\vmatg{e}_{i}\\
&=u^{i}\vmatg{e}_{i}\qquad (i\text{ de }1\text{ à }n)
\end{empheq}
\end{defi}
D'après la notation \ref{Notion:ntn:notation_indicielle} \vpageref{Notion:ntn:notation_indicielle},
les composantes contravariantes sont représentées au moyen d'un indice supérieur.

Les vecteurs ont une existence propre, ils sont indépendants de la base dans laquelle on les exprime~:
leur norme, direction et sens ne varient pas par changement de base.
Ils sont \emph{invariants} par changement de base, seules leurs composantes changent.
Pour assurer cette invariance, lorsqu'on les écrit sous la forme d'une combinaison linéaire des vecteurs de base,
leurs composantes contravariantes (les coefficients $u^{i}$) doivent se transformer de façon \enquote{contraire} aux vecteurs de base $\vmatg{e}_{i}$.

\begin{rmq}
Les indices de sommation sont dits \emph{muets}, nous pouvons les remplacer par d'autres lettres~:
\begin{equation*}
u^{i}\vmatg{e}_{i}=u^{j}\vmatg{e}_{j}
\end{equation*}
Les autres indices sont dits \emph{libres} ou \emph{réels}.
\end{rmq}
La décomposition d'un vecteur en composantes contravariantes est unique dans chaque base et réciproquement,
les composantes contravariantes $(u^{1},u^{2},\dots,u^n)$ représentent un unique vecteur dans la
base $\left(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2},\dots,\vmatg{e}_n\right)$.

\begin{exem}[Composantes contravariantes par changement de base]
Soit $\vmatg{u}$ un vecteur de composantes $(x,y,z)$
dans la base orthonormée $\left(\bng{i},\bng{j},\bng{k}\right)$.
Déterminons ses composantes contravariantes $(u^{1},u^{2},u^{3})$ dans la base
$\left(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2},\vmatg{e}_{3}\right)$ avec
$\vmatg{e}_{1}(a,0,0)$, $\vmatg{e}_{2}(b,c,0)$, $\vmatg{e}_{3}(0,0,d)$.
\begin{align*}
x\bng{i}+y\bng{j}+z\bng{k}
&=u^{1}\vmatg{e}_{1}+u^{2}\vmatg{e}_{2}+u^{3}\vmatg{e}_{3}\\
&=u^{1}a\bng{i}+u^{2}\left(b\bng{i}+c\bng{j}\right)+u^{3}d\bng{k}\\
&=\left(u^{1}a+u^{2}b\right)\bng{i}+u^{2}c\bng{j}+u^{3}d\bng{k}
\end{align*}
si bien que~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
u^{1}a+u^{2}b=x\\
u^{2}c=y\\
u^{3}d=z\\
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
u^{2}=y/c\\
u^{3}=z/d\\
u^{1}=\left(x-by/c\right)/a
\end{dcases}
\end{equation*}
\end{exem}

\begin{exem}[Base orthogonale non normée]
Soit un point $M$ de coordonnées $(6,2)$.
Dans la base orthogonale non normée $(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2})$
telle que $\|\vmatg{e}_{1}\|=2$ et $\|\vmatg{e}_{2}\|=1$, nous avons
\begin{equation*}
\tvmcmg{OM}=3\vmatg{e}_{1}+2\vmatg{e}_{2}
\end{equation*}
\begin{figure}[H]\centering
\includegraphics{coordonnees_et_composantes_2.eps}
\caption{Coordonnées et composantes contravariantes}
\end{figure}
Les coordonnées $(6,2)$ du point $M$ et les composantes contravariantes $(3,2)$ du vecteur $\tvmcmg{OM}$
dans la base $(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2})$ sont différentes.
En coordonnées rectangulaires les vecteurs de base doivent être normés pour que les coordonnées
et les composantes contravariantes soient confondues.
\end{exem}

Dans ce qui suit, toute base vectorielle est liée à un système de coordonnées.
Un changement de système de coordonnées implique un changement de base.
En revanche, un changement de base est dû
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item soit à un changement de système de coordonnées en un point donné
\item soit à un changement d'origine de cette base dans ce même système de coordonnées
\end{itemize}
\begin{rmq}
En physique, le choix d'un système de coordonnées est nécessaire mais les équations de la physique doivent être indépendantes de ce choix.
\end{rmq}

\section{Norme}
\subsection{Norme euclidienne}\label{Notion:subsec_ne}

Dans un système de coordonnées rectangulaires d'un espace vectoriel euclidien $\evn{E}{n}$,
le théorème de Pythagore donne la longueur d'un vecteur quelconque $\vmatg{u}(u^{1},u^{2},\dots,u^n)$,
appelée \emph{norme euclidienne} de ce vecteur et notée $\|.\|$~:
\begin{align}
\|\vmatg{u}\|&=\sqrt{(u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}+\dots+(u^n)^{2}}\notag\\
&=\sqrt{\delta_{ij}u^{i}u^{j}}\label{Notion:norme_de_u}
\end{align}
\begin{rmq}
Dans l'espace vectoriel euclidien en coordonnées quelconques~:
\begin{equation*}
\|\vmatg{u}\|=\sqrt{g_{ij}u^{i}u^{j}}
\end{equation*}
Nous verrons plus loin comment trouver les $g_{ij}$.
\end{rmq}
Posons $\vmatg{AB}=\vmatg{u}$. On retrouve la distance euclidienne déf.~\ref{Notion:def:dist_eucl} \vpageref{Notion:def:dist_eucl}
à partir de \eqref{Notion:norme_de_u} en posant $d(A,B)=\|\vmatg{AB}\|$
(une égalité vraie dans un système de coordonnées et vraie dans tout système de coordonnées).
\subsection{Définition d'une norme}

On définit une norme par ses propriétés.
\begin{defi}[Norme]\index{Norme!definition@définition}
Soit $\ev{E}$ un $\symbb{R}$-espace vectoriel.
L'application~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
N~:\ E&\rightarrow\symbb{R}_+\\
\vmatg{u}&\mapsto N(\vmatg{u})
\end{empheq}
est une norme si elle satisfait aux propriétés suivantes~:
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item séparation~: $\forall \vmatg{u}\in E,\quad N(\vmatg{u})=0\Rightarrow\vmatg{u}=\vmatg{0}$
\item positive homogénéité de degré un~: $\forall (\alpha,\vmatg{u}) \in\symbb{R}\times E,\quad N(\alpha \odot\vmatg{u})=|\alpha|\times N(\vmatg{u})$
\item inégalité triangulaire~: $\forall(\vmatg{u},\vmatg{v})\in \ev{E}^{2},\quad N(\vmatg{u})+N(\vmatg{v}) \geqslant N(\vmatg{u}\oplus\vmatg{v})$
\end{enumerate}
\end{defi}

\begin{rmq}
La définition de la norme ne nécessite pas l'existence d'un produit scalaire, que nous définissons au \S~\ref{Notion:chap_ps} suivant.
\end{rmq}
\begin{theo}
La norme du vecteur zéro est nulle.
\end{theo}
\begin{proof}
À partir de l'homogénéité, pour $\alpha=0$~:
\begin{align*}
N(0\odot\vmatg{u})&=|0|\times N(\vmatg{u})\\
N(\vmatg{0})&=0 \qedhere
\end{align*}
\end{proof}

\begin{theo}
La norme est toujours positive ou nulle.
\end{theo}
\begin{proof}
À partir de l'inégalité triangulaire et de l'homogénéité, nous tirons la propriété de \emph{non-négativité}~:
\begin{align*}
N(\vmatg{u})+N(-\vmatg{u})& \geqslant N(\vmatg{u}\oplus(-\vmatg{u}))\\
N(\vmatg{u})+|-1|N(\vmatg{u})& \geqslant N(\vmatg{0})\\
N(\vmatg{u})+N(\vmatg{u})& \geqslant0\\
N(\vmatg{u})& \geqslant0
\end{align*}
\end{proof}

\begin{defi}[Vecteur normé]\index{Vecteur(s)!normé}
On appelle vecteur normé ou vecteur unitaire, un vecteur de norme unité.
En divisant un vecteur $\vmatg{u}$ par sa norme,
on obtient un vecteur normé~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\vmatg{e}&=\frac{\vmatg{u}}{\|\vmatg{u}\|}\\
\|\vmatg{e}\|&=1
\end{empheq}
\end{defi}

\section{Produit scalaire}\label{Notion:chap_ps}
\subsection{Représentation géométrique}
Tout comme les vecteurs, le produit scalaire\index{Produit!scalaire!origine du} est une notion issue de la mécanique classique.
Il permet d'exprimer le \emph{travail} d'une force.
En notant $f$ l'intensité d'une force,
$d$ le déplacement du point d'application de cette force sous l'effet de cette force, et $\theta$ l'angle que font la force et le déplacement,
le travail $W$ (work) de la force lors de ce déplacement a pour expression~:
\begin{equation*}
W=\symup f\symup d\cos(\theta)
\end{equation*}
\begin{rmq}
Le travail est une forme d'énergie. C'est une mesure de l'effet mécanique d'une force en l'absence de déformations.
À l'origine il permettait d'évaluer l'énergie fournie par un cheval pour déplacer une charge ou labourer un champ.
La force exercée par le cheval pour tirer la charrue multipliée par la distance parcourue donne le travail effectué par le cheval.
Si l'on divise par le temps mis pour parcourir la distance en question, on trouve la puissance du cheval, environ un cheval-vapeur.
C'est la puissance permettant d'élever $\qty{75}{kg}$ d'un mètre chaque seconde~:
\begin{align*}
1\,\symup{ch}&=\qty{75}{kg}\times\qty{9,80665}{m.s^{-2}}\times\qty{1}{m}\times\qty{1}{s^{-1}}\\
&=\qty{735,49875}{\watt}
\end{align*}
\end{rmq}

La notion de travail suggère de définir une nouvelle opération sur les vecteurs.

Notons $\vmatg{d}$ le vecteur déplacement.
Le produit scalaire\index{Produit!scalaire!d'une force par un déplacement} de la force par le déplacement est la projection du vecteur force sur le vecteur déplacement~:
\begin{equation*}
\vmatg{f}\cdot\vmatg{d}=\symup{f}\symup d\cos\left(\vmatg{f},\vmatg{d}\right)
\end{equation*}

\begin{rmq}
En physique on effectue le produit scalaire de vecteurs qui n'appartiennent pas toujours au même espace vectoriel.
\end{rmq}

Considérons l'espace ordinaire de la géométrie classique appliquée à la physique.
À tout couple de vecteurs non nuls ($\vmatg{u},\vmatg{v})$, la multiplication scalaire fait correspondre un nombre
noté $\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}$, appelé leur produit scalaire, tel que~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}
&=\|\vmatg{u}\|\|\vmatg{v}\|\cos(\vmatg{u},\vmatg{v})
\end{align*}
$\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=0$ si l'un des deux vecteurs au moins est nul.
Dans le cas particulier où $\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$ ont même direction,
\begin{equation*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=\|\vmatg{u}\|\|\vmatg{v}\|
\end{equation*}
et le produit scalaire d'un vecteur par lui-même donne le carré de sa norme euclidienne~:
\begin{equation*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{u}=\|\vmatg{u}\|^{2}
\end{equation*}
\begin{ntn}
Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est noté~:
\begin{equation*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{u}=\vmatg{u}^{2}
\end{equation*}
\end{ntn}

\begin{prop}[Produit scalaire euclidien]\index{Produit!scalaire!propriétés}
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item symétrie~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}&=\|\vmatg{u}\|\|\vmatg{v}\|\cos(\theta)\\
&=\|\vmatg{v}\|\|\vmatg{u}\|\cos\left(-\theta \right)\\
&=\|\vmatg{v}\|\|\vmatg{u}\|\cos\left(\theta \right)\\
&=\vmatg{v}\cdot\vmatg{u}
\end{align*}
\item distributivité par rapport à l'addition vectorielle

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(0,-1)(9,4.5)
%\psgrid (0,-1)(9,4.5)
\psline{->}(0,0)(9,0)
\psline{->}(0,0)(6,1)
\psline{->}(6,1)(8,4)
\psline{->}(0,0)(8,4)
%Lettres
\rput(5,-.3){$\vmatg{v}$}
\rput(3.5,.8){$\vmatg{u}_1$}
\rput(7.3,2.3){$\vmatg{u}_2$}
\rput(4.2,2.4){$\vmatg{u}_3$}
\end{pspicture}
\caption{Distributivité du produit scalaire}
\end{figure}

Posons $\vmatg{u}_1\oplus\vmatg{u}_2=\vmatg{u}_3$~:
\begin{align*}
(\vmatg{u}_1\oplus\vmatg{u}_2)\cdot\vmatg{v}=&\vmatg{u}_3\cdot\vmatg{v}\\
=&\|\vmatg{u}_3\|\|\vmatg{v}\|\cos\left(\widehat{\vmatg{v},\vmatg{u}_3}\right)\\
=&\|\vmatg{u}_3\|\|\vmatg{v}\|\cos[(\widehat{\vmatg{v},\vmatg{u}_1})
+(\widehat{\vmatg{u}_1,\vmatg{u}_3})]\\
=&\|\vmatg{u}_3\|\|\vmatg{v}\|\left[\cos\left(\widehat{\vmatg{v},\vmatg{u}_1}\right)
\cos\left(\widehat{\vmatg{u}_1,\vmatg{u}_3}\right)
-\sin\left(\widehat{\vmatg{v},\vmatg{u}_1}\right)
\sin\left(\widehat{\vmatg{u}_1,\vmatg{u}_3}\right)\right]
\end{align*}
\begin{align*}
&=\|\vmatg{u}_3\|\|\vmatg{v}\|\left[\cos\left(\widehat{\vmatg{v},\vmatg{u}_1}\right)
\frac{\|\vmatg{u}_1\|+\|\vmatg{u}_2\|\cos\widehat{(\vmatg{u}_1,\vmatg{u}_2})}{\|\vmatg{u}_3\|}
-\sin\left(\widehat{\vmatg{v},\vmatg{u}_1}\right)\,\frac{\|\vmatg{u}_2\|\sin\widehat{(\vmatg{u}_1,\vmatg{u}_2})}{\|\vmatg{u}_3\|}\right]\\
&=\|\vmatg{v}\|\left[\|\vmatg{u}_1\|\cos\left(\widehat{\vmatg{v},\vmatg{u}_1}\right)
+\|\vmatg{u}_2\|\cos\left(\widehat{\vmatg{v},\vmatg{u}_1}\right)
\cos\left(\widehat{\vmatg{x}_1,\vmatg{u}_2}\right)
-\|\vmatg{u}_2\|\sin\left(\widehat{\vmatg{v},\vmatg{u}_1}\right)
\sin\left(\widehat{\vmatg{x}_1,\vmatg{u}_2}\right)\right]
\end{align*}
\begin{align*}
(\vmatg{u}_1\oplus\vmatg{u}_2)\cdot\vmatg{v}
&=\|\vmatg{v}\|\|\vmatg{u}_1\|\cos\left(\widehat{\vmatg{v},\vmatg{u}_1}\right)
+\|\vmatg{v}\|\|\vmatg{u}_2\|\cos\left(\widehat{\vmatg{v},\vmatg{u}_2}\right)\\
&=\vmatg{u}_1\cdot\vmatg{v}+\vmatg{u}_2\cdot\vmatg{v}
\end{align*}
Il s'agit d'un abus de langage, il n'y a pas distributivité puisque le signe $\oplus$ du membre de gauche est le signe
opératoire de l'addition vectorielle, alors que le signe $+$ du membre de droite est celui de l'addition dans $\symbb{R}$.
\item associativité par rapport à la multiplication par un scalaire

Posons $\alpha \odot\vmatg{u}=\vmatg{w}$~:
\begin{align*}
(\alpha \odot\vmatg{u})\cdot\vmatg{v}&=\vmatg{w}\cdot\vmatg{v}\\
&=\|\vmatg{w}\|\|\vmatg{v}\|\cos(\theta)\\
&=\alpha \|\vmatg{u}\|\|\vmatg{v}\|\cos(\theta)\\
&=\alpha \times(\vmatg{u}\cdot\vmatg{v})
\end{align*}
Il s'agit ici aussi d'un abus de langage, il n'y a pas associativité puisque le signe $\odot$ du membre de gauche est le signe
opératoire de la multiplication d'un vecteur par un scalaire,
alors que le signe $\times$ du membre de droite est la multiplication dans $\symbb{R}$.
\item définie~:
$\forall \vmatg{u},\ \vmatg{u}\cdot\vmatg{u}=0\quad \Rightarrow \quad \vmatg{u}=\vmatg{0}$
\begin{align*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{u}&=0\\
\|\vmatg{u}\|\|\vmatg{u}\|\cos\left(\widehat{\vmatg{u},\vmatg{u}}\right)&=0\\
\|\vmatg{u}\|^{2}&=0\\
\vmatg{u}&=\vmatg{0}
\end{align*}
\item positive~: $\forall \vmatg{u},\ \vmatg{u}\cdot\vmatg{u} \geqslant0$
\end{enumerate}
\end{prop}

\subsection{Représentation algébrique}
Par la suite, le produit scalaire\index{Produit!scalaire!représentation algébrique} a été défini de façon purement algébrique par ses propriétés.
\begin{defi}[Produit scalaire euclidien]\label{Notion:def:ps_euclidien}\index{Produit!scalaire!euclidien}
Soient $\lambda$ et $\mu$ deux scalaires, et soient $\vmatg{u},\vmatg{v},\vmatg{w}$
trois vecteurs d'un espace vectoriel $\ev{E}$.
Supposons qu'il existe une loi de composition externe\index{Loi!de composition!interne}, de $\ev{E}^{2}$ dans $\symbb{R}$, notée $\cdot$,
telle qu'à tout couple $(\vmatg{u},\vmatg{v})$ de vecteurs de $\ev{E}$ elle fasse correspondre un scalaire de $\symbb{R}$,
noté $\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}$,
ayant les propriétés suivantes~:
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item symétrie~: $\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=\vmatg{v}\cdot\vmatg{u}$\\
On trouve parfois le terme \enquote{commutativité} bien que ce terme soit réservé aux lois de composition internes,
l'application produit scalaire étant une opération externe.
\item bilinéarité, c.-à-d.~:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item \label{Notion:dagprav}distributivité à gauche par rapport à l'addition vectorielle~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\cdot(\vmatg{v}\oplus\vmatg{w})
=\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}+\vmatg{u}\cdot\vmatg{w}
\end{align*}
La symétrie implique la distributivité à droite.
\item \label{Notion:magpus}multiplication à gauche par un scalaire~:
\begin{equation*}
(\lambda \odot\vmatg{u})\cdot\vmatg{v}=\lambda \times(\vmatg{u}\cdot\vmatg{v})
\end{equation*}
La symétrie implique la multiplication à droite.
\end{enumerate}
\ref{Notion:dagprav} et \ref{Notion:magpus} sont équivalents à la linéarité à gauche~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\cdot(\lambda \odot\vmatg{v}\oplus\mu \odot\vmatg{w})
=\lambda \times(\vmatg{u}\cdot\vmatg{v})+\mu \times(\vmatg{u}\cdot\vmatg{w})
\end{align*}
La symétrie implique la linéarité à droite.
La bilinéarité regroupe la linéarité à droite et à gauche.
\item définie~: $\forall \vmatg{u},\ \vmatg{u}\cdot\vmatg{u}=0\Rightarrow\vmatg{u}=\vmatg{0}$\label{Notion:prop:prod_sca_eucl3}
\item positive~: $\forall \vmatg{u},\ \vmatg{u}\cdot\vmatg{u} \geqslant0$\label{Notion:prop:prod_sca_eucl4}
\end{enumerate}
Cette loi s'appelle multiplication scalaire euclidienne\index{Loi!de multiplication!scalaire euclidienne} de $\vmatg{u}$ par $\vmatg{v}$
sur le $\symbb{R}$-espace vectoriel $\ev{E}$,
et le scalaire $\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}$ est appelé produit scalaire euclidien\index{Produit!scalaire!euclidien} des vecteurs
$\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$.
\end{defi}

\begin{rmq}
Le produit scalaire n'est pas associatif car $(\vmatg{u}\cdot\vmatg{v})\cdot\vmatg{w}$ n'a pas de sens mathématique,
le terme entre parenthèses étant un scalaire.
\end{rmq}

On parle de \emph{produit scalaire} (tout court) lorsque les propriétés \ref{Notion:prop:prod_sca_eucl3}
et \ref{Notion:prop:prod_sca_eucl4} sont remplacées par la propriété~:
\begin{boxA}\index{Produit!scalaire!non dégénéré}
\begin{enumerate}[start=3,label=\arabic*)]
\item non dégénéréscence~:
$\forall \vmatg{v},\ \vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=0\Rightarrow\vmatg{u}=\vmatg{0}$
\end{enumerate}
\end{boxA}
Montrons que cette propriété est moins contraignante en montrant que si la loi est définie alors elle est non-dégénérée.
\begin{proof}
Par contraposée nous avons~:
$$\text{définie}\Rightarrow \text{non-dégénérée}\qquad \Leftrightarrow \qquad \text{dégénérée}\Rightarrow \text{indéfinie}$$
Supposons la loi dégénérée~:
\begin{equation*}
\exists \vmatg{u}\neq\vmatg{0}\ /\ \forall \vmatg{v},\ \vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=0
\end{equation*}
En particulier pour $\vmatg{u}=\vmatg{v}$ la loi est indéfinie~:
\begin{equation*}
\exists \vmatg{u}\neq\vmatg{0}\ /\ \vmatg{u}\cdot\vmatg{u}=0\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
On parle de \emph{pseudo-produit scalaire}\index{Pseudo!-produit scalaire} lorsque les propriétés \ref{Notion:prop:prod_sca_eucl3} et \ref{Notion:prop:prod_sca_eucl4}
sont remplacées par les propriétés~:
\begin{boxA}\index{Produit!scalaire!propriétés}
\begin{enumerate}[start=3,label=\arabic*)]
\item non dégénéréscence~:
$\forall \vmatg{v},\ \vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=0\Rightarrow\vmatg{u}=\vmatg{0}$
\item indéfinie~:
$\exists \vmatg{u}\neq\vmatg{0}\ /\ \vmatg{u}\cdot\vmatg{u}=0$
\end{enumerate}
\end{boxA}

\begin{exem}
En relativité restreinte, le produit scalaire de Minkowski est un pseudo-produit scalaire.
\end{exem}

\section{Produit scalaire et norme}
\begin{theo}[Norme euclidienne d'un vecteur]{}\index{Norme!euclidienne}
Soit $\ev{E}$ un $\symbb{R}$-espace vectoriel, l'application
\begin{empheq}[box=\maboitetheo]{align*}
E&\to\symbb{R}_+\\
x&\mapsto \sqrt{\vmatg{u}\cdot\vmatg{u}}
\end{empheq}
est une norme sur $\ev{E}$. C'est la norme euclidienne du \S~\ref{Notion:subsec_ne} \vpageref{Notion:subsec_ne}.
\end{theo}
\begin{proof}
Le produit scalaire euclidien d'un vecteur avec lui-même est toujours positif ou nul, donc l'application est de $\ev{E}$ dans $\symbb{R}_+$.
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item séparation~: si $\sqrt{\vmatg{u}\cdot\vmatg{u}}=0$ alors $\vmatg{u}\cdot\vmatg{u}=0$ donc $\vmatg{u}=\vmatg{0}$ puisque par définition
le produit scalaire euclidien est défini (propriété $3)$ de la déf.~\ref{Notion:def:ps_euclidien} \vpageref{Notion:def:ps_euclidien}).
\item homogénéité~: $\forall (\alpha,\vmatg{u}) \in\symbb{R}\times E,\ \sqrt{(\alpha \odot\vmatg{u})\cdot(\alpha \odot\vmatg{u})}
=\sqrt{\alpha^{2}\times(\vmatg{u}\cdot\vmatg{u})}
=|\alpha|\times \sqrt{\vmatg{u}\cdot\vmatg{u}}$
\item d'après l'inégalité triangulaire (th.~\ref{Notion:th:ineg_tri} \vpageref{Notion:th:ineg_tri}),\\
$\forall (\vmatg{u},\vmatg{v})\in \ev{E}^{2},\ \sqrt{(\vmatg{u}\oplus\vmatg{v})\cdot(\vmatg{u}\oplus\vmatg{v})}\leqslant\sqrt{\vmatg{u}\cdot\vmatg{u}}
+\sqrt{\vmatg{v}\cdot\vmatg{v}}$ \qedhere
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{ntn}
On écrira~:
\begin{align*}
\|\vmatg{u}\|^{2}&=\vmatg{u}\cdot\vmatg{u}\\
\|\vmatg{u}\|&=\sqrt{\vmatg{u}^{2}}
\end{align*}
\end{ntn}
On vérifie que la norme euclidienne $\|\cdot\|$ est bien une norme~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item séparation
\begin{align*}
\|\vmatg{u}\|&=0\\
\sqrt{(u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}+(u^{3})^{2}}&=0\\
u^{1}=u^{2}=u^{3}&=0\\
\vmatg{u}&=\vmatg{0}
\end{align*}
\item homogénéité
\begin{align*}
\|\alpha \odot\vmatg{u}\|&=\sqrt{(\alpha\times u^{1})^{2}+(\alpha\times u^{2})^{2}+(\alpha\times u^{3})^{2}}\\
&=\sqrt{\alpha^2}\times\sqrt{(u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}+(u^{3})^{2}}\\
&=|\alpha|\times\|\vmatg{u}\|
\end{align*}
\item inégalité triangulaire
\begin{align*}
\|\vmatg{u}\oplus\vmatg{v}\|^{2}&=(\vmatg{u}\oplus\vmatg{v})^{2}\\
&=\vmatg{u}^{2}+\vmatg{v}^{2}+2\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}\\
&\leqslant \|\vmatg{u}\|^{2}+\|\vmatg{v}\|^{2}+2\|\vmatg{u}\|\|\vmatg{v}\|\\
&\leqslant(\|\vmatg{u}\|+\|\vmatg{v}\|)^{2} \qedhere
\end{align*}
\end{itemize}


\subsection{Pseudo-norme}\index{Pseudo!-norme}
Dans un espace vectoriel pseudo-euclidien, le pseudo-produit scalaire est indéfini,
le carré de la norme d'un vecteur peut être positif, négatif ou nul. Nous parlerons alors de \emph{pseudo-norme}.
Dans ces espaces nous devons distinguer les vecteurs nuls du vecteur zéro,
alors qu'ils sont confondus dans les espaces euclidiens.
\begin{defi}[Vecteur zéro]\index{Vecteur(s)!zéro}
On appelle vecteur zéro, et on note $\vmatg{0}$, le vecteur dont toutes les composantes sont nulles
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\vmatg{0}(0,0,\dots)
\end{empheq}
\end{defi}
La norme du vecteur zéro est nulle~: $\|\vmatg{0}\|=0$
\begin{defi}[Vecteur nul]\index{Vecteur(s)!nul}
On appelle vecteur nul, tout vecteur différent du vecteur zéro, dont la norme est nulle
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\forall \vmatg{u}\neq\vmatg{0},\qquad \|\vmatg{u}\|=0
\end{empheq}
\end{defi}

\begin{exem}[Quadrinorme relativiste]\index{Quadri!-norme!d'un vecteur}
Dans un système de coordonnées rectangulaires de l'espace-temps pseudo-euclidien de la relativité restreinte,
la \quadri norme d'un vecteur quelconque $\vmatg{x}(x^0,x^{1},x^{2},x^{3})$ est définie par~:
\begin{align*}
\|\vmatg{x}\|&=\sqrt{|(x^0)^{2}-(x^{1})^{2}-(x^{2})^{2}-(x^{3})^{2}|}\\
&=\sqrt{\varepsilon\left[(x^0)^{2}-(x^{1})^{2}-(x^{2})^{2}-(x^{3})^{2}\right]}
\end{align*}
où $\varepsilon$ est la fonction indicatrice qui vaut $\pm1$ de sorte que le terme dans la racine carrée soit positif.
Cette définition nous assure que $\|\vmatg{x}\| \geqslant 0$, mais il est possible d'avoir
$\|\vmatg{x}\|=0$ pour $\vmatg{x}\neq\vmatg{0}$. La \quadri norme est donc une pseudo-norme\index{Pseudo!-norme}.

Par exemple, soit $a$ une constante. Si
\begin{equation*}
x^0=a,\qquad x^{1}=a,\qquad x^{2}=0,\qquad x^{3}=0
\end{equation*}
alors la \quadri norme est nulle et $\vmatg{x}$ est un vecteur nul~:
\begin{align*}
\|\vmatg{x}\|&=\sqrt{a^{2}-a^{2}}\\
&=0
\end{align*}
\end{exem}

\subsection{Inégalité de Cauchy-Schwarz}\index{Inégalité!de Cauchy-Schwarz}
\begin{theo}[Inégalité de Cauchy-Schwarz]\label{Notion:th:ineg_Cauchy_Schwarz}
Soient $\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$ deux vecteurs d'un espace vectoriel euclidien $\evn{E}{n}$~:
\begin{empheq}[box=\maboitetheo]{align*}
|\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}|\leqslant \|\vmatg{u}\|\|\vmatg{v}\|
\end{empheq}
\end{theo}
\begin{proof}
$\forall \lambda \in\symbb{R},\ \forall \vmatg{u},\vmatg{v}\in \evn{E}{n},$
formons le carré de la norme du vecteur $\lambda \vmatg{u}\oplus\vmatg{v}$~:
\begin{align}
(\lambda \vmatg{u}\oplus\vmatg{v})^{2}
&=(\lambda \vmatg{u}\oplus\vmatg{v})\cdot(\lambda \vmatg{u}\oplus\vmatg{v})\notag\\
&=\lambda \vmatg{u}\cdot(\lambda \vmatg{u}\oplus\vmatg{v})
+\vmatg{v}\cdot(\lambda \vmatg{u}\oplus\vmatg{v})\notag\\
&=(\lambda \vmatg{u}\oplus\vmatg{v})\cdot\lambda \vmatg{u}
+(\lambda \vmatg{u}\oplus\vmatg{v})\cdot\vmatg{v}\notag\\
&=\lambda \vmatg{u}\cdot\lambda \vmatg{u}+\vmatg{v}\cdot\lambda \vmatg{u}
+\lambda \vmatg{u}\cdot\vmatg{v}+\vmatg{v}\cdot\vmatg{v}\notag\\
&=\lambda^{2}\vmatg{u}^{2}+2\lambda \vmatg{u}\cdot\vmatg{v}+\vmatg{v}^{2}\label{Notion:ICS1}
\end{align}
Or,
\begin{align*}
(\lambda \vmatg{u}\oplus\vmatg{v})^{2} \geqslant 0\\
\vmatg{u}^{2}\lambda^{2}+2\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}\lambda+\vmatg{v}^{2} \geqslant 0
\end{align*}
Le membre de gauche est un trinôme de degré deux en $\lambda$, où $\lambda$ est ici la variable et non un paramètre.
Il a pour signe celui de $-\vmatg{u}^{2}$, donc négatif, entre les racines $\lambda_1$ et $\lambda_2$.
Donc il est positif ou nul ssi son discriminant est négatif (pas de racine) ou nul (une racine double).
Prenons le discriminant réduit~:
\begin{align*}
\Delta'&\leqslant 0\\
(\vmatg{u}\cdot\vmatg{v})^{2}-\vmatg{u}^{2}\vmatg{v}^{2}&\leqslant 0\\
(\vmatg{u}\cdot\vmatg{v})^{2}&\leqslant \vmatg{u}^{2}\vmatg{v}^{2}\\
\sqrt{(\vmatg{u}\cdot\vmatg{v})^{2}}&\leqslant\sqrt{\vmatg{u}^{2}\vmatg{v}^{2}}\\
|\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}|&\leqslant \|\vmatg{u}\|\|\vmatg{v}\| \qedhere
\end{align*}
\end{proof}
Si de plus $\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$ sont proportionnels~:
\begin{align*}
\exists !\lambda \in\symbb{R},\quad \lambda \vmatg{u}\oplus\vmatg{v}&=\vmatg{0}\\
(\lambda \vmatg{u}\oplus\vmatg{v})^{2}&=0\\
\vmatg{u}^{2}\lambda^{2}+2\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}\lambda+\vmatg{v}^{2}&=0
\end{align*}
$\lambda$ étant unique, le discriminant réduit est nul~:
\begin{align*}
\Delta'&=0\\
|\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}|&=\|\vmatg{u}\|\|\vmatg{v}\|
\end{align*}
Réciproquement, en partant de l'égalité suivante~:
\begin{align*}
|\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}|&=\|\vmatg{u}\|\|\vmatg{v}\|\\
(\vmatg{u}\cdot\vmatg{v})^{2}-\vmatg{u}^{2}\vmatg{v}^{2}&=0\\
\exists\lambda \in\symbb{R},\quad \vmatg{u}^{2}\lambda^{2}+2\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}\lambda+\vmatg{v}^{2}&=0\text{ avec }\Delta'=0
\end{align*}
Avec \eqref{Notion:ICS1} \vpageref{Notion:ICS1}~:
\begin{align*}
\exists\lambda \in\symbb{R},\quad (\lambda \vmatg{u}\oplus\vmatg{v})^{2}&=0\\
\lambda \vmatg{u}\oplus\vmatg{v}&=\vmatg{0}
\end{align*}
Les vecteurs sont proportionnels.
\begin{theo}[Inégalité triangulaire ou de Minkowski]\label{Notion:th:ineg_tri}\index{Inégalité!triangulaire}
$\forall (\vmatg{u},\vmatg{v})\in \evn{E}{n}^{2}$~:
\begin{empheq}[box=\maboitetheo]{align*}
\|\vmatg{u}\oplus\vmatg{v}\|\leqslant \|\vmatg{u}\|+\|\vmatg{v}\|
\end{empheq}
\end{theo}
\begin{proof}
Prenons \eqref{Notion:ICS1} \vpageref{Notion:ICS1} pour $\lambda=1$~:
\begin{align*}
(\vmatg{u}\oplus\vmatg{v})^{2}&=\vmatg{u}^{2}+2\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}+\vmatg{v}^{2}\\
&\leqslant \vmatg{u}^{2}+2|\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}|+\vmatg{v}^{2}
\end{align*}
Majorons $|\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}|$ grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz, th.~\ref{Notion:th:ineg_Cauchy_Schwarz} \vpageref{Notion:th:ineg_Cauchy_Schwarz}~:
\begin{align*}
(\vmatg{u}\oplus\vmatg{v})^{2}
&\leqslant \vmatg{u}^{2}+2\|\vmatg{u}\|\|\vmatg{v}\|+\vmatg{v}^{2}\\
&\leqslant(\|\vmatg{u}\|+\|\vmatg{v}\|)^{2}\\
\|\vmatg{u}\oplus\vmatg{v}\|&\leqslant \|\vmatg{u}\|+\|\vmatg{v}\| \qedhere
\end{align*}
\end{proof}

\section{Expression analytique du produit scalaire}\index{Produit!scalaire!expression analytique}
Soient $\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$ deux vecteurs d'un espace vectoriel pré-euclidien $\evn{E}{2}$,
exprimés en composantes contravariantes dans une base quelconque $(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2})$.
En utilisant la bilinéarité et la symétrie du produit scalaire~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}
&=\left(u^{1}\vmatg{e}_{1}\oplus u^{2}\vmatg{e}_{2}\right)\cdot\left(v^{1}\vmatg{e}_{1}
\oplus v^{2}\vmatg{e}_{2}\right)\\
&=\left(v^{1}\vmatg{e}_{1}\oplus v^{2}\vmatg{e}_{2}\right)\cdot u^{1}\vmatg{e}_{1}
+\left(v^{1}\vmatg{e}_{1}\oplus v^{2}\vmatg{e}_{2}\right)\cdot u^{2}\vmatg{e}_{2}\\
&=u^{1}\vmatg{e}_{1}\cdot\left(v^{1}\vmatg{e}_{1}\oplus v^{2}\vmatg{e}_{2}\right)
+u^{2}\vmatg{e}_{2}\cdot\left(v^{1}\vmatg{e}_{1}\oplus v^{2}\vmatg{e}_{2}\right)\\
&=u^{1}\vmatg{e}_{1}\cdot v^{1}\vmatg{e}_{1}+u^{1}\vmatg{e}_{1}\cdot v^{2}\vmatg{e}_{2}
+u^{2}\vmatg{e}_{2}\cdot v^{1}\vmatg{e}_{1}+u^{2}\vmatg{e}_{2}\cdot v^{2}\vmatg{e}_{2}\\
&=u^{1}v^{1}\vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}_{1}+u^{1}v^{2}\vmatg{e}_{1}\cdot\vmatg{e}_{2}
+u^{2}v^{1}\vmatg{e}_{2}\cdot\vmatg{e}_{1}+u^{2}v^{2}\vmatg{e}_{2}\cdot\vmatg{e}_{2}
\end{align*}
Généralisons à un espace vectoriel pré-euclidien à $n$ dimensions $\evn{E}{n}$~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}&=u^{i}\vmatg{e}_{i}\cdot v^{j}\vmatg{e}_{j}\\
&=u^{i}v^{j}\vmatg{e}_{i}\cdot\vmatg{e}_{j}
\end{empheq}
Cette relation est valable que la base soit orthogonale ou non, normée ou non, car nous n'avons pas fait d'hypothèse concernant celle-ci.
Lorsque la base est orthonormée~:
\begin{equation*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=\delta_{ij}u^{i}v^{j}
\end{equation*}
Lorsque la base n'est pas orthonormée, on pose $g_{ij}=\vmatg{e}_{i}\cdot\vmatg{e}_{j}$ et on écrit~:
\begin{equation*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=g_{ij}u^{i}v^{j}
\end{equation*}

\begin{defi}[Vecteurs orthogonaux]\index{Vecteur(s)!orthogonaux}
Deux vecteurs $\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$ d'un espace vectoriel euclidien sont orthogonaux
ssi leur produit scalaire est nul~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=0
\end{empheq}
\end{defi}
Notez bien que deux vecteurs sont orthogonaux pour un produit scalaire donné.

\section{Composantes covariantes}
Le produit scalaire\index{Produit!scalaire!lien avec les composantes covariantes} permet de définir les composantes covariantes.
À partir d'un système de coordonnées cartésiennes obliques\index{Coordonnées!cartésiennes!obliques} $\left(x^{1},x^{2}\right)$,
construisons une base normée $\left(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2}\right)$.
En projetant le vecteur $\vmatg{u}$ perpendiculairement aux vecteurs de base,
nous obtenons ses composantes covariantes.

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-3,-.5)(7,5)
%\psgrid (-3,-.5)(7,5)
\psline(0,0)(4.5;70)
\psline(0,0)(5;0)
\psline{->}(0,0)(1;70)
\psline{->}(0,0)(1;0)
\psline{->}(0,0)(4;30)
\psline[linestyle=dashed](4;30)(3.464;0)
\psline[linestyle=dashed](4;30)(3.064;70)
\psframe(3.464,0)(3.264,.2)
\rput{250}(3.064;70){\psframe(0,0)(.2,.2)}
%Lettres
\rput(4.4;30){$\vmatg{u}$}
\rput(1,-.4){$\vmatg{e}_{1}$}
\rput(-.1,.9){$\vmatg{e}_{2}$}
\rput(-.2,-.2){$o$}
\rput(3.4,-.4){$u_{1}$}
\rput(.6,3){$u_{2}$}
\rput(5.4,0){$x^{1}$}
\rput(4.9;70){$x^{2}$}
\end{pspicture}
\caption{Composantes covariantes du vecteur $\vmatg{u}$}
\label{Notion:fig composantes cov}
\end{figure}
Nous avons~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
u_{1}=\vmatg{u}\cdot\vmatg{e}_{1}\\
u_{2}=\vmatg{u}\cdot\vmatg{e}_{2}
\end{dcases}
\end{equation*}
Bien que la base $(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2})$ soit normée~:
\begin{equation*}
\vmatg{u}\neq u_{1}\vmatg{e}_{1}+u_{2}\vmatg{e}_{2}
\end{equation*}

\begin{rmq}
À chaque axe de coordonnée on associe un vecteur de base tangent normé, sur lequel on définit deux composantes, l'une contravariante, l'autre covariante.
La variance ne s'applique qu'aux composantes.
\end{rmq}
\begin{rmq}
Bien qu'ayant un indice supérieur, les coordonnées ne sont ni contravariantes ni covariantes.
Les coordonnées du point à l'extrémité d'un vecteur se confondent avec ses composantes contravariantes, ce qui justifie
la position haute de leur indice.
\end{rmq}
\begin{rmq}
La représentation du produit scalaire comme projection orthogonale (figure \ref{Notion:fig composantes cov} \vpageref{Notion:fig composantes cov})
ne s'applique plus lorsque le produit scalaire n'est pas euclidien.
Par exemple, dans la base pseudo-ortho\-nor\-mée de l'espace pseudo-eu\-cli\-dien de la relativité restreinte,
les composantes contravariantes et covariantes ne sont pas confondues.
\end{rmq}
\begin{defi}[Composantes covariantes d'un vecteur]\label{Notion:def:compo_cov}\index{Composantes!covariantes!d'un vecteur}
Soit $(\vmatg{e}_{i})$ une base d'un espace vectoriel euclidien~$\evn{E}{n}$.
On appelle composantes covariantes d'un vecteur $\vmatg{u}$, les $n$ scalaires $u_{i}$ tels que~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\forall i\qquad u_{i}\parDef \vmatg{u}\cdot\vmatg{e}_{i}
\end{empheq}
Elles sont représentées au moyen d'indices inférieurs.
\end{defi}
\begin{rmq}
Lorsqu'un vecteur de base est multiplié par un nombre réel, la composante covariante correspondante des vecteurs l'est aussi,
d'où l'adjectif \enquote{covariante}.
\end{rmq}
\begin{rmq}
La position de l'indice de numérotation des vecteurs de base $(\vmatg{e}_{i})$ indique un lien avec la covariance.
\end{rmq}

\begin{theo}\label{Notion:th:def_vec}\index{Theoreme@Théorème!sur les composantes d'un vecteur}
Pour que $n$ quantités ordonnées rapportées à une base d'un espace vectoriel soient les composantes d'un vecteur,
il faut et il suffit que ces quantités soient toutes covariantes ou toutes contravariantes par changement de base.
\end{theo}


Une égalité entre deux vecteurs est indépendante de la base dans laquelle on l'exprime
puisque les termes de l'égalité (les vecteurs) sont invariants par changement de base.
Une égalité entre deux vecteurs qui est vraie dans une base, est vraie dans toutes les bases.

\section{Angle entre deux vecteurs}\index{Angle entre deux vecteurs}
En partant de la définition géométrique du produit scalaire de deux vecteurs non nuls~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}
&=\|\vmatg{u}\|\|\vmatg{v}\|\cos(\vmatg{u},\vmatg{v})\\
\cos(\vmatg{u},\vmatg{v})
&=\frac{\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}}{\|\vmatg{u}\|\|\vmatg{v}\|}
\end{align*}
Pour un espace euclidien, donc de métrique définie positive,
à partir de l'inégalité de Cauchy-Schwarz \ref{Notion:th:ineg_Cauchy_Schwarz} \vpageref{Notion:th:ineg_Cauchy_Schwarz}~:
\begin{align*}
|\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}|&\leqslant \|\vmatg{u}\|\|\vmatg{v}\|\\
\frac{|\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}|}{\|\vmatg{u}\|\|\vmatg{v}\|}&\leqslant1\\
-1\leqslant \frac{\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}}{\|\vmatg{u}\|\|\vmatg{v}\|}&\leqslant1\\
-1\leqslant \cos(\vmatg{u},\vmatg{v})&\leqslant1
\end{align*}
L'angle $(\widehat{\vmatg{u},\vmatg{v}})$ des deux vecteurs existe,
est unique et compris entre $0$ et $\pi$~:
\begin{equation*}
0\leqslant (\widehat{\vmatg{u},\vmatg{v}})\leqslant\pi
\end{equation*}

\section{Covecteurs}\index{Covecteur}
À tout vecteur $\vmatg{u}$ on peut associer son covecteur $\cov{u}=(u_{1},u_{2})$,
qui n'est autre que le vecteur $\vmatg{u}$ exprimé en composantes covariantes.
\begin{ntn}
Les covecteurs sont aussi notés $\tilde u$ ou $u^{\ast}$.
\end{ntn}

Représentons $\vmatg{u}=\vmatg{v}+\vmatg{w}$
et projetons perpendiculairement ces vecteurs sur les axes de coordonnées $x^{1}$ et $x^{2}$~:

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-3,-.5)(7,5)
%\psgrid (-3,-.5)(7,5)
\psline(0,0)(4.5;70)
\psline(0,0)(5;0)
\psline{->}(0,0)(4;30)
\psline{->}(0,0)(2.5;10)
\psline{->}(2.5;10)(4;30)
\psline{->}(0,0)(1;70)
\psline{->}(0,0)(1;0)
\psline[linestyle=dashed](4;30)(3.464;0)
\psline[linestyle=dashed](4;30)(3.064;70)
\psline[linestyle=dashed](2.5;10)(2.462;0)
\psline[linestyle=dashed](2.5;10)(1.25;70)
%Lettres
\rput(2.5;37){$\vmatg{u}$}
\rput(2.2;5){$\vmatg{v}$}
\rput(3.2;15){$\vmatg{w}$}
\rput(-.2,-.2){$o$}
\rput(3.4,-.4){$u_{1}$}
\rput(.6,3){$u_{2}$}
\rput(5.4,0){$x^{1}$}
\rput(4.9;70){$x^{2}$}
\rput(1,-.4){$\vmatg{e}_{1}$}
\rput(-.1,.9){$\vmatg{e}_{2}$}
\end{pspicture}
\caption{Composantes covariantes}
\end{figure}
Dans la base normée $\left(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2}\right)$ associée au système de coordonnées~:
\begin{align*}
\left(v_1,v_2\right)\oplus\left(w_1,w_2\right)&=\left(v_1+w_1,v_2+w_2\right)\\
&=\left(u_{1},u_{2}\right)\\
\cov{v}\oplus\cov{w}&=\cov{u}
\end{align*}
et~:
\begin{equation*}
\alpha \odot\left(u_{1},u_{2}\right)=\left(\alpha u_{1},\alpha u_{2}\right)
\end{equation*}
Les lois de compositions sont similaires à celles écrites en composantes contravariantes
(\S~\ref{Notion:sub_ope_comp} \vpageref{Notion:sub_ope_comp}).
En effet, d'après les définitions \ref{Notion:def:ev} \vpageref{Notion:def:ev}, ces lois définissent les vecteurs,
et les vecteurs sont indépendants du choix de la base,
donc du choix des composantes puisque des composantes contravariantes dans une base sont covariantes dans la base réciproque.

\section{Produit vectoriel}
Le produit vectoriel est une opération binaire qui prend en entrée deux vecteurs et qui donne en sortie un nouveau vecteur,
qui n'est définie que dans un espace euclidien orienté, ayant trois dimensions.
\subsection{Représentation géométrique}
Le produit vectoriel des deux vecteurs $\vmatg{a}$ par $\vmatg{b}$ est le vecteur $\vmatg{c}=\vmatg{a}\times\vmatg{b}$ (aussi noté $\vmatg{c}=\vmatg{a}\wedge\vmatg{b}$)
tel que~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item $\vmatg{c}$ est orthogonal à $\vmatg{a}$ et à $\vmatg{b}$, donc au plan les contenant\\
\item $\|\vmatg{c}\|=\|\vmatg{a}\|\|\vmatg{b}\|\sin(\vmatg{a},\vmatg{b})$ est égal à la surface du parallélogramme ayant pour côtés $\vmatg{a}$ et $\vmatg{b}$\\
\item les vecteurs $(\vmatg{a},\vmatg{b},\vmatg{c})$ forment une base directe orthogonale (Cf.~déf.~\ref{Notion:def:sys_dir} \vpageref{Notion:def:sys_dir})
\end{itemize}
Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires (linéairement dépendants) est donc nul.
\begin{defi}[Produit vectoriel]
Le produit vectoriel de $\vmatg{a}$ par $\vmatg{b}$ s'écrit~:
\begin{equation*}
\vmatg{a}\times\vmatg{b}=\|\vmatg{a}\|\|\vmatg{b}\|\sin(\theta)\,\symbfup{u}\quad 0\leqslant \theta\leqslant\pi
\end{equation*}
où $\theta$ est l'angle entre les vecteurs $\vmatg{a}$ et $\vmatg{b}$,
et $\symbfup{u}$ est un vecteur unitaire qui donne la direction et le sens de $\vmatg{a}\times\vmatg{b}$ par la règle de la main droite.
\end{defi}
\begin{prop}[Produit vectoriel]
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item antisymétrie~: $\vmatg{a}\times\vmatg{b}=-\vmatg{b}\times\vmatg{a}$\\
\item distributivité par rapport à l'addition des vecteurs~: $\vmatg{a}\times(\vmatg{b}\oplus\vmatg{c})=\vmatg{a}\times\vmatg{b}\oplus\vmatg{a}\times\vmatg{c}$
\end{itemize}
\end{prop}

\subsection{Représentation algébrique}
Le produit vectoriel de $\vmatg{a}$ par $\vmatg{b}$ s'écrit~:
\begin{align*}
\vmatg{a}\times\vmatg{b}&=
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3
\end{pmatrix}\times
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
b_3
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
a_2b_3-a_3b_2\\
a_3b_1-a_1b_3\\
a_1b_2-a_2b_1
\end{bmatrix}
\end{align*}

\section{Dérivation}
\subsection{Dérivée ordinaire d'un vecteur}
Soit $\vmatg{v}(\lambda)$ un vecteur fonction de la variable $\lambda$. Si l'on note $\Delta\lambda$ l'accroissement de $\lambda$ alors
l'accroissement de $\vmatg{v}$ s'écrit~:
\begin{equation*}
\Delta\vmatg{v}=\vmatg{v}(\lambda+\Delta\lambda)-\vmatg{v}(\lambda)
\end{equation*}
Par conséquent
\begin{equation*}
\frac{\Delta\vmatg{v}}{\Delta\lambda}=\frac{\vmatg{v}(\lambda+\Delta\lambda)-\vmatg{v}(\lambda)}{\Delta\lambda}
\end{equation*}
Si la limite quand $\lambda$ tend vers zéro existe, la dérivée ordinaire du vecteur $\vmatg{v}(\lambda)$ par rapport à $\lambda$ est donnée par~:
\begin{align*}
\frac{\dd\vmatg{v}}{\dd\lambda}&=\lim_{\Delta\lambda\to0}\frac{\Delta\vmatg{v}}{\Delta\lambda}\\
&=\lim_{\Delta\lambda\to0}\frac{\vmatg{v}(\lambda+\Delta\lambda)-\vmatg{v}(\lambda)}{\Delta\lambda}
\end{align*}
\begin{ntn}
Les notations suivantes n'ont pas le même sens~:
\begin{equation*}
\frac{\Delta\vmatg{v}(\lambda)}{\Delta\lambda}\qquad\text{et}\qquad \frac{\Delta\vmatg{v}}{\Delta\lambda}(\lambda)
\end{equation*}
La première indique que le vecteur que l'on dérive est fonction de $\lambda$, la seconde que le vecteur dérivée est fonction de $\lambda$.
\end{ntn}
Lorsque la dérivée est à nouveau une fonction de $\lambda$ nous pouvons considérer sa dérivée. Si elle existe elle est notée
$\frac{\dd^{2}\vmatg{v}}{\dd\lambda^{2}}$. Les dérivées d'ordre $n$ sont notées $\frac{\dd^n\vmatg{v}}{\dd\lambda^n}$.
\subsection{Continuité et différentiabilité}
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item une fonction scalaire $f(x)$ (déf.~\ref{Notion:def:fs} \vpageref{Notion:def:fs}) est continue en $x$ si
\begin{equation*}
\lim_{\Delta x\to0}f(x+\Delta x)=f(x)
\end{equation*}
De façon équivalente, une fonction scalaire $f(x)$ est continue en $x$ si pour tout nombre positif $\varepsilon$ donné \emph{a priori},
en particulier lorsque ce nombre est très petit,
nous pouvons toujours trouver une variation très petite de la variable telle que la différence de valeurs de la fonction soit inférieure à ce nombre $\varepsilon$ donné~:
\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0\quad\text{tel que}\quad  |\Delta x|<\delta\quad \Rightarrow\quad |f(x+\Delta x)-f(x)|<\varepsilon
\end{equation*}
\item une fonction vectorielle
\begin{equation*}
\vmatg{v}(\lambda)=v^{1}(\lambda)\vmatg{e}_{1}+v^{2}(\lambda)\vmatg{e}_{2}+v^{3}(\lambda)\vmatg{e}_{3}
\end{equation*}
(déf.~\ref{Notion:def:fv} \vpageref{Notion:def:fv})
est continue en $\lambda$
si les trois fonctions $v^{1}(\lambda),v^{2}(\lambda),v^{3}(\lambda)$ sont continues en $\lambda$, ou si
\begin{equation*}
\lim_{\Delta \lambda\to0}\vmatg{v}(\lambda+\Delta \lambda)=\vmatg{v}(\lambda)
\end{equation*}
De façon équivalente, une fonction vectorielle $\vmatg{v}(\lambda)$ est continue en $\lambda$ si~:
\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,
\ \exists \delta>0\quad\text{tel que}\quad |\Delta \lambda|<\delta\quad \Rightarrow\quad |\vmatg{v}(\lambda+\Delta \lambda)-\vmatg{v}(\lambda)|<\varepsilon
\end{equation*}
\end{enumerate}
Une fonction de la variable $\lambda$, scalaire ou vectorielle, est \emph{différentiable} d'ordre $n$ si sa dérivée $n^{\,\text{ème}}$ existe.
Une fonction différentiable est nécessairement continue mais la réciproque est fausse.
\subsection{Dérivée partielle d'un vecteur}
Soit $\vmatg{v}(x,y)$ un vecteur fonction de deux variables scalaires.
Lorsqu'elles existent, les dérivées partielles de $\vmatg{v}(x,y)$ par rapport à chacune des variables s'écrivent~:
\begin{equation*}
\frac{\partial\vmatg{v}}{\partial x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\vmatg{v}(x+\Delta x,y)-\vmatg{v}(x,y)}{\Delta x}\qquad\text{et}\qquad
\frac{\partial\vmatg{v}}{\partial y}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\vmatg{v}(x,y+\Delta y)-\vmatg{v}(x,y)}{\Delta y}
\end{equation*}
La continuité et la différentiabilité sont étendues aux fonctions de plusieurs variables.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item une fonction scalaire $f(x,y)$ est continue en $(x,y)$ si
\begin{equation*}
\lim_{\Delta x,\,\Delta y\to0}f(x+\Delta x,y+\Delta y)=f(x,y)
\end{equation*}
De façon équivalente, une fonction scalaire $f(x,y)$ est continue en $(x,y)$ si pour tout nombre positif donné \emph{a priori},
en particulier lorsque ce nombre est très petit,
nous pouvons toujours trouver une variation très petite des variables telle que la différence de valeurs de la fonction soit inférieure à ce nombre donné~:
\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0\ \text{tel que}\ |\Delta x|<\delta\ \text{et}\ |\Delta y|<\delta\
\Rightarrow\ |f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)|<\varepsilon
\end{equation*}
\item une fonction vectorielle
\begin{equation*}
\vmatg{v}(\lambda,\mu)=v^{1}(\lambda,\mu)\vmatg{e}_{1}+v^{2}(\lambda,\mu)\vmatg{e}_{2}+v^{3}(\lambda,\mu)\vmatg{e}_{3}
\end{equation*}
est continue en $(\lambda,\mu)$
si les trois fonctions $v^{1}(\lambda,\mu),v^{2}(\lambda,\mu),v^{3}(\lambda,\mu)$ sont continues en $(\lambda,\mu)$, ou si
\begin{equation*}
\lim_{\Delta \lambda,\,\Delta \mu\to0}\vmatg{v}(\lambda+\Delta \lambda,\mu+\Delta \mu)=\vmatg{v}(\lambda,\mu)
\end{equation*}
De façon équivalente, une fonction vectorielle $\vmatg{v}(\lambda,\mu)$ est continue en $(\lambda,\mu)$ si~:
\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0\ \text{tel que}\ |\Delta \lambda|<\delta\ \text{et}\ |\Delta \mu|<\delta\ \Rightarrow\ |\vmatg{v}(\lambda+\Delta \lambda,\mu+\Delta \mu)-\vmatg{v}(\lambda,\mu)|<\varepsilon
\end{equation*}
\end{enumerate}
Une fonction des variables $\lambda,\mu$, scalaire ou vectorielle,
est \emph{différentiable} d'ordre $n$ si ses dérivées $n^{\,\text{ème}}$ partielles existent et sont continues.

Les dérivées partielles d'ordre supérieur s'écrivent~:
\begin{equation*}
\frac{\partial^{2}\vmatg{v}}{\partial \lambda^{2}}=\frac{\partial}{\partial \lambda}\left(\frac{\partial\vmatg{v}}{\partial \lambda}\right),
\qquad \frac{\partial^{2}\vmatg{v}}{\partial \mu^{2}}=\frac{\partial}{\partial \mu}\left(\frac{\partial\vmatg{v}}{\partial \mu}\right),\qquad
\frac{\partial^{2}\vmatg{v}}{\partial \lambda\partial \mu}=\frac{\partial}{\partial \lambda}\left(\frac{\partial\vmatg{v}}{\partial \mu}\right),
\qquad \frac{\partial^{2}\vmatg{v}}{\partial \mu\partial \lambda}=\frac{\partial}{\partial \mu}\left(\frac{\partial\vmatg{v}}{\partial \lambda}\right)
\end{equation*}
Lorsque les dérivées partielles secondes mixtes existent et sont continues, elles commutent (théorème de Schwarz)~:
\begin{equation*}
\frac{\partial^{2}\vmatg{v}}{\partial \lambda\partial \mu}=\frac{\partial^{2}\vmatg{v}}{\partial \mu\partial \lambda}
\end{equation*}

\subsection{Formules de dérivation des vecteurs}
Soient $\vmatg{a}(\lambda),\vmatg{b}(\lambda),\vmatg{c}(\lambda)$ trois vecteurs fonction de la variable scalaire $\lambda$,
et soit $\phi(\lambda)$ une fonction scalaire de $\lambda$ également~:
\begin{align*}
&\frac{\dd}{\dd\lambda}(\vmatg{a}+\vmatg{b})=\frac{\dd\vmatg{a}}{\dd\lambda}+\frac{\dd\vmatg{b}}{\dd\lambda}\\
&\frac{\dd}{\dd\lambda}(\vmatg{a}\cdot\vmatg{b})=\vmatg{a}\cdot\frac{\dd\vmatg{b}}{\dd\lambda}+\frac{\dd\vmatg{a}}{\dd\lambda}\cdot\vmatg{b}
\end{align*}
\begin{align*}
&\frac{\dd}{\dd\lambda}(\vmatg{a}\times\vmatg{b})=\vmatg{a}\times\frac{\dd\vmatg{b}}{\dd\lambda}+\frac{\dd\vmatg{a}}{\dd\lambda}\times\vmatg{b}\\
&\frac{\dd}{\dd\lambda}(\phi\vmatg{a})=\phi\,\frac{\dd\vmatg{a}}{\dd\lambda}+\frac{\dd\phi}{\dd\lambda}\,\vmatg{a}\\
&\frac{\dd}{\dd\lambda}(\vmatg{a}\cdot\vmatg{b}\times\vmatg{c})=\vmatg{a}\cdot\vmatg{b}\times\frac{\dd\vmatg{c}}{\dd\lambda}
+\vmatg{a}\cdot\frac{\dd\vmatg{b}}{\dd\lambda}\times\vmatg{c}+\frac{\dd\vmatg{a}}{\dd\lambda}\cdot\vmatg{b}\times\vmatg{c}\\
&\frac{\dd}{\dd\lambda}[\vmatg{a}\times(\vmatg{b}\times\vmatg{c})]=\vmatg{a}\times\left(\vmatg{b}\times\frac{\dd\vmatg{c}}{\dd\lambda}\right)
+\vmatg{a}\times\left(\frac{\dd\vmatg{b}}{\dd\lambda}\times\vmatg{c}\right)+\frac{\dd\vmatg{a}}{\dd\lambda}\times(\vmatg{b}\times\vmatg{c})
\end{align*}

\chapter{Base naturelle}
\section{Définition}
Il n'existe pas de base globale lorsque le système de coordonnées est curviligne.
Il est alors naturel d'utiliser les vecteurs tangents aux lignes de coordonnées pour définir
une base locale en chaque point (Cf.~ex.~\ref{Notion:ex:base_vect_coor_pol} \vpageref{Notion:ex:base_vect_coor_pol}).
\begin{defi}[Base naturelle]\label{Notion:def:base_naturelle}\index{Base!naturelle!definition@définition}
Soit $\left(x^{1},x^{2},\dots,x^{n}\right)$ un système de coordonnées quelconques, curvilignes ou rectilignes, orthogonales ou non.
En un point $M$, les vecteurs tangents aux lignes de coordonnées définissent une base locale appelée base naturelle au point $M$~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\forall i=1,\dots,n\qquad \bng{e}_{i}\parDef \frac{\partial \tvmcmg{OM}}{\partial x^{i}}
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{rmq}
Les bases naturelles sont aussi appelées bases coordonnées\index{Base!coordonnées} ou bases holonomiques\index{Base!holonomique}.
\end{rmq}

À l'exception des bases naturelles des coordonnées cartésiennes,
les bases naturelles ne sont pas normées. Les vecteurs de la base unitaire $(\vmatg{e}_{i})$ sont donnés par~:
\begin{align*}
\forall i=1,\dots,n\qquad \frac{\bng{e}_{i}}{\|\bng{e}_{i}\|}&=\vmatg{e}_{i}\\
\bng{e}_{i}&=h_{i}\vmatg{e}_{i}
\end{align*}
\begin{defi}[Facteurs de proportionnalité]\label{Notion:def:fact_prop}\index{Facteur!de proportionnalité}
Les $h_{i}\parDef \|\bng{e}_{i}\|$ sont appelés facteurs de proportionnalité (de la base naturelle).
\end{defi}

\begin{rmq}
En coordonnées curvilignes, $(\bng{e}_{i})$ peut désigner
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item la base naturelle du système de coordonnées en un point donné
\item le champ de bases naturelles en chaque point de l'espace considéré
\end{itemize}
\end{rmq}
\section{Repère naturel}
\begin{defi}[Repère naturel]\index{Repere@Repère naturel}
$(M,\bng{e}_{i})$ est le repère naturel au point $M$.
\end{defi}

\begin{ntn}
Soient $O$ et $O'$ deux points fixes et $M$ un point susceptible de se déplacer.
Utilisons la relation de Chasles \eqref{Notion:rel_Chasles} \vpageref{Notion:rel_Chasles}~:
\begin{align*}
\tvmcmg{OM}&=\tvmcmg{OO'}+\tvmcmg{O'M}\\
\dd \tvmcmg{OM}&=\dd \tvmcmg{OO'}+\dd \tvmcmg{O'M}\\
&=\dd \tvmcmg{O'M}
\end{align*}
Puisque le point $O$ n'a pas d'importance, nous utiliserons la notation~:
\begin{equation*}
\dd \tvmcmg{OM}\equiv\dd \tvmcmg{M}
\end{equation*}
\end{ntn}
\section{Exemples}
\begin{exem}[Base naturelle des coordonnées cartésiennes]
En coordonnées rectangulaires la base naturelle est orthonormée (donc normée).
On peut la noter $(\bng{i},\bng{j},\bng{k})$ ou $(\vmatg{i},\vmatg{j},\vmatg{k})$.
De même, en coordonnées cartésiennes la base naturelle est normée.
On peut la noter $(\bng{e}_x,\bng{e}_y,\bng{e}_z)$ ou $(\vmatg{e}_x,\vmatg{e}_y,\vmatg{e}_z)$.
\end{exem}
\begin{exem}[Base naturelle des coordonnées polaires $(\rho,\theta)$]\index{Coordonnées!polaires}\index{Base!naturelle!polaire}
En général les vecteurs de base de la base naturelle ne sont pas de norme unité et n'ont pas tous la même dimension physique.
C'est ce qui distingue la base tangente normée de la base naturelle.
\begin{figure}[H]\centering
\includegraphics{Coordonnees_polaires_2.eps}
\caption{Coordonnées polaires $(\rho,\theta)$}
\end{figure}
Pour trouver l'expression des vecteurs de la base naturelle polaire $(\bng{e}_{\rho},\bng{e}_{\theta})$
en fonction des vecteurs de la base rectangulaire $(\bng{i},\bng{j})$,
nous utilisons la transformation des coordonnées polaires en rectangulaires \ref{Notion:transfo_pol_rec} \vpageref{Notion:transfo_pol_rec}.
Avec la déf.~\ref{Notion:def:base_naturelle} \vpageref{Notion:def:base_naturelle} d'une base naturelle~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\bng{e}_{\rho}=\left(\frac{\partial \tvmcmg{OM}}{\partial \rho}\right)_{\theta}\\
\bng{e}_{\theta}=\left(\frac{\partial \tvmcmg{OM}}{\partial \theta}\right)_{\rho}
\end{dcases}
\qquad \Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
\bng{e}_{\rho}=\frac{\partial \tvmcmg{OM}}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial \rho}
+\frac{\partial \tvmcmg{OM}}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial \rho}\\
\bng{e}_{\theta}=\frac{\partial \tvmcmg{OM}}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial \theta}
+\frac{\partial \tvmcmg{OM}}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation}
\Rightarrow \
\begin{dcases}
\bng{e}_{\rho}=\frac{\partial x}{\partial \rho}\,\bng{i}
+\frac{\partial y}{\partial \rho}\,\bng{j}\\
\bng{e}_{\theta}=\frac{\partial x}{\partial \theta}\,\bng{i}
+\frac{\partial y}{\partial \theta}\,\bng{j}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \
\begin{dcases}
\bng{e}_{\rho}=\cos(\theta)\,\bng{i}+\sin(\theta)\,\bng{j}\\
\bng{e}_{\theta}=-\rho \sin(\theta)\,\bng{i}+\rho \cos(\theta)\,\bng{j}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \
\begin{dcases}\label{Notion:vpol}
\bng{e}_{\rho}=\vmatg{e}_{\rho} \\
\bng{e}_{\theta}=\rho \vmatg{e}_{\theta}
\end{dcases}
\end{equation}
La déf.~\ref{Notion:def:fact_prop} \vpageref{Notion:def:fact_prop} donne les facteurs de proportionnalité suivants~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
h_{\rho}=1\\
h_{\theta}=\rho
\end{dcases}
\end{equation*}
Le rayon $\rho$ ayant la dimension d'une longueur, les vecteurs $\bng{e}_{\rho}$ et $\bng{e}_{\theta}$ n'ont pas la même dimension.

Les vecteurs de la base naturelle polaire ne sont pas tous normés~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\|\bng{e}_{\rho} \|=\sqrt{\cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta)}\\
\|\bng{e}_{\theta} \|=\sqrt{\rho^{2}\sin^{2}(\theta)+\rho^{2}\cos^{2}(\theta)}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\|\bng{e}_{\rho} \|=1\\
\|\bng{e}_{\theta} \|=\rho
\end{dcases}
\end{equation*}
En revanche, elle est orthogonale pour le produit scalaire euclidien~:
\begin{align*}
\bng{e}_{\rho} \cdot\bng{e}_{\theta}
&=[\cos(\theta)\,\bng{i}+\sin(\theta)\,\bng{j}]\cdot[-\rho \sin(\theta)\,\bng{i}
+\rho \cos(\theta)\,\bng{j}]\\
&=-\cos(\theta)\rho \sin(\theta)+\sin(\theta)\rho \cos(\theta)\\
&=0
\end{align*}
\begin{figure}[H]\centering
\includegraphics{bn_coord_pol.eps}
\caption{Base naturelle en $M$ en coordonnées polaires $(\rho,\theta)$}
\end{figure}
Au point de coordonnées polaires $(3,\ang{30})$, la base polaire a pour expression~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\,\bng{e}_{\rho}=\cos(\ang{30})\,\bng{i}+\sin(\ang{30})\,\bng{j}\\
\,\bng{e}_{\theta}=-3\sin(\ang{30})\,\bng{i}+3\cos(\ang{30})\,\bng{j}
\end{dcases}
\quad\Rightarrow\quad
\begin{dcases}
\,\bng{e}_{\rho}=\nicefrac{\sqrt{3}}{2}\,\bng{i}+\nicefrac{1}{2}\,\bng{j}\\
\,\bng{e}_{\theta}=\nicefrac{-3}{2}\,\bng{i}+\nicefrac{3\sqrt{3}}{2}\,\bng{j}
\end{dcases}
\end{equation*}
Notez bien que pour $\rho=3$, $\|\bng{e}_{\rho} \|=1$ et $\|\bng{e}_{\theta} \|=3$.

Cherchons l'expression du vecteur position en coordonnées polaires $(\rho,\theta)$
dans la base naturelle polaire $(\bng{e}_{\rho},\bng{e}_{\theta})$~:
\begin{align*}
\vmatg{r}\left(\rho,\theta\right)&=\rho \vmatg{e}_{\rho} \\
&=\rho \bng{e}_{\rho}
\end{align*}
\end{exem}

\begin{exem}[Base naturelle des coordonnées cylindriques $(\rho,\phi,z)$]\index{Coordonnées!cylindriques}
La coordonnée $\rho$ est appelée distance radiale, rayon ou module, $\phi$ est appelée angle ou azimut, $z$ est appelée hauteur ou cote.
Par analogie aux coordonnées polaires~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\bng{e}_{\rho}=\cos(\phi)\,\bng{i}+\sin(\phi)\,\bng{j}\\
\bng{e}_{\phi}=-\rho \sin(\phi)\,\bng{i}+\rho \cos(\phi)\,\bng{j}\\
\bng{e}_z =\bng{k}
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-5,-1)(5,4)% en 3D asymptote pixelise si l'on zoom, pas pstricks
%\psgrid (-5,-1)(5,4)
\psset{viewpoint=2.2 1 1, viewangle=0}
\ThreeDput[normal=0 0 1](0,0,0)
	{%\psgrid[linecolor=gray](4,4)
	%\uput[0](.5,.5){Plan xy}
	\psarc{<->}(0,0){1}{0}{45}
	\rput{135}(1.5;22){$\phi$}
	}
\ThreeDput[normal=0 0 1](0,0,3)
	{%\psgrid[linecolor=gray](4,4)%plan horizontal
	%\uput[0](.5,.5){Plan xy}
	\pscircle[linestyle=dashed](0,0){2}
	\psline[linestyle=dashed](0;0)(2;45)
	}
\ThreeDput[normal=0 -1 0](0,0,0)
	{%\psgrid[linecolor=gray](4,4)
	%\uput[0](1,1){Plan xz}
	\psline{->}(0,0)(2,0)% axe x
		}
\ThreeDput[normal=1 0 0](0,0,0)
	{%\psgrid[linecolor=gray](4,4)
	%\uput[0](1,1){Plan yz}
	\psline{->}(0,0)(2,0)
	\rput(2.3,0){$y$}% axe y
	\rput(-1.1,-1.1){$x$}
	\psline{->}(0,0)(0,4)% axe z
	\rput(0,4.3){$z$}
	}
\ThreeDput[normal=.5 -.5 0](0,0,0)
    {%\psgrid[linecolor=gray](4,4)%plan vertical
    \rput(.6,2.6){$\rho$}
    \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,3)
    \psline[linestyle=dashed](0,0)(2,0)
 }
\ThreeDput[normal=1 0 0](1.414,0,0)
    {%\psgrid[linecolor=gray](4,4)
    %\uput[0](1,1){Plan yz}
    \rput(1.7,2.7){M}
    \rput(1.7,1.5){$z$}
}
\ThreeDput[normal=.5 .5 0](1.414,1.414,0)
    {%\psgrid[linecolor=gray](4,4)
    %\uput[0](1,1){Plan yz}
    }
\end{pspicture}
\caption{Coordonnées cylindriques $(\rho,\phi,z)$}
\end{figure}

Les vecteurs de la base naturelle cylindrique ne sont pas tous normés~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\|\bng{e}_{\rho} \|&=1\\
\|\bng{e}_{\phi} \|&=\rho \\
\|\bng{e}_z \|&=1
\end{dcases}
\end{equation*}
\end{exem}

\begin{exem}[Base naturelle des coordonnées sphériques $(r,\theta,\phi)$]\index{Coordonnées!sphériques}
La coordonnée $\rho$ est appelée distance radiale, rayon ou module, $\theta$ est appelée colatitude, $\phi$ est appelée longitude.
À partir de l'expression du vecteur position,
\begin{align*}
\tvmcmg{OM}&=x\bng{i}+y\bng{j}+z\bng{k}\\
&=r\sin(\theta)\cos(\phi)\,\bng{i}+r\sin(\theta)\sin(\phi)\,\bng{j}+r\cos(\theta)\,\bng{k}
\end{align*}
\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,4)% en 3D asymptote pixelise si l'on zoom, pas pstricks
\psset{viewpoint=2.2 .5 1, viewangle=0}
\ThreeDput[normal=0 0 1](0,0,0)
	{%\psgrid[linecolor=gray](4,4)
	%\uput[0](.5,.5){Plan xy}
	\psarc{<->}(0,0){1}{0}{45}%arc phi
	\rput{135}(1.5;22){$\phi$}
	}
\ThreeDput[normal=0 0 1](0,0,3)
	{%\psgrid[linecolor=gray](4,4)%plan horizontal
	%\uput[0](.5,.5){Plan xy}
	\pscircle[linestyle=dashed](0,0){2}
	}
\ThreeDput[normal=0 -1 0](0,0,0)
	{%\psgrid[linecolor=gray](4,4)
	%\uput[0](1,1){Plan xz}
	\psline{->}(0,0)(2,0)% axe x
    }
\ThreeDput[normal=1 0 0](0,0,0)
	{%\psgrid[linecolor=gray](4,4)
	%\uput[0](1,1){Plan yz}
	\psline{->}(0,0)(2,0)% axe y
	\rput(2.3,0){$y$}
	\rput(-.5,-1.1){$x$}
	\rput(1.6,2.2){$M$}
	\psline{->}(0,0)(0,4)% axe z
	\rput(0,4.3){$z$}
	}
\ThreeDput[normal=.5 -.5 0](0,0,0)
	{%\psgrid[linecolor=gray](4,4)%plan vertical
	\rput(1.1,2.2){$r$}
	\psarc{<->}(0,0){1}{56.31}{90}%arc theta
	\rput(1.5;73){$\theta$}
	\psline[linestyle=dashed](0,0)(2,3)
 \psline[linestyle=dashed](0,0)(2,0)
 \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,3)
 \psarc[linestyle=dashed](0,0){3.606}{-10}{190}
 }
\ThreeDput[normal=1 0 0](1.414,0,0)
	{%\psgrid[linecolor=gray](4,4)
	%\uput[0](1,1){Plan yz}
	\rput(1.614,1.3){$z$}
	}
\ThreeDput[normal=.5 .5 0](1.414,1.414,0)
	{%\psgrid[linecolor=gray](4,4)
	%\uput[0](1,1){Plan yz}
}
\end{pspicture}
\caption{Coordonnées sphériques $\left(r,\theta,\phi \right)$}
\label{Notion:fig_cs}
\end{figure}
nous trouvons l'expression des vecteurs de la base naturelle~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\bng{e}_{r}=\partial_{r}\vmatg{M}\\
\bng{e}_{\theta}=\partial_{\theta} \vmatg{M}\\
\bng{e}_{\phi}=\partial_{\phi} \vmatg{M}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\bng{e}_{r}=\sin(\theta)\cos(\phi)\,\bng{i}+\sin(\theta)\sin(\phi)\,\bng{j}+\cos(\theta)\,\bng{k}\\
\bng{e}_{\theta}=r\cos(\theta)\cos(\phi)\,\bng{i}+r\cos(\theta)\sin(\phi)\,\bng{j}-r\sin(\theta)\,\bng{k}\\
\bng{e}_{\phi}=-r\sin(\theta)\sin(\phi)\,\bng{i}+r\sin(\theta)\cos(\phi)\,\bng{j}
\end{dcases}
\end{equation*}

Les vecteurs de la base naturelle sphérique ne sont pas tous normés~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\|\bng{e}_{r}\|=\sqrt{\sin^{2}(\theta)\cos^{2}(\phi)+\sin^{2}(\theta)\sin^{2}(\phi)+\cos^{2}(\theta)}\\
\|\bng{e}_{\theta} \|=\sqrt{r^{2}\cos^{2}(\theta)\cos^{2}(\phi)+r^{2}\cos^{2}(\theta)\sin^{2}(\phi)+r^{2}\sin^{2}(\theta)}\\
\|\bng{e}_{\phi} \|=\sqrt{r^{2}\sin^{2}(\theta)\sin^{2}(\phi)+r^{2}\sin^{2}(\theta)\cos^{2}(\phi)}
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\|\bng{e}_{r}\|=\sqrt{\sin^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta)}\\
\|\bng{e}_{\theta} \|=\sqrt{r^{2}\cos^{2}(\theta)+r^{2}\sin^{2}(\theta)}\\
\|\bng{e}_{\phi} \|=\sqrt{r^{2}\sin^{2}(\theta)}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\|\bng{e}_{r}\|=1\\
\|\bng{e}_{\theta} \|=r\\
\|\bng{e}_{\phi} \|=r|\sin(\theta)|
\end{dcases}
\end{equation*}
\end{exem}

Sauf précision contraire, on se placera toujours dans la base naturelle du système de coordonnées.
\begin{rmq}
En annexe \ref{Notion:holo} \vpageref{Notion:holo}, on montre qu'il existe des bases non holonomiques
qui ne peuvent être la base naturelle d'aucun système de coordonnées.
\end{rmq}

\section{Vecteurs vitesse et accélération}
La différentielle du vecteur position $\tvmcmg{OM}$ est aussi un vecteur, qui s'écrit dans la base locale~:
\begin{equation*}
\dd \tvmcmg{OM}=\sum_{i}\frac{\partial \tvmcmg{OM}}{\partial x^{i}}\,\dd x^{i}
\end{equation*}
Avec la déf.~\ref{Notion:def:base_naturelle} \vpageref{Notion:def:base_naturelle} de la base naturelle et avec la convention de sommation sur les indices répétés~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}
\dd\tvmcmg{OM}=\dd x^{i}\bng{e}_{i}\label{Notion:vec_dM}
\end{empheq}
\begin{rmq}
Dans la base naturelle d'un système de coordonnées, et uniquement dans cette base, les éléments différentiels $\dd x^{i}$ sont à la fois~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item les différentielles des coordonnées du point $M$ dans le système de coordonnées $(O,x^{i})$
\item les composantes contravariantes du vecteur différentiel $\dd \tvmcmg{OM}$
dans le repère naturel $(O,\bng{e}_{i})$ associé au système de coordonnées $(x^{i})$ d'origine $O$.
\end{itemize}
\end{rmq}
\begin{exem}
En coordonnées polaires\index{Coordonnées!polaires} $(\rho,\theta)$.
En dérivant \eqref{Notion:vpol} \vpageref{Notion:vpol} et avec \eqref{Notion:derivee_vpol} \vpageref{Notion:derivee_vpol}~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\bng{e}_{\rho}=\vmatg{e}_{\rho}\\
\bng{e}_{\theta}=\rho \vmatg{e}_{\theta}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\dot{\bng{e}}_{\rho}=\dot{\vmatg{e}}_{\rho} \\
\dot{\bng{e}}_{\theta}=\dot\rho \vmatg{e}_{\theta}+\rho \dot{\vmatg{e}}_{\theta}
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\dot{\bng{e}}_{\rho}=\dot\theta \vmatg{e}_{\theta}\\
\dot{\bng{e}}_{\theta}=\dot\rho \vmatg{e}_{\theta}-\rho \dot\theta \vmatg{e}_{\rho}
\end{dcases}
\Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\dot{\bng{e}}_{\rho}=\frac{\dot\theta \bng{e}_{\theta}}{\rho}\\
\dot{\bng{e}}_{\theta}=\frac{\dot\rho \bng{e}_{\theta}}{\rho}-\rho \dot\theta \bng{e}_{\rho}
\end{dcases}
\end{equation*}
On en déduit l'expression du vecteur vitesse~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item dans la base polaire orthonormée $(\vmatg{e}_{\rho},\vmatg{e}_{\theta})$~:
\begin{align*}
\dd \tvmcmg{OM}&=\dd (\rho \vmatg{e}_{\rho})\\
&=\dd \rho \vmatg{e}_{\rho}+\rho \dd \vmatg{e}_{\rho} \\
\frac{\dd \tvmcmg{OM}}{\dd t}&=\dot\rho \vmatg{e}_{\rho}+\rho \dot{\vmatg{e}}_{\rho}\\
\vmatg{v}&=\dot\rho \vmatg{e}_{\rho}+\rho \dot\theta \vmatg{e}_{\theta}
\end{align*}
\item dans la base naturelle polaire $(\bng{e}_{\rho},\bng{e}_{\theta})$, en utilisant \eqref{Notion:vec_dM} \vpageref{Notion:vec_dM}~:
\begin{align*}
\dd \tvmcmg{OM}&=\dd \rho \bng{e}_{\rho}+\dd \theta \bng{e}_{\theta}\\
\vmatg{v}&=\dot\rho \bng{e}_{\rho}+\dot\theta \bng{e}_{\theta}
\end{align*}
\begin{rmq}
Dans la base naturelle polaire les composantes du vecteur vitesse ont pour dimensions $\unit{m.s^{-1}}$ et $\unit{s^{-1}}$.
\end{rmq}
\end{itemize}
\begin{rmq}
En comparant les deux expressions de la vitesse on retrouve \eqref{Notion:vpol} \vpageref{Notion:vpol}.
Notez que l'on a aussi~:
\begin{align*}
\dd \tvmcmg{OM}&=\dd (\rho \bng{e}_{\rho})\\
&=\dd \rho \bng{e}_{\rho}+\rho \dd \bng{e}_{\rho} \\
\vmatg{v}&=\dot\rho \bng{e}_{\rho}+\rho \dot{\bng{e}}_{\rho}
\end{align*}
et l'on retrouve également~:
\begin{equation*}
\dot{\bng{e}}_{\rho}=\frac{\dot\theta \bng{e}_{\theta}}{\rho}
\end{equation*}
\end{rmq}

Le vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse.
Dans la base polaire orthonormée $(\vmatg{e}_{\rho},\vmatg{e}_{\theta})$~:
\begin{align*}
\vmatg{a}&=\frac{\dd }{\dd t}\left(\dot\rho \vmatg{e}_{\rho}+\rho \dot\theta \vmatg{e}_{\theta} \right)\\
&=\,\ddot{\rho}\vmatg{e}_{\rho}+\dot\rho \dot{\bng{e}}_{\rho}+\dot\rho \dot\theta \vmatg{e}_{\theta}
+\rho \,\ddot \theta \vmatg{e}_{\theta}+\rho \dot\theta \dot{\bng{e}}_{\theta}\\
&=\,\ddot{\rho}\vmatg{e}_{\rho}+\dot\rho \dot\theta \vmatg{e}_{\theta}+\dot\rho \dot\theta \vmatg{e}_{\theta}
+\rho \,\ddot \theta \vmatg{e}_{\theta}-\rho \dot\theta^{2}\vmatg{e}_{\rho}\\
&=\left(\,\ddot{\rho}-\rho \dot\theta^{2}\right)\vmatg{e}_{\rho} +\left(2\dot\rho \dot\theta+\rho \,\ddot \theta \right)\vmatg{e}_{\theta}
\end{align*}
Dans la base naturelle polaire $(\bng{e}_{\rho},\bng{e}_{\theta})$~:
\begin{equation*}
\vmatg{a}=\left(\,\ddot{\rho}-\rho \dot\theta^{2}\right)\bng{e}_{\rho} +\left(\frac{2\dot\rho \dot\theta}{\rho}+\,\ddot \theta \right)\bng{e}_{\theta}
\end{equation*}
\end{exem}

\chapter{Matrices}\index{Matrice}
%\minitoc
\section{Système d'équations linéaires}\index{Systeme@Système(s)!d'équations linéaires}
\begin{defi}[Équation linéaire]\label{Notion:def:equa_lin}
Une équation linéaire à coefficients réels ou complexes est une expression de la forme
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
A_1u^{1}+A_2u^{2}+\cdots+A_nu^n=a
\end{empheq}
où les coefficients $A_{i}$ et la constante $a$ sont des scalaires de $\symbb{R}$ ou $\symbb{C}$ (ou d'un corps $\symbb{K}$),
et où les $u^{i}$ sont $n$ inconnues, ou indéterminées ou variables.
\end{defi}
Une équation est linéaire ssi elle s'exprime sous la forme d'une combinaison linéaire (déf.~\ref{Notion:def:combi_lin} \vpageref{Notion:def:combi_lin}) des inconnues.
Soit le système de $m$ équations linéaires à $n$ inconnues suivant~:
\begin{equation}\label{Notion:sys_eq_lin}
\begin{dcases}
A_{11}u^{1}+A_{12}u^{2}+\cdots+A_{1n}u^n=a_1\\
A_{21}u^{1}+A_{22}u^{2}+\cdots+A_{2n}u^n=a_2\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
A_{m1}u^{1}+A_{m2}u^{2}+\cdots+A_{mn}u^n=a_m
\end{dcases}
\end{equation}
où par convention, dans le terme $A_{ij}$ le premier indice $i$ est celui de la ligne, le second indice $j$ est celui de la colonne.
Il est inutile de réécrire les inconnues pour chaque ligne.
Simplifions l'écriture de ce système en définissant le nouvel opérateur $\boxtimes$~:
\begin{defi}[Opérateur de multiplication matricielle]
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align}\label{Notion:mat_vect}
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} &\cdots &A_{1n}\\
A_{21} & A_{22} &\cdots &A_{2n}\\
\vdots &\vdots  &\cdots &\vdots\\
A_{m1} & A_{m2} &\cdots &A_{mn}
\end{bmatrix}
\boxtimes
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}\\
\vdots\\
u^n
\end{pmatrix}
&\parDef
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2\\
\vdots\\
a_m
\end{pmatrix}
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{rmq}
Si toutes les constantes $a_i$ sont nulles, le système est dit homogène.
\end{rmq}
\begin{defi}[Matrice]
Le tableau d'éléments $[A_{ij}]$ est appelé \emph{matrice} $A$.
\end{defi}
\begin{ntn}[Notation ligne-colonne ou \enquote{li co}]\label{Notion:ntn:nota_lc}
Par convention, le premier indice d'un élément de matrice $A_{ij}$ est son numéro de ligne,
le second est son numéro de colonne. Cette notation est dite li co.
Lorsque l'élément de matrice est noté $A^i_j$ l'indice haut $i$ est celui de la ligne,
et l'indice bas $j$ est celui de la colonne, notation \raisebox{-0.7ex}{\stackon[1pt]{\text{co}}{\text{li}}}
\end{ntn}
L'écriture des inconnues $u^{i}$ en colonne plutôt qu'en ligne est justifiée au \S~\ref{Notion:mult_mat} \vpageref{Notion:mult_mat}.
Les propriétés des matrices découlent naturellement de cette notation et des propriétés des systèmes d'équations linéaires.
Un système d'équations est représentable sous forme matricielle ssi les équations sont linéaires.
\begin{exem}
La base naturelle polaire s'exprime en fonction de la base rectangulaire (\eqref{Notion:vpol} \vpageref{Notion:vpol}) par~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\bng{e}_{\rho}\\
\bng{e}_{\theta}
\end{pmatrix}&=
\begin{bmatrix}
\partial x/\partial \rho & \partial y /\partial \rho\\
\partial x/\partial \theta & \partial y /\partial \theta
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\bng{i}\\
\bng{j}
\end{pmatrix}
\\
&=\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta)\\
-\rho \sin(\theta) & \rho \cos(\theta)
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\bng{i}\\
\bng{j}
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{exem}

\begin{defi}[Dimension d'une matrice]\index{Dimension!d'une matrice}
La dimension ou taille d'une matrice est son nombre de lignes suivi de son nombre de colonnes.
\end{defi}
La matrice $[A_{ij}]_{mn}$ est de dimension $m\times n$ ou $(m,n)$, où son nombre de lignes $m$ est sa hauteur, et son nombre de colonnes $n$ est sa largeur.

\section{Addition matricielle}\index{Matrice!addition}
Nous ne considérons que les systèmes ayant autant d'équations que d'inconnues, $m=n$,
qui donnent alors des matrices carrées et qui admettent une solution unique ou aucune solution.
\begin{defi}[Ordre d'une matrice]\index{Matrice!ordre}
Une matrice carrée est d'ordre $n$ si elle est de dimension $n\times n$.
\end{defi}
Le raisonnement sur des matrices d'ordre deux est facilement généralisable aux matrices d'ordre supérieur à deux.
Soient les deux systèmes d'équations linéaires~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
A_{11}u^{1}+A_{12}u^{2}=a_1\\
A_{21}u^{1}+A_{22}u^{2}=a_2
\end{dcases}
\quad \qquad \text{et} \qquad \quad
\begin{dcases}
B_{11}u^{1}+B_{12}u^{2}=b_1\\
B_{21}u^{1}+B_{22}u^{2}=b_2
\end{dcases}
\end{equation*}
Ces systèmes s'écrivent en notation matricielle
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
\boxtimes
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2
\end{pmatrix}
\quad \text{et}\quad
\begin{bmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{bmatrix}
\boxtimes
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2
\end{pmatrix}
\end{align*}
Additionnons ligne à ligne les deux systèmes de départ~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
(A_{11}+B_{11})u^{1}+(A_{12}+B_{12})u^{2}=a_1+b_1\\
(A_{21}+B_{21})u^{1}+(A_{22}+B_{22})u^{2}=a_2+b_2
\end{dcases}
\end{equation*}
Sous forme matricielle nous obtenons~:
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
A_{11}+B_{11} & A_{12}+B_{12}\\
A_{21}+B_{21} & A_{22}+B_{22}
\end{bmatrix}
\boxtimes
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
a_1+b_1\\
a_2+b_2
\end{pmatrix}
\end{align*}
Définissons un nouvel opérateur~:
\begin{defi}[Opérateur d'addition matricielle $\boxplus$]
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
\boxplus
\begin{bmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{bmatrix}
\parDef
\begin{bmatrix}
A_{11}+B_{11} & A_{12}+B_{12}\\
A_{21}+B_{21} & A_{22}+B_{22}
\end{bmatrix}
\end{empheq}
ainsi que~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2
\end{pmatrix}
\boxplus
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2
\end{pmatrix}
\parDef
\begin{pmatrix}
a_1+b_1\\
a_2+b_2
\end{pmatrix}
\end{empheq}
\end{defi}
On définit de même la soustraction matricielle par~:
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
\boxminus
\begin{bmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
A_{11}-B_{11} & A_{12}-B_{12}\\
A_{21}-B_{21} & A_{22}-B_{22}
\end{bmatrix}
\end{align*}
\begin{rmq}
L'addition et la soustraction de deux matrices de dimensions différentes ne sont pas définies.
\end{rmq}

\subsection{Propriétés de l'addition matricielle}
Soient $A,B,C$ trois matrices~:
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item associativité~:
\begin{equation*}
A\boxplus(B\boxplus C)=(A\boxplus B)\boxplus C
\end{equation*}
\item existence d'un élément neutre appelé matrice nulle, notée $0$, dont tous les éléments sont nuls et telle que~:
\begin{equation*}
A\boxplus 0=A
\end{equation*}
\item pour toute matrice $A$ il existe une matrice opposée $\bar A$ telle que~:
\begin{equation*}
A\boxplus \bar A=0
\end{equation*}
L'existence d'une matrice opposée nécessite donc l'existence d'une matrice nulle.
De plus la soustraction matricielle est l'addition matricielle avec la matrice opposée~:
\begin{equation*}
A\boxplus\bar B=A\boxminus B
\end{equation*}
\item commutativité~:
\begin{equation*}
A\boxplus B=B\boxplus A
\end{equation*}
\end{enumerate}
\begin{ntn}
L'addition matricielle est habituellement notée $+$ et la soustraction $-$ par analogie avec les réels.
\end{ntn}

\section{Multiplication matricielle}\label{Notion:mult_mat}
\subsection{Multiplication d'une matrice par un scalaire}

Reprenons le système d'équations linéaires \eqref{Notion:sys_eq_lin} \vpageref{Notion:sys_eq_lin}.
Nous pouvons multiplier chaque équation par le scalaire $\alpha$.
Le produit matriciel de la matrice $A$ par le scalaire $\alpha$ sera noté~:
\begin{align*}
\alpha \boxtimes[A_{ij}]_{mn}=
\begin{bmatrix}
\alpha A_{11} & \alpha A_{12} &\cdots &\alpha A_{1n}\\
\alpha A_{21} & \alpha A_{22} &\cdots &\alpha A_{2n}\\
\vdots &\vdots  &\cdots &\vdots\\
\alpha A_{m1} & \alpha A_{m2} &\cdots &\alpha A_{mn}
\end{bmatrix}
\end{align*}
Le scalaire $\alpha$ est une matrice a un seul élément.
\subsubsection{Propriétés de la multiplication d'une matrice par un scalaire}

$\forall(\alpha,\beta)\in\symbb{R}^{2}$,
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item associativité~:
\begin{equation*}
\alpha \boxtimes\left(\beta \boxtimes A\right)=\left(\alpha \times\beta \right)\boxtimes A
\end{equation*}
C'est un abus de langage, il n'y a pas associativité car le signe $\boxtimes$ du membre de gauche de l'égalité est le signe
opératoire de la multiplication d'une matrice par un scalaire,
alors que le signe $\times$ du membre de droite est celui de la multiplication dans $\symbb{R}$.
\item distributivité par rapport à l'addition des réels~:
\begin{align*}
\left(\alpha+\beta \right)\boxtimes A
=(\alpha \boxtimes A)\boxplus(\beta \boxtimes A)
\end{align*}
C'est ici aussi un abus de langage, il n'y a pas distributivité car le signe $+$ du membre de gauche est le signe
opératoire de l'addition dans $\symbb{R}$, alors que le signe $\boxplus$ du membre de droite est celui de l'addition matricielle.
\item distributivité à gauche et à droite par rapport à l'addition des matrices~:
\begin{align*}
\alpha \boxtimes\left( A\boxplus B\right)
=\left( A\boxplus B\right)\boxtimes\alpha
=(\alpha \boxtimes A)\boxplus(\alpha \boxtimes B)
\end{align*}
\item existence d'un élément neutre, le réel $1$, tel que~:
\begin{equation*}
1\boxtimes A=A
\end{equation*}
\item commutativité~:
\begin{equation*}
\alpha \boxtimes A=A\boxtimes \alpha
\end{equation*}
\end{enumerate}

\subsection{Multiplication de deux matrices}

Soient les deux systèmes d'équations suivants~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
A_{11}u^{1}+A_{12}u^{2}=a_1\\
A_{21}u^{1}+A_{22}u^{2}=a_2
\end{dcases}
\quad \text{et} \quad
\begin{dcases}
B_{11}v^{1}+B_{12}v^{2}=u^{1}\\
B_{21}v^{1}+B_{22}v^{2}=u^{2}
\end{dcases}
\end{equation*}
Injectons le second dans le premier~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
A_{11}(B_{11}v^{1}+B_{12}v^{2})+A_{12}(B_{21}v^{1}+B_{22}v^{2})=a_1\\
A_{21}(B_{11}v^{1}+B_{12}v^{2})+A_{22}(B_{21}v^{1}+B_{22}v^{2})=a_2
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
(A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21})v^{1}+(A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22})v^{2}=a_1\\
(A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21})v^{1}+(A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22})v^{2}=a_2
\end{dcases}
\end{equation*}
Ce système s'écrit sous forme matricielle~:
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\
A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}
\end{bmatrix}
\boxtimes
\begin{pmatrix}
v^{1}\\
v^{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Or nous avons aussi~:
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
\boxtimes
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2
\end{pmatrix}
\quad \qquad \text{et} \qquad \quad
\begin{bmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{bmatrix}
\boxtimes
\begin{pmatrix}
v^{1}\\
v^{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}
\end{align*}
En injectant la seconde relation dans la première~:
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
\boxtimes
\left\{
\begin{bmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{bmatrix}
\boxtimes
\begin{pmatrix}
v^{1}\\
v^{2}
\end{pmatrix}
\right\}
&=
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2
\end{pmatrix}
\end{align*}
On constate l'associativité du produit matriciel et l'on a donc~:
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
\boxtimes
\begin{bmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\
A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}
\end{bmatrix}
\end{align*}
Chaque élément de la matrice produit est la multiplication d'une ligne de $A$ par une colonne de $B$.
Par conséquent la condition nécessaire et suffisante pour multiplier deux matrices dans l'ordre $AB$ est que
le nombre de colonnes de $A$ soit égal au nombre de lignes de $B$. Les matrices sont alors dites compatibles.
On justifie ainsi l'écriture en colonne des inconnues \eqref{Notion:mat_vect} \vpageref{Notion:mat_vect}.
\begin{ntn}\label{Notion:ntn:multi_mat}
La multiplication matricielle est souvent posée comme ceci~:
\begin{align*}
&\begin{bmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{bmatrix}
\\
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
&\begin{bmatrix}
A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\
A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}
\end{bmatrix}
\end{align*}
\end{ntn}

\subsubsection{Propriétés de la multiplication matricielle}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item associativité~:
\begin{equation*}
A\boxtimes(B\boxtimes C)=(A\boxtimes B)\boxtimes C=A\boxtimes B\boxtimes C
\end{equation*}
\item distributivité à gauche et à droite par rapport à l'addition matricielle~:
\begin{align*}
A\boxtimes(B\boxplus C)&=A\boxtimes B\boxplus A\boxtimes C\\
(B\boxplus C)\boxtimes A&=B\boxtimes A\boxplus C\boxtimes A
\end{align*}
\item en général non commutativité~:
\begin{equation*}
A\boxtimes B\neq B\boxtimes A
\end{equation*}
\end{enumerate}
\begin{ntn}
Par analogie avec la multiplication des réels, la multiplication matricielle est souvent notée $\times$,
ou encore on pourra omettre le symbole.
\end{ntn}

\section{Matrice colonne et matrice ligne}
\begin{ntn}
Nous noterons les matrices colonnes et les matrices lignes avec des parenthèses plutôt qu'avec des crochets.
\end{ntn}
Les éléments de ces matrices sont les composantes covariantes ou contravariantes d'un vecteur.
Les inconnues $u\mt1,u\mt2$ (dont on ignore la variance) forment un vecteur.
Nous avons deux possibilités~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item on pré-multiplie $A$ par une matrice ligne
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
u\mt1 & u\mt2
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
A_{11}u\mt1+A_{21}u\mt2 & A_{12}u\mt1+A_{22}u\mt2
\end{pmatrix}
\end{align*}
Le couple $u\mt1,u\mt2$ forme une matrice ligne et le résultat est aussi une matrice ligne.
\item on post-multiplie $A$ par une matrice colonne
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u\mt1\\
u\mt2
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
A_{11}u\mt1+A_{12}u\mt2\\
A_{21}u\mt1+A_{22}u\mt2
\end{pmatrix}
\end{align*}
Le couple $u\mt1,u\mt2$ forme une matrice colonne et le résultat est aussi une matrice colonne.
\end{itemize}
Toute matrice carrée peut prendre en entrée un vecteur colonne (respectivement ligne) et donner en sortie un autre vecteur colonne (respectivement ligne),
autrement dit peut transformer un vecteur en un autre vecteur du même type.
Notez que nous n'obtenons pas le même système d'équations linéaires selon que l'on pré-multiplie ou que l'on post-multiplie.
\begin{rmq}
La notation \ref{Notion:ntn:multi_mat} \vpageref{Notion:ntn:multi_mat} adoptée pour la multiplication matricielle
implique que les deux écritures suivantes
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u1 & u2
\end{pmatrix}
\quad \qquad \text{et} \qquad \quad
\begin{pmatrix}
u1\\
u2
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
\end{align*}
n'ont pas de sens car les matrices ne sont pas compatibles.
\end{rmq}

\section{Matrice transposée}
\begin{defi}[Matrice transposée]\index{Matrice!transposée}
Soit $A_{ij}$ un élément de la matrice $A$.
La matrice $B$ est la transposée de $A$ ssi~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\forall i,j\qquad B_{ij}=A_{ji}
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{ntn}
La transposée de $A$ est notée $\transp{A}$.
\end{ntn}
Si $A$ est une matrice $m\times n$ alors $\transp{A}$ est une matrice $n\times m$.
Par conséquent la transposée d'une matrice colonne donne une matrice ligne et réciproquement.

\subsection{Propriétés de la transposition matricielle}

Soit $k$ un scalaire~:
\begin{align*}
&\transp{(A+B)}=\transp{A}+\transp{B}\\
&\transp{(\transp{A})}=A\\
&\transp{(kA)}=k\transp{A}\\
&\transp{(AB)}=\transp{B}\transp{A}
\end{align*}
Si $\transp{A}=A$ alors $A$ est symétrique, si $\transp{A}=-A$ alors $A$ est antisymétrique.

\begin{exem}[Transposée d'une matrice $2\times 2$]
Nous avons~:
\begin{align*}
\transp{\begin{pmatrix}
A_{11}u^{1}+A_{12}u^{2}\\
A_{21}u^{1}+A_{22}u^{2}
\end{pmatrix}}
&=
\begin{pmatrix}
A_{11}u^{1}+A_{12}u^{2} & A_{21}u^{1}+A_{22}u^{2}
\end{pmatrix}\\
\transp{\left\{
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}
\right\}}
&=
\begin{pmatrix}
u^{1} & u^{2}
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{21}\\
A_{12} & A_{22}
\end{bmatrix}\\
&=
\transp{\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}}
\transp{\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}}
\end{align*}
Nous retrouvons la propriété $\transp{(AB)}=\transp{B}\transp{A}$.
\end{exem}
\section{Notation indicielle des matrices}

L'addition matricielle est notée~:
\begin{equation*}
\forall i,j\qquad C_{ij}=A_{ij}+B_{ij}
\end{equation*}
Pour la multiplication matricielle (de $A$ par $B$) nous utilisons la convention de notation li co pour les éléments des matrices.
Elle est alors notée~:
\begin{align*}
\forall i,j\qquad C_{ij}&=\sum_{k}A_{ik}B_{kj}\\
&=\sum_{k}B_{kj}A_{ik}
\end{align*}
\begin{rmq}
Pour la multiplication matricielle~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item soit le dernier indice de la première matrice est égal au premier indice de la seconde matrice
\item soit le premier indice de la première matrice est égal au dernier indice de la seconde matrice
\end{itemize}
\end{rmq}
Nous avons~:
\begin{equation*}
A_{ij}u^{j}=a_{i}
\quad \Leftrightarrow \quad
\begin{dcases}
A_{11}u^{1}+A_{12}u^{2}=a_1\\
A_{21}u^{1}+A_{22}u^{2}=a_2
\end{dcases}
\quad \Leftrightarrow \quad
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Leftrightarrow \quad
\begin{pmatrix}
A_{11}u^{1}+A_{12}u^{2}\\
A_{21}u^{1}+A_{22}u^{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2
\end{pmatrix}
\quad \Leftrightarrow \quad
A\tvmc{u}=\tvmc{a}
\end{equation*}

De même
\begin{equation*}
A_{ji}u^{j}=b_{i}
\quad \Leftrightarrow \quad
\begin{dcases}
A_{11}u^{1}+A_{21}u^{2}=b_1\\
A_{12}u^{1}+A_{22}u^{2}=b_2
\end{dcases}
\quad \Leftrightarrow \quad
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{21}\\
A_{12} & A_{22}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Leftrightarrow \quad
\begin{pmatrix}
A_{11}u^{1}+A_{21}u^{2}\\
A_{12}u^{1}+A_{22}u^{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2
\end{pmatrix}
\quad \Leftrightarrow \quad
\transp{A}\tvmc{u}=\tvmc{b}
\end{equation*}
Les matrices $A_{ij}$ et $A_{ji}$ sont transposées l'une de l'autre, à condition qu'elles soient suivies toutes les deux par $u^{j}$.
Grâce à la notation indicielle, démontrons une propriété de la transposition matricielle.
\begin{theo}
Soient $A=[A]_{mn}$ et $B=[B]_{np}$ alors~:
\begin{empheq}[box=\maboitetheo]{align*}
\transp{(AB)}=\transp{B}\transp{A}
\end{empheq}
\end{theo}
\begin{proof}
D'une part~:
\begin{align*}
\transp{(AB)}&=\transp{(\sum_{k}A_{ik}B_{kj})}\\
&=\transp{[C_{ij}]}_{mp}\\
&=[C_{ji}]_{pm}
\end{align*}
D'autre part, en posant
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\transp{B}=D=[D_{ij}]_{pn}\\
\transp{A}=E=[E_{ij}]_{nm}
\end{dcases}
\qquad \Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
D_{ij}=B_{ji}\\
E_{ij}=A_{ji}
\end{dcases}
\end{equation*}
nous avons~:
\begin{align*}
\transp{B}\transp{A}&=DE\\
&=\sum_{k}(D_{ik}E_{kj})\\
&=\sum_{k}(B_{ki}A_{jk})\\
&=\sum_{k}(A_{jk}B_{ki})\\
&=[C_{ji}]_{pm} \qedhere
\end{align*}
\end{proof}

\section{Matrice identité}
\begin{defi}[Matrice identité]\index{Matrice!identité}
La matrice identité ou matrice unité, notée $I$, est une matrice carrée d'ordre $n$, telle que
pour toute matrice carrée $A$ du même ordre~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
AI=IA=A
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{ntn}
En notation indicielle, la matrice identité d'ordre $n$ s'écrit~:
\begin{equation*}
I=[\delta_{ij}]_{nn}
\end{equation*}
\end{ntn}

\section{Inverse d'une matrice carrée}
\begin{defi}[Matrice inverse]\index{Matrice!inverse!definition@définition}
Une matrice carrée $A$ est inversible s'il existe une matrice carrée $B$ de même ordre,
appelée inverse de $A$, telle que~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
AB=BA=I
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{ntn}
En notation indicielle~:
\begin{equation*}
\sum_{k}A_{ik}B_{kj}=\sum_{k}B_{ik}A_{kj}=\delta_{ij}
\end{equation*}
\end{ntn}

\begin{ntn}
La matrice inverse de $A$ est notée $A^{-1}$.
\end{ntn}


L'inversion matricielle a les propriétés suivantes. Soit $k$ un scalaire non nul~:
\begin{align*}
&(A^{-1})^{-1}=A\\
&(kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}\\
&(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
\end{align*}
\begin{theo}\index{Matrice!inverse!unicité}
La matrice inverse est unique.
\end{theo}
\begin{proof}
Supposons $B\neq C$ telles que~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
AB=BA=I\\
AC=CA=I
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C \qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
\begin{theo}
Soient $A=[A]_{mn}$ et $B=[B]_{np}$ alors~:
\begin{empheq}[box=\maboitetheo]{align*}
\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
\end{empheq}
\end{theo}
\begin{proof}
Par associativité du produit matriciel~:
\begin{align*}
\left(AB\right)\left(B^{-1}A^{-1}\right)
&=A\left(BB^{-1}\right)A^{-1}=AIA^{-1}
=AA^{-1}=I
\end{align*}
De même~:
\begin{equation*}
\left(B^{-1}A^{-1}\right)\left(AB\right)
=B^{-1}\left(A^{-1}A\right)B=B^{-1}IB
=B^{-1}B=I \qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
\begin{theo}
Si $A$ est inversible alors $\transp{A}$ est inversible et
les opérations de transposition et d'inversion commutent~:
\begin{empheq}[box=\maboitetheo]{align*}
\transp{\left(A^{-1}\right)}=\left(\transp{A}\right)^{-1}
\end{empheq}
\end{theo}
\begin{proof}
\begin{align*}
&AA^{-1}=I\\
&\transp{\left(AA^{-1}\right)}=\transp{I}\\
&\transp{\left(A^{-1}\right)}\transp{A}=I\\
&\left[\transp{\left(A^{-1}\right)}\transp{A}\right]\left(\transp{A}\right)^{-1}=I\left(\transp{A}\right)^{-1}\\
&\transp{\left(A^{-1}\right)}\left[\transp{A}\left(\transp{A}\right)^{-1}\right]=\left(\transp{A}\right)^{-1}\\
&\transp{\left(A^{-1}\right)}=\left(\transp{A}\right)^{-1}
\end{align*}
Si $A^{-1}$ existe alors on peut prendre sa transposée et $\transp{\left(A^{-1}\right)}$ existe,
donc $\left(\transp{A}\right)^{-1}$ existe.
\end{proof}


\section{Déterminant d'une matrice carrée}
On résout par substitution le système d'équations suivant~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
A_{11}x_1+A_{12}x_2=a_1 & \qquad L_1\\
A_{21}x_1+A_{22}x_2=a_2 & \qquad L_2
\end{dcases}
\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
A_{11}x_1+A_{12}x_2=a_1 & \qquad L_1\\
A_{11}x_1+\frac{A_{11}A_{22}}{A_{21}}\,x_2=\frac{A_{11}}{A_{21}}\,a_2 & \qquad L_2\times \frac{A_{11}}{A_{21}}
\end{dcases}
\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\left(A_{12}-\frac{A_{11}A_{22}}{A_{21}}\right)x_2=a_1-\frac{A_{11}}{A_{21}}\,a_2 & \qquad L_1-L_2\\
x_1=\frac{a_2}{A_{21}}-\frac{A_{22}}{A_{21}}\,x_2 & \qquad L_2
\end{dcases}
\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
(A_{12}A_{21}-A_{11}A_{22})\,x_2=A_{21}a_1-A_{11}a_2 & \qquad L_1\times A_{21}\\
x_1=\frac{a_2}{A_{21}}-\frac{A_{22}}{A_{21}}\frac{A_{21}a_1-A_{11}a_2}{A_{12}A_{21}-A_{11}A_{22}}
\end{dcases}
\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
x_2=\frac{A_{21}a_1-A_{11}a_2}{A_{12}A_{21}-A_{11}A_{22}}\\
x_1=\frac{A_{12}a_2-A_{22}a_1}{A_{12}A_{21}-A_{11}A_{22}}
\end{dcases}
\qquad \Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
x_1=\frac{A_{22}a_1-A_{12}a_2}{A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}}\\
x_2=\frac{A_{11}a_2-A_{21}a_1}{A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}}
\end{dcases}
\end{equation*}
L'expression au dénominateur $A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}$, appelée \emph{déterminant} de la matrice $A$, doit être non nulle pour que le système soit soluble.
\begin{ntn}
Le déterminant de la matrice $A$ est noté~:
\begin{align*}
\det(A)&=
\begin{vmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{vmatrix}\\
&=A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}
\end{align*}
\end{ntn}

On remarque que l'on a alors~:
\begin{align*}
x_1&=\frac{
\begin{vmatrix}
a_1 & A_{12}\\
a_2 & A_{22}
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{vmatrix}}
\qquad \text{et} \qquad
x_2=\frac{
\begin{vmatrix}
A_{11} & a_1 \\
A_{21} & a_2
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{vmatrix}}
\end{align*}

Pour trouver l'expression du déterminant d'une matrice carrée $3\times3$ nous définissons d'abord les mineurs d'une matrice.
\begin{defi}[Mineur d'une matrice carrée]\index{Matrice!mineur}
Le $\symup{mineur}_{ij}(A)$ est le déterminant obtenu à partir de la matrice carrée $A$ en supprimant sa $i\ieme{}$ ligne et sa $j\ieme{}$ colonne.
\end{defi}

\begin{exem}[Mineur d'une matrice $3\times3$]
Soit la matrice carrée
\begin{align*}
A
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13}\\
A_{21} & A_{22} & A_{23}\\
A_{31} & A_{32} & A_{33}
\end{pmatrix}
\end{align*}
Le $\symup{mineur}_{23}(A)$ est le déterminant suivant~:
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{31} & A_{32}
\end{vmatrix}
=A_{11}A_{32}-A_{31}A_{12}
\end{align*}
\end{exem}
Nous définissons à présent les cofacteurs d'une matrice carrée.

\begin{defi}[Cofacteur d'une matrice carrée]\index{Matrice!cofacteur}
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\symup{C}_{ij}(A)\parDef (-1)^{i+j}\symup{mineur}_{ij}(A)
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{exem}[Cofacteur d'une matrice $3\times3$]
En reprenant la matrice de l'exemple précédent~:
\begin{align*}
\symup{C}_{23}(A)&=(-1)^{5}\symup{mineur}_{23}(A)\\
&=A_{31}A_{12}-A_{11}A_{32}
\end{align*}
\end{exem}
\begin{ntn}
En notation indicielle, le déterminant de la matrice carrée $A$ d'ordre $n$ s'écrit~:
\begin{align}
\det(A)&=\sum_{i=1}^nA_{ij}\,\symup{C}_{ij}(A)\label{Notion:det_cofacteur}\\
&=\sum_{j=1}^nA_{ij}\,\symup{C}_{ij}(A)\notag
\end{align}
\end{ntn}

Le déterminant de la matrice carrée $3\times3$ peut s'écrire de 6 façons, correspondant au choix d'une ligne parmi trois ou d'une colonne parmi trois~:
\begin{align*}
\det(A)
&=A_{11}\,\symup{C}_{11}+A_{12}\,\symup{C}_{12}+A_{13}\,\symup{C}_{13}\\
&=A_{21}\,\symup{C}_{21}+A_{22}\,\symup{C}_{22}+A_{23}\,\symup{C}_{23}\\
&=A_{31}\,\symup{C}_{31}+A_{32}\,\symup{C}_{32}+A_{23}\,\symup{C}_{33}\\
&=A_{11}\,\symup{C}_{11}+A_{21}\,\symup{C}_{21}+A_{31}\,\symup{C}_{31}\\
&=A_{12}\,\symup{C}_{12}+A_{22}\,\symup{C}_{22}+A_{32}\,\symup{C}_{32}\\
&=A_{13}\,\symup{C}_{13}+A_{23}\,\symup{C}_{23}+A_{33}\,\symup{C}_{33}
\end{align*}


\begin{exem}[Déterminant d'une matrice $3\times3$]
En reprenant la matrice de l'exemple précédent
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13}\\
A_{21} & A_{22} & A_{23}\\
A_{31} & A_{32} & A_{33}
\end{vmatrix}
&=A_{11}
\begin{vmatrix}
A_{22} & A_{23}\\
A_{32} & A_{33}
\end{vmatrix}
-A_{12}
\begin{vmatrix}
A_{21} & A_{23}\\
A_{31} & A_{33}
\end{vmatrix}
+A_{13}
\begin{vmatrix}
A_{21} & A_{22}\\
A_{31} & A_{32}
\end{vmatrix}
\end{align*}
\end{exem}

La différentielle du déterminant de la matrice n'est pas le déterminant de la différentielle de la matrice.
La différentielle du déterminant \eqref{Notion:det_cofacteur} \vpageref{Notion:det_cofacteur} s'écrit~:
\begin{align*}
\dd \det(A)&=\sum_{j=1}^n\left[\dd A_{ij}\,\symup{C}_{ij}(A)+A_{ij}\,\dd \symup{C}_{ij}(A)\right]\\
&=\sum_{j=1}^n\dd A_{ij}\,\symup{C}_{ij}(A)+\sum_{j=1}^nA_{ij}\,\dd \symup{C}_{ij}(A)
\end{align*}
Pour une matrice $3\times3$~:
\begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
\dd \det(A)&=&\dd A_{11}C_{11}+\dd A_{12}C_{12}+\dd A_{13}C_{13}+A_{11}\dd C_{11}+A_{12}\dd C_{12}+A_{13}\dd C_{13}\\
&=&\dd A_{11}C_{11}+\dd A_{12}C_{12}+\dd A_{13}C_{13}\\
&&+A_{11}\dd (A_{22}A_{33}-A_{32}A_{23})+A_{12}\dd (A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33})+A_{13}\dd (A_{21}A_{32}-A_{31}A_{22})\\
&=&\dd A_{11}C_{11}+\dd A_{12}C_{12}+\dd A_{13}C_{13}\\
&&+\dd A_{21}(A_{12}A_{33}-A_{13}A_{32})+\dd A_{22}(A_{11}A_{33}-A_{13}A_{31})+\dd A_{23}(A_{11}A_{32}-A_{12}A_{31})\\
&&+\dd A_{31}(A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22})+\dd A_{32}(A_{11}A_{23}-A_{13}A_{21})+\dd A_{33}(A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21})\\
&=&\dd A_{11}C_{11}+\dd A_{12}C_{12}+\dd A_{13}C_{13}\\
&&\qquad\qquad+\dd A_{21}C_{21}+\dd A_{22}C_{22}+\dd A_{23}C_{23}\\
&&\qquad\qquad\qquad\qquad+\dd A_{31}C_{31}+\dd A_{32}C_{32}+\dd A_{33}C_{33}
\end{IEEEeqnarray*}
\begin{ntn}
En notation indicielle et en généralisant à une matrice d'ordre $n$~:
\begin{equation*}
\dd \det(A)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\symup{C}_{ij}(A)\dd A_{ij}
\end{equation*}
\end{ntn}

\chapter{Transformation de coordonnées}
%\minitoc
\section{Matrice jacobienne et jacobien}
On se place dans un espace à trois dimensions, la généralisation à $n$ dimensions est immédiate.
Soit $T$ la transformation de l'ancien système de coordonnées $(x^{i})$
vers le nouveau système de coordonnées primées $(x^{j'})$~:
\begin{equation}
T\quad :\qquad \forall j=1,2,3\qquad x^{j'}=x^{j'}\left(x^{1},x^{2},x^{3}\right)\label{Notion:trco}
\end{equation}
\begin{ntn}
La transformation $T$ est aussi notée $(x^{i})\to(x^{j'})$.
\end{ntn}

Si cette transformation est bijective, c.-à-d. si à tout vecteur
de son domaine de définition elle fait correspondre un unique vecteur de son ensemble d'arrivée,
alors $(x^{1'},x^{2'},x^{3'})$ est aussi un système de coordonnées.
Exprimons les différentielles des nouvelles coordonnées en fonction des anciennes~:
\begin{equation}\label{Notion:ddncefda}
\begin{dcases}
\dd x^{1'}=\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{1}}\,\dd x^{1}+\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{2}}\,\dd x^{2}+\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{3}}\,\dd x^{3}\\
\dd x^{2'}=\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{1}}\,\dd x^{1}+\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{2}}\,\dd x^{2}+\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{3}}\,\dd x^{3}\\
\dd x^{3'}=\frac{\partial x^{3'}}{\partial x^{1}}\,\dd x^{1}+\frac{\partial x^{3'}}{\partial x^{2}}\,\dd x^{3}+\frac{\partial x^{3'}}{\partial x^{3}}\,\dd x^{3}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow\quad
\begin{pmatrix}
\dd x^{1'}\\
\dd x^{2'}\\
\dd x^{3'}
\end{pmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{1}} & \frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{2}} & \frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{3}}\\
\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{1}} & \frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{2}} & \frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{3}}\\
\frac{\partial x^{3'}}{\partial x^{1}} & \frac{\partial x^{3'}}{\partial x^{2}} & \frac{\partial x^{3'}}{\partial x^{3}}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\dd x^{1}\\
\dd x^{2}\\
\dd x^{3}
\end{pmatrix}
\end{equation}
\begin{defi}[Matrice jacobienne d'une transformation]\label{Notion:def:jacob}\index{Matrice!jacobienne}
La matrice carrée $3\times 3$ des dérivées partielles premières des nouvelles coordonnées par rapport aux anciennes,
est appelée matrice jacobienne de la transformation $(x^{i})\to(x^{j'})$.
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
J
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{1}} & \frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{2}} & \frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{3}}\\
\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{1}} & \frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{2}} & \frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{3}}\\
\frac{\partial x^{3'}}{\partial x^{1}} & \frac{\partial x^{3'}}{\partial x^{2}} & \frac{\partial x^{3'}}{\partial x^{3}}
\end{bmatrix}
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{ntn}
La matrice jacobienne est aussi notée $J\left[\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}\right]_{33}$.
\end{ntn}
En utilisant la convention de sommation sur les indices répétés en haut et en bas \ref{Notion:ntn:conv_somm} \vpageref{Notion:ntn:conv_somm}~:
\begin{align*}
\forall j=1,2,3\qquad \dd x^{j'}&=\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}\,\dd x^{i}\\
&=J^{j'}_{i}\dd x^{i}
\end{align*}
\begin{rmq}
Lorsque l'on utilise la convention de sommation \ref{Notion:ntn:conv_somm} \vpageref{Notion:ntn:conv_somm} il ne peut plus y avoir de notation
indicielle \raisebox{-0.7ex}{\stackon[1pt]{\text{co}}{\text{li}}},
car par exemple lorsque l'on post-multiplie, l'indice sur lequel on somme est toujours l'indice de colonne.
Hors sa position en notation indicielle et avec la convention de sommation dépend du terme qui suit~:
\begin{equation*}
A^{i}_{j}u_{i}=A^{1}_{j}u_{1}+A^{2}_{j}u_{2}\qquad\text{et}\qquad A^{i}_{j}u^{j}=A^{i}_{1}u^{1}+A^{i}_{2}u^{2}
\end{equation*}
\end{rmq}
En prenant le déterminant de chaque terme de \eqref{Notion:ddncefda} \vpageref{Notion:ddncefda}~:
\begin{align*}
\dd x^{1'}\,\dd x^{2'}\,\dd x^{3'}&=\det(J)\,\dd x^{1}\,\dd x^{2}\,\dd x^{3}\\
\prod_{i=1}^{3}\dd x^{i'}&=\det(J)\prod_{i=1}^{3}\dd x^{i}
\end{align*}
\begin{ntn}
On utilisera la notation suivante~:
\begin{equation*}
\prod_{i=1}^{n}\dd x^{i}\parDef\dd\Omega
\end{equation*}
Le produit des différentielles des coordonnées est aussi parfois noté $\dd ^{n}x$.
En coordonnées rectangulaires uniquement, $\dd\Omega$ se confond avec l'hypervolume élémentaire de l'espace $\dd \Vol$.
\end{ntn}
Avec cette notation~:
\begin{equation*}
\dd\Omega'=\det(J)\dd\Omega
\end{equation*}

\begin{defi}[Jacobien d'une transformation]\index{Jacobien d'une transformation}
Le déterminant de la matrice Jacobienne est appelé jacobien de la transformation $T$.
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\det(J)&\parDef
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{1}} & \frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{2}} & \frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{3}}\\
\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{1}} & \frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{2}} & \frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{3}}\\
\frac{\partial x^{3'}}{\partial x^{1}} & \frac{\partial x^{3'}}{\partial x^{2}} & \frac{\partial x^{3'}}{\partial x^{3}}
\end{vmatrix}
\end{empheq}
En utilisant le symbole d'antisymétrie déf.~\ref{Notion:def:symb_antisym} \vpageref{Notion:def:symb_antisym}~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\det(J)&\parDef \varepsilon_{i'j'k'}\,\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^{1}}\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{2}}\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{3}}\\
&\parDef \varepsilon^{ijk}\,\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{i}}\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{j}}\frac{\partial x^{3'}}{\partial x^{k}}
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{exem}
En coordonnées rectangulaires et cylindriques~:
\begin{align*}
\dd x\,\dd y\,\dd z&=\dd \rho\,\rho \dd \phi \,\dd z\\
\dd \Vol&=\rho\dd\Omega
\end{align*}
$\rho$ est le jacobien de la transformation des coordonnées cylindriques en coordonnées rectangulaires.
\end{exem}
\begin{defi}[Transformation des coordonnées]\index{Transformation!des coordonnées}
Soit $\left(x^{1},x^{2},x^{3}\right)$ un système de coordonnées de l'espace ponctuel $\epn{E}{3}$.
Les $3$ équations~\eqref{Notion:trco} \vpageref{Notion:trco} sont la transformation de coordonnées $T$ vers
le nouveau système de coordonnées $\left(x^{1'},x^{2'},x^{3'}\right)$ de l'espace ponctuel $\epn{E}{3}$,
ssi la transformation est de classe $C^{2}$ et le jacobien de la transformation est non nul (la transformation $T$ est alors bijective)
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\det(J)\neq 0
\end{empheq}
\end{defi}
Le jacobien étant non nul, nous pouvons inverser la transformation
\begin{equation*}
T^{-1}\quad :\qquad \forall i=1,2,3\qquad x^{i}=x^{i}\left(x^{1'},x^{2'},x^{3'}\right)
\end{equation*}
$T^{-1}$ a pour matrice jacobienne~:
\begin{align}\label{Notion:K}
K
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{1'}} & \frac{\partial x^{1}}{\partial x^{2'}} & \frac{\partial x^{1}}{\partial x^{3'}}\\
\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{1'}} & \frac{\partial x^{2}}{\partial x^{2'}} & \frac{\partial x^{2}}{\partial x^{3'}}\\
\frac{\partial x^{3}}{\partial x^{1'}} & \frac{\partial x^{3}}{\partial x^{2'}} & \frac{\partial x^{3}}{\partial x^{3'}}
\end{bmatrix}
\end{align}
En notation indicielle~:
\begin{equation*}
\forall i,j=1,2,3\qquad K^{i}_{j'}=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j'}}
\end{equation*}
\begin{ntn}
La matrice jacobienne est aussi notée $K\left[\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j'}}\right]_{33}$.
\end{ntn}

À partir des relations \eqref{Notion:ex_Kroneker} \vpageref{Notion:ex_Kroneker},
\begin{equation*}
\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{k}}\,\frac{\partial x^{k}}{\partial x^{i'}}=\delta^{j}_{i}
\qquad \text{et} \qquad \frac{\partial x^{j}}{\partial x^{k'}}\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{i}}=\delta^{j}_{i}
\end{equation*}
qui s'écrit sous forme matricielle~:
\begin{equation*}
JK=KJ=I
\end{equation*}
où $I$ est la matrice identité. La matrice $K$ est aussi notée $J^{-1}$.
La matrice jacobienne de la transformation inverse est égale à l'inverse de la matrice jacobienne de la transformation.


Les matrices jacobiennes étant inverses l'une de l'autre,
il s'en suit que les jacobiens sont également inverses l'un de l'autre~:
\begin{equation*}
\det(K)=[\det(J)]^{-1}
\end{equation*}
Si la transformation est entre repères rectilignes alors les $\frac{\partial x}{\partial y}$ sont tous constants et le jacobien est constant.
En repères curvilignes le jacobien est fonction des coordonnées du point.

\begin{exem}[Matrice jacobienne d'une transformation]
La matrice jacobienne de la transformation $(\rho,\theta)\to(x,y)$ s'écrit~:
\begin{align*}
J\begin{bmatrix}
\partial_{\rho}x & \partial_{\theta}x\\
\partial_{\rho}y & \partial_{\theta}y
\end{bmatrix}
&=J
\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & -\rho \sin(\theta)\\
\sin(\theta) & \rho \cos(\theta)
\end{bmatrix}
\end{align*}

Elle a pour déterminant~:
\begin{align*}
\det(J)&=\rho \cos^{2}(\theta)+\rho \sin^{2}(\theta)\\
&=\rho
\end{align*}
Cette transformation est bijective pour $\det(J)\neq0$,
donc pour $\rho \neq0$,
c.-à-d. pour le plan privé du point origine.


La matrice jacobienne de la transformation inverse $(x,y)\to(\rho,\theta)$ s'écrit~:
\begin{align}
K
\begin{bmatrix}\notag
\partial_{x}\rho & \partial_{y}\rho \\
\partial_{x}\theta & \partial_{y}\theta
\end{bmatrix}
&=K
\begin{bmatrix}\notag
x\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-1/2} & y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-1/2}\\
-y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-1} & x\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-1}
\end{bmatrix}\\
&=K
\begin{bmatrix}\label{Notion:Kpol}
\cos(\theta) & \sin(\theta)\\
-\frac{\sin(\theta)}{\rho} & \frac{\cos(\theta)}{\rho}
\end{bmatrix}
\end{align}
Elle a pour déterminant~:
\begin{align*}
\det(K)&=\frac{\cos^{2}(\theta)}{\rho}+\frac{\sin^{2}(\theta)}{\rho}\\
&=\frac{1}{\rho}
\end{align*}
\end{exem}

\begin{exem}[Vecteurs orthonormés]
En coordonnées rectangulaires~:
\begin{align*}
\vmatg{u}'&=
\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & -\rho \sin(\theta)\\
\sin(\theta) & \rho \cos(\theta)
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\tfrac{3}{5}\\
\tfrac{4}{5\rho}
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\tfrac{3}{5}\cos(\theta)-\tfrac{4}{5}\sin(\theta)\\
\tfrac{3}{5}\sin(\theta)+\tfrac{4}{5}\cos(\theta)
\end{pmatrix}
\end{align*}
\begin{align*}
\|\vmatg{u}\|^{2}&=\delta_{ij}u^{i}u^{j}=
\left[\tfrac{3}{5}\cos(\theta)-\tfrac{4}{5}\sin(\theta)\right]^{2}+\left[\tfrac{3}{5}\sin(\theta)+\tfrac{4}{5}\cos(\theta)\right]^{2}\\
&=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1
\end{align*}
\begin{align*}
\vmatg{v}'&=
\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & -\rho \sin(\theta)\\
\sin(\theta) & \rho \cos(\theta)
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\tfrac{-4}{5}\\
\tfrac{3}{5\rho}
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\tfrac{-4}{5}\cos(\theta)-\tfrac{3}{5}\sin(\theta)\\
\tfrac{-4}{5}\sin(\theta)+\tfrac{3}{5}\cos(\theta)
\end{pmatrix}
\end{align*}
\begin{align*}
\|\vmatg{v}\|^{2}&=\delta_{ij}v^{i}v^{j}=
\left[\tfrac{-4}{5}\cos(\theta)-\tfrac{3}{5}\sin(\theta)\right]^{2}+\left[\tfrac{-4}{5}\sin(\theta)+\tfrac{3}{5}\cos(\theta)\right]^{2}\\
&=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1
\end{align*}
\begin{align*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}&=\delta_{ij}u^{i}v^{j}\\
&=\left[\tfrac{3}{5}\cos(\theta)-\tfrac{4}{5}\sin(\theta)\right]\left[\tfrac{-4}{5}\cos(\theta)-\tfrac{3}{5}\sin(\theta)\right]\\
&\qquad \qquad \qquad \qquad +\left[\tfrac{3}{5}\sin(\theta)+\tfrac{4}{5}\cos(\theta)\right]\left[\tfrac{-4}{5}\sin(\theta)+\tfrac{3}{5}\cos(\theta)\right]
\end{align*}
\begin{equation*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=-\tfrac{12}{25}+\tfrac{12}{25}=0
\end{equation*}
\end{exem}

\begin{exem}[Espace de Poincaré-Minkowski]
Passer dans l'espace de Poincaré-Minkowski (prendre une coordonnée temporelle imaginaire) revient à effectuer la transformation~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
x^{1}=x\\
x^{2}=y\\
x^{3}=z\\
x^{4}=it
\end{dcases}
\end{equation*}
Cette transformation a pour jacobien~:
\begin{align*}
\det(J)&=
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & i
\end{vmatrix}
=i
\end{align*}
\end{exem}

\section{Matrice changement de base}\index{Matrice!changement de base}
Tout changement de coordonnées induit un changement de la base associée au système de coordonnées, donc une transformation des vecteurs de base.
Lors d'une transformation de coordonnées, les vecteurs de base sont les seuls à se transformer,
les autres vecteurs restent identiques à eux-mêmes.

\begin{exem}[Vecteur vitesse par changement de base]
Le vecteur vitesse $\tvmc{v}$ d'un mobile ne dépend pas de la base naturelle du système de coordonnées dans laquelle on l'exprime (mais il dépend du référentiel).
Dans le cas où ce vecteur est unitaire vertical dirigé vers le haut,
il ne doit pas être confondu avec le vecteur de base $\vmatg{e}_{2}$ qui lui subira un vrai changement pour devenir $\vmatg{e}_{2'}$.
Lors du changement de base les composantes du vecteur vitesse se transforment de manière à ce que le vecteur reste identique à lui-même.
\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-3,-.5)(7,3.5)
%\psgrid (-3,-.5)(7,3.5)
\psline(0,0)(3.5;70)
\psline(0,0)(6;0)
\psline{->}(0,0)(1;70)
\psline{->}(0,0)(1;0)
\psline{->}(0,0)(1;90)
\psline(0,0)(3.5;90)
\psline{->}(2,1)(4,2)
%Lettres
\rput(3,2){$\tvmc{v}$}
\rput(-.4,1){$\vmatg{e}_{2}$}
\rput(.7,1){$\vmatg{e}_{2'}$}
\rput(1.4,-.3){$\vmatg{e}_{1}=\vmatg{e}_{1'}$}
\rput(-.3,.1){$O$}
\end{pspicture}
\caption{Changement de base}
\end{figure}
\end{exem}

\begin{defi}[Matrice changement de base]\index{Matrice!changement de base}
Soient $(\vmatg{e}_{i})$ et $(\vmatg{e}_{j'})$ deux bases d'un espace vectoriel $\evn{E}{3}$ où les indices de la nouvelle base sont primés.
$A$ est appelée matrice changement de base $(\vmatg{e}_{i})\to(\vmatg{e}_{j'})$~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}_{1'}=A_{1'}^{1}\,\vmatg{e}_{1}+A_{1'}^{2}\,\vmatg{e}_{1}+A_{1'}^{3}\,\vmatg{e}_{3}\\
\vmatg{e}_{2'}=A_{2'}^{1}\,\vmatg{e}_{1}+A_{2'}^{2}\,\vmatg{e}_{1}+A_{2'}^{3}\,\vmatg{e}_{3}\\
\vmatg{e}_{3'}=A_{3'}^{1}\,\vmatg{e}_{1}+A_{3'}^{2}\,\vmatg{e}_{1}+A_{3'}^{3}\,\vmatg{e}_{3}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{pmatrix}
\vmatg{e}_{1'}\\
\vmatg{e}_{2'}\\
\vmatg{e}_{3'}\\
\end{pmatrix}
=
\begin{bmatrix}
A_{1'}^{1} & A_{1'}^{2} & A_{1'}^3\\
A_{2'}^{1} & A_{2'}^{2} & A_{2'}^3\\
A_{3'}^{1} & A_{3'}^{2} & A_{3'}^3
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\vmatg{e}_{1}\\
\vmatg{e}_{2}\\
\vmatg{e}_{3}
\end{pmatrix}
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{equation*}
A
\begin{bmatrix}
A_{1'}^{1} & A_{1'}^{2} & A_{1'}^3\\
A_{2'}^{1} & A_{2'}^{2} & A_{2'}^3\\
A_{3'}^{1} & A_{3'}^{2} & A_{3'}^3\\
\end{bmatrix}
\parDef
A
\begin{bmatrix}
(\vmatg{e}_{1'})_{\vmatg{e}_{i}}\\
(\vmatg{e}_{2'})_{\vmatg{e}_{i}}\\
(\vmatg{e}_{3'})_{\vmatg{e}_{i}}
\end{bmatrix}
\end{equation*}
où $(\vmatg{e}_{j'})_{\vmatg{e}_{i}}$ est le vecteur $\vmatg{e}_{j'}$ exprimé dans la base $(\vmatg{e}_{i})$.
Nous avons
\begin{align}\label{Notion:e'Ae}
\begin{pmatrix}
\vmatg{e}_{1'}\\
\vmatg{e}_{2'}\\
\vmatg{e}_{3'}
\end{pmatrix}
&=
A
\begin{pmatrix}
\vmatg{e}_{1}\\
\vmatg{e}_{2}\\
\vmatg{e}_{3}
\end{pmatrix}
\end{align}
où les éléments des vecteurs colonnes sont eux-mêmes des vecteurs.
Avec la convention de sommation \ref{Notion:ntn:conv_somm} \vpageref{Notion:ntn:conv_somm}~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}
\forall j=1,2,3\qquad \vmatg{e}_{j'}=A^{i}_{j'}\vmatg{e}_{i}\label{Notion:A}
\end{empheq}

\begin{rmq}
La matrice jacobienne et la matrice changement de base ne sont pas des tenseurs, leurs composantes ne se transforment pas lors d'un changement de base.
Leurs indices ne sont pas des indices de variance, nous pouvons les placer en haut ou en bas pour utiliser la convention de sommation.
\end{rmq}
Le changement de base inverse s'écrit~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}_{1}=B^{1'}_1\,\vmatg{e}_{1'}+B^{2'}_1\,\vmatg{e}_{2'}+B^{3'}_1\,\vmatg{e}_{3'}\\
\vmatg{e}_{2}=B^{1'}_2\,\vmatg{e}_{1'}+B^{2'}_2\,\vmatg{e}_{2'}+B^{3'}_2\,\vmatg{e}_{3'}\\
\vmatg{e}_{3}=B^{1'}_3\,\vmatg{e}_{1'}+B^{2'}_3\,\vmatg{e}_{2'}+B^{3'}_3\,\vmatg{e}_{3'}
\end{dcases}\quad \Rightarrow \quad
\begin{pmatrix}
\vmatg{e}_{1}\\
\vmatg{e}_{2}\\
\vmatg{e}_{3}
\end{pmatrix}
=
B
\begin{pmatrix}
\vmatg{e}_{1'}\\
\vmatg{e}_{2'}\\
\vmatg{e}_{3'}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
En notation indicielle,
\begin{equation}
\forall i=1,2,3\qquad \vmatg{e}_{i}=B^{j'}_{i}\vmatg{e}_{j'}\label{Notion:B}
\end{equation}

Les matrices $A$ et $B$ sont inverses l'une de l'autre~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\vmatg{e}_{1'}\\
\vmatg{e}_{2'}\\
\vmatg{e}_{3'}
\end{pmatrix}
&=A
\begin{pmatrix}
\vmatg{e}_{1}\\
\vmatg{e}_{2}\\
\vmatg{e}_{3}
\end{pmatrix}\\
&=AB
\begin{pmatrix}
\vmatg{e}_{1'}\\
\vmatg{e}_{2'}\\
\vmatg{e}_{3'}
\end{pmatrix}
\end{align*}
Donc
\begin{equation*}
AB=I
\end{equation*}
Faisons de même en notation indicielle.
En changeant les indices muets,
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\forall j=1,2,3\qquad \vmatg{e}_{j'}=A^{i}_{j'}\vmatg{e}_{i}\\
\forall i=1,2,3\qquad \vmatg{e}_{i}=B^{k'}_{i}\vmatg{e}_{k'}
\end{dcases}
\end{equation*}
d'une part,
\begin{align*}
\forall j=1,2,3\qquad \vmatg{e}_{j'}&=A^{i}_{j'}\vmatg{e}_{i}\\
&=A^{i}_{j'}B^{k'}_{i}\vmatg{e}_{k'}\\
&=B^{k'}_{i}A^{i}_{j'}\vmatg{e}_{k'}
\end{align*}
et d'autre part~:
\begin{equation*}
\forall j=1,2,3\qquad \vmatg{e}_{j'}=\delta^{k'}_{j'}\vmatg{e}_{k'}
\end{equation*}
Par conséquent~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\forall k,j=1,2,3\qquad B^{k'}_{i}A^{i}_{j'}=\delta^{k'}_{j'}
\end{empheq}

\section{Matrice de passage}\index{Matrice!de passage}
La matrice de passage donne la transformation des composantes des vecteurs autres que les vecteurs de bases,
de la nouvelle base vers l'ancienne base.
\begin{exem}
Pour le vecteur vitesse par changement de base (mais pas par changement de référentiel)~:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\tvmc{v}&=\tvmc{v}'\\
\ntvmc{v}^{1}\vmatg{e}_{1}+\ntvmc{v}^{2}\vmatg{e}_{2}+\ntvmc{v}^{3}\vmatg{e}_{3}&=\ntvmc{v}^{1'}\vmatg{e}_{1'}
+\ntvmc{v}^{2'}\vmatg{e}_{2'}+\ntvmc{v}^{3'}\vmatg{e}_{3'}\\
&=\ntvmc{v}^{1'}(A_{1'}^{1}\vmatg{e}_{1}+A_{1'}^{2}\vmatg{e}_{2}+A_{1'}^{3}\vmatg{e}_{3})\\
&\qquad\qquad+\ntvmc{v}^{2'}(A_{2'}^{1}\vmatg{e}_{1}+A_{2'}^{2}\vmatg{e}_{2}+A_{2'}^{3}\vmatg{e}_{3})\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad+\ntvmc{v}^{3'}(A_{3'}^{1}\vmatg{e}_{1}+A_{3'}^{2}\vmatg{e}_{2}+A_{3'}^{3}\vmatg{e}_{3})\\
&=\left(\ntvmc{v}^{1'}A_{1'}^{1}+\ntvmc{v}^{2'}A_{2'}^{1}+\ntvmc{v}^{3'}A_{3'}^{1}\right)\vmatg{e}_{1}\\
&\qquad\qquad+\left(\ntvmc{v}^{1'}A_{1'}^{2}+\ntvmc{v}^{2'}A_{2'}^{2}+\ntvmc{v}^{3'}A_{3'}^{2}\right)\vmatg{e}_{2}\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad+\left(\ntvmc{v}^{1'}A_{1'}^{3}+\ntvmc{v}^{2'}A_{2'}^{3}+\ntvmc{v}^{3'}A_{3'}^{3}\right)\vmatg{e}_{3}
\end{aligned}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\begin{dcases}
\ntvmc{v}^{1}=\ntvmc{v}^{1'}A_{1'}^{1}+\ntvmc{v}^{2'}A_{2'}^{1}+\ntvmc{v}^{3'}A_{3'}^{1}\\
\ntvmc{v}^{2}=\ntvmc{v}^{1'}A_{1'}^{2}+\ntvmc{v}^{2'}A_{2'}^{2}+\ntvmc{v}^{3'}A_{3'}^{2}\\
\ntvmc{v}^{3}=\ntvmc{v}^{1'}A_{1'}^{3}+\ntvmc{v}^{2'}A_{2'}^{3}+\ntvmc{v}^{3'}A_{3'}^{3}
\end{dcases}
\qquad\Rightarrow\qquad
\begin{pmatrix}
\ntvmc{v}^{1}\\
\ntvmc{v}^{2}\\
\ntvmc{v}^{3}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
A_{1'}^{1} & A_{2'}^{1} & A_{3'}^{1}\\
A_{1'}^{2} & A_{2'}^{2} & A_{3'}^{2}\\
A_{1'}^{3} & A_{2'}^{3} & A_{3'}^{3}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\ntvmc{v}^{1'}\\
\ntvmc{v}^{2'}\\
\ntvmc{v}^{3'}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
\ntvmc{v}^{1}\\
\ntvmc{v}^{2}\\
\ntvmc{v}^{3}
\end{pmatrix}
&=\transp{A}
\begin{pmatrix}
\ntvmc{v}^{1'}\\
\ntvmc{v}^{2'}\\
\ntvmc{v}^{3'}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\end{equation*}
\end{exem}

\begin{defi}[Matrice de passage]\index{Matrice!de passage}
La transposée de $A$ est appelée matrice de passage du changement de base $(\vmatg{e}_{i})\to(\vmatg{e}_{j'})$~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
P\parDef \transp{A}
\end{empheq}
On a~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
P
\begin{bmatrix}
(\vmatg{e}_{1'})_{\vmatg{e}_{i}} & (\vmatg{e}_{2'})_{\vmatg{e}_{i}} & (\vmatg{e}_{3'})_{\vmatg{e}_{i}}
\end{bmatrix}
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{equation*}
\forall i=1,2,3\qquad\symup{v}^{i}=P_{j'}^{i}\symup{v}^{j'}
\end{equation*}

\section{Changement de base naturelle}
La transformation des vecteurs de base est due à un changement de coordonnées
ou à un déplacement de l'origine de la base dans un système de coordonnées curviligne.
Sauf avis contraire, nous nous placerons dans la base naturelle du système de coordonnées.
\begin{align*}
\forall j=1,2,3\qquad \bng{e}_{j'}&=\frac{\partial \vmatg{M}}{\partial x^{j'}}\\
&=\frac{\partial \vmatg{M}}{\partial x^{i}}\,\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j'}}
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}
\forall j=1,2,3\qquad \bng{e}_{j'}=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j'}}\,\bng{e}_{i}\label{Notion:ej'ei}
\end{empheq}
Ces relations ne sont valables que pour un changement de base naturelle à base naturelle.
Ces relations et \eqref{Notion:A} \vpageref{Notion:A} donnent l'expression des éléments de la matrice changement de base entre deux bases naturelles~:
\begin{equation*}
\forall i,j=1,2,3\qquad A^{i}_{j'}=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j'}}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\begin{dcases}
\bng{e}_{1'}=\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{1'}}\,\bng{e}_{1}+\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{1'}}\,\bng{e}_{2}+\frac{\partial x^{3}}{\partial x^{1'}}\,\bng{e}_{3}\\
\bng{e}_{2'}=\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{2'}}\,\bng{e}_{1}+\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{2'}}\,\bng{e}_{2}+\frac{\partial x^{3}}{\partial x^{2'}}\,\bng{e}_{3}\\
\bng{e}_{3'}=\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{3'}}\,\bng{e}_{1}+\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{3'}}\,\bng{e}_{2}+\frac{\partial x^{3}}{\partial x^{3'}}\,\bng{e}_{3}
\end{dcases}\quad \Rightarrow \quad
\begin{pmatrix}
\bng{e}_{1'}\\
\bng{e}_{2'}\\
\bng{e}_{3'}
\end{pmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{1'}} & \frac{\partial x^{2}}{\partial x^{1'}} & \frac{\partial x^{3}}{\partial x^{1'}}\\
\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{2'}} & \frac{\partial x^{2}}{\partial x^{2'}} & \frac{\partial x^{3}}{\partial x^{2'}}\\
\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{3'}} & \frac{\partial x^{2}}{\partial x^{3'}} & \frac{\partial x^{3}}{\partial x^{3'}}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\bng{e}_{1}\\
\bng{e}_{2}\\
\bng{e}_{3}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
C'est la transposée de l'inverse de la matrice jacobienne \eqref{Notion:K} \vpageref{Notion:K}~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\bng{e}_{1'}\\
\bng{e}_{2'}\\
\bng{e}_{3'}
\end{pmatrix}
&=\transp{K}
\begin{pmatrix}
\bng{e}_{1}\\
\bng{e}_{2}\\
\bng{e}_{3}
\end{pmatrix}
\end{align*}
\begin{rmq}
Pour des bases naturelles $A=\transp{\left(J^{-1}\right)}$.
\end{rmq}


Les transformations inverses s'écrivent~:
\begin{align*}
\forall i=1,2,3\qquad \bng{e}_{i}&=\frac{\partial \vmatg{M}}{\partial x^{i}}\\
&=\frac{\partial \vmatg{M}}{\partial x^{j'}}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}
\forall i=1,2,3\qquad \bng{e}_{i}=\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}\,\bng{e}_{j'}\label{Notion:eiej'}
\end{empheq}
\begin{rmq}
Ces relations et \eqref{Notion:B} \vpageref{Notion:B} donnent l'expression des éléments de la matrice $B$ entre deux bases naturelles~:
\begin{equation*}
\forall i,j=1,2,3\qquad B^{j'}_{i}=\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}
\end{equation*}
\end{rmq}
Nous avons aussi
\begin{equation*}
B=\transp{J}
\end{equation*}
\begin{exem}[Rotation d'une base]\label{Notion:ex:rotation}
Soit $\left(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2}\right)$ une base orthonormée du plan.
Une rotation d'angle $\alpha$ du système de coordonnées transforme cette base
en une nouvelle base orthonormée du plan, $(\vmatg{e}_{1'},\vmatg{e}_{2'})$~:

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-3,-.5)(5,2.5)
%\psgrid (-3,-.5)(5,2.5)
\psline{->}(0,0)(2;90)
\psline{->}(0,0)(2;0)
\psline{->}(0,0)(2;110)
\psline{->}(0,0)(2;20)
%Lettres
\rput(2,-.3){$\vmatg{e}_{1}$}
\rput(.3,2){$\vmatg{e}_{2}$}
\rput(2;29){$\vmatg{e}_{1'}$}
\rput(2;119){$\vmatg{e}_{2'}$}
\rput(-.2,-0.2){$O$}
\psarc{->}(0,0){1}{0}{20}
\rput(1,3;10){$\alpha$}
\end{pspicture}
\caption{Rotation d'une base}
\end{figure}

Déterminons la transformation $(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2})\to(\vmatg{e}_{1'},\vmatg{e}_{2'})$~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}_{1'}=\cos(\alpha)\,\vmatg{e}_{1}+\sin(\alpha)\,\vmatg{e}_{2}\\
\vmatg{e}_{2'}=-\sin(\alpha)\,\vmatg{e}_{1}+\cos(\alpha)\,\vmatg{e}_{2}
\end{dcases}\quad \Rightarrow \quad
\begin{pmatrix}
\vmatg{e}_{1'}\\
\vmatg{e}_{2'}
\end{pmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos(\alpha) & \sin(\alpha)\\
-\sin(\alpha) & \cos(\alpha)
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\vmatg{e}_{1}\\
\vmatg{e}_{2}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\vmatg{e}_{1'}\\
\vmatg{e}_{2'}
\end{pmatrix}
&=A
\begin{pmatrix}
\vmatg{e}_{1}\\
\vmatg{e}_{2}
\end{pmatrix}
\end{align*}
On en déduit les coefficients $A^{i}_{j'}=\partial x^{i}/\partial x^{j'}$~:
\begin{equation*}
A^{1}_{1'}=\cos(\alpha),\qquad A^{2}_{1'}=\sin(\alpha),\qquad A^{1}_{2'}=-\sin(\alpha),\qquad A^{2}_{2'}=\cos(\alpha)
\end{equation*}
Le determinant de la matrice $A$ vaut l'unité~:
\begin{align*}
\det(A)&=
\begin{vmatrix}
\cos(\alpha) & \sin(\alpha)\\
-\sin(\alpha) & \cos(\alpha)
\end{vmatrix}\\
&=\cos^{2}(\alpha)+\sin^{2}(\alpha)=1
\end{align*}

Déterminons la transformation inverse $(\vmatg{e}_{1'},\vmatg{e}_{2'})\to(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2})$. En remplaçant $\alpha$ par $-\alpha$~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}_{1}=\cos(\alpha)\,\vmatg{e}_{1'}-\sin(\alpha)\,\vmatg{e}_{2'}\\
\vmatg{e}_{2}=\sin(\alpha)\,\vmatg{e}_{1'}+\cos(\alpha)\,\vmatg{e}_{2'}
\end{dcases}\end{equation*}
On peut aussi multiplier par cosinus et sinus~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\cos(\alpha)\,\vmatg{e}_{1'}=\cos^{2}(\alpha)\,\vmatg{e}_{1}+\cos(\alpha)\sin(\alpha)\,\vmatg{e}_{2}\\
\sin(\alpha)\,\vmatg{e}_{2'}=-\sin^{2}(\alpha)\,\vmatg{e}_{1}+\sin(\alpha)\cos(\alpha)\,\vmatg{e}_{2}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\vmatg{e}_{1'}=\cos(\alpha)\,\vmatg{e}_{1}-\sin(\alpha)\,\vmatg{e}_{2}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\sin(\alpha)\,\vmatg{e}_{1'}=\sin(\alpha)\cos(\alpha)\,\vmatg{e}_{1}+\sin^{2}(\alpha)\,\vmatg{e}_{2}\\
\cos(\alpha)\,\vmatg{e}_{2'}=\cos(\alpha)\sin(\alpha)\,\vmatg{e}_{1}+\cos^{2}(\alpha)\,\vmatg{e}_{2}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\vmatg{e}_{2'}=\sin(\alpha)\,\vmatg{e}_{1}+\cos(\alpha)\,\vmatg{e}_{2}
\end{equation*}
ou calculer l'inverse de la matrice $A$. Puisque le déterminant vaut l'unité, l'inverse est égale à sa transposée~:
\begin{equation*}
B
\begin{bmatrix}
\cos(\alpha) & -\sin(\alpha)\\
\sin(\alpha) & \cos(\alpha)
\end{bmatrix}
\end{equation*}
On en déduit les coefficients $B^{j'}_{i}=\partial x^{j'}/\partial x^{i}$~:
\begin{equation*}
B^{1'}_1=\cos(\alpha),\qquad B^{2'}_1=-\sin(\alpha),\qquad B^{1'}_2=\sin(\alpha),\qquad B^{2'}_2=\cos(\alpha)
\end{equation*}
\end{exem}

\section{Changement de repère}
Soient $\left(O,\vmatg{e}_{i}\right)$ et $(O',\vmatg{e}_{j'})$ deux repères d'un espace ponctuel.
Quelles sont les relations entre les coordonnées d'un point $M$ exprimées dans chacun de ces repères~?
Nous avons,
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vv{\symup{OO'}}=\alpha^{i}\vmatg{e}_{i}\\
\vv{\symup{O'O}}=\alpha^{j'}\vmatg{e}_{j'}
\end{dcases}
\quad \text{et} \qquad
\begin{dcases}
\vv{\symup{OM}}=x^{i}\vmatg{e}_{i}\\
\vv{\symup{O'M}}=x^{j'}\vmatg{e}_{j'}
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vv{\symup{OM}}=\vv{\symup{OO'}}+\vv{\symup{O'M}}
\end{equation*}
\begin{align*}
x^{i}\vmatg{e}_{i}&=\alpha^{i}\vmatg{e}_{i}+x^{j'}\vmatg{e}_{j'}\\
&=\alpha^{i}\vmatg{e}_{i}+x^{j'}A^{i}_{j'}\vmatg{e}_{i}\\
&=\left(\alpha^{i}+x^{j'}A^{i}_{j'}\right)\vmatg{e}_{i}
\end{align*}
\begin{equation*}
\forall i=1,2,3\qquad x^{i}=\alpha^{i}+x^{j'}A^{i}_{j'}
\end{equation*}
Par symétrie~:
\begin{equation*}
\forall j=1,2,3\qquad x^{j'}=\alpha^{j'}+x^{i}B^{j'}_{i}
\end{equation*}
Pour un changement de repère naturel, les bases sont reliées par \eqref{Notion:ej'ei} et \eqref{Notion:eiej'} \vpageref{Notion:eiej'}, et l'on a~:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\forall i=1,2,3\qquad x^{i}=\alpha^{i}+x^{j'}\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j'}}\\
\forall j=1,2,3\qquad x^{j'}=\alpha^{j'}+x^{i}\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}
\end{cases}
\end{equation*}

\section{Transformation des composantes d'un vecteur}
\subsection{Transformation des composantes contravariantes}

Les vecteurs ont une signification absolue indépendante de la base dans laquelle on les exprime,
mais les nombres (les composantes) qui les décrivent dépendent de la base utilisée~:
\begin{equation*}
u^{j'}\vmatg{e}_{j'}=u^{i}\vmatg{e}_{i}
\end{equation*}
\begin{rmq}
Nous suivons la notation \ref{Notion:ntn:notation_prime} \vpageref{Notion:ntn:notation_prime} du prime sur l'indice,
Il ne s'agit pas de l'indice $j'$ mais de la $j^e$ composante du vecteur dans la base primée.
\end{rmq}
À partir du changement de base \eqref{Notion:B} \vpageref{Notion:B}~:
\begin{equation*}
u^{j'}\vmatg{e}_{j'}=u^{i}B^{j'}_{i}\vmatg{e}_{j'}
\end{equation*}
Les composantes contravariantes se transforment par changement de base selon les relations~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}
\forall j=1,2,3\qquad u^{j'}=B^{j'}_{i}u^{i}\label{Notion:tcconcb}
\end{empheq}
Par rapport à la relation précédente, la sommation à lieu sur l'indice bas et non plus sur l'indice haut, on a donc pris la transposée de $B$.
En composantes contravariantes par changement de base~:
\begin{equation*}
\vmatg{u}'_{\,\symup{con}}=\transp{B}\vmatg{u}_{\,\symup{con}}
\end{equation*}
Lors d'un changement de base, les composantes contravariantes se transforment par la transposée de la matrice inverse de $A$,
de façon \enquote{contraire} aux vecteurs de base \eqref{Notion:e'Ae} \vpageref{Notion:e'Ae}.
On a également
\begin{equation*}
\vmatg{u}_{\,\symup{con}}=\transp{A}\vmatg{u}'_{\,\symup{con}}
\end{equation*}
\begin{exem}
Soit la matrice changement de base suivante~:
\begin{equation*}
A
\begin{bmatrix}
1 & -1\\
2 & 2
\end{bmatrix}
\end{equation*}
Déterminons les nouvelles composantes contravariantes du vecteur $\vmatg{v}\begin{pmatrix}1\\2 \end{pmatrix}$
Avec
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\vmatg{v}'&=\transp{\left(A^{-1}\right)}\vmatg{v}\\
&=
\begin{bmatrix}
\tfrac{1}{2} & \tfrac{-1}{2}\\
\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\tfrac{-1}{2}\\
\tfrac{3}{4}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\end{equation*}
\end{exem}
S'il s'agit d'un changement de base naturelle, avec \eqref{Notion:eiej'} \vpageref{Notion:eiej'}~:
\begin{equation*}
u^{j'}\bng{e}_{j'}=u^{i}\,\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}\,\bng{e}_{j'}
\end{equation*}
Par changement de base naturelle, les composantes contravariantes se transforment selon~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}
\forall j=1,2,3\qquad u^{j'}=\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}\,u^{i}\label{Notion:transfo_compo_contrav_vect}
\end{empheq}

\begin{equation*}
\begin{dcases}
u^{1'}=\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{1}}\,u^{1}+\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{2}}\,u^{2}+\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{3}}\,u^3\\
u^{2'}=\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{1}}\,u^{1}+\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{2}}\,u^{2}+\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{3}}\,u^3\\
u^{3'}=\frac{\partial x^{3'}}{\partial x^{1}}\,u^{1}+\frac{\partial x^{3'}}{\partial x^{2}}\,u^{2}+\frac{\partial x^{3'}}{\partial x^{3}}\,u^3
\end{dcases}\quad \Rightarrow \quad
\begin{pmatrix}
u^{1'}\\
u^{2'}\\
u^{3'}
\end{pmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{1}} & \frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{2}} & \frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{3}}\\
\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{1}} & \frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{2}} & \frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{3}}\\
\frac{\partial x^{3'}}{\partial x^{1}} & \frac{\partial x^{3'}}{\partial x^{2}} & \frac{\partial x^{3'}}{\partial x^{3}}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}\\
u^{3}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
u^{1'}\\
u^{2'}\\
u^{3'}
\end{pmatrix}
&=J
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}\\
u^{3}
\end{pmatrix}
\end{align*}
En composantes contravariantes par changement de base naturelle~:
\begin{equation}
\vmatg{u}'_{\,\symup{con}}=J\vmatg{u}_{\,\symup{con}}\label{Notion:u'Ju}
\end{equation}
Lors d'un changement de base naturelle, les composantes contravariantes se transforment comme les différentielles des coordonnées,
par la matrice jacobienne $J$. Donc, dans le cas d'un changement de base naturelle~:
\begin{equation*}
\transp{\left(A^{-1}\right)}=J
\end{equation*}

À partir du changement de base naturelle \eqref{Notion:ej'ei} \vpageref{Notion:ej'ei}~:
\begin{align}
u^{i}\bng{e}_{i}&=u^{j'}\bng{e}_{j'}\notag\\
&=u^{j'}\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j'}}\,\bng{e}_{i}\notag\\
\forall i=1,2,3\qquad u^{i}&=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j'}}\,u^{j'}\label{Notion:tccon2}
\end{align}
En notation matricielle, en composantes contravariantes~:
\begin{equation*}
\vmatg{u}_{\,\symup{con}}=K\vmatg{u}'_{\,\symup{con}}
\end{equation*}
\begin{rmqs}
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item $\vmatg{u}'$ n'est autre que $\vmatg{u}$ (exprimé dans la base primée). Le prime désigne ici le même objet géométrique.
Par contre $\vmatg{e}'_{i}$ (noté $\vmatg{e}_{i'}$) n'est pas $\vmatg{e}_{i}$.
Le prime désigne ici deux objets géométriques différents
\item Dans \eqref{Notion:ej'ei} \vpageref{Notion:ej'ei} et \eqref{Notion:tccon2} \vpageref{Notion:tccon2},
les matrices de dérivées partielles $\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j'}}\,\vmatg{e}_{i}$ et $\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j'}}\,u^{j'}$ sont
transposées l'une de l'autre.
La sommation se faisant sur l'indice répété, elle dépend du terme qui suit
\end{itemize}
\end{rmqs}

\begin{exem}[Changement de base normée]
Soient $\left(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2}\right)$ et $(\vmatg{e}_{1'},\vmatg{e}_{2'})$
deux bases normées quelconques (Fig. \ref{Notion:fig_tccontrav}).

\psset{unit=1.5}
\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-2,-.5)(6,4)
%\psgrid (-2,-.5)(6,4)
\psline(0,0)(4;70)
\psline(0,0)(4.5;0)
\psline[linecolor=gray](0,0)(4;55)
\psline[linecolor=gray](0,0)(4.5;10)
\psline{->}(0,0)(1;70)
\psline{->}(0,0)(1;0)
\psline[linecolor=gray]{->}(0,0)(1;55)
\psline[linecolor=gray]{->}(0,0)(1;10)
\psline[linestyle=dashed](4;30)(2.128;70)
\psline[linestyle=dashed](4;30)(2.736;0)
\psline[linestyle=dashed, linecolor=gray](4;30)(2.391;10)
\psline[linestyle=dashed, linecolor=gray](4;30)(1.935;55)
%Lettres
\rput(4.4;30){$M$}
\rput(1,-.2){$\vmatg{e}_{1}$}
\rput(.1,1){$\vmatg{e}_{2}$}
\rput(1,.3){\gray $\vmatg{e}_{1'}$}
\rput(.7,.6){\gray $\vmatg{e}_{2'}$}
\rput(-.2,-0.2){$O$}
\rput(2.8,-.2){$u^{1}$}
\rput(.5,2.1){$u^{2}$}
\rput(2.2,.6){\gray$u^{1'}$}
\rput(1.2,1.4){\gray$u^{2'}$}
\end{pspicture}
\caption{Transformation des composantes contravariantes}
\label{Notion:fig_tccontrav}
\end{figure}

Écrivons l'expression du vecteur $\vv{\symup{OM}}$ en composantes contravariantes dans chaque base~:
\begin{align*}
u^{1'}\vmatg{e}_{1'}+u^{2'}\vmatg{e}_{2'}&=u^{1}\vmatg{e}_{1}+u^{2}\vmatg{e}_{2}\\
&=u^{1}\left(B^{1'}_1\vmatg{e}_{1'}+B^{2'}_1\vmatg{e}_{2'}\right)
+u^{2}\left(B^{1'}_2\vmatg{e}_{1'}+B^{2'}_2\vmatg{e}_{2'}\right)\\
&=\left(u^{1}B^{1'}_1+u^{2}B^{1'}_2\right)\vmatg{e}_{1'}+\left(u^{1}B^{2'}_1+u^{2}B^{2'}_2\right)\vmatg{e}_{2'}
\end{align*}
Par conséquent~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
u^{1'}=B^{1'}_1u^{1}+B^{1'}_2u^{2}\\
u^{2'}=B^{2'}_1u^{1}+B^{2'}_2u^{2}
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
u^{1'}\\
u^{2'}
\end{pmatrix}
=
\begin{bmatrix}
B^{1'}_{\ 1} & B^{1'}_{\ 2}\\
B^{2'}_{\ 1} & B^{2'}_{\ 2}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}
=\transp{B}
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}
=J
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
De même~:
\begin{align*}
u^{1}\vmatg{e}_{1}+u^{2}\vmatg{e}_{2}&=u^{1'}\vmatg{e}_{1'}+u^{2'}\vmatg{e}_{2'}\\
&=u^{1'}\left(A^{1}_{1'}\vmatg{e}_{1}+A^{2}_{1'}\vmatg{e}_{2}\right)
+u^{2'}\left(A^{1}_{2'}\vmatg{e}_{1}+A^{2}_{2'}\vmatg{e}_{2}\right)\\
&=\left(u^{1'}A^{1}_{1'}+u^{2'}A^{1}_{2'}\right)\vmatg{e}_{1}+\left(u^{1'}A^{2}_{1'}+u^{2'}A^{2}_{2'}\right)\vmatg{e}_{2}
\end{align*}
par conséquent~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
u^{1}=A^{1}_{1'}u^{1'}+A^{1}_{2'}u^{2'}\\
u^{2}=A^{2}_{1'}u^{1'}+A^{2}_{2'}u^{2'}
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{bmatrix}
A^{1}_{1'} & A^{1}_{2'}\\
A^{2}_{1'} & A^{2}_{2'}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u^{1'}\\
u^{2'}
\end{pmatrix}
=\transp{A}
\begin{pmatrix}
u^{1'}\\
u^{2'}
\end{pmatrix}
=K
\begin{pmatrix}
u^{1'}\\
u^{2'}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\end{exem}

\begin{exem}[Changement de base par rotation]
Soit le vecteur $\vv{\symup{OM}}=u^{1}\vmatg{e}_{1}+u^{2}\vmatg{e}_{2}$,
déterminons ses composantes contravariantes dans la nouvelle base $(\vmatg{e}_{1'},\vmatg{e}_{2'})$
définie dans l'exercice de rotation d'une base \ref{Notion:ex:rotation} \vpageref{Notion:ex:rotation}.
En utilisant les coefficients $\partial x^{i'}/\partial x^{j}$ déjà calculés~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
u^{1'}=B^{1'}_1u^{1}+B^{1'}_2u^{2}\\
u^{2'}=B^{2'}_1u^{1}+B^{2'}_2u^{2}
\end{dcases}
\qquad \Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
u^{1'}=\cos(\alpha)\,u^{1}+\sin(\alpha)\,u^{2}\\
u^{2'}=-\sin(\alpha)\,u^{1}+\cos(\alpha)\,u^{2}
\end{dcases}
\end{equation*}
Nous pouvons aussi les déterminer en remplaçant les vecteurs de l'ancienne base~:
\begin{align*}
\vv{\symup{OM}}&=u^{1}\vmatg{e}_{1}+u^{2}\vmatg{e}_{2}\\
&=u^{1}\left[\cos(\alpha)\,\vmatg{e}_{1'}-\sin(\alpha)\,\vmatg{e}_{2'}\right]
+u^{2}\left[\sin(\alpha)\,\vmatg{e}_{1'}+\cos(\alpha)\,\vmatg{e}_{2'}\right]\\
&=\left[\cos(\alpha)\,u^{1}+\sin(\alpha)\,u^{2}\right]\vmatg{e}_{1'}+\left[-\sin(\alpha)\,u^{1}+\cos(\alpha)\,u^{2}\right]\vmatg{e}_{2'}\\
&=u^{1'}\vmatg{e}_{1'}+u^{2'}\vmatg{e}_{2'}
\end{align*}
\end{exem}

\begin{exem}[Changement de système de coordonnées]\label{Notion:ex:transfo_compo_contrav}
Dans la base naturelle associée au système de coordonnées $(x^{1},x^{2})$,
soit $\vmatg{u}$ un champ de vecteurs de composantes contravariantes $u^{1}=x^{2}$ et $u^{2}=x^{1}$.
Quelles sont ses composantes contravariantes $(u^{1'},u^{2'})$ lors du changement de coordonnées suivant~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
x^{1'}=(x^{2})^{2}\\
x^{2'}=x^{1}x^{2}
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item en notation indicielle
\begin{align*}
u^{1'}&=\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{1}}\,u^{1}+\frac{\partial x^{1'}}{\partial x^{2}}\,u^{2}\\
&=2x^{2}u^{2}\\
&=2x^{2}x^{1}
\end{align*}
\begin{align*}
u^{2'}&=\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{1}}\,u^{1}+\frac{\partial x^{2'}}{\partial x^{2}}\,u^{2}\\
&=x^{2}u^{1}+x^{1}u^{2}\\
&=(x^{2})^{2}+(x^{1})^{2}
\end{align*}

\item en notation matricielle

La déf.~\ref{Notion:def:jacob} \vpageref{Notion:def:jacob} de la matrice jacobienne, $J\left[\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^{j}}\right]_{22}$,
et \eqref{Notion:u'Ju} \vpageref{Notion:u'Ju}, $\vmatg{u}'=J\vmatg{u}$, don\-nent~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
u^{1'}\\
u^{2'}
\end{pmatrix}
&=\begin{bmatrix}
0 & 2x^{2}\\
x^{2} & x^{1}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
x^{2}\\
x^{1}
\end{pmatrix}
\end{align*}
$\det(J)\neq0$ implique $x^{2}\neq0$ donc $x^{1'}\neq0$.
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
u^{1'}\\
u^{2'}
\end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix}
2x^{1}x^{2}\\
(x^{2})^{2}+(x^{1})^{2}
\end{pmatrix}
\end{align*}
Par exemple, si $\vmatg{u}$ est un vecteur de composantes contravariantes $\left(1,1\right)$, alors~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
u^{1'}\\
u^{2'}
\end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix}
2\\
2
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{itemize}
\end{exem}

\begin{exem}[Changement de coordonnées rectangulaires à polaires]
Dans la base naturelle orthonormée associée au système de coordonnées rectangulaires $\left(x,y\right)$,
soit $\vmatg{u}$ un vecteur de composantes contravariantes $\left(u^x,u^y\right)$.
Quelles sont ses composantes contravariantes $\left(u^{\rho},u^{\theta} \right)$ lors d'une transformation
en coordonnées polaires $(\rho,\theta)$~?
La transformation de coordonnées est donnée par \eqref{Notion:transfo_pol_rec} \vpageref{Notion:transfo_pol_rec}.
La transformation inverse s'écrit~:
\begin{equation}\label{Notion:transfo_rec_pol}
\overline{T}\quad :\quad
\begin{dcases}
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\
\theta=\atantwo\left(x,y\right)
\end{dcases}
\end{equation}
avec
\begin{equation}
\atantwo\left(x,y\right)=
\begin{dcases}
\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\ \text{si}\ x>0\\
\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\pi\ \text{si}\ x<0\ \text{et}\ y \geqslant 0\\
\arctan\left(\frac{y}{x}\right)-\pi\ \text{si}\ x<0\ \text{et}\ y<0\\
+\frac{\pi}{2}\ \text{si}\ x=0\ \text{et}\ y>0\\
-\frac{\pi}{2}\ \text{si}\ x=0\ \text{et}\ y<0\\
\text{indéfinie}\ \text{si}\ x=0\ \text{et}\ y=0
\end{dcases}
\end{equation}
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item en notation indicielle, les relations \eqref{Notion:transfo_compo_contrav_vect} \vpageref{Notion:transfo_compo_contrav_vect} valables uniquement de base naturelle
à base naturelle (on sera donc dans la base naturelle polaire) donnent~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
u^{\rho}=\frac{\partial \rho}{\partial x}\,u^x+\frac{\partial \rho}{\partial y}\,u^y\\
u^{\theta}=\frac{\partial \theta}{\partial x}\,u^x+\frac{\partial \theta}{\partial y}\,u^y
\end{dcases}\qquad \Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
u^{\rho}=u^x\cos(\theta)+u^y\sin(\theta)\\
u^{\theta}=\frac{-yu^x}{x^2+y^2}+\frac{xu^y}{x^2+y^2}
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
u^{\rho}=u^x\cos(\theta)+u^y\sin(\theta)\\
u^{\theta}=\frac{-u^x\sin(\theta)+u^y\cos(\theta)}{\rho}
\end{dcases}
\end{equation*}
\item en notation matricielle, \eqref{Notion:Kpol} \vpageref{Notion:Kpol} donne (pour des composantes exprimées dans des bases naturelles)~:
\begin{align*}
\vmatg{u}'&=K\vmatg{u}\\
\begin{pmatrix}
u^{\rho} \\
u^{\theta}
\end{pmatrix}
&=\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta)\\
-\frac{\sin(\theta)}{\rho} & \frac{\cos(\theta)}{\rho}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u^x\\
u^y
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
u^x\cos(\theta)+u^y\sin(\theta)\\
\frac{-u^x\sin(\theta)+u^y\cos(\theta)}{\rho}
\end{pmatrix}
\end{align*}
Si $u^x=1$ et $u^y=1$ alors, au point de coordonnées polaires $(3,\ang{30})$ les composantes sont (dans la base naturelle polaire)~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
u^{\rho} \\
u^{\theta}
\end{pmatrix}
&=\begin{bmatrix}
\tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\\
\tfrac{-1}{6} & \tfrac{\sqrt{3}}{6}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}+1}{2}\\
\frac{-1+\sqrt{3}}{6}
\end{pmatrix}
\end{align*}

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-3,-.5)(7,4.5)
%\psgrid (-3,-.5)(7,4.5)
\psline{->}(0;0)(0,4)
\psline{->}(0;0)(5,0)
\psline{->}(3;30)(4;30)
\rput(3;30){\psline{->}(0;0)(3;120)}
\psarc{<->}(0,0){1.5}{1}{29}
\psline[linestyle=dashed](0;0)(2.9;30)
\psline[linestyle=dashed](4.1;30)(6;30)
%Lettres
\rput(2.7,1.2){$M$}
\rput(4;24){$\bng{e}_{\rho}$}
\rput(3;30){\rput(-1,2.4){$\bng{e}_{\theta}$}}
\rput(-.2,-0.2){$O$}
\rput(4.8,-.3){$x$}
\rput(-.3,3.8){$y$}
\rput(1.6,1.3){$\rho$}
\rput(1.7;15){$\theta$}
\psline{->}(0,0)(1,1)
\rput(3;30){\psline{->}(0,0)(1,1)}
%vecteur u
\rput(1,1.2){$\vmatg{u}$}
\rput(3;30){\rput(1,1.2){$\vmatg{u}$}}
%composantes
\rput{30}(3;30){\psline[linestyle=dotted](1.414;15)(1.366;0)}
\rput{30}(3;30){\psline[linestyle=dotted](1.414;15)(.366;90)}
\end{pspicture}
\caption{Changement de coordonnées, de rectangulaires à polaires}
\end{figure}
Si $\vmatg{u}$ est le vecteur position alors $u^x=\rho \cos(\theta)$ et $u^y=\rho \sin(\theta)$~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
u^{\rho} \\
u^{\theta}
\end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix}
\rho \cos(\theta)\cos(\theta)+\rho \sin(\theta)\sin(\theta)\\
\left[-\rho \cos(\theta)\sin(\theta)+\rho \sin(\theta)\cos(\theta)\right]/\rho
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
\rho \\
0
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{itemize}
\end{exem}

\subsection{Transformation des composantes covariantes}

À partir du changement de base \eqref{Notion:ej'ei} \vpageref{Notion:ej'ei}~:
\begin{align*}
\forall j=1,2,3\qquad u_{j'}&=\vv{\symup{OM}}\cdot\bng{e}_{j'}\\
&=\vv{\symup{OM}}\cdot A^{i}_{j'}\,\bng{e}_{i}\\
&=A^{i}_{j'}(\vv{\symup{OM}}\cdot\bng{e}_{i})
\end{align*}
Par changement de base, les composantes covariantes se transforment selon~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\forall j=1,2,3\qquad u_{j'}=A^{i}_{j'}\,u_{i}
\end{empheq}
Par changement de base naturelle, les composantes covariantes se transforment selon~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\forall j=1,2,3\qquad u_{j'}=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j'}}\,u_{i}
\end{empheq}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
u_{1'}=\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{1'}}\,u_{1}+\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{1'}}\,u_{2}+\frac{\partial x^{3}}{\partial x^{1'}}\,u_{3}\\
u_{2'}=\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{2'}}\,u_{1}+\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{2'}}\,u_{2}+\frac{\partial x^{3}}{\partial x^{2'}}\,u_{3}\\
u_{3'}=\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{3'}}\,u_{1}+\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{3'}}\,u_{2}+\frac{\partial x^{3}}{\partial x^{3'}}\,u_{3}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{pmatrix}
u_{1'}\\
u_{2'}\\
u_{3'}
\end{pmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{1'}} & \frac{\partial x^{2}}{\partial x^{1'}} & \frac{\partial x^{3}}{\partial x^{1'}}\\
\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{2'}} & \frac{\partial x^{2}}{\partial x^{2'}} & \frac{\partial x^{3}}{\partial x^{2'}}\\
\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{3'}} & \frac{\partial x^{2}}{\partial x^{3'}} & \frac{\partial x^{3}}{\partial x^{3'}}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u_{1}\\
u_{2}\\
u_{3}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
u_{1'}\\
u_{2'}\\
u_{3'}
\end{pmatrix}
=A
\begin{pmatrix}
u_{1}\\
u_{2}\\
u_{3}
\end{pmatrix}
\end{align*}
En composantes covariantes~:
\begin{align}\label{Notion:u'J-1Tu}
\vmatg{u}'_{\,\symup{cov}}=A\vmatg{u}_{\,\symup{cov}}
\end{align}
Les composantes covariantes se transforment comme les vecteurs de base, \eqref{Notion:e'Ae} \vpageref{Notion:e'Ae}.
De même~:
\begin{align*}
\forall i=1,2,3\qquad u_{i}&=\vv{\symup{OM}}\cdot\bng{e}_{i}\\
&=\vv{\symup{OM}}\cdot\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}\,\bng{e}_{j'}\\
&=\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}\,(\vv{\symup{OM}}\cdot\bng{e}_{j'})
\end{align*}
\begin{equation*}
\forall i=1,2,3\qquad u_{i}=\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}\,u_{j'}
\end{equation*}
En notation matricielle, en composantes covariantes~:
\begin{equation*}
\vmatg{u}_{\,\symup{cov}}=B\vmatg{u}'_{\,\symup{cov}}
\end{equation*}

\begin{exem}[Changement de base normée]
Soient $\left(\vmatg{e}_{1},\vmatg{e}_{2}\right)$ et $(\vmatg{e}_{1'},\vmatg{e}_{2'})$
deux bases normées quelconques (Fig. \ref{Notion:fig_tccov}).
En utilisant la déf.~\ref{Notion:def:compo_cov} \vpageref{Notion:def:compo_cov} des composantes covariantes~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
u_{1'}=\vv{\symup{OM}}\cdot\vmatg{e}_{1'}\\
u_{2'}=\vv{\symup{OM}}\cdot\vmatg{e}_{2'}
\end{dcases}
\end{equation*}

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-2,-.5)(6,4.5)
%\psgrid (-2,-.5)(6,4.5)
\psline(0,0)(4.5;70)
\psline(0,0)(4.5;0)
\psline[linecolor=gray](0,0)(4.5;55)
\psline[linecolor=gray](0,0)(4.5;10)
\psline{->}(0,0)(1;70)
\psline{->}(0,0)(1;0)
\psline[linecolor=gray]{->}(0,0)(1;55)
\psline[linecolor=gray]{->}(0,0)(1;10)
\psline[linestyle=dashed](4;30)(3.464;0)
\psline[linestyle=dashed](4;30)(3.064;70)
\psline[linestyle=dashed, linecolor=gray](4;30)(3.759;10)
\psline[linestyle=dashed, linecolor=gray](4;30)(3.625;55)
%Lettres
\rput(4.4;30){$M$}
\rput(1.1,-.3){$\vmatg{e}_{1}$}
\rput(0,1.1){$\vmatg{e}_{2}$}
\rput(1.1,.4){\gray $\vmatg{e}_{1'}$}
\rput(1,.8){\gray $\vmatg{e}_{2'}$}
\rput(-.2,-0.2){$O$}
\rput(3.5,-.3){$u_{1}$}
\rput(0.7,3){$u_{2}$}
\rput(3.9,.4){\gray$u_{1'}$}
\rput(1.8,3.1){\gray$u_{2'}$}
\end{pspicture}
\caption{Transformation des composantes covariantes}
\label{Notion:fig_tccov}
\end{figure}

\begin{equation*}
\begin{dcases}
u_{1'}=\vv{\symup{OM}}\cdot(A^{1}_{\;1'}\vmatg{e}_{1}+A^{2}_{\;1'}\vmatg{e}_{2})\\
u_{2'}=\vv{\symup{OM}}\cdot(A^{1}_{\;2'}\vmatg{e}_{1}+A^{2}_{\;2'}\vmatg{e}_{2})\\
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
u_{1'}=A^{1}_{\;1'}\,\vv{\symup{OM}}\cdot\vmatg{e}_{1}+A^{2}_{\;1'}\,\vv{\symup{OM}}\cdot\vmatg{e}_{2}\\
u_{2'}=A^{1}_{\;2'}\,\vv{\symup{OM}}\cdot\vmatg{e}_{1}+A^{2}_{\;2'}\,\vv{\symup{OM}}\cdot\vmatg{e}_{2}\\
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow \quad \begin{dcases}
u_{1'}=A^{1}_{\;1'}\,u_{1}+A^{2}_{\;1'}\,u_{2}\\
u_{2'}=A^{1}_{\;2'}\,u_{1}+A^{2}_{\;2'}\,u_{2}
\end{dcases}\quad \Rightarrow \quad
\begin{pmatrix}
u_{1'}\\
u_{2'}
\end{pmatrix}
=
\begin{bmatrix}
A^{1}_{\;1'} & A^{2}_{\;1'}\\
A^{1}_{\;2'} & A^{2}_{\;2'}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u_{1}\\
u_{2}
\end{pmatrix}
=A
\begin{pmatrix}
u_{1}\\
u_{2}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
De même~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
u_{1}\\
u_{2}
\end{pmatrix}
&=B
\begin{pmatrix}
u_{1'}\\
u_{2'}
\end{pmatrix}\\
&=A^{-1}
\begin{pmatrix}
u_{1'}\\
u_{2'}
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{exem}
Dans une base non normée et/ou non orthogonale,
les composantes covariantes et contravariantes
(selon comment on projette le vecteur sur la base)
ne se transforment pas de la même manière par changement de base.

\begin{exem}[Transformation des composantes par changement de base]
Dans la base orthonormée $\left(\bng{i},\bng{j},\bng{k}\right)$ de l'espace vectoriel euclidien $\evn{E}{3}$,
on considère les deux vecteurs $\vmatg{u}\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)$ et $\vmatg{v}\left(v^{1},v^{2},v^{3}\right)$.
La base étant orthonormée les composantes contravariantes et covariantes sont confondues.
Effectuons le changement de base qui passe à la nouvelle base non orthogonale et non normée
$\{\vmatg{e}_{1'}\left(1,1,1\right),\vmatg{e}_{2'}\left(0,1,1\right),\vmatg{e}_{3'}\left(0,0,1\right)\}$,
et déterminons les nouvelles composantes contravariantes et covariantes de $\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$.

Pour les nouvelles composantes contravariantes~:
\begin{align*}
u^{1}\bng{i}+u^{2}\bng{j}+u^{3}\bng{k}
&=u^{1'}\vmatg{e}_{1'}+u^{2'}\vmatg{e}_{2'}+u^{3'}\vmatg{e}_{3'}\\
&=u^{1'}\left(\bng{i}+\bng{j}+\bng{k}\right)
+u^{2'}\left(\bng{j}+\bng{k}\right)+u^{3'}\bng{k}\\
&=u^{1'}\bng{i}+\left(u^{1'}+u^{2'}\right)\bng{j}+\left(u^{1'}+u^{2'}+u^{3'}\right)\bng{k}
\end{align*}
\begin{equation*}
\Rightarrow \quad \begin{dcases}
u^{1}=u^{1'}\\
u^{2}=u^{1'}+u^{2'}\\
u^{3}=u^{1'}+u^{2'}+u^{3'}
\end{dcases}\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
u^{1'}=u^{1}\\
u^{2'}=u^{2}-u^{1}\\
u^{3'}=u^{3}-u^{2}
\end{dcases}
\end{equation*}
De même pour $\vmatg{v}$~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
v^{1'}=v^{1}\\
v^{2'}=v^{2}-v^{1}\\
v^{3'}=v^{3}-v^{2}
\end{dcases}
\end{equation*}

Pour les nouvelles composantes covariantes, en utilisant la déf.~\ref{Notion:def:compo_cov} \vpageref{Notion:def:compo_cov}~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
u_{1'}=\vmatg{u}\cdot\vmatg{e}_{1'}\\
u_{2'}=\vmatg{u}\cdot\vmatg{e}_{2'}\\
u_{3'}=\vmatg{u}\cdot\vmatg{e}_{3'}
\end{dcases}\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
u_{1'}=\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\cdot\left(1,1,1\right)\\
u_{2'}=\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\cdot\left(0,1,1\right)\\
u_{3'}=\left(u^{1},u^{2},u^{3}\right)\cdot\left(0,0,1\right)
\end{dcases}\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
u_{1'}=u^{1}+u^{2}+u^{3}\\
u_{2'}=u^{2}+u^{3}\\
u_{3'}=u^{3}
\end{dcases}
\end{equation*}
De même pour $\vmatg{v}$~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
v_{1'}=v^{1}+v^{2}+v^{3}\\
v_{2'}=v^{2}+v^{3}\\
v_{3'}=v^{3}
\end{dcases}
\end{equation*}
Déterminons le produit scalaire de $\vmatg{u}$ et $\vmatg{v}$.
Dans la base d'origine (les composantes contravariantes et covariantes sont confondues)~:
\begin{equation*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}=u_{1}v_1+u_{2}v_2+u_{3}v_3
\end{equation*}
Dans la nouvelle base~:
\begin{align*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}&=u_{i'}v^{i'}\\
&=u_{1'}v^{1'}+u_{2'}v^{2'}+u_{3'}v^{3'}\\
&=\left(u_{1}+u_{2}+u_{3}\right)v_1+\left(u_{2}+u_{3}\right)\left(v_2-v_1\right)+u_{3}\left(v_3-v_2\right)\\
&=u_{1}v_1+u_{2}v_2+u_{3}v_3
\end{align*}
ou bien,
\begin{align*}
\vmatg{u}\cdot\vmatg{v}&=u^{i'}v_{i'}\\
&=u^{1'}v_{1'}+u^{2'}v_{2'}+u^{3'}v_{3'}\\
&=u^{1}\left(v_1+v_2+v_3\right)+\left(u_{2}-u_{1}\right)\left(v_2+v_3\right)+\left(u_{3}-u_{2}\right)v_3\\
&=u_{1}v_1+u_{2}v_2+u_{3}v_3
\end{align*}
et le produit scalaire est bien invariant.
\end{exem}

\begin{exem}[Champ de vecteurs en composantes covariantes]
Dans le système de coordonnées $(x^{1},x^{2})$,
soit $\vmatg{u}$ un champ de vecteurs de composantes covariantes $u_{1}=x^{2}$ et $u_{2}=x^{1}$.
Quelles sont ses composantes covariantes $(u_{1'},u_{2'})$ lors du changement de coordonnées~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
x^{1'}=(x^{2})^{2}\\
x^{2'}=x^{1}x^{2}
\end{dcases}\qquad \Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
x^{2}=\epsilon\sqrt{x^{1'}}\\
x^{1}=\epsilon x^{2'}/\sqrt{x^{1'}}
\end{dcases}
\end{equation*}
où l'on a posé $\epsilon=\pm1$.
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item en notation indicielle
\begin{equation*}
\begin{dcases}
u_{1'}=\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{1'}}\,u_{1}+\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{1'}}\,u_{2}\\
u_{2'}=\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{2'}}\,u_{1}+\frac{\partial x^{2}}{\partial x^{2'}}\,u_{2}
\end{dcases}\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
u_{1'}=\frac{-\epsilon x^{2'}}{2\left(\sqrt{x^{1'}}\right)^{3}}\left(\epsilon\sqrt{x^{1'}}\right)
+\frac{\epsilon}{2\sqrt{x^{1'}}}\frac{\epsilon x^{2'}}{\sqrt{x^{1'}}}=0\\
u_{2'}=\frac{\epsilon}{\sqrt{x^{1'}}}\left(\epsilon\sqrt{x^{1'}}\right)+0\times\frac{\epsilon x^{2'}}{\sqrt{x^{1'}}}=1
\end{dcases}
\end{equation*}

\item en notation matricielle
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item première méthode

D'après \eqref{Notion:u'J-1Tu} \vpageref{Notion:u'J-1Tu}, $\vmatg{u}'_{\,\symup{cov}}=\transp{\left(J^{-1}\right)}\vmatg{u}$,
avec $J^{-1}\left[\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j'}}\right]_{22}$~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
u_{1'}\\
u_{2'}
\end{pmatrix}
&=\begin{bmatrix}
\frac{-\epsilon x^{2'}}{2\left(\sqrt{x^{1'}}\right)^{3}} & \frac{\epsilon}{2\sqrt{x^{1'}}}\\
\frac{\epsilon}{\sqrt{x^{1'}}} & 0
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\epsilon\sqrt{x^{1'}}\\
\frac{\epsilon x^{2'}}{\sqrt{x^{1'}}}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}
\end{align*}
\item seconde méthode

On inverse $J$ donné dans l'ex.~\ref{Notion:ex:transfo_compo_contrav} \vpageref{Notion:ex:transfo_compo_contrav} puis on prend la transposée.
Nous obtenons $\transp{\left(J^{-1}\right)}$ en fonction de $x^{1}$ et $x^{2}$~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
u_{1'}\\
u_{2'}
\end{pmatrix}
&=\begin{bmatrix}
\frac{-x^{1}}{2(x^{2})^{2}} & \frac{1}{2x^{2}}\\
\frac{1}{x^{2}} & 0
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
x_2\\
x_1
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{itemize}
\end{exem}

\begin{exem}[Transformation des coordonnées rectangulaires en polaires]
Dans la base naturelle orthonormée associée au système de coordonnées rectangulaires $\left(x,y\right)$,
soit $\vmatg{u}$ un vecteur de composantes covariantes $\left(u_x,u_y\right)$.
Quelles sont ses composantes covariantes $\left(u_{\rho},u_{\theta} \right)$
lors d'une transformation en coordonnées polaires $(\rho,\theta)$ (Cf.~\eqref{Notion:transfo_pol_rec} \vpageref{Notion:transfo_pol_rec})~?
D'après \eqref{Notion:Kpol} \vpageref{Notion:Kpol}~:
\begin{align*}
J=
\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta)\\
-\frac{\sin(\theta)}{\rho} & \frac{\cos(\theta)}{\rho}
\end{bmatrix}
\end{align*}
\eqref{Notion:u'J-1Tu} \vpageref{Notion:u'J-1Tu} donne~:
\begin{align*}
\vmatg{u}'_{\,\symup{cov}}&=\transp{\left(J^{-1}\right)}\vmatg{u}\\
\begin{pmatrix}
u_{\rho} \\
u_{\theta}
\end{pmatrix}
&=\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta)\\
-\rho \sin(\theta) & \rho \cos(\theta)
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u_x\\
u_y
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
u_x\cos(\theta)+u_y\sin(\theta)\\
-u_x\rho \sin(\theta)+u_y\rho \cos(\theta)
\end{pmatrix}
\end{align*}
Par exemple, si $u_x=1$ et $u_y=1$ alors au point de coordonnées polaires $(3,\ang{30})$~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
u_{\rho} \\
u_{\theta}
\end{pmatrix}
&=\begin{bmatrix}
\tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\\
\tfrac{-3}{2} & \tfrac{3\sqrt{3}}{2}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}+1}{2}\\
\frac{3\sqrt{3}-3}{2}
\end{pmatrix}
\end{align*}
On vérifie que l'on a bien~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
u_{\rho}=\vmatg{u}\cdot\bng{e}_{\rho} \\
u_{\theta}=\vmatg{u}\cdot\bng{e}_{\theta}
\end{dcases}\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
u_{\rho}=\|\vmatg{u} \|\|\bng{e}_{\rho} \|\cos\left(\vmatg{u},\bng{e}_{\rho} \right)\\
u_{\theta}=\|\vmatg{u}\|\|\bng{e}_{\theta} \|\cos\left(\vmatg{u},\bng{e}_{\theta} \right)
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
u_{\rho}=\sqrt{2}\times1\times\cos(\ang{15})\\
u_{\theta}=\sqrt{2}\times3\times\cos(\ang{75})
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
u_{\rho}=\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\\
u_{\theta}=3\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}
\end{dcases}
\qquad \Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
u_{\rho}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\\
u_{\theta}=\frac{3\sqrt{3}-3}{2}
\end{dcases}
\end{equation*}
\end{exem}

\chapter{Formes quadratiques}
%\minitoc
\section{Définitions}
Les carrés des éléments de longueur sont des formes quadratiques (différentielles) dont nous allons donner la définition.
\begin{exem}[Carré de l'élément de longueur dans le plan]
D'après le théorème de Pythagore, en coordonnées rectangulaire $(x,y)$~:
\begin{equation*}
(\dd s)^{2}=(\dd x)^{2}+(\dd y)^{2}
\end{equation*}
\end{exem}

\begin{defi}[Monôme]\index{Monome@Monôme!definition@définition}
Un monôme est un produit de puissances de variables, d'exposants entiers non négatifs,
multiplié par un coefficient non nul réel ou complexe.
\end{defi}
\begin{exem}
$5x^{7}y$ est un monôme à deux variables $x,y$, de coefficient $5$.
\end{exem}
\begin{defi}[Degré d'un monôme]\index{Monôme!degré}
Le degré d'un monôme est la somme des exposants de ses variables.
\end{defi}
\begin{exem}
Le monôme $5x^{6}y^{2}$ est de degré $8$.
\end{exem}
\begin{defi}[Polynôme]\index{Polynôme}
Un polynôme est une somme dont chaque terme est un monôme.
\end{defi}
\begin{exem}
$5x^{6}y^{2}z^{3}-2y^{4}+3$ est un polynôme.
\end{exem}
\begin{defi}[Degré d'un polynôme]\index{Polynôme!degré}
Le degré d'un polynôme est le degré le plus élevé de ses termes.
\end{defi}
\begin{exem}
$\text{deg}(5x^{6}y^{2}z^{3}-2y^{4}+3)=11$.
\end{exem}
\begin{defi}[Polynôme homogène ou forme algébrique]\index{Polynôme!homogène}
Un polynôme est homogène de degré $r$ si chacun de ses termes et de degré $r$.
\end{defi}
\begin{exem}
Le polynôme $4x^{5}z^{2}+3x^{3}y^{4}-xy^{3}z^{3}$ est homogène de degré $7$.
\end{exem}

\begin{defi}[Forme linéaire]\index{Forme!linéaire}
On appelle fonctionnelle linéaire ou forme linéaire tout polynôme homogène de degré $1$ par rapport à ses $n$ variables $u^{1},u^{2},\dots,u^n$~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
f(u^{1},u^{2},\dots,u^n)=a_1u^{1}+a_2u^{2}+\dots+a_nu^n
\end{empheq}
Les scalaires $a_1,a_2,\dots,a_n$ sont les coefficients de la forme linéaire.
\end{defi}

\begin{exem}
L'application
\begin{align*}
f:\symbb{R}^{3}&\to\symbb{R}\\
(x,y,z)&\mapsto ax+by+cz
\end{align*}
est une forme linéaire par rapport à ses trois variables $x,y,z$, de coefficients $a,b,c$.
\end{exem}
\begin{defi}[Forme quadratique]\index{Forme!quadratique}
On appelle forme quadratique tout polynôme homogène de degré deux par rapport à ses $n$ variables $u^{1},u^{2},\dots,u^n$~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
Q(u^{1},\dots,u^n)=a_{11}u^{1}u^{1}+a_{12}u^{1}u^{2}+\dots&+a_{1n}u^{1}u^n+a_{21}u^{2}u^{1}+a_{22}u^{2}u^{2}+\dots+a_{2n}u^{2}u^n\\
&+\dots+a_{n1}u^nu^{1}+a_{n2}u^nu^{2}+\dots+a_{nn}u^nu^n
\end{empheq}
\end{defi}
Nous ne considèrerons que les formes quadratiques sur le corps des réels, c.-à-d. de coefficients $a_{ij}$ réels.
\begin{rmq}
Les formes quadratiques ne doivent pas être confondues avec les équations du second degré,
ces dernières n'ont qu'une seule variable et les termes sont de degré deux ou moins.
\end{rmq}
Nomenclature des formes quadratiques~:\index{Forme!quadratique!nomenclature}\index{Forme!quadratique!unaire}
\begin{align*}
\text{Forme quadratique unaire}\qquad &Q(x)=ax^{2}\\
\text{Forme quadratique binaire}\qquad &Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}\\
\text{Forme quadratique ternaire}\qquad &Q(x,y,z)=ax^{2}+bxy+cxz+\dd y^{2}+eyz+fz^{2}
\end{align*}

\begin{defi}[Forme quadratique définie]\index{Forme!quadratique!définie}
Si le vecteur nul $\vmatg{0}$ est le seul vecteur tel que $Q(\vmatg{0})=0$ alors $Q$ est définie ou anisotrope.
Les signes de $Q$ sont tous positifs ou tous négatifs.
\end{defi}
\begin{defi}[Forme quadratique indéfinie]\index{Forme!quadratique!indéfinie}
S'il existe un vecteur non nul $\vmatg{v}$ tel que $Q(\vmatg{v})=0$ alors $Q$ est indéfinie, et $Q$ et $\vmatg{v}$ sont isotropes.
$Q$ contient à la fois des signes positifs et des signes négatifs.
\end{defi}
\begin{defi}[Forme quadratique positive]\index{Forme!quadratique!positive}
Si pour tout vecteur $\vmatg{u}$ le scalaire $Q(\vmatg{u})$ est positif ou nul,
alors $Q$ est positive~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\forall \vmatg{u}\in E,\quad Q(\vmatg{u}) \geqslant0
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{defi}[Forme quadratique négative]\index{Forme!quadratique!négative}
Si pour tout vecteur $\vmatg{u}$ le scalaire $Q(\vmatg{u})$ est négatif ou nul,
alors $Q$ est négative~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\forall \vmatg{u}\in E,\quad Q(\vmatg{u})\leqslant0
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{defi}[Forme quadratique définie positive]\label{Notion:def:fqdp}\index{Forme!quadratique!définie positive}
Une forme quadratique est définie positive ssi elle est définie et positive~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\vmatg{u}=\vmatg{0}\ &:\ Q(\vmatg{0})=0\\
\forall \vmatg{u}\neq\vmatg{0}\ &:\ Q(\vmatg{u})>0
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{exem}
Dans un système de coordonnées quelconque, le carré de la distance est une forme quadratique définie positive.
\end{exem}

\begin{defi}[Forme quadratique définie négative]\index{Forme!quadratique!définie négative}
Une forme quadratique est définie négative ssi elle est définie et négative~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\vmatg{u}=\vmatg{0}\ &:\ Q(\vmatg{0})=0\\
\forall \vmatg{u}\neq\vmatg{0}\ &:\ Q(\vmatg{u})<0
\end{empheq}
\end{defi}
Une forme quadratique est donc définie ssi elle est définie positive ou définie négative.
\begin{defi}[Forme quadratique semi définie]\index{Forme!quadratique!semi définie}
Une forme quadratique est semi définie ssi elle est positive ou négative~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\forall \vmatg{u}\neq\vmatg{0}\ :\ Q(\vmatg{u})>0\quad \text{ou}\quad Q(\vmatg{u})<0
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{exem}[Forme quadratique définie positive]\index{Forme!quadratique!définie positive}
Montrons que la forme différentielle quadratique $Q$ suivante est définie positive~:
\begin{align*}
Q&=\dd x^{2}+3\dd x\dd y+\tfrac{9}{4}\dd y^{2}+\tfrac{7}{4}\dd y^{2}+\dd z^{2}\\
&=\left(\dd x+\tfrac{3}{2}\dd y\right)^{2}+\tfrac{7}{4}\dd y^{2}+\dd z^{2}
\end{align*}
Tous les termes sont des carrés de coefficients positifs, donc $Q$ est positive et n'est nulle que lorsque $\dd x=\dd y=\dd z=0$,
par conséquent elle est définie positive.
\end{exem}

\begin{exem}[Forme quadratique non définie positive]\index{Forme!quadratique!non définie positive}
La forme quadratique
\begin{equation*}
Q\left(x,y,z\right)=3x^{2}-5xy+y^{2}+z^{2}
\end{equation*}
n'est pas définie positive car $Q(1,1,0)=-1$
\end{exem}

\section{Matrice symétrique associée à une forme quadratique}\index{Forme!quadratique!matrice symétrique associée}
\begin{align*}
ax^{2}+bxy+cy^{2}&=
\begin{pmatrix}
x & y
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
ax+by/2\\
bx/2+cy
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
x & y
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
a & b/2\\
b/2 & c
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}\\
&=\transp{\vmatg{u}}A\vmatg{u}
\end{align*}
\begin{align*}
ax^{2}+bxy+cxz+\dd y^{2}+eyz+fz^{2}&=
\begin{pmatrix}
x & y & z
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
a & b/2 & c/2\\
b/2 & d & e/2\\
c/2 & e/2 & f
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}\\
&=\transp{\vmatg{u}}A\vmatg{u}
\end{align*}
Toute forme quadratique peut s'écrire sous forme matricielle\index{Forme!quadratique!forme matricielle}
\begin{align*}
Q&=
\begin{pmatrix}
u^{1} & u^{2} & \cdots & u^n
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}\\
\vdots\\
u^n
\end{pmatrix}\\
&=\transp{\vmatg{u}}A\vmatg{u}
\end{align*}
et sous forme indicielle avec la convention de sommation sur les indices répétés~:
\begin{align*}
Q&=
\begin{pmatrix}
u^{1} & u^{2} & \cdots & u^n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_{1j}u^{j}\\
a_{2j}u^{j}\\
\vdots\\
a_{nj}u^{j}
\end{pmatrix}\\
&=u^{i}\left(a_{ij}u^{j}\right)\\
&=a_{ij}u^{i}u^{j}
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\transp{\vmatg{u}}A\vmatg{u}=a_{ij}u^{i}u^{j}
\end{empheq}
Montrons que l'on peut toujours remplacer la matrice $A$ par une matrice symétrique.
L'égalité $u^{i}u^{j}=u^{j}u^{i}$ permet d'écrire~:
\begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
Q&=&a_{11}u^{1}u^{1}+\tfrac{1}{2}(a_{12}+a_{21})u^{1}u^{2}+\cdots+\tfrac{1}{2}(a_{1n}+a_{n1})u^{1}u^n\\
&&\qquad\qquad+\tfrac{1}{2}(a_{12}+a_{21})u^{2}u^{1}+\cdots+\tfrac{1}{2}(a_{2n}+a_{n2})u^{2}u^n+\dots\\
&&\qquad\qquad\qquad\qquad+\tfrac{1}{2}(a_{1n}+a_{n1})u^nu^{1}+\cdots+a_{nn}u^nu^n
\end{IEEEeqnarray*}
Posons la matrice symétrique $B=\tfrac{1}{2}(A+\transp{A})$~:
\begin{equation*}
b_{11}=a_{11},\quad b_{12}=b_{21}=\tfrac{1}{2}(a_{12}+a_{21}),\quad \text{etc}.
\end{equation*}
Nous avons
\begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
Q&=&b_{11}u^{1}u^{1}+b_{12}u^{1}u^{2}+\cdots+b_{1n}u^{1}u^n\\
&&\qquad\qquad+b_{12}u^{2}u^{1}+\cdots+b_{2n}u^{2}u^n+\dots\\
&&\qquad\qquad\qquad\qquad+b_{1n}u^nu^{1}+\cdots+b_{nn}u^nu^n
\end{IEEEeqnarray*}
et~:
\begin{align*}
Q&=
\begin{pmatrix}
u^{1} & u^{2} & \cdots & u^n
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\
b_{12} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
b_{1n} & b_{2n} & \cdots & b_{nn}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}\\
\vdots\\
u^n
\end{pmatrix}
\end{align*}
avec $\forall i,j,\ b_{ij}=b_{ji}$.


Plus généralement, tout polynôme $P$ des $2n$ variables $u^{1},u^{2},\cdots,u^n$ et $v^{1},v^{2},\cdots,v^n$,
\begin{equation*}
P=a_{11}u^{1}v^{1}\!+\!a_{12}u^{1}v^{2}\!+\cdots+\!a_{1n}u^{1}v^n\!+\!a_{21}u^{2}v^{1}\!+\cdots+\!a_{2n}u^{2}v^n\!+\dots+\!a_{n1}u^nv^{1}\!+\cdots+\!a_{nn}u^nv^n
\end{equation*}
peut s'écrire sous forme matricielle,
\begin{align*}
P&=
\begin{pmatrix}
u^{1} & u^{2} & \cdots & u^n
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
v^{1}\\
v^{2}\\
\vdots\\
v^n
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
v^{1} & v^{2} & \cdots & v^n
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}\\
\vdots\\
u^n
\end{pmatrix}
\\
&=\transp{\vmatg{u}}A\vmatg{v}\\
&=\transp{\vmatg{v}}A\vmatg{u}
\end{align*}
et sous forme indicielle avec la convention de sommation sur les indices répétés~:
\begin{align*}
P&=
\begin{pmatrix}
u^{1} & u^{2} & \cdots & u^n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_{1j}v^{j}\\
a_{2j}v^{j}\\
\vdots\\
a_{nj}v^{j}
\end{pmatrix}
\\
&=u^{i}\left(a_{ij}v^{j}\right)\\
&=a_{ij}u^{i}v^{j}
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\transp{\vmatg{u}}A\vmatg{v}=a_{ij}u^{i}v^{j}
\end{empheq}

\section{Réduction de Gauss}\label{Notion:sec:red_Gauss}
Par changement de variables, toute forme quadratique réelle\index{Forme!quadratique!réelle} (c.-à-d. de coefficients réels)
peut s'écrire comme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires $X_{i}$~:
\begin{equation*}
Q=\lambda_1X_1^{2}+\lambda_2X_2^{2}+\dots+\lambda_nX_n^{2}
\end{equation*}
où les coefficients $\lambda_{i}$ valent $+1$ ou $-1$, et la matrice symétrique associée est diagonale.

\begin{exem}[Réduction de Gauss d'une forme quadratique binaire]
Soit la forme quadratique binaire~:\index{Forme!quadratique!binaire}
\begin{align*}
Q(x,y)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}\\
&=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}\,xy+\frac{b^{2}}{4a^{2}}\,y^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}\,y^{2}\right)+cy^{2}\\
&=a\left(x+\frac{b}{2a}\,y\right)^{2}+\left(c-\frac{b^{2}}{4a}\right)y^{2}
\end{align*}
On pose
\begin{equation*}
\begin{dcases}
X_1=\sqrt{|a|}\left[x+\frac{b}{2a}\,y\right]\\
X_2=\sqrt{\left|c-\frac{b^{2}}{4a}\right|}\,y
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
Q(X_1,X_2)=\lambda_1X^{2}_{1}+\lambda_2X^{2}_{2}
\end{equation*}
\end{exem}

\begin{exem}[Réduction de Gauss d'une forme quadratique ternaire]
Soit la forme quadratique ternaire~:\index{Forme!quadratique!ternaire}
\begin{align*}
Q(x,y,z)&=xy+yz+xz\\
&=x(y+z)+yz\\
&=(x+z)(y+z)-z^{2}
\end{align*}
On pose
\begin{equation*}
\begin{dcases}
A=x+z\\
B=y+z
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
Q(A,B,z)=AB-z^{2}
\end{equation*}
Puis on pose
\begin{equation*}
\begin{dcases}
A=X_{1}-X_{2}\\
B=X_{1}+X_{2}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
Q(X_{1},X_{2},z)=(X_{1}-X_{2})(X_{1}+X_{2})-z^{2}=X_{1}^2-X_{2}^2-z^2
\end{equation*}
où bien entendu on pose $X_{3}=z$.
Pour revenir aux variables initiales~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
X_{1}=\tfrac{1}{2}(A+B)\\
X_{2}=\tfrac{1}{2}(B-A)
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
X_{1}=\tfrac{1}{2}(x+y+2z)\\
X_{2}=\tfrac{1}{2}(y-x)
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{align*}
Q(x,y,z)&=\tfrac{1}{2}[(x+y+2z)-(y-x)]\times\tfrac{1}{2}[(x+y+2z)+(y-x)]-z^{2}\\
&=\tfrac{1}{4}\left(x+y+2z\right)^{2}-\tfrac{1}{4}(y-x)^{2}-z^{2}
\end{align*}
\end{exem}

\section{Loi d'inertie de Sylvester}\label{Notion:loi_inertie}\index{Loi!d'inertie de Sylvester}
\begin{defi}[Indices d'inertie]
Le nombre $p$ de coefficients $+1$, et le nombre $q$ de coefficients $-1$ d'une forme quadratique réelle sont appelés indices d'inertie
de cette forme quadratique.
\end{defi}
\begin{theo}\label{Notion:th:Loi d'inertie de Sylvester}
Les nombres $p$ et $q$ sont des invariants de la forme quadratique réelle~: ils ne dépendent pas du choix des variables.
\end{theo}
\begin{defi}[Signature d'une forme quadratique réelle]\index{Signature!d'une forme quadratique}
Le couple $(p,q)$ est appelé signature de la forme quadratique.
\end{defi}
\begin{defi}[Rang d'une forme quadratique réelle]\index{Rang!d'une forme quadratique}
La somme $p+q$ est appelée rang de la forme quadratique.
\end{defi}
Une forme quadratique définie positive a pour signature $(p,0)$, une forme quadratique définie négative a pour signature $(0,q)$.
\begin{exem}[Forme quadratique non définie positive]\index{Forme!quadratique!non définie positive}
La forme quadratique
\begin{align*}
Q\left(x,y,z\right)&=3x^{2}-5xy+y^{2}+z^{2}\\
&=3\left(x^{2}-\frac{5}{3}xy\right)+y^2+z^2\\
&=3\left(x^{2}-\frac{5}{3}\,xy+\frac{5^2}{6^2}\,y^2-\frac{5^2}{6^2}\,y^2\right)+y^2+z^2\\
&=3\left(x-\frac{5}{6}\,y\right)^2+\left(1-\frac{75}{36}\right)y^2+z^2\\
&=3X^2_1-\left(\frac{13}{12}\right)y^2+z^2
\end{align*}
a pour indices d'inertie $p=2$ et $q=1$, pour rang $3$ et pour signature $(2,1)$.
\end{exem}

\chapter{Applications linéaires}
%\minitoc
\section{Définition d'une application linéaire}
On formalise ici la déf.~\ref{Notion:def:appli} \vpageref{Notion:def:appli} d'une application~:
\begin{defi}[Application]\index{Application!definition@définition}
Soient $A$ et $B$ deux ensembles quelconques.
$f$ est une fonction ou une application de $A$ dans $B$ si chaque élément $a$ de l'ensemble de départ $A$ possède une image
et une seule $b$ par $f$ dans l'ensemble d'arrivée $B$~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
f~: A&\rightarrow B\\
a&\mapsto f(a)=b
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{ntn}
Si $a$ est un élément de $A$ alors $a$ appartient à $A$ et l'on écrit~:
\begin{equation*}
a\in A
\end{equation*}
\end{ntn}

\begin{defi}[Application linéaire]\label{Notion:def:appli_lin}\index{Application!linéaire}
Soient $\ev{E}$ et $\ev{F}$ deux espaces vectoriels sur le même corps $\symbb{K}$.
Une application linéaire $f$ de $\ev{E}$ dans $\ev{F}$ est une application (ou transformation linéaire ou opérateur linéaire) de $\ev{E}$ dans $\ev{F}$
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
f~: \ev{E}&\rightarrow \ev{F}\\
\vmatg{u}&\mapsto f(\vmatg{u})=\vmatg{v}
\end{empheq}
qui est linéaire, c.-à-d.~:
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item additive~:
$\forall (\vmatg{u},\vmatg{v})\in \ev{E}^{2},
\quad f(\vmatg{u}\oplus\vmatg{v})=f(\vmatg{u})\oplus f(\vmatg{v})$
\item homogène de degré un~:
$\forall \vmatg{u}\in E,\ \forall \lambda \in \symbb{K},\quad f(\lambda \odot\vmatg{u})=\lambda \odot f(\vmatg{u})$
\end{enumerate}
\end{defi}

\begin{rmq}
Les deux conditions de linéarité peuvent être remplacées par la seule condition suivante~:
\begin{equation*}
\forall (\vmatg{u},\vmatg{v})\in \ev{E}^{2},\ \forall \lambda \in \symbb{K},
\quad f(\lambda \odot\vmatg{u}\oplus\vmatg{v})=\lambda \odot f(\vmatg{u})\oplus f(\vmatg{v})
\end{equation*}
\end{rmq}
\begin{ntn}
L'ensemble des applications linéaires de l'espace vectoriel $\ev{E}$ sur $\symbb{K}$ dans l'espace vectoriel $\ev{F}$ sur $\symbb{K}$ est noté $\symcal L_{\symbb{K}}(E;F)$.
L'ensemble des applications linéaires de $\ev{E}$ sur $\symbb{K}$ dans $\ev{E}$ est noté $\symcal L_{\symbb{K}}(E)$.
\end{ntn}

Une application linéaire est une application
d'un espace vectoriel dans un autre espace vectoriel, ou le même.
Les espaces de départ et d'arrivée ne sont plus quelconques, ce sont des espaces vectoriels.
Elle prend en entrée un vecteur et donne en sortie un vecteur, en conservant les deux opérations de base d'un espace vectoriel,
l'addition vectorielle et la multiplication par un scalaire, déf.~\ref{Notion:def:ev} \vpageref{Notion:def:ev}.

Les applications linéaires préservent la structure d'espace vectoriel.
Elles préservent les opérations de combinaison linéaire des vecteurs (déf.~\ref{Notion:def:cl_vect} \vpageref{Notion:def:cl_vect})
car peu importe qu'elles soient appliquées avant ou après l'addition vectorielle ou la multiplication par un scalaire.

\begin{defi}[Morphisme - Homomorphisme]\index{Homomorphisme définition}
Un morphisme ou homomorphisme\footnote{\enquote{Homo} signifiant \enquote{même}.} est une application entre deux ensembles structurés par des lois
(deux structures algébriques),
ces ensembles étant de même type, qui préserve la structure.
\end{defi}
Soient deux ensembles munis de lois de composition internes, $(E,\star)$ et $(F,\diamond)$. Une application $f$ est un homomorphisme ssi
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
f~: E&\to F\\
\forall(x,y)\in \ev{E}^{2},\ f(x\star y)&\mapsto f(x)\diamond f(y)
\end{empheq}
Une application linéaire est donc un homomorphisme d'espace vectoriel.
Un homomorphisme bijectif est un isomorphisme.
\begin{defi}[Isomorphisme]\index{Isomorphisme}
Un isomorphisme\footnote{\enquote{Iso} signifiant \enquote{égale}.} entre deux ensembles structurés est une application bijective qui préserve la structure,
et dont la réciproque préserve aussi la structure.
\end{defi}
Les ensembles entre lesquels existe un isomorphisme sont dits isomorphes ou équivalents, ils sont structurellement identiques et ne diffèrent que par leur nomenclature.
Dans le cas des espaces vectoriels, les isomorphismes sont les applications linéaires bijectives d'un espace vectoriel dans l'autre.
Une application linéaire bijective de $\ev{E}$ dans $\ev{F}$ est donc un isomorphisme de $\ev{E}$ sur $\ev{F}$.
\begin{defi}[Endomorphisme]
Une application linéaire de $\ev{E}$ dans $\ev{E}$ est appelée un endomorphisme\footnote{\enquote{Endo} signifiant \enquote{dans}.} de $\ev{E}$.
\end{defi}

Dans la condition d'homogénéité de degré un de la déf.~\ref{Notion:def:appli_lin} \vpageref{Notion:def:appli_lin} d'une application linéaire, posons $\lambda=0$.
En utilisant \ref{Notion:qqes_prop} \vpageref{Notion:qqes_prop}~:
\begin{align*}
f(0\odot\vmatg{u})&=0\odot f(\vmatg{u})\\
f(\vmatg{0})&=\vmatg{0}
\end{align*}
Si $f$ est linéaire alors $f(\vmatg{0})=\vmatg{0}$. Autrement dit, $f(\vmatg{0})=\vmatg{0}$ est une condition nécessaire pour que $f$ soit linéaire.
Toute application linéaire donne du vecteur nul une image qui est le vecteur nul.

Nous n'avons besoin que de transformer les vecteurs de base.
En effet, la transformation linéaire d'un vecteur $\vmatg{u}$ quelconque s'écrit~:
\begin{align*}
f(\vmatg{u})&=f\left(u^{1}\vmatg{e}_{1}+u^{2}\vmatg{e}_{2}+\dots+u^n\vmatg{e}_n\right)\\
&=u^{1}f(\vmatg{e}_{1})+u^{2}f(\vmatg{e}_{2})+\dots+u^nf(\vmatg{e}_n)
\end{align*}

\begin{exem}[Homothétie vectorielle]
Soit $\alpha$ un scalaire.
L'homothétie vectorielle de rapport $\alpha$,
\begin{align*}
h: E&\rightarrow E\\
\vmatg{x}&\mapsto \alpha \odot\vmatg{x}
\end{align*}
est une application linéaire.
En effet~:
\begin{align*}
h(\vmatg{x})&=\alpha \odot\vmatg{x}\\
h(\vmatg{x}\oplus\vmatg{y})&=\alpha \odot(\vmatg{x}\oplus\vmatg{y})\\
&=(\alpha \odot\vmatg{x})\oplus(\alpha \odot\vmatg{y})\\
&=h(\vmatg{x})\oplus h(\vmatg{y})
\end{align*}
et,
\begin{align*}
h(\lambda \odot\vmatg{x})&=\alpha \odot(\lambda \odot\vmatg{x})\\
&=\alpha \lambda \odot\vmatg{x}\\
&=\lambda \odot(\alpha \odot\vmatg{x})\\
&=\lambda \odot h(\vmatg{x})
\end{align*}
\end{exem}

\begin{exem}[Application dérivation]
Soit $\symcal D(\symbb{R},\symbb{R})$ l'espace vectoriel des fonctions de $\symbb{R}$ dans $\symbb{R}$ dérivables,
et soit $\symcal F(\symbb{R},\symbb{R})$ l'espace vectoriel des fonctions de $\symbb{R}$ dans $\symbb{R}$.
L'application dérivation,
\begin{align*}
\symcal D&\rightarrow\symcal F\\
f&\mapsto f'
\end{align*}
qui à toute fonction $f$ de $\symcal D$ associe sa dérivée $f'$ de $\symcal F$, est linéaire.
En effet, la dérivée de la somme de deux fonctions est la somme de leur dérivée,
\begin{equation*}
(f+g)'=f'+g'
\end{equation*}
et la dérivée d'une fonction multipliée par un scalaire est égale à ce scalaire multiplié par la dérivée de cette fonction~:
\begin{equation*}
(\alpha f)'=\alpha f'
\end{equation*}
\end{exem}

\begin{exem}[Application intégration]
Soit $\symcal{I}(\symbb{R},\symbb{R})$ l'espace vectoriel des fonctions de $\symbb{R}$ dans $\symbb{R}$ intégrables,
et soit $\symcal D(\symbb{R},\symbb{R})$ l'espace vectoriel des fonctions de $\symbb{R}$ dans $\symbb{R}$ dérivables.
L'application intégration indéfinie
\begin{align*}
\symcal{I}&\rightarrow\symbb{D}\\
f(x)&\mapsto \int_a^xf(t)dt
\end{align*}
qui à toute fonction de $\symcal{I}$ associe son intégrale indéfinie de $a$ fixe à $x$, est linéaire.
En effet,
\begin{equation*}
\int_a^x[f(t)+g(t)]\,\dd t=\int_a^x f(t)\,\dd t+\int_a^x g(t)\,\dd t
\end{equation*}
et~:
\begin{equation*}
\int_a^x[\lambda f(t)]\,\dd t=\lambda \int_a^xf(t)\,\dd t
\end{equation*}
\end{exem}

\section{Transformations actives et passives}
Tout système d'équations linéaires (déf.~\ref{Notion:def:equa_lin} \vpageref{Notion:def:equa_lin}),
\begin{equation*}
\begin{dcases}
a_{11}\,u^{1}+a_{12}\,u^{2}=v^{1}\\
a_{21}\,u^{1}+a_{22}\,u^{2}=v^{2}
\end{dcases}
\end{equation*}
est une application linéaire de chaque vecteur $\vmatg{u}(u^{1},u^{2})$ vers son vecteur image $\vmatg{v}(v^{1},v^{2})$.
Sous forme matricielle~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u^{1}\\
u^{2}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
v^{1}\\
v^{2}
\end{pmatrix}\\
A\vmatg{u}&=\vmatg{v}
\end{align*}
Sous forme indicielle~:
\begin{equation*}
\forall j\qquad a_{ij}u^{i}=v^{j}
\end{equation*}
On vérifie que l'on a bien les propriétés qui caractérisent les applications linéaires~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item additivité~: $A(\vmatg{u}_1+\vmatg{u}_2)=A(\vmatg{u}_1)+A(\vmatg{u}_2)$
\item homogénéité de degré un~: $A(\lambda \vmatg{u})=\lambda A(\vmatg{u})$
\end{itemize}
L'application étant bijective~:
\begin{equation*}
\det A\neq0
\end{equation*}
Les transformations linéaires peuvent être interprétées de deux façons.
Pour donner une représentation graphique à l'action d'une matrice sur un vecteur,
nous supposerons que les inconnues sont les composantes contravariantes d'un vecteur,
c.-à-d. les coordonnées des points aux extrémités des vecteurs.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item transformation ponctuelle linéaire

$(v^{1},v^{2})$ sont les coordonnées du point $Q$ image du point $P(u^{1},u^{2})$
dans le même système de coordonnées.
On parle de l'aspect \emph{alibi}\footnote{du latin \enquote{ailleurs}.} de la transformation,
ou bien d'une \emph{transformation active}.
La plupart du temps on supposera que l'on effectue cette transformation.

\begin{exem}[Transformation d'un vecteur - aspect alibi]
Le système d'équations
\begin{equation*}
\begin{dcases}
v^{1}=\tfrac{1}{2}\,u^{1}-4u^{2}\\
v^{2}=\tfrac{1}{3}\,u^{1}+u^{2}
\end{dcases}
\end{equation*}
transforme le vecteur $P(2,1)$ en son image $Q(-3,\nicefrac{5}{3})$.

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,2)
\psline(-4,0)(4,0)
\psline(0,-1)(0,2)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline{->}(0,0)(1,0)
%Points
\rput(2,1){$+$}
\rput(-3,1.666){$+$}
%Lettres
\rput(2.4,1){$P$}
\rput(-3.4,1.666){$Q$}
\end{pspicture}
\caption{Transformation active : le point $P$ passe ailleurs, en $Q$}
\end{figure}
\end{exem}

\item changement de système de coordonnées

$(v^{1},v^{2})$ sont les coordonnées du même point $P$ dans un nouveau
système de coordonnées.
On parle de l'aspect \emph{alias}\footnote{du latin \enquote{autrement}.} de la transformation,
ou bien d'une transformation \emph{passive}.
Les deux systèmes de coordonnées sont reliés par la relation $\vmatg{v}=A\vmatg{u}$.

\begin{exem}[Transformation d'un vecteur - aspect alias]
Pour trouver dans l'ancien système de coordonnées, les composantes du vecteur de base $(1,0)$
de ce nouveau système, on résoud le système d'équations suivant~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
1=\tfrac{1}{2}\,u^{1}-4\,u^{2}\\
0=\tfrac{1}{3}\,u^{1}+u^{2}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
1=\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{4}{3}\right)u^{1}\\
u^{2}=-\tfrac{1}{3}\,u^{1}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
u^{1}=\tfrac{6}{11}\\
u^{2}=-\tfrac{2}{11}
\end{dcases}
\end{equation*}
Pour trouver le vecteur de base de coordonnées $(0,1)$ on résoud le système~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
0=\tfrac{1}{2}\,u^{1}-4u^{2}\\
1=\tfrac{1}{3}\,u^{1}+u^{2}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
u^{1}=8u^{2}\\
1=\left(\tfrac{8}{3}+1\right)u^{2}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
u^{1}=\tfrac{24}{11}\\
u^{2}=\tfrac{3}{11}
\end{dcases}
\end{equation*}

\begin{figure}[H]\centering
\psset{unit=1}
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,2)
\psline(-4,0)(4,0)
\psline(0,-2)(0,2)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline[linecolor=blue]{->}(0,0)(.545,-.182)
\psline[linecolor=blue]{->}(0,0)(2.182,.273)
%Points
\rput(2,1){$+$}
%Lettres
\rput(2.8,1){$P$}
\end{pspicture}
\caption{Transformation passive : $P$ vu autrement}
\label{Notion:transfo_passive}
\end{figure}
\end{exem}
\end{enumerate}
\begin{rmq}
Une transformation de coordonnées peut être active ou passive.
En revanche, un changement de système de coordonnées est toujours une transformation de coordonnées passive, et jamais une transformation de coordonnées active.
Changement (de système) de coordonnées et transformation de coordonnées ne sont donc pas synonymes.
\end{rmq}

La transformation linéaire d'un système de coordonnées rectangulaires donne un système de coordonnées cartésiennes,
obliques (Fig.~\ref{Notion:transfo_passive}) si la transformation n'est pas une simple rotation.

\section{Isométrie}
Une isométrie ou transformation orthogonale est une transformation linéaire qui conserve la norme des vecteurs~:
\begin{align*}
\|\vmatg{u}\|^2&=\|\vmatg{v}\|^2\\
\transp{\vmatg{u}}\vmatg{u}&=\transp{\vmatg{v}}\vmatg{v}\\
&=\transp{\vmatg{u}}\transp{A}A\vmatg{u}\\
&=\transp{A}A\|\vmatg{u}\|^2
\end{align*}
La matrice $A$ est donc telle que~:
\begin{equation*}
A\transp{A}=\transp{A}A=I
\end{equation*}
La transposée de $A$ est donc égale à son inverse~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
A\transp{A}=I\\
AA^{-1}=I
\end{dcases}
\quad\Rightarrow\quad
\transp{A}=A^{-1}
\end{equation*}
\begin{defi}[Matrice orthogonale]
Une matrice est orthogonale ssi elle est inversible et son inverse est égale à sa transposée~:
\begin{equation*}
A^{-1}=\transp{A}
\end{equation*}
\end{defi}
Montrons que le déterminant d'une matrice orthogonale est de carré unité~:
\begin{align*}
AA^{-1}&=I\\
A\transp{A}&=I\\
\det(A\transp{A})&=\det(I)\\
\det(A)\det(\transp{A})&=1\\
\det(A)\det(A)&=1\\
\det(A^2)&=1
\end{align*}
La réciproque est fausse, il existe des matrices de déterminant $\pm1$ qui ne sont pas orthogonales.
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item si $\det{A}=+1$ la matrice est dite \emph{directe}.
Par exemple les matrices identité et les matrices rotation d'un angle $\theta$ autour d'un axe $\Delta$
quelconque sont des matrices directes.
\item si $\det{A}=-1$ la matrice est dite \emph{indirecte}.
\end{itemize}
Le signe du déterminant d'une matrice orthogonale est appelée sa signature.
\section{Principales transformations linéaires}
Les principales transformations linéaires sont les rotations, les inversions, les changements d'échelle, les réflexions, les transvections,
et toutes les combinaisons des ces transformations, que l'on obtient par multiplication matricielle (généralement non commutative).
\subsection{Rotation}
Une rotation est toujours dans un plan.
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item transformation passive~: rotation d'une base
\begin{figure}[H]\centering
\includegraphics{rotation_coord_rect.eps}
\caption{Rotation d'une base autour du point $O$ d'un angle $\theta$ dans le sens trigonométrique}
\end{figure}

\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{i}'=\vmatg{i}\cos(\theta)+\vmatg{j}\sin(\theta)\\
\vmatg{j}'=-\vmatg{i}\sin(\theta)+\vmatg{j}\cos(\theta)
\end{dcases}
\end{equation*}

La matrice $R_O(\theta)$ rotation autour du point $O$ s'écrit~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\vmatg{i}'\\
\vmatg{j}'
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta)\\
-\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vmatg{i}\\
\vmatg{j}
\end{pmatrix}
\end{align*}
La matrice $R_z(\theta)$ rotation d'une base d'un angle $\theta$ dans le sens trigonométrique autour de l'axe des $z$ s'écrit~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\vmatg{i}'\\
\vmatg{j}'\\
\vmatg{k}'
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0\\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vmatg{i}\\
\vmatg{j}\\
\vmatg{k}
\end{pmatrix}
\end{align*}
Les rotations sont des isométries de signature $\det(R)=1$.
\item transformation active~: rotation d'un vecteur
\begin{figure}[H]\centering
\includegraphics{rotation_vecteur.eps}
\caption{Rotation d'un vecteur autour d'un point $O$ d'un angle $\theta$ dans le sens trigonométrique}
\end{figure}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
v^1=\|\vmatg u\|\cos(\alpha+\theta)\\
v^2=\|\vmatg u\|\sin(\alpha+\theta)
\end{dcases}
\quad\Rightarrow\quad
\begin{dcases}
v^1=\|\vmatg u\|\cos(\alpha)\cos(\theta)-\|\vmatg u\|\sin(\alpha)\sin(\theta)\\
v^2=\|\vmatg u\|\sin(\alpha)\cos(\theta)+\|\vmatg u\|\sin(\theta)\cos(\alpha)
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow\quad
\begin{dcases}
v^1=u^1\cos(\theta)-u^2\sin(\theta)\\
v^2=u^2\cos(\theta)+u^1\sin(\theta)
\end{dcases}
\end{equation*}
En notation matricielle~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
v^1\\
v^2
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta)\\
\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u^1\\
u^2
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{itemize}
On retrouve le fait qu'une rotation d'angle $\theta$ d'une base correspond à une rotation d'angle $-\theta$ des autres vecteurs.
\subsection{Inversion}
Une inversion ou symétrie centrale est une symétrie par rapport à un point fixe appelé centre de symétrie.
Elle est définie par la matrice~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\vmatg{i}'\\
\vmatg{j}'\\
\vmatg{k}'
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vmatg{i}\\
\vmatg{j}\\
\vmatg{k}
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
-\vmatg{i}\\
-\vmatg{j}\\
-\vmatg{k}
\end{pmatrix}
\end{align*}
Les inversions sont des isométries de signature $\det(Inv)=-1$.
\subsection{Changement d'échelle}
Elle est définie par la matrice~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\vmatg{i}'\\
\vmatg{j}'\\
\vmatg{k}'
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\alpha & 0 & 0\\
0 & \beta & 0\\
0 & 0 & \gamma
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vmatg{i}\\
\vmatg{j}\\
\vmatg{k}
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\alpha\vmatg{i}\\
\beta\vmatg{j}\\
\gamma\vmatg{k}
\end{pmatrix}
\end{align*}
Les changements d'échelle ne sont pas des isométries, elles ne conservent pas la norme des vecteurs.

\subsection{Réflexion ou symétrie orthogonale}
En deux dimensions, la réflexion ou symétrie axiale est une symétrie par rapport à une droite.
En trois dimensions, la réflexion ou miroir est une symétrie par rapport à un plan.
\begin{exem}
Symétrie par rapport à l'axe des $x$~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\vmatg{i}'\\
\vmatg{j}'
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vmatg{i}\\
\vmatg{j}
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\vmatg{i}\\
-\vmatg{j}
\end{pmatrix}
\end{align*}

Symétrie par rapport à la droite $y=x$~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\vmatg{i}'\\
\vmatg{j}'
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vmatg{i}\\
\vmatg{j}
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\vmatg{j}\\
\vmatg{i}
\end{pmatrix}
\end{align*}

Symétrie par rapport au plan $(x,y)$~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\vmatg{i}'\\
\vmatg{j}'\\
\vmatg{k}'
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vmatg{i}\\
\vmatg{j}\\
\vmatg{k}
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\vmatg{i}\\
\vmatg{j}\\
-\vmatg{k}
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{exem}
Les réflexions sont des isométries de signature $\det(Ref)=-1$.
\subsection{Transvection}
Une transvection ou cisaillement est définie par la matrice~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
1& m\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
x+my\\
y
\end{pmatrix}
\end{align*}

\section{Transformation affine}
En combinant une transformation linéaire et une translation on obtient une transformation affine~:
\begin{equation*}
\vmatg{v}=A\vmatg{u}+\vmatg{b}
\end{equation*}
où $\vmatg{b}$ est un vecteur constant. Pour $\vmatg{u}=\vmatg{0}$, $\vmatg{v}=\vmatg{b}\neq\vmatg{0}$, ce n'est donc pas une transformation linéaire.
Cependant nous pouvons quand même l'écrire sous forme matricielle.
\begin{exem}
Dans le cas d'une simple translation, la transformation linéaire est la matrice identité~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
v^1\\
v^2\\
v^3\\
1
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & b^1\\
0 & 1 & 0 & b^2\\
0 & 0 & 1 & b^3\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u^1\\
u^2\\
u^3\\
1
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
u^1+b^1\\
u^2+b^2\\
u^3+b^3\\
1
\end{pmatrix}
\end{align*}
Les coordonnées $(u^1,u^2,u^3,1)$ sont appelées coordonnées homogènes.
\end{exem}
\section{Application bilinéaire}
\begin{defi}[Application bilinéaire]\index{Application!bilinéaire}
Soient $\ev{E}$, $\ev{F}$ et $\ev{G}$ trois espaces vectoriels sur le même corps $\symbb{K}$.
Une application bilinéaire $B$ de $\ev{E}\times \ev{F}$ dans $\ev{G}$ est une application qui a deux vecteurs, $\vmatg{u}$ dans $\ev{E}$ et $\vmatg{v}$ dans $\ev{F}$,
associe un vecteur $\vmatg{w}$ dans $\ev{G}$,
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
f~: \ev{E}\times \ev{F}&\rightarrow \ev{G}\\
\vmatg{u},\vmatg{v}&\mapsto B(\vmatg{u},\vmatg{v})=\vmatg{w}
\end{empheq}
qui est linéaire pour chacun de ses arguments.
$\forall (\vmatg{u},\vmatg{v})\in \ev{E}^{2},(\vmatg{w},\vmatg{x})\in \ev{F}^{2},\ \forall \lambda \in\symbb{K}$~:
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item $B$ est linéaire pour son premier argument,
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item additive~:
$B(\vmatg{u}\oplus\vmatg{v},\vmatg{w})=B(\vmatg{u},\vmatg{w})+B(\vmatg{v},\vmatg{w})$
\item homogène de degré un~:
$B(\lambda \odot\vmatg{u},\vmatg{w})=\lambda B(\vmatg{u},\vmatg{w})$
\end{enumerate}
\item $B$ est linéaire pour son second argument~:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item additive~:
$B(\vmatg{u},\vmatg{w}\oplus\vmatg{x})=B(\vmatg{u},\vmatg{w})+B(\vmatg{u},\vmatg{x})$
\item homogène de degré un~:
$B(\vmatg{u},\lambda \odot\vmatg{w})=\lambda B(\vmatg{u},\vmatg{w})$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{defi}
\begin{ntn}
L'ensemble des applications bilinéaires de $\ev{E}\times \ev{F}$ dans $\ev{G}$ est noté $\symcal{L}_{\symbb{K}}(\ev{E},\ev{F};\ev{G})$.
Lorsque $\ev{E}=\ev{F}$ il est noté $\symcal{L}_{\symbb{K}}^{2}(\ev{E};\ev{G})$.
\end{ntn}

\section{Application multilinéaire}
\begin{defi}[Application multilinéaire]\index{Application!multilinéaire}
Soient $\evn{E}{1},\evn{E}{2},\dots, \evn{E}{n}$ et $\ev{F}$, $n+1$ espaces vectoriels sur le même corps $\symbb{K}$.
Une application multilinéaire, ici $n$-linéaire, $\varphi$ de $\evn{E}{1}\times \evn{E}{2}\times\dots\times \evn{E}{n}$ dans $\ev{F}$ est une application qui a $n$ vecteurs
$\vmatg{u}_1\in \evn{E}{1},\vmatg{u}_2\in \evn{E}{2},\dots, \vmatg{u}_n\in \evn{E}{n}$, associe un vecteur $\vmatg{v}\in \ev{F}$,
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
f~: \evn{E}{1}\times \evn{E}{2}\times\dots\times \evn{E}{n}&\rightarrow \ev{F}\\
\vmatg{u}_1,\dots,\vmatg{u}_n&\mapsto \varphi(\vmatg{u}_1,\dots,\vmatg{u}_n)=\vmatg{v}
\end{empheq}
qui est linéaire pour chacun de ses $n$ arguments.
\end{defi}
\begin{ntn}
L'ensemble des applications $n$-linéaires de $\evn{E}{1}\times \evn{E}{2}\times\dots\times \evn{E}{n}$ dans $\ev{F}$ est noté
$\symcal{L}_{\symbb{K}}(\evn{E}{1},\evn{E}{2},\dots, \evn{E}{n};\ev{F})$.
Lorsque $\evn{E}{1}=\evn{E}{2}=\dots=\evn{E}{n}$ il est noté $\symcal{L}_{\symbb{K}}^n(\ev{E};\ev{F})$
\end{ntn}

\chapter{Espaces euclidiens}
%\minitoc
\section{Histoire de la géométrie euclidienne}
Vers 300 av. J.-C., le mathématicien grec Euclide d'Alexandrie rédige un traité de mathématique de 13 livres,
intitulé \emph{Éléments de géométrie}, dans lequel, entre autres, il axiomatise la géométrie du plan.
Il fonde ainsi ce qui à partir du \textsc{xvii}\ieme~siècle sera appelée \enquote{géométrie pure} ou \enquote{géométrie synthétique},
c.-à-d. la géométrie sans l'utilisation d'un système de coordonnées.
Son système axiomatique est un ensemble de
\begin{itemize}

\item notions primitives, qui sont des objets mathématiques tels que les points, les lignes ou les plans,
qui n'ont pas de propriétés intrinsèques et dont les définitions importent peu, si ce n'est pour se faire une représentation mentale.
En revanche, leurs relations mutuelles sont d'importance pour la théorie

\item 5 axiomes (et 5 notions communes qui sont aussi des axiomes) qui sont des propositions concernant les notions primitives,
ces propositions étant supposées vraies et non démontrables dans le système en question.
Ce sont des abstractions issues du monde physique. Le 5\ieme axiome d'Euclide, appelé axiome des parallèles, énonce que
\enquote{Pour une droite\index{Droite} donnée et un point n'appartenant pas à cette droite,
il n'existe qu'une seule droite passant par ce point ne coupant pas la droite donnée}

\item postulats (ou conjectures) qui sont des propositions démontrables ou non dans le système axiomatique,
c.-à-d. qui sont soit des théorèmes du système, soit des indécidables du système

\item définitions

\item théorèmes, c.-à-d. des propositions démontrées
\end{itemize}

En 1899, dans \enquote{ Grundlagen der Geometrie\footnote{Fondements de la géométrie}},
le mathématicien allemand David Hilbert donne une formulation rigoureuse et moderne de la géométrie euclidienne\index{Espace!euclidien}.
Il montre qu'il faut en fait 20 axiomes pour la géométrie d'Euclide, les axiomes manquants étant contenus implicitement
dans les définitions et figures des \emph{Éléments}.


On attend d'un système axiomatique qu'il soit \emph{consistant}, on dit aussi \emph{cohérent}.
Il l'est s'il est impossible d'y démontrer une proposition et son contraire, autrement dit si le système ne se contredit pas.
Dès lors qu'un système contient une contradiction (ou incohérence) logique, tout peut y être démontré, et ce système perd toute utilité.
On souhaite également qu'un système axiomatique soit \emph{complet},
ce qui signifie que pour toute proposition P énonçable et compréhensible dans le système,
l'on puisse démontrer P ou non-P, c.-à-d., que ses axiomes nous permettent d'engendrer toutes les vérités logiques (tautologies)
exprimables dans ce sytème.


Un \emph{indécidable} d'un système axiomatique S est un énoncé formulable dans S mais dont S ne peut démontrer s'il est vrai ou faux
(du type \enquote{Je mens.}, ou \enquote{Cette phrase est fausse.} ). S est donc complet s'il ne contient pas d'indécidable.
Lorsque l'on découvre un indécidable I dans un système axiomatique S, on peut l'ajouter aux axiomes de ce système et créer ainsi un nouveau système axiomatique
S' dans lequel I n'est plus un indécidable.


Vers 1824, les mathématiciens Carl Friedrich Gauss, J\'anos Bolyai et Nikolai Ivanovich Lobachevsky développent la \emph{géométrie hyperbolique}
dans laquelle le 5\ieme axiome d'Euclide est remplacé par \enquote{Pour une droite donnée et un point n'appartenant pas à cette droite,
il existe plus d'une droite passant par ce point et qui ne coupe pas la droite donnée}.
En 1868, Eugenio Beltrami montre que la consistance de la géométries euclidienne implique la consistance de la géométrie hyperbolique, et réciproquement.
Par conséquent le 5\ieme axiome d'Euclide est indépendant des autres axiomes, il n'est donc pas nécessaire pour former un système axiomatique,
en le supprimant on crée la \emph{géométrie absolue}. Dans cette géométrie, l'axiome des parallèles peut être énoncé mais ne peut être démontré,
c'est un indécidable. La géométrie absolue est donc incomplète.


En 1931, Kurt Gödel démontre les deux théorèmes\index{Theoreme@Théorème!de Gödel} qui portent son nom.
Le premier théorème de Gödel énonce que tout système formel (dont les systèmes axiomatiques) effectif (dont le nombre d'axiomes est fini)
assez puissant (dans lequel on puisse faire de l'arithmétique)
est soit inconsistant donc inintéressant puisque tout y est vrai et faux à la fois, soit incomplet, donc contient au moins un indécidable.
Les systèmes formels ne peuvent être à la fois consistants et complets.
Le second théorème de Gödel énonce que la consistance d'un système formel fait partie de ses indécidables,
autrement dit un système consistant ne peut savoir qu'il l'est (un homme saint d'esprit ne peut savoir qu'il l'est, mais il peut le poser comme axiome,
ce que fera également un fou).
Gödel a donc universalisé l'incomplétude déjà connue pour la géométrie absolue.

Si donc on ajoute un indécidable comme axiome à un système S pour en faire un système S', il existera au moins un autre indécidable I' dans S',
qui est aussi un indécidable de S.

En 1637 René Descartes introduit le système de coordonnées rectilignes\index{Coordonnées!rectilignes}
appelé système de coordonnées cartésien\index{Coordonnées!cartésiennes}, et
montre que les problèmes de géométrie peuvent se résoudre par l'algèbre, fondant ainsi la \emph{géométrie analytique}.
Si on identifie un point à une paire de nombres réels ordonnés $(x_1,x_2)$,
et la distance entre deux points $(x_1,x_2)$ et $(y_1,y_2)$ par $\sqrt{(x_1-y_1)^{2}+(x_2-y_2)^{2}}$, alors tous les axiomes d'Euclide
peuvent être démontrés, ils deviennent des théorèmes de la théorie des nombes réels.
En 1870 Félix Klein fait de même et construit une geométrie analytique pour la géométrie hyperbolique.
Ce n'est qu'en 1957 qu'Emil Artin démontrera que les approches synthétique et analytique sont équivalentes.

L'étape suivante consiste à remplacer les points par des vecteurs (chapitre \ref{Notion:ch_vecteurs} \vpageref{Notion:ch_vecteurs})
et à introduire un produit scalaire (chapitre \ref{Notion:chap_ps} \vpageref{Notion:chap_ps}) pour avoir une distance et un angle.
Nous formons alors les espaces vectoriels qui permettent de définir les espaces pré-euclidiens\index{Espace!pre-euclidien@pré-euclidien}
(euclidiens et pseudo-euclidiens) qui sont des espaces plats, sans passer par les axiomes d'Euclide.
Rappelons que la notion de vecteur position dans un espace n'est applicable que si cet espace est plat.

\section{Métrique de l'espace euclidien}\index{Metrique@Métrique!de l'espace euclidien}
\subsection{Coordonnées rectangulaires ou cartésiennes normales}\index{Coordonnées!rectangulaires}\index{Coordonnées!cartésiennes!normales}
Dans ce système de coordonnées les lignes de coordonnées sont des droites qui se coupent à angle droit.
Ces systèmes de coordonnées ne sont possibles que dans les espaces plats, c.-à-d. pré-euclidien (euclidiens ou pseudo-eu\-cli\-diens).

Dans le plan, en coordonnées rectangulaires $(x,y)$ le carré de la longueur, appelée \emph{métrique},
est donné par le théorème de Pythagore~:\index{Theoreme@Théorème!de Pythagore}
\begin{equation*}
s^{2}=x^{2}+y^{2}
\end{equation*}
C'est la \emph{forme quadratique associée au plan en coordonnées rectangulaires}\index{Forme!quadratique!du plan}~:
\begin{equation*}
Q(x,y)=x^{2}+y^{2}
\end{equation*}
D'après le \S~\ref{Notion:loi_inertie} \vpageref{Notion:loi_inertie}, cette forme quadratique a pour signature\index{Signature!euclidienne} $(2,0)$ et pour rang $2$.
D'après la déf.~\ref{Notion:def:fqdp} \vpageref{Notion:def:fqdp}, elle est définie positive.
La loi d'inertie de Sylvester\index{Loi!d'inertie de Sylvester} nous dit qu'elle sera définie positive quel que soit le système de coordonnées employé.
La métrique s'écrit~:
\begin{equation*}
s^{2}=g_{xx}x^{2}+g_{yy}y^{2}
\end{equation*}
Les coefficients de la métrique, $g_{xx}=1$ et $g_{yy}=1$, sont les composantes du \emph{tenseur métrique} du plan en coordonnées rectangulaires.
En notation matricielle~:
\begin{align*}
s^{2}&=
\begin{pmatrix}
x & y
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
\end{align*}
\begin{ntn}
En notation indicielle avec la convention de sommation sur les indices répétés~:
\begin{equation*}
s^{2}=\delta_{ij}x^{i}x^{j}
\end{equation*}
où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker (déf.~\ref{Notion:def:kronecker} \vpageref{Notion:def:kronecker}).
\end{ntn}
Un tenseur métrique\index{Tenseur!métrique} dont toutes les composantes sont constantes n'est possible que dans les espaces plats (euclidiens et pseudo-eu\-cli\-diens).

On généralise à l'espace à trois dimensions, en coordonnées rectangulaires $(x,y,z)$ la métrique est donnée
par la double application du théorème de Pythagore\index{Theoreme@Théorème!de Pythagore},
d'abord dans un plan puis dans l'espace~:
\begin{align*}
s^{2}&=\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)^{2}+z^{2}\\
&=x^{2}+y^{2}+z^{2}\\
&=g_{xx}x^{2}+g_{yy}y^{2}+g_{zz}z^{2}\\
&=
\begin{pmatrix}
x & y & z
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}\\
&=\delta_{ij}x^{i}x^{j}
\end{align*}
$g_{xx},g_{yy},g_{zz}$ sont les composantes du tenseur métrique de l'espace euclidien en coordonnées rectangulaires.
La forme quadratique\index{Forme!quadratique!de l'espace euclidien} associée à l'espace euclidien\index{Espace!euclidien} en coordonnées rectangulaires
\begin{equation*}
Q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
\end{equation*}
a pour signature $(3,0)$ et pour rang $3$. La signature\index{Signature!euclidienne} est souvent donnée sous forme explicite $(+++)$.
Elle est définie positive.
La métrique de l'espace de la physique newtonienne est donc une forme quadratique définie positive.
Pour pouvoir l'intégrer le long d'une courbe, la métrique est donnée sous forme différentielle~:
\begin{equation*}
\dd s^{2}=\dd x^{2}+\dd y^{2}+\dd z^{2}
\end{equation*}
$\dd s^{2}$ est le carré de l'élément de longueur (élémentaire dans le sens de infinitésimal).

\begin{rmq}
L'opérateur carré est prioritaire sur celui de différentiation ou de dérivation. Ainsi $\dd x^2=\dd(x^2)$
et non $(\dd x)^2$, et l'on a par exemple~:
\begin{align*}
\frac{\dd x^{2}}{\dd x}&=2x\\
\dd x^{2}&=2x\dd x
\end{align*}
$\dd x^{2}$ est donc un infiniment petit du premier ordre. En toute rigueur il faudrait donc écrire
\begin{equation*}
(\dd s)^{2}=(\dd x)^{2}+(\dd y)^{2}+(\dd z)^{2}
\end{equation*}
pour le carré de la distance infinitésimale qui est un infiniment petit du deuxième ordre (alors que $\dd s$ est un infiniment petit du premier ordre).
Néanmoins nous supprimons les parenthèses pour alléger la notation, la confusion étant peu probable.
\end{rmq}

\subsection{Coordonnées cartésiennes}

Dans le système de coordonnées cartésiennes (rectilignes), les lignes de coordonnées sont des droites.
Dans l'espace ponctuel $\epn{E}{n}$, soit $M$ un point de coordonnées $(x^{1},x^{2},\dots,x^{n})$.
Supposons que l'on puisse écrire les $n$ équations suivantes,
\begin{equation*}
\forall i=1,\dots,n\qquad x^{i}=f^{i}(y^{1},y^{2},\dots,y^n)
\end{equation*}
où les $n$ fonctions $f$ (et par conséquent les $n$ fonctions $g$ qui suivent) sont des fonctions continument différentiables des $n$ variables $y$.
Supposons également que le déterminant fonctionnel de ce système d'équation soit non nul,
autrement dit supposons que ces fonctions soient indépendantes les unes des autres de sorte que l'on puisse résoudre les $n$ équations précédentes et écrire~:
\begin{equation*}
\forall i=1,\dots,n\qquad y^{i}=g^{i}(x^{1},x^{2},\dots,x^{n})
\end{equation*}
Si les fonctions $f$ sont toutes linaires alors les systèmes de coordonnées $(x^{i})$ et $(y^{i})$ sont rectilignes,
sinon, au moins l'un des deux systèmes est curviligne.

Montrons ici que ces systèmes de coordonnées peuvent toujours se ramener par changement de variables à un système de coordonnées rectangulaires.
Rappelons que les coordonnées cartésiennes ne sont possibles que dans les espaces plats c.-à-d. pré-euclidiens (euclidiens et pseudo-eu\-cli\-diens).

\begin{figure}[H]\centering
\begin{pspicture}(-3,-1)(7,4.5)
%\psgrid (-3,-1)(7,4.5)
\psline{->}(0,0)(4.5;70)
\psline{->}(0,0)(7;0)
\psline{->}(0,0)(4.5;90)
\psline[linestyle=dotted](6;30)(3;90)
\psline[linestyle=dotted](6;30)(4.104;0)
\psline[linestyle=dotted](6;30)(5.196;0)
\psarc{<->}(0,0){2}{0}{70}
%Lettres
\rput(6.4;30){$M$}
\rput(-.3,-.2){$O$}
\rput(4.05,-.3){$\bar x$}
\rput(.9,3.3){$\bar y$}
\rput(5.4,-.3){$x$}
\rput(-0.4,3.15){$y$}
\rput(2.3;35){$\alpha$}
\end{pspicture}
\caption{Coordonnées rectangulaires $(x,y)$ et cartésiennes $(\bar x,\bar y)$}
\end{figure}

Transformation des coordonnées cartésiennes en rectangulaires

\begin{equation*}
T\quad :\quad
\begin{dcases}
x=\bar x+\bar y\cos(\alpha)\\
y=\bar y\sin(\alpha)
\end{dcases}
\end{equation*}

Transformation des coordonnées rectangulaires en cartésiennes

\begin{equation*}
\overline{T}\quad :\quad
\begin{dcases}
\bar x=x-\bar y\cos(\alpha)\\
\bar y=\frac{y}{\sin(\alpha)}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\bar x=x-\frac{y}{\tan\alpha}\\
\bar y=\frac{y}{\sin(\alpha)}
\end{dcases}
\end{equation*}

En coordonnées cartésiennes la métrique du plan s'écrit~:
\begin{align}
\dd s^{2}&=\dd x^{2}+\dd y^{2}\notag\\
&=\left(\frac{\partial x}{\partial \bar x}\,\dd\bar x+\frac{\partial x}{\partial \bar y}\,\dd\bar y\right)^{2}
+\left(\frac{\partial y}{\partial \bar x}\,\dd\bar x+\frac{\partial y}{\partial \bar y}\,\dd\bar y\right)^{2}\notag\\
&=\left[\dd\bar x+\cos(\alpha) \dd\bar y\right]^{2}+\left[\sin(\alpha) \dd\bar y\right]^{2}\notag\\
&=\dd \bar x^{2}+2\cos(\alpha) \dd\bar x\dd\bar y+\cos^{2}(\alpha) \dd\bar y^{2}+\sin^{2}(\alpha) \dd\bar y^{2}\notag\\
&=\dd \bar x^{2}+2\cos(\alpha) \dd\bar x\dd\bar y+\dd\bar y^{2}\label{Notion:el_cartesiennes}
\end{align}
En coordonnées cartésiennes (et cartésiennes normales), la métrique est une somme à coefficients constants, ici 1 puis $2\cos(\alpha)$ et à nouveau 1.
Une conséquence de la réduction de Gauss (Cf.~\S \ref{Notion:sec:red_Gauss} \vpageref{Notion:sec:red_Gauss}) est que la métrique en coordonnées cartésiennes
peut toujours se ramener à une métrique en coordonnées rectangulaires.

Sous forme différentielle, la métrique s'écrit~:
\begin{equation*}
\dd s^{2}=g_{\bar x\bar x}\dd\bar x^{2}+2g_{\bar x\bar y}\dd\bar x\dd\bar y+g_{\bar y\bar y}\dd\bar y^{2}
\end{equation*}
$g_{\bar x\bar x},g_{\bar x\bar y},g_{\bar y\bar y}$ sont les composantes (constantes,
c.-à-d. non fonction des coordonnées) du tenseur métrique du plan en coordonnées cartésiennes.

\subsection{Coordonnées curvilignes}\index{Coordonnées!curvilignes}

Dans ce système de coordonnées qui peut être orthogonal ou oblique, les lignes de coordonnées ne sont pas des droites.
Au moins un coefficient de la métrique (une composante du tenseur métrique) est fonction des coordonnées.
La métrique ne peut être donnée que sous forme différentielle car elle varie d'un point à l'autre.

\subsection{Coordonnées orthogonales}\index{Coordonnées!orthogonales}

Dans ce système de coordonnées qui peut être rectiligne ou curviligne, les lignes de coordonnées se coupent à angle droit.
La métrique ne contient que des carrés, elle n'a pas de terme croisé (ou rectangle), du type $xy$.

\subsection{Coordonnées obliques}\index{Coordonnées!obliques}

Dans ce système de coordonnées qui peut être rectiligne ou curviligne, les lignes de coordonnées ne se coupent pas à angle droit.
La métrique contient au moins un terme croisé.

\subsection{Coordonnées polaires}\index{Coordonnées!polaires}

C'est l'archétype des systèmes de coordonnées curvilignes orthogonales du plan.
En faisant varier la distance radiale à l'origine $\rho$ et l'angle $\theta$ on parcourt l'ensemble des points du plan.
Les coordonnées polaires $(\rho,\theta)$ forment donc un système de coordonnées pour le plan.
Pour le mettre en place, il faut se donner les mêmes éléments que pour le système de coordonnées rectangulaires
en deux dimensions, c.-à-d. deux points du plan (le centre du système et une direction) et une unité de longueur.
Il n'est pas nécessaire de se donner une unité d'angle car le tour et ses fractions sont des unités naturelles,
en revanche il faut se donner une orientation (un sens de parcours positif pour les angles).
Ce système de coordonnées est dégénéré (déf.~\ref{Notion:def:sysCoordDeg} \vpageref{Notion:def:sysCoordDeg}) à l'origine des coordonnées,
en ce point l'angle $\theta$ est indéterminé,
cependant la dégénéréscence est facilement levée en passant en coordonnées rectangulaires.

La transformation des coordonnées polaires en rectangulaires est donnée par \eqref{Notion:transfo_pol_rec} \vpageref{Notion:transfo_pol_rec}.
La transformation inverse, de rectangulaires en polaires, est donnée par \eqref{Notion:transfo_rec_pol} \vpageref{Notion:transfo_rec_pol}.

En coordonnées polaires\index{Coordonnées!polaires} la métrique du plan\index{Tenseur!métrique!du plan}\index{Metrique@Métrique!du plan} s'écrit~:
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
\dd s^{2}&=&\dd x^{2}+\dd y^{2} \nonumber\\
&=&\left(\frac{\partial x}{\partial \rho}\,\dd \rho+\frac{\partial x}{\partial \theta}\,\dd \theta \right)^{2}
+\left(\frac{\partial y}{\partial \rho}\,\dd \rho+\frac{\partial y}{\partial \theta}\,\dd \theta \right)^{2} \nonumber\\
&=&\left[\cos(\theta)\dd \rho-\rho \sin(\theta)\dd \theta \right]^{2}+\left[\sin(\theta)\dd \rho+\rho \cos(\theta)\dd \theta \right]^{2} \nonumber\\
&=&\cos^{2}(\theta)\dd \rho^{2}+\rho^{2}\sin^{2}(\theta)\dd \theta^{2}-2\rho \cos(\theta)\sin(\theta)\dd \rho \dd \theta \nonumber\\
&&+\sin^{2}(\theta)\dd \rho^{2}+\rho^{2}\cos^{2}(\theta)\dd \theta^{2}+2\rho \cos(\theta)\sin(\theta)\dd \rho \dd \theta \nonumber\\
&=&\dd \rho^{2}+\rho^{2} \dd \theta^{2}\label{Notion:el_polaire}\\
&=&g_{\rho \rho}\dd \rho^{2}+g_{\theta \theta}\dd \theta^{2} \nonumber
\end{IEEEeqnarray}
$g_{\rho \rho}=1$ et $g_{\theta \theta}=\rho^{2}$ sont les composantes du tenseur métrique du plan en coordonnées polaires.
La composante $g_{\theta \theta}$ est fonction de la coordonnée $\rho$.
Le changement de coordonnées polaires en rectangulaires \eqref{Notion:transfo_pol_rec} \vpageref{Notion:transfo_pol_rec}
permet de retrouver un tenseur métrique avec des composantes constantes, caractéristiques d'un espace plat.

\subsection{Coordonnées cylindriques}\index{Coordonnées!cylindriques}

Elles sont identiques aux coordonnées polaires, avec la coordonnée supplémentaire $z$.
C'est un système de coordonnées curvilignes orthogonales pour l'espace plat à trois dimensions.
Lorsqu'on l'utilise en deux dimensions pour une surface cylindrique en fixant $\rho$,
le centre du système de coordonnées n'appartient pas au cylindre.
Pour que le centre du système de coordonnées soit sur la surface cylindrique,
on peut la dérouler pour en faire un plan, et utiliser les coordonnées rectangulaires ou polaires à sa surface.
Les lignes de coordonnées sont alors des droites du plan,
mais aussi des courbes dans l'espace à trois dimensions dans lequel est plongé le cylindre.

Transformation des coordonnées cylindriques en rectangulaires

\begin{equation*}
T\quad :\quad
\begin{dcases}
x=\rho \cos(\phi)\\
y=\rho \sin(\phi)\\
z=z'
\end{dcases}
\qquad \rho \geqslant0,\qquad 0\leqslant \phi<2\pi,\qquad -\infty<z'<+\infty
\end{equation*}

Transformation des coordonnées rectangulaires en cylindriques

\begin{equation*}
\overline{T}\quad :\quad
\begin{dcases}
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\
\phi=\atantwo\left(x,y\right)\\
z'=z
\end{dcases}
\end{equation*}
La surface de coordonnée $\rho=\cste$ est le cylindre d'axe $z$.\\
La surface de coordonnée $\phi=\cste$ est le demi-plan limité par l'axe~$z$.\\
La surface de coordonnée $z'=\cste$ est le plan parallèle au plan $(x,y)$.


En coordonnées cylindriques la métrique s'écrit~:
\begin{align*}
\dd s^{2}&=\dd x^{2}+\dd y^{2}+\dd z^{2}\\
&=\left(\frac{\partial x}{\partial \rho}\,\dd \rho+\frac{\partial x}{\partial \phi}\,\dd \phi+\frac{\partial x}{\partial z'}\,\dd z'\right)^{2}
+\left(\frac{\partial y}{\partial \rho}\,\dd \rho+\frac{\partial y}{\partial \phi}\,\dd \phi+\frac{\partial y}{\partial z'}\,\dd z'\right)^{2}\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
+\left(\frac{\partial z}{\partial \rho}\,\dd \rho+\frac{\partial z}{\partial \phi}\,\dd \phi+\frac{\partial z}{\partial z'}\,\dd z'\right)^{2}\\
&=\left[\cos(\phi) \dd \rho-\rho \sin(\phi) \dd \phi \right]^{2}+\left[\sin(\phi) \dd \rho+\rho \cos(\phi) \dd \phi \right]^{2}+\dd z'^{2}\\
&=\dd \rho^{2}+\rho^{2} \dd \phi^{2}+\dd z^{2}
\end{align*}

\subsection{Coordonnées sphériques}

C'est aussi un système de coordonnées curvilignes orthogonales pour l'espace plat à trois dimensions.
Lorsqu'on l'utilise en deux dimensions sur une sphère en fixant le rayon $r$,
le centre du système de coordonnées n'appartient pas à la sphère.
Contrairement au cylindre, nous ne pouvons pas dérouler la sphère pour en faire un plan.

Transformation des coordonnées sphériques en rectangulaires

\begin{equation*}
T\quad :\quad
\begin{dcases}
x=r\sin(\theta)\cos(\phi)\\
y=r\sin(\theta)\sin(\phi)\\
z=r\cos(\theta)
\end{dcases}
\qquad r \geqslant0,\qquad 0\leqslant \theta<\pi,\qquad 0\leqslant \phi<2\pi
\end{equation*}


Transformation des coordonnées rectangulaires en sphériques

\begin{equation*}
\overline{T}\quad :\quad
\begin{dcases}
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\\
\theta=\atantwo\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}},z\right)\\
\phi=\atantwo\left(x,y\right)
\end{dcases}
\end{equation*}

Pour trouver l'expression de la métrique en coordonnées sphériques, partons de son expression en coordonnées rectangulaires~:
\begin{equation*}
\dd s^{2}=\dd x^{2}+\dd y^{2}+\dd z^{2}
\end{equation*}
En différentiant la transformation $T$~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\dd x=\partial_{r}x\,\dd r+\partial_{\theta} x\,\dd \theta+\partial_{\phi} x\,\dd \phi \\
\dd y=\partial_{r}y\,\dd r+\partial_{\theta} y\,\dd \theta+\partial_{\phi} y\,\dd \phi \\
\dd z=\partial_{r}z\,\dd r+\partial_{\theta} z\,\dd \theta+\partial_{\phi} z\,\dd \phi
\end{dcases}
\Rightarrow\
\begin{dcases}
\dd x=\sin\theta\cos\phi \,\dd r+r\cos\theta\cos\phi \,\dd \theta-r\sin\theta\sin\phi \,\dd \phi \\
\dd y=\sin\theta\sin\phi \,\dd r+r\cos\theta\sin\phi \,\dd \theta+r\sin\theta\cos\phi \,\dd \phi \\
\dd z=\cos\theta \,\dd r-r\sin\theta \,\dd \theta
\end{dcases}
\end{equation*}
La somme des carrés donne l'expression cherchée~:
\begin{equation}
\dd s^{2}=\dd r^{2}+r^{2}\dd \theta^{2}+r^{2}\sin^{2}(\theta)\,\dd \phi^{2}\label{Notion:el_spherique}
\end{equation}

Transformation des coordonnées sphériques en cylindriques, et cylindriques en sphériques

\begin{equation*}
\begin{dcases}
\rho=r\sin(\theta)\\
z=r\cos(\theta)\\
\phi=\phi
\end{dcases}
\qquad \qquad \qquad
\begin{dcases}
r=\sqrt{\rho^{2}+z^{2}}\\
\theta=\atantwo\left(\rho,z\right)\\
\phi=\phi
\end{dcases}
\end{equation*}


Dans un \emph{système de coordonnées générales}, la métrique de l'espace euclidien en trois dimensions s'écrit~:
\begin{align*}
\dd s^{2}&=g_{11}(\dd x^{1})^{2}+2g_{12}\dd x^{1}\dd x^{2}+2g_{13}\dd x^{1}\dd x^{3}
+g_{22}(\dd x^{2})^{2}+2g_{23}\dd x^{2}\dd x^{3}+g_{33}(\dd x^{3})^{2}\\
&=g_{ij}\dd x^{i}\dd x^{j}
\end{align*}
$g_{ij}$ est ici le \emph{tenseur métrique euclidien}.

\section{Longueur d'une courbe}\index{Longueur!d'une courbe}

Dans l'espace euclidien de dimension trois,
la longueur $\Gamma$ d'une courbe décrite par un point $M$ entre les abscisses curvilignes $s_0$ et $s_1$
telles que $s_1>s_0$ est donnée par l'intégrale de l'élément de métrique $\dd s$ de l'espace euclidien. En coordonnées rectangulaires $(x,y,z)$~:
\begin{align*}
\Gamma&\parDef \int_{s_0}^{s_1}\,\dd s\\
&=\int_{s_0}^{s_1}\sqrt{\dd x^{2}+\dd y^{2}+\dd z^{2}}
\end{align*}
\section{Géodésiques de l'espace euclidien en coordonnées rectangulaires}\index{Geodesique@Géodésique(s)!de l'espace euclidien!en coordonnées rectangulaires}
À partir de la déf.~\ref{Notion:def:geodesique} \vpageref{Notion:def:geodesique} d'une géodésique, montrons que les géodésiques du plan sont des droites.
\begin{exem}
Dans le plan cherchons l'équation $y=y(x)$ d'une géodésique entre les points $A$ et $B$~:
\begin{align*}
\delta\int_A^B \dd s&=0\\
\delta\int_A^B \sqrt{\dd x^{2}+\dd y^{2}(x)}&=0\\
\delta\int_{x_A}^{x_B} \sqrt{1+\left(\frac{\dd y(x)}{\dd x}\right)^{2}}\dd x&=0\\
\frac{\dd y(x)}{\dd x}&=\cste\\
y(x)&=ax+b
\end{align*}
où $a$ et $b$ sont des constantes.

Cherchons l'équation de la géodésique sous forme paramétrique, de paramètre $p$~:
\begin{align*}
\delta \int_{A}^{B} \dd s(p)&=0\\
\delta\int_{A}^{B} \sqrt{\dd x^{2}(p)+\dd y^{2}(p)}&=0\\
\delta\int_{p_A}^{p_B} \sqrt{\left(\frac{\dd x(p)}{\dd p}\right)^{2}+\left(\frac{\dd y(p)}{\dd p}\right)^{2}}\dd p&=0
\end{align*}
Si l'intégrale d'une fonction est extrémale, il en va de même du carré de cette fonction ou de n'importe quelle puissance de cette fonction~:
\begin{equation*}
\delta \int_{A}^{B}F\,\dd p=0\qquad \Leftrightarrow \qquad \delta \int_{A}^{B}F^{2}\,\dd p=0
\end{equation*}
Nous avons donc
\begin{align*}
\delta\int_{p_A}^{p_B}\left(\frac{\dd x(p)}{\dd p}\right)^{2}+\left(\frac{\dd y(p)}{\dd p}\right)^{2}\dd p&=0\\
\delta\int_{p_A}^{p_B}\left[\dot x^{2}(p)+\dot y^{2}(p)\right]\dd p&=0
\end{align*}
\begin{rmq}
De façon générale, on peut remplacer la fonction dans l'intégrale par une fonction monotone
(fonction croissante ou décroissante) de cette fonction sur l'intervalle $[A,B]$~:
\begin{equation*}
\delta \int_{A}^{B}F\,\dd p=0\qquad \Leftrightarrow \qquad \delta \int_{A}^{B}f(F)\,\dd p=0
\end{equation*}
\end{rmq}
\begin{ntn}
Dans ce qui suit nous désignons par un point la dérivée par rapport à un paramètre $p$ quelconque.
\end{ntn}
Prenons le lagrangien
\begin{equation*}
\lag=\dot x^{2}(p)+\dot y^{2}(p)
\end{equation*}
en conservant la condition $\lag \geqslant0$.
Nous avons donc
\begin{equation*}
\delta\int_{p_A}^{p_B} \lag\,\dd p=0
\end{equation*}
qui donne le système des deux équations d'Euler-Lagrange~:
\begin{align*}
&\frac{\dd }{\dd p}\left(\frac{\partial \lag}{\partial \dot x}\right)-\frac{\partial \lag}{\partial x}=0\qquad\text{et}&&\frac{\dd }{\dd p}\left(\frac{\partial \lag}{\partial \dot y}\right)-\frac{\partial \lag}{\partial y}=0\\
&\frac{\dd }{\dd p}\left(2\dot x\right)=0&&\frac{\dd }{\dd p}\left(2\dot y\right)=0\\
&\ddot x=0&&\ddot y=0
\end{align*}
Les accélérations en fonction du paramètre $p$ sont nulles. Pas celle par rapport au temps $t$ car le temps peut être une fonction quelconque de $p$.
Soient $a,b,c_1,c_2,c_3,c_4$ des constantes~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
x=c_1p+c_2\\
y=c_3p+c_4
\end{dcases}
\quad\Rightarrow\quad
\begin{dcases}
p=\frac{x-c_2}{c_1}\\
y=c_3\,\frac{x-c_2}{c_1}+c_4\\
\end{dcases}
\quad\Rightarrow\quad
y=ax+b
\end{equation*}

\end{exem}
Une trajectoire, une fois parcourue, n'est ni fonction du temps, ni fonction de l'abscisse curviligne. N'importe quel paramètre permet de la définir.
L'intérêt du paramètre temps est d'utiliser les instants initial et final, l'intérêt de l'abscisse curviligne est d'utiliser les positions initiale et finale.

\begin{exem}[Diverses paramétrisations d'une fonction]
La fonction $y=\sin(x^{2}+1)$ peut être paramétrée de diverses façons. Par exemple~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
x=t\\
y=\sin(t^{2}+1)
\end{dcases}
\quad \text{ou}\qquad
\begin{dcases}
x=t^{2}\\
y=\sin(x+1)
\end{dcases}
\quad \text{ou}\qquad
\begin{dcases}
x=t^{2}+1\\
y=\sin(x)
\end{dcases}
\end{equation*}
\end{exem}

\section{Courbe régulière}
\begin{defi}[Vecteur tangent à une courbe]\label{Notion:def:drsurdp}\index{Vecteur(s)!tangent à une courbe}
Soit $\vmatg{r}\left(x^{1},x^{2},\dots,x^{n}\right)$ le vecteur position d'un point d'une courbe $\symscr{C}$.
Si les $n$ coordonnées $x^{i}(p)$ de ce vecteur sont fonction d'un paramètre $p$, son vecteur dérivée par rapport à ce paramètre s'écrit
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\vmatg{u}(p)\parDef \frac{\dd\vmatg{r}}{\dd p}
\end{empheq}
et a pour composantes
\begin{equation*}
\forall i=1,\dots,n\qquad u^{i}(p)=\frac{\dd x^{i}(p)}{\dd p}
\end{equation*}
\end{defi}
\begin{defi}[Arc de courbe]\index{Courbe!arc de}
Un arc de courbe est une portion de courbe délimitée par deux points distincts de cette courbe.
C'est un sous-ensemble connexe de la courbe.
Un arc représente donc plus d'un point, et correspond à un intervalle $c \geqslant p \geqslant d$ du paramètre $p$,
avec $c>d$.
\end{defi}

\begin{defi}[Point régulier]\index{Point régulier}
Un point d'une courbe paramétrée de classe $C^{k}$ est régulier si en ce point la dérivée est non nulle~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\frac{\dd s}{\dd p}\neq 0\quad\text{avec}\quad\frac{\dd s}{\dd p}>0\quad\text{ou}\quad\frac{\dd s}{\dd p}<0
\end{empheq}
\end{defi}
Un point qui n'est pas régulier est dit stationnaire, et la courbe est dite nulle en ce point.

\begin{defi}[Courbe nulle en un point]\index{Courbe!nulle en un point}
Une courbe est nulle au point de paramètre $p_0$ ssi en ce point l'abscisse curviligne $s(p)$ cesse de croître ou de décroître avec le paramètre $p$~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\left.\frac{\dd s}{\dd p}\right|_{p_0}=0
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{exem}
En cinématique classique, soit un mobile décrivant une trajectoire en fonction du temps avec une vitesse décroissante.
La trajectoire est nulle au point où la vitesse s'annule.
En ce point la distance parcourue par le mobile cesse de croître ou de décroître avec le temps.
C'est soit un stop-and-go, soit une inversion du sens du vecteur vitesse (cas de la cycloïde).
\end{exem}

Le vecteur tangent à la courbe (déf.~\ref{Notion:def:drsurdp} \vpageref{Notion:def:drsurdp}) en un point stationnaire est nul~:
\begin{align*}
\vmatg{u}(p_0)&=\left.\frac{\dd\vmatg{r}}{\dd p}\right|_{p_0}\\
&=\frac{\dd\vmatg{r}}{\dd s}\,\left.\frac{\dd s}{\dd p}\right|_{p_0}\\
&=\vmatg{0}
\end{align*}
\begin{defi}[Courbe nulle]\index{Courbe!nulle}
Une courbe est nulle ssi l'un de ses arcs est de longueur nulle.
\end{defi}
En cinématique classique, la trajectoire d'un mobile est nulle si le mobile observe un arrêt complet pendant un temps non nul sur une partie de sa trajectoire.
\begin{defi}[Ensemble nul d'une courbe]\index{Courbe!ensemble nul d'une}
L'ensemble des valeurs du paramètre pour lesquelles les arcs de courbe sont nuls s'appelle l'ensemble nul de la courbe.
\end{defi}

Une courbe peut être nulle sans que sa longueur soit nulle, il suffit en effet que l'un de ses arcs soit de longueur nulle.
En revanche, une courbe de longueur nulle est nécessairement nulle.

\begin{defi}[Courbe régulière]\index{Courbe!régulière}
Une courbe est régulière ssi
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item elle est de classe $C^{1}$
\item elle n'admet aucun point stationnaire
\end{itemize}
\end{defi}
En cinématique classique, la trajectoire d'un mobile est régulière ssi la vitesse du mobile existe et est continue, et n'est jamais nulle.
La régularité d'une courbe nécessite la régularité du paramétrage (pas de stop-and-go) et la régularité de la courbe géométrique
(pas de point anguleux ni de point de rebroussement).

Soit une courbe régulière paramétrée par son abscisse curviligne $s$~:
\begin{equation*}
\symscr{C}(s):\forall\alpha\ x^\alpha=x^\alpha(s)
\end{equation*}
Soit $\vmatg{r}\left(x^\alpha\right)$ le vecteur position d'un point de $\symscr{C}(s)$, dont les composantes $x^\alpha(p)$ sont fonction du paramètre $p$~:
\begin{equation*}
\frac{\dd\vmatg{r}}{\dd s}=\frac{\dd\vmatg{r}}{\dd p}\,\frac{\dd p}{\dd s}
\end{equation*}
\begin{rmq}
Pour une courbe nulle la dérivée $\frac{\dd p}{\dd s}$ n'est pas définie.
\end{rmq}
Avec la définition~\ref{Notion:def:drsurdp} \vpageref{Notion:def:drsurdp} du vecteur tangent à une courbe~:
\begin{align*}
\frac{\dd\vmatg{r}}{\dd s}&=\frac{\vmatg{u}(p)}{\|\vmatg{u}(p)\|}\\
&=\vmatg{t}(p)
\end{align*}
$\vmatg{t}\left(\frac{\dd x^\alpha}{\dd s}\right)$ est le vecteur tangent unitaire en chaque point de $\symscr{C}$.
\begin{rmq}
En relativité, lorsque le paramètre $p$ est le temps propre du mobile qui décrit la courbe,
$\vmatg{t}(\tau)$ est sa quadrivitesse unitaire.
\end{rmq}
Pour une métrique définie positive et lorsque la courbe est régulière,
l'abscisse curviligne est bien définie comme une fonction strictement croissante (donc inversible) du paramètre de la courbe $s(p)$.
Réciproquement, ce paramètre est lui aussi une fonction strictement croissante de l'abscisse curviligne $p(s)$.
Nous passons librement de l'un quelconque de ces paramètres à un autre, ou à une paramétrisation par l'abscisse curviligne.
En relativité, la métrique n'est pas définie positive, pour les courbes nulles l'abscisse curviligne ne peut plus être définie.

Prenons l'origine des abscisses curvilignes en $p=p_0$, soit $s(p_0)=0$.
L'abscisse curviligne a alors pour expression en fonction du paramètre $p$
\begin{equation*}
s(p)=\int_{p_0}^{p}\sqrt{g_{ij}\,\frac{\dd x^{i}}{\dd p}\,\frac{\dd x^{j}}{\dd p}}\,\dd p
\end{equation*}
et la courbe entre $p_0$ et $p_1$ a pour longueur~:
\begin{equation*}
\Gamma=s(p_1)
\end{equation*}
Le passage du paramètre $p$ à l'abscisse curviligne $s$ s'effectue grâce à~:
\begin{equation*}
\frac{\dd s}{\dd p}=\sqrt{g_{ij}\,\frac{\dd x^{i}}{\dd p}\,\frac{\dd x^{j}}{\dd p}}
\end{equation*}
Cette dérivée est strictement positive si la métrique est définie positive $g_{ij}\,\frac{\dd x^{i}}{\dd p}\,\frac{\dd x^{j}}{\dd p}\geqslant0$,
et si la courbe est régulière $\frac{\dd x^{i}}{\dd p}\neq0$.
\begin{exem}[Changement de paramètre d'une courbe]
Soit la courbe paramétrique de paramètre $t$~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
x=3t-1\\
y=4t+2
\end{dcases}
\qquad \Rightarrow \qquad
\begin{dcases}
\dot x=3\\
\dot y=4
\end{dcases}
\end{equation*}
où le point désigne la dérivation par rapport à $t$.
\begin{align*}
s(t)&=\int_0^t\sqrt{3^{2}+4^{2}}\,\dd t\\
&=5t
\end{align*}
Cette relation permet de paramêtrer la courbe avec l'abscisse curviligne~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
x=\frac{3s}{5}-1\\
y=\frac{4s}{5}+2
\end{dcases}
\end{equation*}
\end{exem}

En coordonnées cartésiennes, supposons que les coordonnées $x$ et $y$ soient fonction du paramètre $t$.
\eqref{Notion:el_cartesiennes} \vpageref{Notion:el_cartesiennes} donne la longueur d'une courbe $\symscr{C}:x=x(t)\;;y=y(t)$~:
\begin{align*}
\Gamma&=\int_{s_0}^{s_1}\dd s\\
&=\int_{s_0}^{s_1}\sqrt{\dd x^{2}(t)+2\cos(\alpha)\dd x(t)\dd y(t)+\dd y^{2}(t)}\\
&=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)^{2}
+2\cos(\alpha)\,\frac{\partial x}{\partial t}\,\frac{\partial y}{\partial t}
+\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^{2}}\,\dd t
\end{align*}

En coordonnées polaires, supposons que les coordonnées $\rho$ et $\theta$ soient fonction du paramètre $t$.
La longueur d'une courbe $\symscr{C}:\rho=\rho(t)\;;\theta=\theta(t)$ s'écrit~:
\begin{align*}
\Gamma&=\int_{s_0}^{s_1}\dd s\\
&=\int_{s_0}^{s_1}\sqrt{\dd \rho^{2}(t)+\rho^{2}\dd \theta^{2}(t)}\\
&=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\left(\frac{\partial \rho}{\partial t}\right)^{2}+\rho^{2}\left(\frac{\partial \theta}{\partial t}\right)^{2}}\,\dd t
\end{align*}

\chapter{Espaces non euclidiens}
%\minitoc
\section{La sphère}\index{Sphere@Sphère}
La sphère est l'archétype de l'espace non euclidien\index{Espace!non euclidien} de dimension $2$.
Elle est paramétrable par les deux angles $\theta$ et $\phi$,
ce dernier angle étant dégénéré aux pôles (fig.~\ref{Notion:fig_cs} \vpageref{Notion:fig_cs}).
Bien entendu la sphère n'a pas de pôles, le problème est uniquement dû au système de coordonnées
utilisé. Au mieux il existe un système de coordonnées n'ayant qu'un seul pôle.
Par conséquent il n'existe pas de système de coordonnées qui couvre la sphère sans dégénéréscence,
l'atlas d'une sphère comprend au minimum deux cartes.

Sur une sphère de rayon $r$, utilisons les coordonnées sphériques $(r,\theta,\phi)$ avec $r$ constant.
La métrique \eqref{Notion:el_spherique} \vpageref{Notion:el_spherique} avec $\dd r=0$, s'écrit~:
\begin{equation*}
\dd s^{2}=r^{2}\dd \theta^{2}+r^{2}\sin^{2}(\theta)\,\dd \phi^{2}
\end{equation*}
Le carré de la métrique est positif quelles que soient les valeurs prisent par les coordonnées $\theta$ et $\phi$, la métrique est donc réelle.
À partir de la métrique nous retrouvons toutes les propriétés de la sphère,
les géodésiques sont des grands cercles et sa surface vaut $4\pi r^{2}$.
Ici $g_{\theta \theta}=r^{2}$ avec $r$ constant, $g_{\theta \phi}=0$ et $g_{\phi \phi}=r^{2}\sin^{2}(\theta)$ est fonction de la coordonnée $\theta$.
Il n'existe pas de système de coordonnées global à la surface de la sphère pour lequel $g_{ij}=\delta_{ij}$,
la courbure de la sphère est intrinsèque, contrairement à celle du cylindre.
Localement en chaque point on peut définir un espace tangent de même dimension que la sphère, un plan, pour lequel $g_{ij}=\delta_{ij}$.
La sphère est un espace non euclidien, dit \emph{sphérique}.

\begin{rmq}
Sur un cylindre de rayon $\rho$, utilisons les coordonnées cylindrique $(\rho,\phi,z)$ avec $\rho$ constant. La métrique s'écrit~:
\begin{equation*}
\dd s^{2}=\rho^{2}\dd \phi^{2}+\dd z^{2}
\end{equation*}
Les coefficients de la métrique sont bien des constantes, sa signature est $(++)$.
La courbure du cylindre est extrinsèque.
 \end{rmq}

Passons en coordonnées polaires sphériques $(\rho,\phi)$ à la surface de la sphère.
On pose $\rho=\theta r$ le déplacement à la surface de la sphère ($\rho=\pi r$ d'un pôle à l'autre)~:
\begin{align*}
\rho&=\theta r\\
\dd \rho&=r\dd \theta\\
\dd \rho^{2}&=r^{2}\dd \theta^{2}
\end{align*}
La métrique de la sphère s'écrit~:
\begin{align*}
\dd s^{2}&=\dd \rho^{2}+r^{2}\sin^{2}(\rho/r)\,\dd \phi^{2}\\
&=g_{\rho \rho}\dd \rho^{2}+g_{\phi \phi}\dd \phi^{2}
\end{align*}
où $g_{\rho \rho}=1$ et $g_{\phi \phi}=r^{2}\sin^{2}(\rho/r)$ sont les composantes du tenseur métrique de la sphère\index{Tenseur!métrique!de la sphère}
en coordonnées polaires sphériques.
Elles sont différentes des composantes du tenseur métrique du plan en coordonnées polaires \eqref{Notion:el_polaire} \vpageref{Notion:el_polaire}.
La métrique (et le tenseur métrique associé) détermine la courbure intrinsèque d'un espace, mais dépend du système de coordonnées employé.
Nous chercherons une fonction du tenseur métrique et de ses dérivées qui donne la courbure de l'espace mais qui ne dépende pas du système de coordonnées.
Nous verrons également les conditions pour qu'une matrice soit effectivement un tenseur métrique.

Remplaçons la coordonnée $\theta$ par la coordonnée rectangulaire $z$ en effectuant la transformation de coordonnées~:
\begin{align*}
z&=r\cos(\theta)\\
z^{2}&=r^{2}\cos^{2}(\theta)\\
&=r^{2}(1-\sin^{2}(\theta))\\
r^{2}-z^{2}&=r^{2}\sin^{2}(\theta)
\end{align*}
La transformation inverse s'écrit~:
\begin{align*}
\theta&=\arccos(z/r)\\
\frac{\dd \theta}{\dd z}&=\frac{-1/r}{\sqrt{1-z^{2}/r^{2}}}\\
\dd \theta&=\frac{-\dd z}{\sqrt{r^{2}-z^{2}}}\\
\dd \theta^{2}&=\frac{\dd z^{2}}{r^{2}-z^{2}}
\end{align*}
Dans ces nouvelles coordonnées $(z,\phi)$, la métrique s'écrit~:
\begin{equation*}
\dd s^{2}=\frac{r^{2}\dd z^{2}}{r^{2}-z^{2}}+\left(r^{2}-z^{2}\right)\dd \phi^{2}
\end{equation*}
La coordonnée $z$ n'est pas sur la surface de la sphère et permet d'en sortir.
Pour $|z|<r$ nous sommes sur la sphère de rayon $r$ et $\dd s^{2}>0$,
en revanche pour $|z|>r$ nous sommes en dehors de la sphère de rayon $r$ et $\dd s^{2}<0$, la métrique est imaginaire.
Un $\dd s^{2}$ négatif indique que l'on est dans l'espace dans lequel est plongé l'objet géométrique mais en dehors de l'objet.

\section{Métrique d'une surface}
Soit une surface non plane plongée dans un espace euclidien de dimension trois.
Cette surface est un exemple général d'espace non euclidien de dimension deux.
Une surface est l'ensemble des point $P$ de coordonnées rectangulaires $(x^{1},x^{2},x^{3})$ (nous utilisons le théorème de Pythagore plus loin)
satisfaisant la relation
\begin{equation*}
f(x^{1},x^{2},x^{3})=0
\end{equation*}
Sous certaines conditions que l'on suppose réalisées, on peut réécrire cette relation sous la forme
\begin{equation}
x^{3}=h(x^{1},x^{2})\label{Notion:x3}
\end{equation}
qui montre le caractère bidimensionnel de la surface (habituellement la coordonnée $x^{3}$ est la hauteur $z$ au-dessus du plan $(x^{1},x^{2})$.
Les coordonnées $x^{1}$ et $x^{2}$ varient librement dans le plan $x^{3}=0$ et la fonction $h$ donne la valeur de $x^{3}$.
La situation est donc asymétrique et de plus la fonction $h$ ne permet pas de représenter toutes les surfaces, par exemple les surfaces fermées.
Par analogie avec \eqref{Notion:x3} on introduit deux paramètres $u^{1}$ et $u^{2}$ qui varient dans un domaine $\Delta$.
Les trois fonctions
\begin{equation}
\forall i=1,2,3\qquad x^{i}=x^{i}(u^{1},u^{2})\label{Notion:3fct}
\end{equation}
forment un sous-ensemble bidimensionnel de points dans l'espace euclidien de dimension trois en coordonnées cartésiennes $(x^{i})$.
Les fonctions $x^{i}(u^{1},u^{2})$ sont supposées suffisamment différentiables dans le domaine de définition $\Delta$.
La situation est à nouveau symétrique et les surfaces fermées ont une équation.
C'est la représentation d'une surface en paramètres de Gauss.
On peut concevoir $u^{1}$ et $u^{2}$ comme des coordonnées curvilignes de la surface. Le choix des paramètres de Gauss est sans limites,
nous pouvons changer de paramètres en posant les deux relations inversibles suivantes~:
\begin{equation*}
\forall j=1,2\qquad v^{j}=v^{j}(u^{1},u^{2})
\end{equation*}
$v^{1}$ et $v^{2}$ sont aussi des coordonnées pour la surface.
Supposons donc que l'on ait les trois relations $\eqref{Notion:3fct}$,
cela nous place de fait sur la surface. La métrique de la surface peut toujours s'écrire localement (au voisinage infinitésimal d'un point)
grâce au théorème de Pythagore en trois dimensions. En coordonnées rectangulaires~:
\begin{align*}
\dd s^{2}(u^{1},u^{2})&=\left[\dd x^{1}(u^{1},u^{2})\right]^{2}+\left[\dd x^{2}(u^{1},u^{2})\right]^{2}+\left[\dd x^{3}(u^{1},u^{2})\right]^{2}\\
&=\sum_{i=1}^{3}\left[\dd x^{i}(u^{1},u^{2})\right]^{2}
\end{align*}
\begin{rmq}
Les coefficients de la métrique $\dd s^{2}=(\dd x^{1})^{2}+(\dd x^{2})^{2}+(\dd x^{3})^{2}$ sont constants, pour autant la surface n'est pas plane,
car il nous faut écrire la métrique avec seulement deux coordonnées.
\end{rmq}
Elle contient toute l'information concerant la courbure intrinsèque de la surface,
autrement dit toute l'information dont on a besoin concernant la surface.
De façon générale, dans le domaine dans lequel elle est définie la métrique contient toute l'information géométrique et topologique de l'espace qu'elle décrit.
Nous n'avons pas besoin de plonger la surface dans un espace de dimension supérieure pour étudier sa courbure intrinsèque.
Choisissons la position du système de coordonnées $(x^{1},x^{2},x^{3})$ de sorte qu'au point considéré de la surface l'on ait $x^{3}=0$,
et l'orientation de sorte que le plan $(x^{1},x^{2})$ soit tangent à la surface. Nous ne pouvons effectuer ce choix qu'une fois et en un seul point.
La métrique locale de la surface peut alors s'écrire en coordonnées rectangulaires grâce au théorème
de Pythagore en deux dimensions (et non plus en trois)~:
\begin{equation*}
\dd s^{2}(u^{1},u^{2})=\sum_{i=1}^{2}\left[\dd x^{i}(u^{1},u^{2})\right]^{2}
\end{equation*}
Passons des éléments différentiels $\dd x^{1}$ et $\dd x^{2}$ aux éléments différentiels $\dd u^{1}$ et $\dd u^{2}$~:
\begin{align*}
\dd s^{2}(u^{1},u^{2})&=\sum_{i=1}^{2}\left(\frac{\partial x^{i}}{\partial u^{1}}\,\dd u^{1}+\frac{\partial x^{i}}{\partial u^{2}}\,\dd u^{2}\right)^{2}\\
&=\sum_{i=1}^{2}\left(\frac{\partial x^{i}}{\partial u^{1}}\right)^{2}(\dd u^{1})^{2}
+2\,\frac{\partial x^{i}}{\partial u^{1}}\frac{\partial x^{i}}{\partial u^{2}}\,\dd u^{1}\dd u^{2}
+\left(\frac{\partial x^{i}}{\partial u^{2}}\right)^{2}(\dd u^{2})^{2}\\
&=\sum_{i=1}^{2}\frac{\partial x^{i}}{\partial u_{j}}\frac{\partial x^{i}}{\partial u_{k}}\,\dd u^{j}\dd u^{k}\\
&=g_{11}\dd u^{1}\dd u^{1}+2g_{12}\dd u^{1}\dd u^{2}+g_{22}\dd u^{2}\dd u^{2}
\end{align*}
$\dd s^{2}$ est appelée première forme quadratique fondamentale\index{Forme!quadratique!fondamentale} de la surface considérée.
\begin{equation}
\dd s^{2}(u^{1},u^{2})=g_{jk}\dd u^{j}\dd u^{k}\label{Notion:dsg}
\end{equation}
L'objet géométrique à deux indices et quatre composantes
\begin{equation}
g_{jk}\parDef \sum_{i=1}^{2}\frac{\partial x^{i}}{\partial u^{j}}\frac{\partial x^{i}}{\partial u^{k}}\label{Notion:tenseur_metrique}
\end{equation}
est appelé tenseur métrique\index{Tenseur!métrique}. Il est symétrique
\begin{equation*}
g_{jk}=g_{kj}
\end{equation*}
Le nombre d'indices est appelé l'ordre du tenseur, le tenseur métrique est donc d'ordre deux.
Dans un espace de dimension $n$, le tenseur métrique a $n^{2}$ composantes, non indépendantes étant donnée sa symétrie.
L'égalité possible en un seul point du système de coordonnées $(x^{1},x^{2})$
\begin{equation*}
(\dd x^{1})^{2}+(\dd x^{2})^{2}=g_{11}(\dd u^{1})^{2}+2g_{12}\dd u^{1}\dd u^{2}+g_{22}(\dd u^{2})^{2}
\end{equation*}
montre que les termes carrés $g_{11}$ et $g_{22}$ du tenseur métrique indiquent le carré de l'échelle qui a été appliquée en chaque point au système
de coordonnées rectangulaires. Le terme rectangle $g_{12}$ apparait lorsque le système de coordonnées $u^{i}$ est oblique.
Le tenseur métrique donne en quelque sorte l'écart au système de coordonnées orthonormées.

\begin{exem}[Échelle d'un système de coordonnées]
Si le système de coordonnées $(u^{1},u^{2})$ est tel que
\begin{equation*}
\begin{dcases}
x^{1}(u^{1})=2u^{1}\\
x^{2}(u^{2})=u^{2}
\end{dcases}
\end{equation*}
alors un point de coordonnée $u^{1}=1$ a aussi pour coordonnée $x^{1}=2$.
L'échelle $u^{1}$ est deux fois plus grande que l'échelle $x^{1}$.
D'après \eqref{Notion:tenseur_metrique} \vpageref{Notion:tenseur_metrique}
\begin{align*}
g_{11}&=\left(\frac{\partial x^{1}}{\partial u^{1}}\right)^{2}\\
&=4
\end{align*}
\begin{equation*}
(\dd x^{1})^{2}+(\dd x^{2})^{2}=4(\dd u^{1})^{2}+(\dd u^{2})^{2}
\end{equation*}
\end{exem}

\section{Longueur d'une courbe}\index{Longueur!d'une courbe}
D'après \eqref{Notion:dsg} \vpageref{Notion:dsg}, si les coordonnées de Gauss sont fonction du paramètre $p$,
la longueur d'une courbe entre les points d'abscisse curviligne $s_0=s(p=0)$ et $s_1=s(p=1)$ avec $s_1>s_0$ a pour expression~:
\begin{align*}
L&=\int_{s_0}^{s_1}\dd s\\
&=\int_{s_0}^{s_1}\sqrt{g_{jk}\dd u^{j}\dd u^{k}}\\
&=\int_{0}^{1}\sqrt{g_{jk}\,\frac{\partial u^{j}}{\partial p}\frac{\partial u^{k}}{\partial p}}\,\dd p
\end{align*}
Notez que lorsque la variation de $L$ est nulle, $\delta L=0$, le trajet entre les points d'abscisses curvilignes $s_0$ et $s_1$ est extrémal.

\section{Vecteur tangent à une courbe}
Dans l'espace non euclidien $\evn{E}{n}$, soit la courbe paramétrée $\symscr{C}:\forall i=1,\dots,n\ x^{i}=x^{i}(p)$.
Soit $\vmatg{r}\left(x^{i}\right)$ le vecteur position de chaque point de $\symscr{C}$.
Le vecteur $\vmatg{u}$ tangent à $\symscr{C}$ s'écrit~:
\begin{align*}
\vmatg{u}&\parDef \frac{\dd \vmatg{r}}{\dd p}\\
&=\frac{\partial\vmatg{r}}{\partial x^{i}}\,\frac{\dd x^{i}}{\dd p}\\
&=\frac{\dd x^{i}}{\dd p}\,\bng{e}_{i}
\end{align*}
Le vecteur tangent appartient à l'espace hôte de $\evn{E}{n}$, et en chaque point de la courbe il appartient également à l'espace tangent à la courbe en ce point.
Si l'on change pour le paramètre $\lambda$ avec $\lambda=\lambda(p)$ on obtient le nouveau vecteur tangent~:
\begin{align*}
\vmatg{u}'&\parDef \frac{\dd \vmatg{r}}{\dd \lambda}\\
&=\frac{\partial\vmatg{r}}{\partial x^{i}}\,\frac{\dd x^{i}}{\dd \lambda}\\
&=\frac{\dd x^{i}}{\dd \lambda}\,\frac{\dd \lambda}{\dd p}\,\bng{e}_{i}\\
&=\vmatg{u}\,\frac{\dd \lambda}{\dd p}
\end{align*}
Comme on pouvait s'y attendre, la reparamétrisation change la norme du vecteur mais pas sa direction, celui-ci reste tangent à $\symscr{C}$.
Si l'on prend pour paramètre l'abscisse curviligne $s$ de $\symscr{C}$, alors le vecteur tangent est unitaire~:
\begin{align*}
\vmatg{u}&=\frac{\dd \vmatg{r}}{\dd s}\\
\|\vmatg{u}\|&=\frac{\|\dd \vmatg{r}\|}{\dd s}\\
&=1
\end{align*}

\chapter{Annexes}
%\minitoc
\section{Implication et causalité}\label{Notion:sec_implication}
\subsection{Implication}
Les phrases suivantes expriment la même idée et sont notées $A\Rightarrow B$.
\begin{itemize}
\item A /implique/entraine/donc/par conséquent/ B. C'est un diamant implique que c'est dur
\item De A on déduit B. Du fait que ce soit un diamant on déduit que c'est dur
\item Si A alors B. Si c'est un diamant alors c'est dur
\item B /si/est la conséquence de/est une condition nécessaire pour avoir/ A. C'est dur si c'est un diamant
\item A /seulement si/que si/est une condition suffisante pour avoir/ B. \^Etre un diamant est une condition suffisante pour être dur
\item Il suffit de A pour avoir B. Il suffit que ce soit un diamant pour être dur
\item Il /faut/est nécessaire d'avoir/ B pour avoir A. Il faut que ce soit dur pour être un diamant
\end{itemize}
\subsection{Relation de causalité}
En prenant cette fois une relation de causalité, l'ordre temporel intervient, $A$ d'abord, $B$ ensuite.
Par exemple les frottements créent de la chaleur\footnote{\enquote{chaleur} est pris ici dans son sens commun,
pas dans son sens thermodynamique de transfert d'énergie.}, alors que chauffer ne crée pas de frottements.
\begin{itemize}
\item Les frottements /implique la/sont une condition suffisante pour avoir/ création de chaleur
\item Il y a des frottements /donc/par conséquent/seulement si/ création de chaleur
\item Si il y a des frottements alors de la chaleur est créée
\item De la chaleur est créée s'il y a des frottements
\item La création de chaleur est /la conséquence/une condition nécessaire pour avoir/ des frottements
\item Il suffit qu'il y ait des frottements pour avoir création de chaleur
\item Il faut la création de chaleur pour avoir des frottements
\end{itemize}
\subsection{Équivalence}
Les phrases suivantes expriment la même idée et sont notées $A\Leftrightarrow B$.
\begin{itemize}
\item A si et seulement si B (noté A ssi B)
\item A implique B et B implique A
\item A est une condition nécessaire et suffisante pour avoir B (noté A cns B)
\item B est une condition nécessaire et suffisante pour avoir A
\item Il faut et il suffit de A pour avoir B
\item Il faut et il suffit de B pour avoir A
\end{itemize}
\section{Bases non holonomiques}\label{Notion:holo}\index{Base!non holonomique}
Considérons la base polaire normée.
Ses vecteurs de base ont pour expression~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}_{\hat\rho}=\bng{e}_{\rho} \\
\vmatg{e}_{\hat\theta}=\tfrac{1}{\rho}\,\bng{e}_{\theta}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\vmatg{e}_{\hat\rho}=\cos(\theta)\,\bng{i}+\sin(\theta)\,\bng{j}\\
\vmatg{e}_{\hat\theta}=-\sin(\theta)\,\bng{i}+\cos(\theta)\,\bng{j}
\end{dcases}
\end{equation*}
Existe-t-il un système de coordonnées $(\xi,\eta)$ tel que $(\vmatg{e}_{\hat\rho},\vmatg{e}_{\hat\theta})$ en soit une base naturelle~?
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}_{\hat\rho}=\bng{e}_\xi\\
\vmatg{e}_{\hat\theta}=\bng{e}_\eta
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\vmatg{e}_{\hat\rho}=x_{,\xi}\,\bng{i}+y_{,\xi}\,\bng{j}\\
\vmatg{e}_{\hat\theta}=x_{,\eta}\,\bng{i}+y_{,\eta}\,\bng{j}
\end{dcases}
\end{equation*}
Nous avons alors~:
\begin{align*}
x_{,\xi}&=\cos(\theta),\qquad y_{,\xi}=\sin(\theta)\\
x_{,\eta}&=-\sin(\theta),\qquad y_{,\eta}=\cos(\theta)
\end{align*}
Les dérivées partielles croisées donnent les relations suivantes~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\frac{\partial}{\partial \eta}\frac{\partial x}{\partial \xi}=\frac{\partial}{\partial \xi}\frac{\partial x}{\partial \eta}\\
\frac{\partial}{\partial \eta}\frac{\partial y}{\partial \xi}=\frac{\partial}{\partial \xi}\frac{\partial y}{\partial \eta}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\frac{\partial \cos(\theta)}{\partial \eta}=\frac{\partial(-\sin(\theta))}{\partial \xi}\\
\frac{\partial \sin(\theta)}{\partial \eta}=\frac{\partial \cos(\theta)}{\partial \xi}
\end{dcases}
\end{equation*}
Il est plus simple de passer par la base duale normée.
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}^{\hat\rho}=\vmatg{e}^{\rho} \\
\vmatg{e}^{\hat\theta}=\rho \,\vmatg{e}^{\theta}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\vmatg{e}^{\hat\rho}=\cos(\theta)\,\bng{i}+\sin(\theta)\,\bng{j}\\
\vmatg{e}^{\hat\theta}=-\sin(\theta)\,\bng{i}+\cos(\theta)\,\bng{j}
\end{dcases}
\end{equation*}
Existe-t-il un système de coordonnées $(\xi,\eta)$ tel que $(\vmatg{e}^{\hat\rho},\vmatg{e}^{\hat\theta})$
en soit la base duale de la base naturelle~?
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\vmatg{e}^{\hat\rho}=\vmatg{e}^\xi\\
\vmatg{e}^{\hat\theta}=\vmatg{e}^\eta
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\vmatg{e}^{\hat\rho}=\xi_{,x}\,\bng{i}+\xi_{,y}\,\bng{j}\\
\vmatg{e}^{\hat\theta}=\eta_{,x}\,\bng{i}+\eta_{,y}\,\bng{j}
\end{dcases}
\end{equation*}
Nous avons alors~:
\begin{align*}
\xi_{,x}&=\cos(\theta),\qquad \xi_{,y}=\sin(\theta)\\
\eta_{,x}&=-\sin(\theta),\qquad \eta_{,y}=\cos(\theta)
\end{align*}
Les dérivées partielles croisées donnent les relations suivantes~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial \xi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \xi}{\partial y}\\
\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial \eta}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \eta}{\partial y}
\end{dcases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{dcases}
\frac{\partial \cos(\theta)}{\partial y}=\frac{\partial \sin(\theta)}{\partial x}\\
\frac{\partial(-\sin(\theta))}{\partial y}=\frac{\partial \cos(\theta)}{\partial x}
\end{dcases}
\end{equation*}
Réécrivons la dernière relation~:
\begin{align*}
\frac{\partial \sin(\theta)}{\partial y}+\frac{\partial \cos(\theta)}{\partial x}&=0\\
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}\right)&=0
\end{align*}
ce qui est impossible. Le système de coordonnées $(\xi,\eta)$ n'existe donc pas.
\printindex
\end{document}
