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\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theoreme}{Théorème}[section]

\author{Olivier Castéra}
\email{o.castera@free.fr}
\urladdr{https://sciences-physiques.neocities.org}
\title{La formule de Stirling}
\date{\today}

\begin{document}
\begin {abstract}
Démonstration de la formule d'approximation de James Stirling, $\ln(n!)\approx n\ln n-n$.
\end {abstract}
\maketitle% affiche le titre
\thispagestyle{empty}% supprime l'affichage du numéro de la première page
\tableofcontents% affiche la table des matières (ToC)
\section{Résultats préliminaires}
\subsection{Fonction $\Pi$ de Gauss}
\begin{thbox}\begin{theoreme}\label{n}
$\int^{+\infty}_{0}x^{n}e^{-x}dx=n!$
\end{theoreme}\end{thbox}
\begin{proof}
On intègre par parties en posant~:
$u=x^{n}$, $u'=nx^{n-1}$, $v'=e^{-x}$, $v=-e^{-x}$~:
\begin{align*}
\int^{+\infty}_{0}x^{n}e^{-x}dx&=\left[-x^{n}e^{-x}\right]^{+\infty}_{0}-\int^{+\infty}_{0}nx^{n-1}(-e^{-x})dx\\
&=-\left[x^{n}e^{-x}\right]^{+\infty}_{0}+n\int^{+\infty}_{0}x^{n-1}e^{-x}dx
\end{align*}
On réitère l'intégration par parties sur le dernier terme~:
\begin{align*}
\int^{+\infty}_{0}x^{n}e^{-x}dx
=&-\left[x^{n}e^{-x}\right]^{+\infty}_{0}-n\left[x^{n-1}e^{-x}\right]^{+\infty}_{0}+n(n-1)\int^{+\infty}_{0}x^{n-2}e^{-x}dx\\
=&-\left[\left(x^{n}+nx^{n-1}\right)e^{-x}\right]^{+\infty}_{0}+n(n-1)\int^{+\infty}_{0}x^{n-2}e^{-x}dx\\
=&-\Big\{\big[x^{n}+nx^{n-1}+n(n-1)x^{n-2}+\dots\\
&+n(n-1)\times \dots \times [n-(n-1)]x\big]e^{-x}\Big\}^{+\infty}_{0}+n!\int^{+\infty}_{0}e^{-x}dx\\
=&n!\int^{+\infty}_{0}e^{-x}dx\\
=&n!\left[-e^{-x}\right]^{+\infty}_{0}\\
=&n! 
\end{align*}
\end{proof}
\subsection{Intégrale de Gauss}
\begin{thbox}\begin{theoreme}\label{n2}
$\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-x^{2}}dx=\sqrt{\pi}$
\end{theoreme}\end{thbox}
\begin{proof}
\begin{align*}
\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-x^{2}}dx=\left(\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-x^{2}}dx\times\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-y^{2}}dy\right)^{1/2}
\end{align*}
Les coordonnées cartésiennes $x$ et $y$ étant indépendantes,
\begin{align*}
\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-x^{2}}dx=\left[\int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy\right]^{1/2}
\end{align*}
Passons en coordonnées polaires,
\begin{align*}
x&=\rho\cos\theta\\
y&=\rho\sin\theta
\end{align*}
Nous avons donc,
\begin{align*}
x^2+y^2&=\rho^2\cos^2\theta+\rho^2\sin^2\theta\\
&=\rho^2
\end{align*}
Cherchons l'expression de l'élément de surface $d^2s(\rho,\theta)$ qui remplacera celui en coordonnées cartésiennes~$dxdy$.
Le vecteur position s'écrit~:
\begin{align*}
\boldsymbol {OM}&=x\boldsymbol i+y\boldsymbol j\\
&=\rho\cos\theta\boldsymbol i+\rho\sin\theta\boldsymbol j
\end{align*}
et les vecteurs de base,
\begin{align*}
\boldsymbol e_{\rho}&=\frac{\partial\boldsymbol{OM}}{\partial \rho}\\
&=\cos\theta\boldsymbol i+\sin\theta\boldsymbol j\\
\boldsymbol e_{\theta}&=\frac{\partial\boldsymbol{OM}}{\partial\theta}\\
&=-\rho\sin\theta\boldsymbol i+\rho\cos\theta\boldsymbol j
\end{align*}
Nous en déduisons leurs normes,
\begin{align*}
\left\|\boldsymbol e_{\rho}\right\|&=\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}\\
&=1\\
\left\|\boldsymbol e_{\theta}\right\|&=\sqrt{\rho^2\sin^2\theta+\rho^2\cos^2\theta}\\
&=\rho
\end{align*}
Pour construire l'élément de surface~$d^2s$, prenons une variation le long de la coordonnée~$\rho$,
\begin{align*}
\delta\boldsymbol {OM}&=\frac{\partial \boldsymbol {OM}}{\partial\rho}\,d\rho\\
&=\boldsymbol e_\rho\,d\rho
\end{align*}
et une var\-ia\-tion le long de la coordonnée~$\theta$,
\begin{align*}
\delta {\boldsymbol {OM}}&=\frac{\partial \boldsymbol {OM}}{\partial\theta}\,d\theta\\
&=\boldsymbol e_\theta\,d\theta
\end{align*}
puis prenons la norme de leur produit vectoriel~:
\begin{align*}
d^2s&=\|\boldsymbol e_\rho\,d\rho\times\boldsymbol e_\theta\,d\theta\|\\
&=\rho\,d\rho\,d\theta
\end{align*}
L'espace est parcouru dans son ensemble pour $\rho$ variant de $0$ à $+\infty$ et pour $\theta$ variant de $0$ à $2\pi$, si bien que
\begin{align*}
\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-x^{2}}dx&=\left(\int^{+\infty}_{0}\int^{2\pi}_{0}e^{-\rho^{2}}\rho\,d\theta\,d\rho\right)^{1/2}\\
&=\left(2\pi\int^{+\infty}_{0}\rho\,e^{-\rho^{2}}d\rho\right)^{1/2}\\
&=\left\{2\pi\left[-\frac{1}{2}e^{-\rho^{2}}\right]^{+\infty}_{0}\right\}^{1/2}\\
&=\sqrt{\pi}
\end{align*}
\end{proof}
\section{Démonstration de la formule de Stirling}
\begin{thbox}\begin{theoreme}
$n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left[1+\frac{1}{12n}+o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right]$ \label{exp}
\end{theoreme}\end{thbox}
\begin{proof}
D'après le théorème \eqref{n}~:
\begin{align*}
n!=\int^{+\infty}_{0}x^{n}e^{-x}dx
\end{align*}
On commence par sortir $n^{n+1}$ de l'intégrale gràce au changement de variable $x=ns$, $dx=nds$. Les bornes d'intégration restent inchangées.
\begin{align*}
n!&=\int^{+\infty}_{0}(ns)^{n}e^{-ns}nds\\
&=n^{n+1}\int^{+\infty}_{0}s^{n}e^{-ns}ds
\end{align*}
On regroupe les termes sous l'exponentielle,
\begin{align*}
n!=n^{n+1}\int^{+\infty}_{0}e^{n(\ln s-s)}ds
\end{align*}
dans le but futur de sortir $e^{-n}$ de l'intégrale.
Pour pouvoir utiliser le développement en séries entières de la fonction logarithme népérien on effectue le changement de variable $s=1+w$.
\begin{align*}
\ln (1+x)&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots
\end{align*}
\begin{align*}
n!=&n^{n+1}\int^{+\infty}_{-1}e^{n[\ln (1+w)-(1+w)]}dw\\
=&n^{n+1}\int^{+\infty}_{-1}e^{n\left(w-\frac{w^{2}}{2}+\frac{w^{3}}{3}-\frac{w^{4}}{4}+\frac{w^{5}}{5}-\frac{w^{6}}{6}+\frac{w^{7}}{7}-\frac{w^{8}}{8}+\frac{w^{9}}{9}-\frac{w^{10}}{10}+\frac{w^{11}}{11}-\frac{w^{12}}{12}+\dots-1-w\right)}dw\\
=&n^{n+1}\int^{+\infty}_{-1}e^{n\left(-1-\frac{w^{2}}{2}+\frac{w^{3}}{3}-\frac{w^{4}}{4}+\frac{w^{5}}{5}-\frac{w^{6}}{6}+\frac{w^{7}}{7}-\frac{w^{8}}{8}+\frac{w^{9}}{9}-\frac{w^{10}}{10}+\frac{w^{11}}{11}-\frac{w^{12}}{12}+\dots\right)}dw\\
=&n^{n+1}\int^{+\infty}_{-1}e^{-n}\times e^{\frac{-nw^{2}}{2}}\times e^{\frac{nw^{3}}{3}}\times e^{\frac{-nw^{4}}{4}}\times e^{\frac{nw^{5}}{5}}\times e^{\frac{-nw^{6}}{6}}\\
&\qquad\times e^{\frac{nw^{7}}{7}}\times e^{\frac{-nw^{8}}{8}}\times e^{\frac{nw^{9}}{9}}\times e^{\frac{-nw^{10}}{10}}\times e^{\frac{nw^{11}}{11}}\times e^{\frac{-nw^{12}}{12}}\times\dots\times dw\\
=&n^{n+1}\,e^{-n}\int^{+\infty}_{-1}e^{\frac{-nw^{2}}{2}}\times e^{\frac{nw^{3}}{3}}\times e^{\frac{-nw^{4}}{4}}\times e^{\frac{nw^{5}}{5}}\times e^{\frac{-nw^{6}}{6}}\\
&\qquad\times e^{\frac{nw^{7}}{7}}\times e^{\frac{-nw^{8}}{8}}\times e^{\frac{nw^{9}}{9}}\times e^{\frac{-nw^{10}}{10}}\times e^{\frac{nw^{11}}{11}}\times e^{\frac{-nw^{12}}{12}}\times\dots\times dw
\end{align*}
et nous avons sorti $e^{-n}$ de l'intégrale.
Dans l'intégrale, on développe en série entière les fonctions exponentielles, excepté la première.
\begin{align*}
e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots
\end{align*}
\begin{align*}
n!&=n^{n+1}e^{-n}\int^{+\infty}_{-1}e^{\frac{-nw^{2}}{2}}\!\times\left(1+\frac{nw^{3}}{3}+\frac{n^{2}w^{6}}{18}+\frac{n^{3}w^{9}}{162}+\frac{n^{4}w^{12}}{1944}+\dots\right)\\
&\!\!\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times\left(1-\frac{nw^{4}}{4}+\frac{n^{2}w^{8}}{32}-\frac{n^{3}w^{12}}{384}+\dots\right)\\
&\!\!\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times\left(1+\frac{nw^{5}}{5}+\frac{n^{2}w^{10}}{50}+\frac{n^{3}w^{15}}{750}+\dots\right)\\
&\!\!\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times\left(1-\frac{nw^{6}}{6}+\frac{n^{2}w^{12}}{72}-\frac{n^{3}w^{18}}{1296}+\dots\right)\\
&\!\!\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times\left(1+\frac{nw^{7}}{7}+\frac{n^{2}w^{14}}{98}+\frac{n^{3}w^{21}}{2058}+\dots\right)\\
&\!\!\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times\left(1-\frac{nw^{8}}{8}+\frac{n^{2}w^{16}}{128}-\frac{n^{3}w^{24}}{3072}+\dots\right)\\
&\!\!\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times\left(1+\frac{nw^{9}}{9}+\frac{n^{2}w^{18}}{162}+\frac{n^{3}w^{27}}{4374}+\dots\right)\\
&\!\!\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times\left(1-\frac{nw^{10}}{10}+\frac{n^{2}w^{20}}{200}-\frac{n^{3}w^{30}}{6000}+\dots\right)\\
&\!\!\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times\left(1+\frac{nw^{11}}{11}+\frac{n^{2}w^{22}}{242}+\frac{n^{3}w^{33}}{7986}+\dots\right)\\
&\!\!\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times\left(1-\frac{nw^{12}}{12}+\frac{n^{2}w^{24}}{288}-\frac{n^{3}w^{36}}{10368}+\dots\right)\\
&\!\!\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times\dots\times dw
\end{align*}
\begin{align*}
n!=n^{n+1}e^{-n}\int^{+\infty}_{-1}e^{\frac{-nw^{2}}{2}}\times
&\left(1+\frac{nw^{3}}{3}-\frac{nw^{4}}{4}+\frac{nw^{5}}{5}-\frac{nw^{6}}{6}+\frac{nw^{7}}{7}-\frac{nw^{8}}{8}+\frac{nw^{9}}{9}\right.\\
&-\frac{nw^{10}}{10}+\frac{nw^{11}}{11}-\frac{nw^{12}}{12}+\dots+\frac{n^{2}w^{6}}{18}-\frac{n^{2}w^{7}}{12}+\frac{n^{2}w^{8}}{32}\\
&+\frac{n^{2}w^{8}}{15}-\frac{n^{2}w^{9}}{20}-\frac{n^{2}w^{9}}{18}+\frac{n^{2}w^{10}}{24}+\frac{n^{2}w^{10}}{21}+\frac{n^{2}w^{10}}{50}\\
&-\frac{n^{2}w^{11}}{30}-\frac{n^{2}w^{11}}{28}-\frac{n^{2}w^{11}}{24}+\frac{n^{2}w^{12}}{35}+\frac{n^{2}w^{12}}{32}+\frac{n^{2}w^{12}}{72}\\
&+\dots+\frac{n^{3}w^{9}}{162}-\frac{n^{3}w^{10}}{72}+\frac{n^{3}w^{11}}{96}+\frac{n^{3}w^{11}}{90}-\frac{n^{3}w^{12}}{108}\\
&\left.+\dots+\frac{n^{4}w^{12}}{1944}+\dots\right)dw
\end{align*}
\begin{align*}
n!=&n^{n+1}e^{-n}\int^{+\infty}_{-1}e^{\frac{-nw^{2}}{2}}\left[1+\frac{nw^{3}}{3}-\frac{nw^{4}}{4}+\frac{nw^{5}}{5}+\left(-\frac{n}{6}+\frac{n^{2}}{18}\right)w^{6}\right.\\
&+\left(\frac{n}{7}-\frac{n^2}{12}\right)w^{7}+\left(-\frac{n}{8}+\frac{47n^{2}}{480}\right)w^{8}+\left(\frac{n}{9}-\frac{19n^2}{180}+\frac{n^{3}}{162}\right)w^{9}\\
&+\left(-\frac{n}{10}+\frac{459n^2}{4200}-\frac{n^{3}}{72}\right)w^{10}+\left(\frac{n}{11}-\frac{93n^2}{840}+\frac{31n^{3}}{1440}\right)w^{11}\\
&\left.+\left(-\frac{n}{12}+\frac{743n^2}{10080}-\frac{n^3}{108}+\frac{n^{4}}{1944}\right)w^{12}+\dots\right]dw
\end{align*}
Pour intégrer l'exponentielle dans l'intégrale, on effectue le changement de variable $v=\sqrt{\frac{n}{2}}\,w$, d'où $w=\sqrt{\frac{2}{n}}\,v$ et $dw=\sqrt{\frac{2}{n}}\,dv$.
La borne d'intégration inférieure, $w=-1$, devient $v=-\sqrt{\frac{n}{2}}$.
\begin{align*}
\frac{nw^{3}}{3}&=\frac{n}{3}\left(\frac{2}{n}\right)^{3/2}v^3\\
&=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{n}}\,v^3
\end{align*}
\begin{align*}
\frac{nw^{4}}{4}&=\frac{n}{4}\left(\frac{2}{n}\right)^{2}v^4\\
&=\frac{v^4}{n}
\end{align*}
\begin{align*}
\frac{nw^{5}}{5}&=\frac{n}{5}\left(\frac{2}{n}\right)^{5/2}v^5\\
&=\frac{4}{5}\sqrt{\frac{2}{n^3}}\,v^5
\end{align*}
\begin{align*}
\left(-\frac{n}{6}+\frac{n^2}{18}\right)w^{6}&=\left(-\frac{n}{6}+\frac{n^2}{18}\right)\frac{8}{n^3}\,v^6\\
&=\left(-\frac{4}{3n^2}+\frac{4}{9n}\right)v^6
\end{align*}
\begin{align*}
\left(\frac{n}{7}-\frac{n^2}{12}\right)w^{7}&=\left(\frac{n}{7}-\frac{n^2}{12}\right)\left(\frac{2}{n}\right)^{7/2}v^7\\
&=\left(\frac{8}{7}\sqrt{\frac{2}{n^5}}-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{n^3}}\right)v^7
\end{align*}
\begin{align*}
\left(-\frac{n}{8}+\frac{47n^{2}}{480}\right)w^{8}&=\left(-\frac{n}{8}+\frac{47n^{2}}{480}\right)\frac{16}{n^4}\,v^{8}\\
&=\left(-\frac{2}{n^3}+\frac{47}{30n^2}\right)v^{8}
\end{align*}
\begin{align*}
\left(\frac{n}{9}-\frac{19n^2}{180}+\frac{n^3}{162}\right)w^{9}&=\left(\frac{n}{9}-\frac{19n^2}{180}+\frac{n^3}{162}\right)\left(\frac{2}{n}\right)^{9/2}v^9\\
&=\left(\frac{16}{9}\sqrt{\frac{2}{n^7}}-\frac{76}{45}\sqrt{\frac{2}{n^5}}+\frac{8}{81}\sqrt{\frac{2}{n^3}}\right)v^9
\end{align*}
\begin{align*}
\left(-\frac{n}{10}+\frac{459n^2}{4200}-\frac{n^3}{72}\right)w^{10}&=\left(-\frac{n}{10}+\frac{459n^2}{4200}-\frac{n^3}{72}\right)\frac{32}{n^5}\,v^{10}\\
&=\left(-\frac{16}{5n^4}+\frac{612}{175n^3}-\frac{4}{9n^2}\right)v^{10}
\end{align*}
\begin{align*}
\left(\frac{n}{11}-\frac{93n^2}{840}+\frac{31n^3}{1440}\right)w^{11}&=\left(\frac{n}{9}-\frac{93n^2}{840}+\frac{31n^3}{1440}\right)\left(\frac{2}{n}\right)^{11/2}v^{11}\\
&=\left(\frac{16}{9}\sqrt{\frac{2}{n^9}}-\frac{744}{210}\sqrt{\frac{2}{n^7}}+\frac{31}{45}\sqrt{\frac{2}{n^5}}\right)v^{11}
\end{align*}
\begin{align*}
\left(-\frac{n}{12}+\frac{743n^2}{10080}-\frac{n^3}{108}+\frac{n^4}{1944}\right)w^{12}
&=\left(-\frac{n}{12}+\frac{743n^2}{10080}-\frac{n^3}{108}+\frac{n^4}{1944}\right)\times\frac{64}{n^6}\,v^{12}\\
&=\left(-\frac{16}{3n^5}+\frac{1486}{315n^4}-\frac{16}{27n^3}+\frac{8}{243n^2}\right)v^{12}
\end{align*}
\begin{align*}
n!=n^{n+1}e^{-n}\sqrt{\frac{2}{n}}\int^{+\infty}_{-\sqrt{\frac{n}{2}}}e^{-v^{2}}&\left(1+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{n}}\,v^{3}-\frac{v^{4}}{n}+\frac{4}{5}\sqrt{\frac{2}{n^3}}\,v^5\right.\\
&+\frac{4v^6}{9n}-\frac{4v^{6}}{3n^2}-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{n^3}}\,v^7+\frac{47v^{8}}{30n^2}\\
&\left.+\frac{8}{81}\sqrt{\frac{2}{n^3}}v^9-\frac{4v^{10}}{9n^2}+\frac{8v^{12}}{243n^2}+\dots\right)dv
\end{align*}
où les termes suivants sont en $n^{-k}$ avec $k>2$.
\begin{align*}
n!=\sqrt{2n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}&\left(\int^{+\infty}_{-\sqrt{\frac{n}{2}}}e^{-v^{2}}dv+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{n}}\int^{+\infty}_{-\sqrt{\frac{n}{2}}}v^{3}e^{-v^{2}}dv\right.\\
&-\frac{1}{n}\int^{+\infty}_{-\sqrt{\frac{n}{2}}}v^{4}e^{-v^{2}}dv+\frac{4}{5}\sqrt{\frac{2}{n^3}}\int^{+\infty}_{-\sqrt{\frac{n}{2}}}v^5e^{-v^{2}}dv\\
&+\frac{4}{9n}\int^{+\infty}_{-\sqrt{\frac{n}{2}}}v^{6}e^{-v^{2}}dv-\frac{4}{3n^2}\int^{+\infty}_{-\sqrt{\frac{n}{2}}}v^{6}e^{-v^{2}}dv\\
&-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{n^3}}\int^{+\infty}_{-\sqrt{\frac{n}{2}}}v^7e^{-v^{2}}dv+\frac{47}{30n^2}\int^{+\infty}_{-\sqrt{\frac{n}{2}}}v^{8}e^{-v^{2}}dv\\
&+\frac{8}{81}\sqrt{\frac{2}{n^3}}\int^{+\infty}_{-\sqrt{\frac{n}{2}}}v^9e^{-v^{2}}dv-\frac{4}{9n^2}\int^{+\infty}_{-\sqrt{\frac{n}{2}}}v^{10}e^{-v^{2}}dv\\
&\left.+\frac{8}{243n^2}\int^{+\infty}_{-\sqrt{\frac{n}{2}}}v^{12}e^{-v^{2}}dv+\dots\right)
\end{align*}
de la forme,
\begin{align*}
n!=\sqrt{2n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(\alpha_1I_1+\alpha_2I_2\right.&+\alpha_3I_3+\alpha_4I_4+\alpha_5I_5+\alpha_6I_6\\
&\left.+\alpha_7I_7+\alpha_8I_8+\alpha_9I_9+\alpha_{10}I_{10}+\alpha_{11}I_{11}+\dots\right)
\end{align*}
avec,
\begin{align*}
\alpha_1&=1,\quad\alpha_2=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{n}},\quad\alpha_3=-\frac{1}{n},\quad\alpha_4=\frac{4}{5}\sqrt{\frac{2}{n^3}},\\
\alpha_5&=\frac{4}{9n},\quad\alpha_6=-\frac{4}{3n^2},\quad\alpha_7=-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{n^3}},\quad\alpha_8=\frac{47}{30n^2},\\
\alpha_9&=\frac{8}{81}\sqrt{\frac{2}{n^3}},\quad\alpha_{10}=-\frac{4}{9n^2},\quad\alpha_{11}=\frac{8}{243n^2}
\end{align*}
On calcule chaque intégrale en faisant tendre $n$ vers l'infini. Pour la première on utilise le théorème~\eqref{n2}~:
\begin{align*}
I_{1}=&\int^{+\infty}_{-\sqrt{\frac{n}{2}}}e^{-v^{2}}dv\\
=&\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-v^{2}}dv\\
=&\sqrt{\pi}
\end{align*}
\begin{align*}
I_{2}=&\int^{+\infty}_{-\infty}v^{3}e^{-v^{2}}dv\\
=&0
\end{align*}
car la fonction dans $I_{2}$ est impaire. De même $I_4=I_7=I_9=0$.
\begin{align*}
I_{3}=&\int^{+\infty}_{-\infty}v^{4}e^{-v^{2}}dv
\end{align*}
On intègre par parties~: $y=v^{3}$, $y'=3v^{2}$, $z'=ve^{-v^{2}}$, $z=-\frac{1}{2}e^{-v^{2}}$,
\begin{align*}
I_{3}=&\left\{\left[-\frac{1}{2}v^{3}e^{-v^{2}}\right]^{+\infty}_{-\infty}+\frac{3}{2}\int^{+\infty}_{-\infty}v^{2}e^{-v^{2}}dv\right\}\\
=&\frac{3}{2}\int^{+\infty}_{-\infty}v^{2}e^{-v^{2}}dv
\end{align*}
On intègre de nouveau par parties~:

$y=v$, $y'=1$, $z'=ve^{-v^{2}}$, $z=-\frac{1}{2}e^{-v^{2}}$,
\begin{align*}
I_{3}=&\frac{3}{2}\left\{\left[-\frac{1}{2}ve^{-v^{2}}\right]^{+\infty}_{-\infty}+\frac{1}{2}\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-v^{2}}dv\right\}\\
=&\frac{3}{4}\sqrt{\pi}
\end{align*}
\begin{align*}
I_{5}=&\int^{+\infty}_{-\infty}v^{6}e^{-v^{2}}dv
\end{align*}
On intègre par parties~: $y=v^{5}$, $y'=5v^{4}$, $z'=ve^{-v^{2}}$, $z=-\frac{1}{2}e^{-v^{2}}$,
\begin{align*}
I_{5}=&\left\{\left[-\frac{1}{2}v^{5}e^{-v^{2}}\right]^{+\infty}_{-\infty}+\frac{5}{2}\int^{+\infty}_{-\infty}v^{4}e^{-v^{2}}dv\right\}\\
=&\frac{5}{2}\times\frac{3}{4}\sqrt{\pi}\\
=&\frac{15}{8}\sqrt{\pi}\\
\end{align*}
\begin{align*}
I_{6}=&\int^{+\infty}_{-\infty}v^{6}e^{-v^{2}}dv\\
=&\frac{15}{8}\sqrt{\pi}\\
\end{align*}
\begin{align*}
I_{8}=&\int^{+\infty}_{-\infty}v^{8}e^{-v^{2}}dv
\end{align*}
On intègre par parties~: $y=v^{7}$, $y'=7v^{6}$, $z'=ve^{-v^{2}}$, $z=-\frac{1}{2}e^{-v^{2}}$,
\begin{align*}
I_{8}=&\left\{\left[-\frac{1}{2}v^{7}e^{-v^{2}}\right]^{+\infty}_{-\infty}+\frac{7}{2}\int^{+\infty}_{-\infty}v^{6}e^{-v^{2}}dv\right\}\\
=&\frac{7}{2}\int^{+\infty}_{-\infty}v^{6}e^{-v^{2}}dv\\
=&\frac{7}{2}\times\frac{15}{8}\sqrt{\pi}\\
=&\frac{105}{16}\sqrt{\pi}
\end{align*}
\begin{align*}
I_{10}=&\int^{+\infty}_{-\infty}v^{10}e^{-v^{2}}dv
\end{align*}
On intègre par parties~: $y=v^{9}$, $y'=9v^{8}$, $z'=ve^{-v^{2}}$, $z=-\frac{1}{2}e^{-v^{2}}$,
\begin{align*}
I_{10}=&\left\{\left[-\frac{1}{2}v^{9}e^{-v^{2}}\right]^{+\infty}_{-\infty}+\frac{9}{2}\int^{+\infty}_{-\infty}v^{8}e^{-v^{2}}dv\right\}\\
=&\frac{9}{2}\int^{+\infty}_{-\infty}v^{8}e^{-v^{2}}dv\\
=&\frac{9}{2}\times\frac{105}{16}\sqrt{\pi}\\
=&\frac{945}{32}\sqrt{\pi}
\end{align*}
\begin{align*}
I_{11}=&\int^{+\infty}_{-\infty}v^{12}e^{-v^{2}}dv
\end{align*}
On intègre par parties~: $y=v^{11}$, $y'=11v^{10}$, $z'=ve^{-v^{2}}$, $z=-\frac{1}{2}e^{-v^{2}}$,
\begin{align*}
I_{11}=&\left\{\left[-\frac{1}{2}v^{11}e^{-v^{2}}\right]^{+\infty}_{-\infty}+\frac{11}{2}\int^{+\infty}_{-\infty}v^{10}e^{-v^{2}}dv\right\}\\
=&\frac{11}{2}\int^{+\infty}_{-\infty}v^{10}e^{-v^{2}}dv\\
=&\frac{11}{2}\times\frac{945}{32}\sqrt{\pi}\\
=&\frac{10395}{64}\sqrt{\pi}
\end{align*}
Par conséquent,
\begin{align*}
n!&=\sqrt{2n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(\alpha_1I_1+\alpha_3I_3+\alpha_5I_5+\alpha_6I_6+\alpha_8I_8+\alpha_{10}I_{10}+\alpha_{11}I_{11}+\dots\right)\\
&=\sqrt{2n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(\sqrt{\pi}-\frac{1}{n}\times\frac{3}{4}\sqrt{\pi}+\frac{4}{9n}\times\frac{15}{8}\sqrt{\pi}-\frac{4}{3n^2}\times\frac{15}{8}\sqrt{\pi}\right.\\
&\left.\qquad+\frac{47}{30n^2}\times\frac{105}{16}\sqrt{\pi}-\frac{4}{9n^2}\times\frac{945}{32}\sqrt{\pi}+\frac{8}{243n^2}\times\frac{10395}{64}\sqrt{\pi}+\dots\right)\\
&=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(1-\frac{3}{4n}+\frac{5}{6n}-\frac{5}{2n^2}+\frac{329}{32n^2}-\frac{105}{8n^2}+\frac{385}{72n^2}+\dots\right)\\
&=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}+\dots\right)\\
&=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left[1+\frac{1}{12n}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]\quad \text{avec} \lim_{n\to\infty}o\left(\frac{1}{n^2}\right)=0
\end{align*}
Ce qui achève la démonstration.
\end{proof}
A partir du théorème \ref{exp} p.\pageref{exp} nous obtenons directement la formule de Stirling~:
\begin{align*}
\ln(n!)&\approx\ln\left(\sqrt{2\pi n}\right)+n\ln\left(\frac{n}{e}\right)\\
&\approx\frac{1}{2}\ln(2\pi n)+n\ln n-n\ln e
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\ln(n!)&\approx n\ln n-n
\end{empheq}\\
\end{document}
