\documentclass[french, a4paper, 12pt, reqno]{amsbook}% livre ams
\usepackage[french]{babel}% prise en compte les particularités de la typographie française. Remplace [francais et frenchb]
\usepackage[T1]{fontenc}% codage de caractères T1, nouvelle norme LaTeX. Evite l'erreur [OT1] mais passe en Bitmap
\usepackage{xspace}% gère les espaces après les guillemets, après dots, et 1\ier
\usepackage{lmodern}% fonte latin modern. Re-passe de Bitmap à vectoriel
\usepackage{microtype}% améliore la justification et l'espacement des caractères
\usepackage[left=1.8cm,right=2.2cm,top=2.5cm,bottom=3cm]{geometry}% bordure des pages
\usepackage{amssymb}% symboles mathematiques
\usepackage{mathrsfs}% lettres calligraphiées
\usepackage{bm}% lettres grecques grasses. \mathbf pour gras et droit
\usepackage[b]{esvect}% vecteur OM, option a,b,c,d,e,f,g,h pour le type de fleche
\usepackage[retainorgcmds]{IEEEtrantools}% tableau spéciaux
\usepackage{mathabx}% symbole causalité
\usepackage{siunitx}% remplace siunit
\sisetup{
    locale = FR,
    output-decimal-marker={,},% virgule à la place du point comme séparateur des décimales
    group-minimum-digits = 3,% nombre de chiffres entre chaque séparation
    group-separator={~},% séparateur des milliers
    quantity-product={~},% séparateur entre un nombre et son unité
    inter-unit-product={~}% une espace insécable entre deux unités
}
\usepackage{enumitem}% personnalisation des listes
\usepackage{auto-pst-pdf}% évite l'erreur undefined control sequence
\usepackage{esint}% symboles intégrale
\usepackage{pst-3dplot}% dessiner en 3D
\usepackage{float}% begin figure[H] (ne marche pas avec subfigure, conserver [h!])
\usepackage{caption}% légende des figures
\captionsetup{figurename=Fig.}
\counterwithin{figure}{chapter}% numérotation des figures avec celui du chapitre
\counterwithin{equation}{chapter}% numérotation des équations avec celui du chapitre
\usepackage{empheq}% encadre les formules importantes

\usepackage{fancyhdr}% entete fancy (fancy header)
\fancyhf{}% vide head and foot
\pagestyle{fancy}
\fancyfoot[c]{\thepage}% position des numéros de page
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}% epaisseur du ``filet'' (ligne horizontale) en haut des pages
\setlength{\headheight}{16pt}% hauteur de l'entete, normal=8pt
\setlength{\headsep}{28pt}% distance entre entete et corps du text, normal=14pt
\setlength{\footskip}{28pt}% place du numéro en bas de page
\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{Chapitre \thechapter\ : #1}{}}% redefinir chaptermark
\fancyhead[l]{\color{marron}\slshape{\leftmark}}% titre en entete à gauche
\usepackage{hyperref}% option [breaklinks] pour les titres trop longs dans la ToC
\hypersetup{
    pdftoolbar=false,% affichage de la barre d'outils Acrobat
    pdfmenubar=false,% affichage du menu Acrobat
    pdftitle={Mécanique classique},% titre
    pdfauthor={Olivier Castéra},% auteur
    pdfstartview= FitH,% la page prend toute la largeur
    colorlinks=true,% false : liens encadrés ; true : liens colorés
    linkcolor=blue,% couleur des liens internes
    }
\usepackage{afterpage}% laisse une page blanche
\newcommand\pageblanche{\null\thispagestyle{empty}\addtocounter{page}{-1}\newpage}% par défault pagestyle{plain}, thispagestyle pour la page en cours
% empty pour en-tête et pied de page vides

\usepackage[most]{tcolorbox}% encadrer du texte, inclus xcolor. Définir des couleurs rouge vert bleu entre 0 et 1.
%white, black, red, green, blue, yellow, cyan, magenta, gray, orange, purple, brown, pink, lime, navy, teal, olive
\definecolor{jauneOlive}{rgb}{0.7, 0.7, 0.3}
\definecolor{marron}{rgb}{.7,.7,.3}
\definecolor{marronClair}{rgb}{.997,.997,.97}
\definecolor{coulOr}{rgb}{1.0, 0.843, 0.0} % Couleur proche de l'or
\newcommand*\maboite[1]{\fcolorbox{jauneOlive}{white}{\hspace{1em}#1\hspace{1em}}}
\newcommand*\maboitedef[1]{{\hspace{1em}#1\hspace{1em}}}
\newcommand*\maboitetheo[1]{{\hspace{1em}#1\hspace{1em}}}

% Définition
\newtcbtheorem[auto counter, number within=section]{defi}{Définition}{lower separated=false, enhanced, breakable, attach boxed title to top left={xshift=0.5cm,yshift=-2mm}, coltitle=black, colbacktitle=white, boxed title style={colframe=white}, colback=white, colframe=coulOr, fonttitle=\bfseries}{defi}

% Remarque
\newtcbtheorem[auto counter, number within=section]{rmq}{Remarque}{lower separated=false, enhanced, breakable, sharp corners, boxrule=0.4pt, attach boxed title to top left={xshift=0.5cm,yshift=-2mm}, coltitle=black, colbacktitle=white, boxed title style={colframe=white}, colback=white, colframe=jauneOlive, fonttitle=\scriptsize, fontupper=\scriptsize}{rmq}

% Théorème
\newtcbtheorem[auto counter, number within=section]{theo}{Théorème}{lower separated=false, enhanced, breakable, attach boxed title to top left={xshift=0.5cm,yshift=-2mm}, coltitle=black, colbacktitle=white, boxed title style={colframe=white}, drop shadow, colback=white, colframe=black, fonttitle=\bfseries, fontupper=\itshape}{th}

% Notation
\newtcbtheorem[auto counter, number within=section]{ntn}{Notation}{lower separated=false, enhanced, breakable, sharp corners, boxrule=0.4pt, attach boxed title to top left={xshift=0.5cm,yshift=-2mm}, coltitle=black, colbacktitle=white, boxed title style={colframe=white}, colback=white, colframe=jauneOlive, fonttitle=\scriptsize, fontupper=\scriptsize}{ntn}

% Axiome
\newtcbtheorem[auto counter, number within=section]{axio}{Axiome}{lower separated=false, enhanced, breakable, attach boxed title to top left={xshift=0.5cm,yshift=-2mm}, coltitle=black, colbacktitle=white, boxed title style={colframe=white}, drop shadow, colback=white, colframe=black, fonttitle=\bfseries, fontupper=\itshape}{ax}

% Application
\newtcbtheorem[auto counter, number within=section]{appli}{Application}{lower separated=false, enhanced, breakable, attach boxed title to top left={xshift=0.5cm,yshift=-2mm}, coltitle=black,colbacktitle=white, boxed title style={colframe=white},boxrule=1pt, colback=white, colframe=brown}{appli}

\usepackage[nobottomtitles]{titlesec}% formatage des titres, pas de titre en bas de page. Permet de modifier l'espacement autour des titres de sections, sous-sections, etc. Le * indique qu'on applique les réglages de manière à ne pas affecter l'espacement des titres de la première page.
\renewcommand{\bottomtitlespace}{.2\textheight}% espace minimal requis pour ne pas changer le titre de page (defaut .2)
\renewcommand{\chaptertitlename}{\color{marron}Chapitre}% Chapitre en marron à la place de Chapter en noir

\titleformat{\chapter}[display]{\Large\bfseries\filcenter}{\chaptertitlename\ \thechapter}{15mm}{\uppercase}[]% format des titres de chapitre
% display : ''Chapitre X'' écrit au-dessus du titre
% filcenter : centrage du titre
% \thechapter : affiche le numéro du chapitre
% 15mm : espace vertical entre ''Chapitre X'' et titre du chapitre
\titleformat{\section}{\vspace{.75\baselineskip}\normalfont\large\bfseries}{}{0cm}
% vspace : ajoute de l'espace vertical au-dessus du titre
% {} : aucune étiquette ajoutée devant le titre, comme un numéro
% 0cm : pas d'indentation à gauche pour le titre
{{\color{marron}{\hrule height 1mm}}\vspace{3mm}{\thesection}\hspace{5mm}}[\vspace{.75\baselineskip}]
% height 1mm : epaisseur du trait
% vspace{3mm} : espace vertical entre la ligne horizontale et le titre
% hspace{5mm} : espace entre le numéro et le titre
% vspace : espace entre le titre et le texte qui suit
\titleformat{\subsection}{\vspace{.6\baselineskip}\normalfont\bfseries}{}{0cm}
{{\color{marron}{\hrule height .5mm}}\vspace{2mm}{\thesubsection}\hspace{5mm}}[\vspace{.5\baselineskip}]
\titlespacing{\subsection}{0mm}{2mm}{0mm}
% 0mm : espace à gauche du titre de la sous-section (indentation). Ici, le titre commence exactement à la marge
% 2mm : espace vertical avant le titre
% Un espace négatif de -2 mm signifie que le titre est déplacé vers le haut de 2 mm par rapport à sa position par défaut
% 0mm : espace après le titre de la sous-section. Ici, il n'y a pas d'espace supplémentaire après le titre
\titleformat{\subsubsection}{\vspace{.6\baselineskip}\fontsize{12}{1}\bfseries}{}{0cm}
{{\color{marron}\hrule height .3mm}\vspace{2mm}{\thesubsubsection}\hspace{5mm}}[\vspace{.5\baselineskip}]
\titlespacing{\subsubsection}{0mm}{2mm}{0mm}

\renewcommand{\thesection}{\Alph{section}}
\renewcommand{\numberline}[1]{#1~~}% problème de numérotation de la ToC (table of content)

\usepackage{parskip}% espaces dans les paragraphes
\setlength{\parindent}{0pt}% supprime les indentations
\setlength{\parskip}{2mm}% ajoute une espace verticale entre les paragraphes

\def\grad{\mathop{\tvmc{grad}}\nolimits}% opérateur gradient
%\def\rot{\mathop{\tvmc{rot}}\nolimits}% opérateur rotationnel
\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}% d droit pour élément différentiel
\newcommand{\tvmc}[1]{\vec{\mathrm{#1}}}% mécanique classique (flèche, droit)
\newcommand{\tvmcmf}[1]{\vv{\mathrm{#1}}}% trivecteur mécanique classique lettres majuscules fleche
\newcommand{\ptvmc}[1]{\vec{\mathrm{#1}}\mkern4mu\vphantom{#1}}% pour les vecteurs primés
\newcommand{\ntvmc}[1]{\mathrm{#1}}% norme d'un trivecteur mécanique classique
\newcommand{\cste}[0]{c^{\,ste}}% Constante
\newcommand{\Cste}[0]{\tvmc{C}^{\,ste}}% Constante vectorielle
\newcommand{\mom}[1]{\vec{\mathscr{#1}}}% moment de force

\begin{document}
\frontmatter
\begin{titlepage}
\parindent=0pt
https://sciences-physiques.neocities.org\\
o.castera@free.fr
\vspace*{\stretch{1}}
\vspace*{\stretch{1}}
{\color{marron}\hrule width \hsize height .4pt \kern 3pt \hrule width \hsize height 1.6pt}
\vspace*{.7cm}
\begin{center}
\textbf{\fontfamily{qcs}\fontsize{48}{54}\selectfont Mécanique\\[12pt]classique}
\end{center}
\vspace*{.7cm}
{\color{marron}\hrule width \hsize height 1.6pt \kern 3pt \hrule width \hsize height .4pt}
\vspace*{1cm}
\begin{center}\bfseries\large
Olivier Castéra
\end{center}
\vspace*{\stretch{2}}
\begin{flushright}
Le \today 
\end{flushright}   
\end{titlepage}
\pageblanche% laisse une page vide
\setcounter{tocdepth}{2}% profondeur de la ToC
\setcounter{secnumdepth}{4}% profondeur de la numérotation des sous paragraphes
\tableofcontents% affiche la ToC
\mainmatter% numérotation en chiffres arabes

\chapter{Les forces fictives}
Les forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis sont des forces dites \emph{fictives}
car elles ne créent pas le mouvement. Elles ne sont dues qu'au mouvement de l'observateur, on peut les annuler en changeant de référentiel
(de ce point de vue, la gravitation est une force fictive).
Dans les référentiels non galiléens, nous pouvons utiliser
la mécanique développée dans les référentiels galiléens (RFD et théorème du moment cinétique) à la condition d'ajouter ces forces.
C'est là leur utilité.

\section{Loi de composition des vitesses}
\begin{defi}{Vecteur position}{}
Soit un mobile et soit $M$ le point où se situe son centre de gravité.
Dans un référentiel $\mathcal{R}$ quelconque de repère $\left(O,\tvmc{\imath},\tvmc{\jmath},\tvmc{k}\right)$,
son vecteur position a pour expression~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\tvmcmf{OM}\overset{\mathrm{def}}{=} x\tvmc{\imath}+y\tvmc{\jmath}+z\tvmc{k}
\end{empheq}
Dans un référentiel $\mathcal{R}'$ quelconque, il a pour expression~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\tvmcmf{O'M}\overset{\mathrm{def}}{=} x'\ptvmc{\imath}'+y'\ptvmc{\jmath}'+z'\ptvmc{k}'
\end{empheq}
\end{defi}
Dans le domaine non relativiste le temps s'écoule de la même façon dans tous les référentiels,
par exemple pour $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}'$,
\begin{equation*}
t=t'
\end{equation*}
de sorte que les dérivations par rapport à $t$ et $t'$ sont équivalentes.
\begin{ntn}{}{}
La dérivée par rapport au temps sera notée $\dd^\mathcal{R}_t$ pour un observateur fixe dans $\mathcal{R}$,
et $\dd^{\mathcal{R}'}_t$ pour un observateur fixe dans $\mathcal{R}'$.
\end{ntn}
Soient $\tvmcmf{V}(t)$ la vitesse non constante de $\mathcal{R}'$ dans $\mathcal{R}$,
$\tvmc{v}(t)$ la vitesse du mobile dans $\mathcal{R}$, et $\ptvmc{v}'(t)$ sa vitesse dans $\mathcal{R}'$.
\begin{theo}{Loi de composition des vitesses}{vv'}
Par changement de référentiel, les vecteurs vitesse du mobile sont liés par la loi de composition des vitesses
\begin{empheq}[box=\maboitetheo]{align*}
\tvmc{v}(t)&=\tvmcmf{V}(t)+\ptvmc{v}'(t)+\tvmc{\omega}(t)\times\tvmcmf{O'M}
\end{empheq}
où $\tvmcmf{V}(t)$ est la vitesse de $\mathcal{R}'$ dans $\mathcal{R}$,
et $\tvmc{\omega}(t)$ est la vitesse angulaire de rotation sur lui-même de $\mathcal{R}'$ dans $\mathcal{R}$.
\end{theo}
\begin{rmq}{}{}
On vérifie que si $\ptvmc{v}'(t)=\tvmc{0}$ et $\tvmc{\omega}(t)=\tvmc{0}$ alors on a bien $\tvmc{v}(t)=\tvmcmf{V}(t)$.
\end{rmq}

\begin{proof}
Dérivons dans $\mathcal{R}$ par rapport à $t$ la relation de Chasles~:
\begin{align}
\tvmcmf{OM}(t)&=\tvmcmf{OO'}(t)+\tvmcmf{O'M}(t)\notag\\
\dd^\mathcal{R}_t\tvmcmf{OM}&=\dd^\mathcal{R}_t\tvmcmf{OO'}+\dd^\mathcal{R}_t\tvmcmf{O'M}\label{om}
\end{align}
\begin{defi}{Vitesse absolue}{}
La vitesse du mobile dans $\mathcal{R}$ a pour expression~:
\begin{align*}
\tvmc{v}(t)&\overset{\mathrm{def}}{=} \dd^\mathcal{R}_t\tvmcmf{OM}\\
&=\dd^\mathcal{R}_t\left(x\tvmc{\imath}+y\tvmc{\jmath}+z\tvmc{k}\right)\\
&=\dot x\tvmc{\imath}+\dot y\tvmc{\jmath}+\dot z\tvmc{k}
\end{align*}
\end{defi}
\begin{defi}{Vitesse relative des référentiels}{}
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item
La vitesse de $\mathcal{R}'$ dans $\mathcal{R}$ a pour expression~:
\begin{align*}
\tvmcmf{V}(t)&\overset{\mathrm{def}}{=} \dd^\mathcal{R}_t\tvmcmf{OO'}\\
&=\dd^\mathcal{R}_t\left(x_{O'}\tvmc{\imath}+y_{O'}\tvmc{\jmath}+z_{O'}\tvmc{k}\right)\\
&=\dot x_{O'}\tvmc{\imath}+\dot y_{O'}\tvmc{\jmath}+\dot z_{O'}\tvmc{k}
\end{align*}
\item
La vitesse de $\mathcal{R}$ dans $\mathcal{R}'$ a pour expression~:
\begin{align*}
\tvmcmf{V}'(t)&\overset{\mathrm{def}}{=} \dd^{\mathcal{R}'}_t\tvmcmf{O'O}\\
&=\dd^{\mathcal{R}'}_t\left(x'_O\ptvmc{\imath}'+y'_O\ptvmc{\jmath}'+z'_O\ptvmc{k}'\right)\\
&=\dot x'_O\ptvmc{\imath}'+\dot y'_O\ptvmc{\jmath}'+\dot z'_O\ptvmc{k}'
\end{align*}
\end{itemize}
\end{defi}
\begin{rmq}{}{}
Supposons que vu de $\mathcal{R}$, le référentiel $\mathcal{R}'$ ne fasse que tourner sur lui-même.
Alors, vu de $\mathcal{R}'$, le référentiel $\mathcal{R}$ décrit un cercle autour de $\mathcal{R}'$.
Les vitesses relatives respectives $\tvmcmf{V}$ et $\tvmcmf{V}'$ sont donc en général très différentes.
\end{rmq}
En se servant des deux définitions précédentes, \eqref{om} devient~:
\begin{equation}
\tvmc{v}(t)=\tvmcmf{V}(t)+\dd^\mathcal{R}_t\tvmcmf{O'M}\label{vec1}
\end{equation}
Vu de $\mathcal{R}$, les vecteurs de base de $\mathcal{R}'$ varient dans le temps~:
\begin{align*}
\dd^\mathcal{R}_t\tvmcmf{O'M}&=\dd^\mathcal{R}_t\left(x'\ptvmc{\imath}'+y'\ptvmc{\jmath}'+z'\ptvmc{k}'\right)\\
&=\dot x'\ptvmc{\imath}'+\dot y'\ptvmc{\jmath}'+\dot z'\ptvmc{k}'+x'\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{\imath}'+y'\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{\jmath}'
+z'\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{k}'
\end{align*}
\begin{defi}{Vitesse relative}{}
La vitesse du mobile dans $\mathcal{R}'$ a pour expression~:
\begin{align*}
\ptvmc{v}'(t)&\overset{\mathrm{def}}{=} \dd^{\mathcal{R}'}_t\tvmcmf{O'M}\\
&=\dd^{\mathcal{R}'}_t\left(x'\ptvmc{\imath}'+y'\ptvmc{\jmath}'+z'\ptvmc{k}'\right)\\
&=\dot x'\ptvmc{\imath}'+\dot y'\ptvmc{\jmath}'+\dot z'\ptvmc{k}'
\end{align*}
\end{defi}
Avec cette définition
\begin{align}
\dd^\mathcal{R}_t\tvmcmf{O'M}
&=\ptvmc{v}'+x'\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{\imath}'+y'\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{\jmath}'+z'\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{k}'\label{O'M}
\end{align}
On suppose que les axes $Oz$ et $O'z'$ ont même direction et même sens, de sorte que $\tvmc{k}$ et $\ptvmc{k}'$ soient équipollents.
Appelons $\alpha(t)$ l'angle orienté de $\mathcal{R}$ vers $\mathcal{R}'$,
qui est l'angle de rotation de $\mathcal{R}'$ dans $\mathcal{R}$ à l'instant $t$.

\begin{figure}[H]
\begin{pspicture}(-5,-1)(5,3.5)% aire reservee a l'image
\psline{->}(0,0)(3,0)
\psline{->}(0,0)(0,3)
\rput(3;-6){$\tvmc{\imath}$}
\rput(3;84){$\tvmc{\jmath}$}
\psline{->}(0;0)(3;20)
\psline{->}(0;0)(3;110)
\rput(3;26){$\ptvmc{\imath}'$}
\rput(3;116){$\ptvmc{\jmath}'$}
\psarc{->}(0,0){2.5}{90}{110}
\rput(3;100){$\alpha(t)$}
\psarc{->}(0,0){2.5}{0}{20}
\rput(3;10){$\alpha(t)$}
\psdot(0,0)
\pscircle(0,0){.2}
\rput(0,-.5){$\ptvmc{k}'$}
\rput(-0.5,0.1){$\tvmc{k}$}
\end{pspicture}
\caption{Rotation de $\mathcal{R}'$ dans $\mathcal{R}$}
\end{figure}

\begin{equation*}
\begin{dcases}
\ptvmc{\imath}'=\cos\alpha\tvmc{\imath}+\sin\alpha \tvmc{\jmath}\\
\ptvmc{\jmath}'=-\sin\alpha \tvmc{\imath}+\cos\alpha\tvmc{\jmath}\\
\ptvmc{k}'=\tvmc{k}
\end{dcases}
\qquad\Rightarrow\qquad
\begin{dcases}
\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{\imath}'=-\dot\alpha\sin\alpha \tvmc{\imath}+\dot\alpha\cos\alpha\tvmc{\jmath}\\
\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{\jmath}'=-\dot\alpha\cos\alpha\tvmc{\imath}-\dot\alpha\sin\alpha \tvmc{\jmath}\\
\ptvmc{k}'=\Cste
\end{dcases}
\qquad\Rightarrow\qquad
\begin{dcases}
\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{\imath}'=\dot\alpha\ptvmc{\jmath}'\\
\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{\jmath}'=-\dot\alpha\ptvmc{\imath}'\\
\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{k}'=\tvmc{0}
\end{dcases}
\end{equation*}
Par conséquent \eqref{O'M} s'écrit~:
\begin{align}
\dd^\mathcal{R}_t\tvmcmf{O'M}&=\ptvmc{v}'+x'\dot\alpha\ptvmc{\jmath}'-y'\dot\alpha\ptvmc{\imath}'\notag\\
&=\ptvmc{v}'+\dot\alpha\left(x'\ptvmc{\jmath}'-y'\ptvmc{\imath}'\right)\label{prodvec}
\end{align}
\begin{defi}{Pseudovecteur vitesse angulaire relative}{}
Le pseudovecteur vitesse angulaire de $\mathcal{R}'$ par rapport à $\mathcal{R}$ a pour expression~:
\begin{equation*}
\tvmc{\omega}(t)\overset{\mathrm{def}}{=}\left(\dd^\mathcal{R}_t\alpha\right)\tvmc{k}=\dot\alpha\tvmc{k}
\end{equation*}

Appelons $\alpha'(t)$ l'angle orienté de $\mathcal{R}'$ vers $\mathcal{R}$,
qui est l'angle de rotation de $\mathcal{R}$ dans $\mathcal{R}'$ à l'instant $t$, et tel que $\alpha'=-\alpha$.
Le pseudovecteur vitesse angulaire de $\mathcal{R}$ par rapport à $\mathcal{R}'$ a pour expression~:
\begin{equation*}
\tvmc{\omega}'(t)\overset{\mathrm{def}}{=}\left(\dd^{\mathcal{R}'}_t\alpha'\right)\ptvmc{k}'=\dot\alpha'\ptvmc{k}'=-\dot\alpha\tvmc{k}
\end{equation*}
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\tvmc{\omega}'(t)&=-\tvmc{\omega}(t)
\end{empheq}
\end{defi}
Le second terme du membre de droite de \eqref{prodvec} est un produit vectoriel~:
\begin{align*}
\tvmc{\omega}(t)\times\tvmcmf{O'M}(t)
&=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\dot\alpha
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
x'\\
y'\\
z'
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
-\dot\alpha y'\\
\dot\alpha x'\\
0
\end{pmatrix}\\
&=\dot\alpha\left(x'\ptvmc{\jmath}'-y'\ptvmc{\imath}'\right)
\end{align*}
si bien que \eqref{prodvec} devient~:
\begin{equation}
\dd^\mathcal{R}_t\tvmcmf{O'M}=\ptvmc{v}'(t)+\tvmc{\omega}(t)\times\tvmcmf{O'M}(t)\label{O'M2}
\end{equation}
Avec ce résultat, la loi de composition des vitesses~\eqref{vec1} p.~\pageref{vec1} s'écrit~:
\begin{equation*}
\tvmc{v}(t)=\tvmcmf{V}(t)+\ptvmc{v}'(t)+\tvmc{\omega}(t)\times\tvmcmf{O'M}(t)\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
\begin{rmq}{}{}
La relation \eqref{O'M} p.~\pageref{O'M} devient~:
\begin{equation}
\dd^\mathcal{R}_t\tvmcmf{O'M}=\dd^{\mathcal{R}'}_t\tvmcmf{O'M}+\tvmc{\omega}\times\tvmcmf{O'M}\label{O'Mbis}
\end{equation}
\end{rmq}

\begin{rmq}{}{}
On peut obtenir ce résultat en utilisant une démonstration purement algébrique~:
\begin{align*}
\ptvmc{\imath}'\cdot\ptvmc{\imath}'&=1\\
\dd^\mathcal{R}_t\left(\ptvmc{\imath}'\cdot\ptvmc{\imath}'\right)&=0\\
\ptvmc{\imath}'\cdot \dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{\imath}'+\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{\imath}'\cdot\ptvmc{\imath}'&=0\\
2\left(\ptvmc{\imath}'\cdot \dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{\imath}'\right)&=0\\
\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{\imath}'\,&\bot\, \ptvmc{\imath}'\\
\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{\imath}'&=\tvmc{\omega}\times\ptvmc{\imath}'
\end{align*}
où $\tvmc{\omega}$ est pour l'instant un vecteur indéterminé.
\begin{align*}
\ptvmc{\imath}'\cdot\ptvmc{\jmath}'&=0\\
\dd^\mathcal{R}_t\left(\ptvmc{\imath}'\cdot\ptvmc{\jmath}'\right)&=0\\
\ptvmc{\imath}'\cdot \dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{\jmath}'+\ptvmc{\jmath}'\cdot \dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{\imath}'&=0\\
\ptvmc{\imath}'\cdot \dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{\jmath}'&=-\ptvmc{\jmath}'\cdot\left(\tvmc{\omega}\times\ptvmc{\imath}'\right)
\end{align*}
En utilisant le théorème \ref{th:ABC} p.~\pageref{th:ABC} donné en annexe~:
\begin{align*}
\ptvmc{\imath}'\cdot \dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{\jmath}'&=-\ptvmc{\imath}'\cdot\left(\ptvmc{\jmath}'\times\tvmc{\omega}\right)\\
&=\ptvmc{\imath}'\cdot\left(\tvmc{\omega}\times\ptvmc{\jmath}'\right)\\
\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{\jmath}'&=\tvmc{\omega}\times\ptvmc{\jmath}'
\end{align*}
De même pour le vecteur $\tvmc{k}$~:
\begin{align*}
\ptvmc{\imath}'\cdot\ptvmc{k}'&=0\\
\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{k}'&=\tvmc{\omega}\times\ptvmc{k}'
\end{align*}
En posant $\ptvmc{k}'$ comme axe de rotation,
\begin{align*}
\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{k}'&=\tvmc{0}\\
\tvmc{\omega}\times\ptvmc{k}'&=\tvmc{0}
\end{align*}
soit,
\begin{equation*}
\tvmc{\omega}=\omega\ptvmc{k}'
\end{equation*}
En appliquant ces résultats à \eqref{O'M} p.~\pageref{O'M} puis à \eqref{vec1} p.~\pageref{vec1},
nous obtenons la loi de composition des vitesses~:
\begin{align*}
\tvmc{v}
&=\tvmcmf{V}+\ptvmc{v}'+x'\left(\tvmc{\omega}\times\ptvmc{\imath}'\right)+y'\left(\tvmc{\omega}\times\ptvmc{\jmath}'\right)\\
&=\tvmcmf{V}+\ptvmc{v}'+\tvmc{\omega}\times\tvmcmf{O'M}
\end{align*}
\end{rmq}
\begin{defi}{Vitesse d'entraînement}{}
La vitesse d'entraînement est la vitesse du point $P$ fixe dans le référentiel mobile $(\ptvmc{v}'_p=\tvmc{0})$,
coïncidant avec le point $M$ à l'instant $t_0$~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\tvmc{v}_e(t_0)\overset{\mathrm{def}}{=} \tvmcmf{V}(t_0)+\tvmc{\omega}(t_0)\times\tvmcmf{O'P}(t_0)
\end{empheq}
\end{defi}
Les points $P$ et $M$ étant superposés à $t_0$~:
\begin{align*}
\tvmcmf{O'M}(t_0)&=\tvmcmf{O'P}(t_0)\\
\tvmc{\omega}(t_0)\times\tvmcmf{O'M}(t_0)&=\tvmc{\omega}(t_0)\times\tvmcmf{O'P}(t_0)\\
\tvmcmf{V}(t_0)+\ptvmc{v}'(t_0)+\tvmc{\omega}(t_0)\times\tvmcmf{O'M}(t_0)
&=\tvmcmf{V}(t_0)+\ptvmc{v}'(t_0)+\tvmc{\omega}(t_0)\times\tvmcmf{O'P}(t_0)\\
\tvmc{v}(t_0)&=\ptvmc{v}'(t_0)+\tvmc{v}_e(t_0)
\end{align*}
Les trajectoires de $P$ et $M$ étant différentes sauf si le corps est fixe dans $\mathcal{R}'$, en général~:
\begin{align*}
\dd^\mathcal{R}_t\left(\tvmcmf{O'M}\right)&\neq \dd^\mathcal{R}_t\left(\tvmcmf{O'P}\right)\\
\dd^\mathcal{R}_t\left(\tvmc{\omega}\times\tvmcmf{O'M}\right)
&\neq \dd^\mathcal{R}_t\left(\tvmc{\omega}\times\tvmcmf{O'P}\right)\\
\dd^\mathcal{R}_t\left(\tvmcmf{V}+\ptvmc{v}'+\tvmc{\omega}\times\tvmcmf{O'M}\right)
&\neq \dd^\mathcal{R}_t\left(\tvmcmf{V}+\ptvmc{v}'+\tvmc{\omega}\times\tvmcmf{O'P}\right)\\
\dd^\mathcal{R}_t\tvmc{v}&\neq \dd^\mathcal{R}_t\left(\ptvmc{v}'+\tvmc{v}_e\right)
\end{align*}
\section{Loi de composition des accélérations}
\begin{theo}{Loi de composition des accélérations}{aa'}
Par changement de référentiel, les vecteurs accélération du corps sont liés par la loi de composition des accélérations
\begin{empheq}[box=\maboitetheo]{align*}
\tvmc{a}&=\ptvmc{a}'+\tvmc{a}_{e}+\tvmc{a}_{c}
\end{empheq}
dans laquelle $\tvmc{a}$ est l'accélération du corps dans $\mathcal{R}$,
$\ptvmc{a}'$ est l'accélération du corps dans $\mathcal{R}'$,
$\tvmc{a}_{e}$ est l'accélération d'entraînement et $\tvmc{a}_{c}$ l'accélération de Coriolis.
\end{theo}
\begin{proof}
Dérivons dans $\mathcal{R}$ par rapport au temps, la loi de composition des vitesses du théorème \ref{th:vv'} p.~\pageref{th:vv'}~:
\begin{align*} 
\dd^\mathcal{R}_t\tvmc{v}
&=\dd^\mathcal{R}_t\tvmcmf{V}+\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{v}'+\dd^\mathcal{R}_t\left(\tvmc{\omega}\times\tvmcmf{O'M}\right)\\
&=\dd^\mathcal{R}_t\tvmcmf{V}+\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{v}'+\dd^\mathcal{R}_t\tvmc{\omega}\times\tvmcmf{O'M}
+\tvmc{\omega}\times \dd^\mathcal{R}_t\tvmcmf{O'M}
\end{align*}
\begin{defi}{Accélération absolue}{}
L'accélération absolue du corps dans le référentiel $\mathcal{R}$ a pour expression~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\tvmc{a}&\overset{\mathrm{def}}{=} \dd^{\mathcal{R}}_t\left(\dd^{\mathcal{R}}_t\tvmcmf{OM}\right)\\
&\overset{\mathrm{def}}{=} \dd^\mathcal{R}_t\tvmc{v}
\end{empheq}
\end{defi}

\begin{defi}{Accélération relative des référentiels}{}
L'accélération relative de $\mathcal{R}'$ vu de $\mathcal{R}$ a pour expression~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\tvmcmf{A}\overset{\mathrm{def}}{=} \dd^{\mathcal{R}}_t\tvmcmf{V}
\end{empheq}
\end{defi}

Avec ces définitions~:
\begin{equation*} 
\tvmc{a}=\tvmcmf{A}+\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{v}'+\dot{\tvmc{\omega}}\times\tvmcmf{O'M}+\tvmc{\omega}\times \dd^\mathcal{R}_t\tvmcmf{O'M}
\end{equation*}
En utilisant \eqref{O'M2} p.~\pageref{O'M2}, nous avons~:
\begin{equation}
\tvmc{a}=\tvmcmf{A}+\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{v}'+\dot{\tvmc{\omega}}\times\tvmcmf{O'M}+\tvmc{\omega}\times \left(\ptvmc{v}'+\tvmc{\omega}\times\tvmcmf{O'M}\right)\label{dtRv}
\end{equation}
La relation \eqref{O'Mbis} p.~\pageref{O'Mbis} s'applique à tout vecteur exprimé dans $\mathcal{R}'$ et dérivé dans $\mathcal{R}$.
Appliquée au vecteur $\ptvmc{v}'$, elle donne~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\dd^\mathcal{R}_t\ptvmc{v}'&=\dd^{\mathcal{R}'}_t\ptvmc{v}'+\tvmc{\omega}\times\ptvmc{v}'
\end{empheq}
\begin{defi}{Accélération relative}{}
L'accélération relative est l'accélération du point $M$ dans le référentiel $\mathcal{R}'$~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\ptvmc{a}'\overset{\mathrm{def}}{=} \dd^{\mathcal{R}'}_t\ptvmc{v}'
\end{empheq}
\end{defi}
La relation \eqref{dtRv} devient~:
\begin{align}
\tvmc{a}&=\tvmcmf{A}+\dd^{\mathcal{R}'}_t\ptvmc{v}'+\tvmc{\omega}\times\ptvmc{v}'+\dot{\tvmc{\omega}}\times\tvmcmf{O'M}
+\tvmc{\omega}\times\left(\ptvmc{v}'+\tvmc{\omega}\times\tvmcmf{O'M}\right)\notag\\
&=\tvmcmf{A}+\ptvmc{a}'+\dot{\tvmc{\omega}}\times\tvmcmf{O'M}
+\tvmc{\omega}\times\left(\tvmc{\omega}\times\tvmcmf{O'M}\right)+2\tvmc{\omega}\times\ptvmc{v}'\label{a}
\end{align}
Soit $H$ la projection orthogonale du point $M$ sur l'axe de rotation $O'z'$ du repère $\mathcal{R}'$.
\begin{figure}[H]
\begin{pspicture}(-6,-2)(6,5)% aire reservee a l'image
%\psframe(-6,-2)(6,5)
\rput(-0.5,2){$O'$}
\psline{->}(0,2)(2,3)
\rput(2.3,3.1){$M$}
\rput(-.4,3.1){$H$}
\psline[linestyle=dashed](0,3)(2,3)
\rput(0,4.3){$z'$}
\psline(0,-1)(0,0)
\psline[linecolor=red]{|->}(0,0)(0,1)
\psline{-|}(0,1)(0,2)
\psline{>}(0,4)(0,2)
\rput(0.3,.8){\red $\tvmc{\omega}$}
\end{pspicture}
\caption{Projection du point $M$ sur l'axe de rotation}
\end{figure}
En utilisant le théorème \ref{th:BAC} p.~\pageref{th:BAC} donné en annexe, l'avant dernier terme s'écrit~:
\begin{align*}
\tvmc{\omega}\times\left(\tvmc{\omega}\times\tvmcmf{O'M}\right)
&=\tvmc{\omega}\left(\tvmc{\omega}\cdot\tvmcmf{O'M}\right)-\tvmcmf{O'M}\left(\tvmc{\omega}\cdot\tvmc{\omega}\right)\\
&=\tvmc{\omega}\left(\omega\,O'H\right)-\tvmcmf{O'M}\,\omega^2\\
&=\tvmcmf{O'H}\,\omega^2-\tvmcmf{O'M}\,\omega^2\\
&=\tvmcmf{MH}\,\omega^2
\end{align*}
Ce terme est toujours dirigé vers le centre de rotation instantané.
\begin{defi}{Accélération centripète}{}
Le terme $\tvmcmf{MH}\,\omega^2$ s'appelle accélération centripète.
\end{defi}
La relation \eqref{a} s'écrit~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}\label{a3}
\tvmc{a}&=\ptvmc{a}'+\tvmcmf{A}+\dot{\tvmc{\omega}}\times\tvmcmf{O'M}
+\tvmcmf{MH}\,\omega^2+2\tvmc{\omega}\times\ptvmc{v}'
\end{empheq}
\begin{defi}{Accélération d'entraînement}{acc_ent}
L'accélération d'entraînement est l'accélération du point $P$ fixe dans le référentiel mobile $(\ptvmc{v}'_p=\tvmc{0})$,
coïncidant avec le point $M$ à l'instant $t_0$~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\tvmc{a}_{e}(t_0)\overset{\mathrm{def}}{=}\tvmcmf{A}(t_0)+\dot{\tvmc{\omega}}(t_0)\times\tvmcmf{O'P}(t_0)+\tvmcmf{MH}(t_0)\,\omega^2(t_0)
\end{empheq}
\end{defi}
L'accélération d'entraînement contient l'accélération relative des référentiels,
l'accélération de la vitesse angulaire et l'accélération centripète.
A l'instant $t_0$, les points $P$ et $M$ étant superposés, nous avons~:
\begin{align*}
\tvmcmf{O'M}(t_0)&=\tvmcmf{O'P}(t_0)\\
\dot{\tvmc{\omega}}(t_0)\times\tvmcmf{O'M}(t_0)&=\dot{\tvmc{\omega}}(t_0)\times\tvmcmf{O'P}(t_0)\\
\tvmcmf{A}(t_0)+\dot{\tvmc{\omega}}(t_0)\times\tvmcmf{O'M}(t_0)+\tvmcmf{MH}(t_0)\omega^2(t_0)
&=\tvmcmf{A}(t_0)+\dot{\tvmc{\omega}}(t_0)\times\tvmcmf{O'P}(t_0)+\tvmcmf{MH}(t_0)\omega^2(t_0)
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\tvmc{a}_{e}(t_0)&=\tvmcmf{A}(t_0)+\dot{\tvmc{\omega}}(t_0)\times\tvmcmf{O'M}(t_0)+\tvmcmf{MH}(t_0)\,\omega^2(t_0)
\end{empheq}

\begin{defi}{Accélération de Coriolis}{acc_corio}
L'accélération de Coriolis a pour expression,
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\tvmc{a}_{c}\overset{\mathrm{def}}{=} 2\tvmc{\omega}\times\ptvmc{v}'
\end{empheq}

\end{defi}
Avec les définitions \ref{defi:acc_ent} et \ref{defi:acc_corio}, \eqref{a3} s'écrit~:
\begin{equation*}
\tvmc{a}=\ptvmc{a}'+\tvmc{a}_{e}+\tvmc{a}_{c}\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
\begin{rmq}{}{}
La dérivée dans $\mathcal{R}$ de la vitesse d'entraînement donne l'accélération d'entraînement~:
\begin{align*}
\dd^\mathcal{R}_t\tvmc{v}_e&=\dd^\mathcal{R}_t\tvmcmf{V}+\dd^\mathcal{R}_t\left(\tvmc{\omega}\times\tvmcmf{O'P}\right)\\
&=\tvmcmf{A}+\dot{\tvmc{\omega}}\times\tvmcmf{O'P}+\tvmc{\omega}\times \dd^\mathcal{R}_t\tvmcmf{O'P}
\end{align*}
En utilisant \eqref{O'Mbis} p.~\pageref{O'Mbis} puis le théorème \ref{th:BAC} p.~\pageref{th:BAC} donné en annexes~:
\begin{align*}
\dd^\mathcal{R}_t\tvmc{v}_e
&=\tvmcmf{A}+\dot{\tvmc{\omega}}\times\tvmcmf{O'P}+\tvmc{\omega}\times\left(\tvmc{\omega}\times\tvmcmf{O'P}\right)\\
&=\tvmcmf{A}+\dot{\tvmc{\omega}}\times\tvmcmf{O'P}+\tvmcmf{MH}\,\omega^2\\
&=\tvmc{a}_{e}
\end{align*}
\end{rmq}
\section{Forces dans un référentiel non galiléen}
\begin{theo}{RFD dans un référentiel non galiléen}{}
Soient $\sum \tvmcmf{F}^{\,\emph{ext}}$ la somme des modèles des forces extérieures réelles s'exerçant sur un système.
La RFD dans le référentiel non galiléen $\mathcal{R}'$ s'écrit,
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\sum\tvmcmf{F}^{\,\emph{ext}}+\tvmcmf{F}_e+\tvmcmf{F}_c&=\dfrac{\dd \ptvmc{p}'}{\dd t}
\end{empheq}

et, lorsque la masse du système est constante~:
\begin{empheq}[box=\maboitetheo]{align*}
\sum\tvmcmf{F}^{\,\emph{ext}}+\tvmcmf{F}_e+\tvmcmf{F}_c=m\ptvmc{a}'
\end{empheq}
\end{theo}
\begin{proof}
La RFD dans le référentiel galiléen $\mathcal{R}$ s'écrit~:
\begin{equation*}
\sum\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}}=\dfrac{\dd \tvmc{p}}{\dd t}
\end{equation*}
La masse $m$ du système étant supposée constante~:
\begin{equation*}
\sum\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}}=m\tvmc{a}
\end{equation*}
Avec le théorème \ref{th:aa'} p.~\pageref{th:aa'} nous avons~:
\begin{align*}
\sum\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}}&=m\left(\ptvmc{a}'+\tvmc{a}_{e}+\tvmc{a}_{c}\right)\\
&=m\ptvmc{a}'+m\tvmc{a}_{e}+m\tvmc{a}_{c}
\end{align*}
\begin{defi}{Force d'inertie d'entraînement}{force_ie}
La force d'inertie d'entraînement a pour expression~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\tvmcmf{F}_e\overset{\mathrm{def}}{=} -m\tvmc{a}_{e}
\end{empheq}
\end{defi}
\begin{defi}{Force de Coriolis}{force_corio}
La force de Coriolis a pour expression~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\tvmcmf{F}_c\overset{\mathrm{def}}{=} -m\tvmc{a}_{c}
\end{empheq}
\end{defi}
Par conséquent, on a bien~:
\begin{equation*}
\sum\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}}+\tvmcmf{F}_e+\tvmcmf{F}_c=m\ptvmc{a}'
\end{equation*}
Dans le référentiel non galiléen $\mathcal{R}'$,
il faut ajouter aux forces extérieures réelles $\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}}$ s'exerçant sur le système,
les forces fictives d'entraînement $\tvmcmf{F}_e$ et de Coriolis~$\tvmcmf{F}_c$.
\end{proof}
\section{Exemple de force fictive : la force centrifuge}
Le système étudié est un corps de centre de gravité $M$ et de masse $m$, tenu par un fil et tournant avec la vitesse angulaire constante
$\tvmc{\omega}$ autour de l'axe $Oz$ d'un référentiel galiléen $\mathcal{R}$.
On considère le référentiel $\mathcal{R}'$ de même centre $O$ que $\mathcal{R}$, dont l'axe $Oz'$ est confondu avec l'axe $Oz$.
Ce référentiel tourne autour de cet axe à la même vitesse angulaire $\tvmc{\omega}$ que le corps,
de sorte que celui-ci soit immobile dans $\mathcal{R}'$ et soit toujours sur l'axe $Ox'$ : $\tvmcmf{OM}=x'\ptvmc{\imath}'$

\begin{figure}[H]
\begin{pspicture}(-5,-1)(5,3)% aire reservee a l'image
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\rput(1;-15){$\tvmc{\imath}$}
\rput(1;75){$\tvmc{\jmath}$}
\psline{->}(0,0)(1;20)
\psline{->}(0,0)(1;110)
\psline{-}(0,0)(4;20)
\rput(1;35){$\ptvmc{\imath}'$}
\rput(1;125){$\ptvmc{\jmath}'$}
\psdot(0,0)
\pscircle(0,0){.2}
\rput(-0.5,0){$\tvmc{\omega}$}
\rput(0,-0.5){$O$}
\pscircle(4.5;20){.5}
\rput(4.5;20){$M$}
\psline{->}(4;20)(3;20)
\rput(3;14){$\tvmcmf{T}$}
\end{pspicture}
\caption{Rotation du corps $M$ vue de dessus}
\end{figure}

\subsection{Dans le référentiel galiléen}
Le corps étant fixe dans $\mathcal{R}'$, sa vitesse $\ptvmc{v}'$ et son accélération $\ptvmc{a}'$ sont nulles.

D'après la déf.~\ref{defi:acc_corio} p.~\pageref{defi:acc_corio}, l'accélération de Coriolis nulle~: $\tvmc{a}_c=\tvmc{0}$

L'accélération relative des référentiels est nulle par hypothèse~: $\tvmcmf{A}=\tvmc{0}$,

La variation de la vitesse angulaire est nulle également~: $\dot{\tvmc{\omega}}=\tvmc{0}$

Dans \eqref{a3} p.~\pageref{a3} il ne reste que l'accélération centripète~:
\begin{align*}
\tvmc{a}&=\tvmcmf{MO}\,\omega^2\\
&=-\omega^2r\tvmc{e}_r
\end{align*}
où $r\tvmc{e}_r$ est le vecteur position $\tvmcmf{OM}$ en coordonnées polaires.
La RFD donne la tension du fil~:
\begin{align*}
\sum\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}}&=m\tvmc{a}\\
\tvmcmf{T}&=-m\omega^2r\tvmc{e}_r
\end{align*}
\subsection{Dans le référentiel non galiléen}
Écrivons la RFD pour un observateur dans le référentiel $\mathcal{R}'$~:
\begin{equation*}
\sum\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}}+\tvmcmf{F}_e+\tvmcmf{F}_c=m\ptvmc{a}'
\end{equation*}
L'accélération de Coriolis étant nulle,
d'après la déf.~\ref{defi:force_corio} p.~\pageref{defi:force_corio} la force de Coriolis est nulle~:
\begin{align*}
\tvmcmf{F}_c&=-m\tvmc{a}_c\\
&=\tvmc{0}
\end{align*}
L'accélération relative des référentiels étant nulle
et la vitesse angulaire constante, il ne reste que l'accélération centripète.
D'après la déf.~\ref{defi:force_ie} p.~\pageref{defi:force_ie} la force d'inertie d'entraînement s'écrit~:
\begin{align*}
\tvmcmf{F}_e&=-m\tvmc{a}_{e}\\
&=m\omega^2r\tvmc{e}_r
\end{align*}
On a donc
\begin{equation*}
\sum\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}}+m\omega^2r\tvmc{e}_r=m\ptvmc{a}'
\end{equation*}
\begin{defi}{Force centrifuge}{}
La force centrifuge a pour expression~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\tvmcmf{F}_n\overset{\mathrm{def}}{=} m\omega^2r\tvmc{e}_r
\end{empheq}
\end{defi}
Le corps étant immobile dans $\mathcal{R}'$, son accélération est nulle~:
\begin{equation*}
\tvmcmf{T}+\tvmcmf{F}_n=\tvmc{0}
\end{equation*}
Pour un observateur dans $\mathcal{R}'$, la force centrifuge s'exerce sur tous les corps immobiles dans $\mathcal{R}'$
en plus des forces réelles (la tension du fil).
Elles permettent à l'observateur dans $\mathcal{R}'$ d'appliquer la RFD, la somme des forces est nulle pour les objets immobiles.

\chapter{Le pendule balistique}\label{ch_pb}
\section{Description}
Le pendule balistique permet de mesurer la vitesse d'un projectile.
Un sac de sable est relié par l'intermédiaire d'une tige rigide au bras horizontal $(Oz)$ d'une potence,
autour duquel il peut tourner librement et sans frottement (fig.~\ref{fig_pb} p.~\pageref{fig_pb}).


À l'instant $t_0$ le sac est au repos dans le référentiel terrestre $(O,x,y,z)$ supposé galiléen.
On note $M$ la masse du sac, $G$ son centre de gravité et $J$ son moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation,
c.-à-d. la répartition de sa masse en fonction du carré de la distance à l'axe de rotation $(Oz)$.
On note $l$ la distance $OG$.

\begin{figure}[H]
\begin{pspicture}(-6,-6)(5,2.5)% aire reservee a l'image
%\psframe(-6,-6)(5,2.5)
\psset{unit=1.5}
\psline{->}(-1,0)(3,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\rput(3.3,0){$x$}
\rput(0,1.3){$y$}
\psline{-}(-.5,0)(0.5,0)
%tige
\psline{-}(0,0)(0,-2)
%sac de sable
\psframe(-1,-2)(1,-4)
%vecteur vitesse
\psline{->}(-3.8,-3.5)(-2.5,-3.5)
%projectile
\pscircle(-4,-3.5){.07}
\put(2.3,-1.9){$L$}
\put(.9,-1.5){$l$}
%\rput(-.8,-1.3){$l=oG$}
\rput(0,-3.7){$A$}
\psdot(0,-3.5)
%centre de gravite
\rput(.2,-3){$G$}
\psdot(0,-3)
\rput(-.3,.2){$O$}
\rput(0,0){$\bigodot$}
\rput(.3,.2){$z$}
\rput(-3.2,-3.3){$\tvmc{v}$}
%dimensions
\psline{<->}(.7,-.1)(.7,-3)
\psline{<->}(2.2,-.1)(2.2,-3.5)
\psline[linestyle=dotted](-2.2,-3.5)(0,-3.5)
\psline[linestyle=dotted](0,-2)(0,-3.5)
\end{pspicture}
\caption{Pendule balistique avant impact}
\label{fig_pb}
\end{figure}

\begin{rmq}{}{}
L'utilisation d'une corde au lieu d'une tige rigide autoriserait une rotation du sac de sable autour de son point d'attache avec la corde,
ce qui compliquerait la résolution de ce problème.
\end{rmq}
\`A l'instant $t_0$, un projectile $(p)$ de masse $m$, de vecteur position $\tvmc{\rho}(t)$ et de dimensions négligeables,
pénètre le sac de sable avec un vecteur vitesse purement  horizontal $\tvmc{v}$, donc au sommet de sa trajectoire,
et s'arrête au point $A$ \`a l'instant $t_1$.
Nous supposons que $A$ est situé sur la droite verticale $(OG)$.
On note $L$ la distance $OA$.

La durée $t_1-t_0$ de l'impact, le sac et le projectile prennent la vitesse angulaire $\tvmc{\omega}=\dot\theta\tvmc{k}$ autour de l'axe de rotation $(Oz)$.
Le mouvement du sac étant un mouvement de rotation, nous devons utiliser le \og théorème\fg du moment cinétique.

\section{Théorème du moment cinétique}
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item Première méthode~: le système étudié est le sac de sable et le projectile, noté $(s+p)$.

Avant l'impact, les forces extérieures exercées sur le système sont le poids du sac $\tvmcmf{P}_s$, la tension dans la tige $\tvmcmf{T}$
et le poids du projectile $\tvmcmf{P}_p$, avec~:
\begin{equation*}
\tvmcmf{P}_s=-\tvmcmf{T}
\end{equation*}
Cette relation n'est plus vraie après l'impact.
\begin{rmq}{}{}
Les poids du sac et du projectile sont des forces extérieures au système. Elles sont dues à la présence de la Terre.
\end{rmq}

Le pseudovecteur moment cinétique est noté $\tvmc{\sigma}$.
Le théorème du moment cinétique par rapport à un point quelconque $q$ fixe dans $(O,x,y,z)$ s'écrit~:
\begin{align*}
\sum\mom{M}_{q}(\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}})&\overset{\rightarrow}{=} \frac{\dd }{\dd t}\,\tvmc{\sigma}_{q\;(s+p)}\\
\mom{M}_{q}(\tvmcmf{P}_s)+\mom{M}_{q}(\tvmcmf{P}_p)
+\mom{M}_{q}(\tvmcmf{T})&\overset{\rightarrow}{=} \frac{\tvmc{\sigma}_{q\;(s+p)}(t_1)-\tvmc{\sigma}_{q\;(s+p)}(t_0)}{t_1-t_0}
\end{align*}

\begin{rmq}{}{}
Les forces intenses et de courte durée qui apparaissent lors d'un choc sont appelées \emph{percussions}.
On considère qu'un solide ne bouge presque pas lorsqu'il subit une percussion, seule sa vitesse varie.
C'est le cas par exemple du rebond d'une balle contre un mur.

En acquérant en très peu de temps une vitesse de rotation autour du bras horizontal,
le sac de sable exerce soudainement une force centrifuge $\tvmcmf{F}_c=-M\omega^2l\tvmc{\jmath}$ sur la tige.
La tension dans la tige augmente brutalement pendant le choc alors que le sac de sable ne bouge presque pas.
Cette percussion tend à casser la tige et le bras de la potence, la tension est égale et opposée à la réaction $\mathbf{R}$ de l'axe de rotation.
\end{rmq}

Prenons $q$ confondu avec $O$ car en ce point
les moments de force sont identiquement nuls~: le temps de l'impact
les forces passent toutes approximativement par $O$~:
\begin{align*}
\mom{M}_{o}(\tvmcmf{P}_s)+\mom{M}_{o}(\tvmcmf{P}_p)+\mom{M}_{o}(\tvmcmf{T})&\overset{\rightarrow}{=} \tvmc{0}
\end{align*}
\begin{rmq}{}{}
En toute rigueur le point $O$ n'est pas fixe dans un référentiel galiléen car la Terre se met à tourner lors de l'impact dans le sac.
Pour s'en rendre compte il suffit d'imaginer la même expérience avec une masse terrestre beaucoup plus faible.
La masse de la Terre étant très grande par rapport aux masses du projectile et du sac, $O$ est approximativement fixe dans un référentiel
galiléen. Cette approximation permet de ne pas prendre comme système un système isolé.

En effet, si l'on remplaçait la Terre par une boule de quelques kilos, il faudrait choisir le système isolé constitué 
du projectile, du sac, de la tige, de la potence et de la boule.
L'interaction gravitationnelle serait alors négligeable.
\end{rmq}
La variation dans le temps du moment cinétique du système $(s+p)$ par rapport à $O$ est nulle, il se conserve~:
\begin{align}
\tvmc{\sigma}_{o\;(s+p)}(t_1)&=\tvmc{\sigma}_{o\;(s+p)}(t_0)\notag\\
J\omega\tvmc{k}+\tvmc{\rho}(t_1)\times m[\tvmc{\omega}\times\tvmc{\rho}(t_1)]&=\tvmc{\rho}(t_0)\times m\tvmc{v}\notag\\
J\omega\tvmc{k}+mL^2\omega\tvmc{k}&=mL\ntvmc{v}\tvmc{k}\notag\\
\left(J+mL^2\right)\omega&=mL\ntvmc{v}\label{tmc}\\
\omega&=\frac{mL\ntvmc{v}}{J+mL^2}\label{omega}
\end{align}
\begin{rmq}{}{}
Une réécriture de \eqref{tmc} met en évidence le transfert de moment cinétique entre le projectile et le sac~:
\begin{equation*}
J\omega=mL(\ntvmc{v}-L\omega)
\end{equation*}
\end{rmq}
Lorsque la masse du projectile est négligeable devant celle du sac de sable $m\ll M$~:
\begin{equation*}
\omega\approx\frac{mL\ntvmc{v}}{J}
\end{equation*}
\begin{rmq}{}{}
À partir de \eqref{tmc} p.~\pageref{tmc}, cherchons quelles sont les approximations qui donnent la conservation de la quantité de mouvement.
Si la dimension verticale du sac est petite devant $l$ et/ou si la dimension verticale du sac est petite par rapport à ses dimensions
horizontales alors $J\approx Ml^2$ et $L\approx l$, et \eqref{tmc} devient~:
\begin{align*}
\left(Ml^2+ml^2\right)\omega&\approx ml\ntvmc{v}\\
(M+m)\ntvmc{V}&\approx m\ntvmc{v}
\end{align*}
où $\ntvmc{V}=l\omega$ est la vitesse horizontale du sac et du projectile après le choc.
Par conséquent, si au moins l'une des deux conditions précédentes est respectée, nous pouvons écrire la conservation de la quantité de mouvement
lors de l'impact plutôt que la conservation du moment cinétique.
\end{rmq}

\item Seconde méthode~: le système étudié est le sac de sable seul, noté $(s)$.

Le système est à masse variable, sa masse passe de $M$ à $M+m$.
Avant l'impact, les forces extérieures exercées sur le système sont le poids du sac $\tvmcmf{P}_s$ et la tension dans la tige $\tvmcmf{T}$.
Pendant l'impact apparaissent la force $\tvmc{f}_p$ du projectile sur le sac et le poids du projectile $\tvmcmf{P}_p$
lorsque la masse du système passe de $M$ à $M+m$.

Le théorème du moment cinétique par rapport au point $O$ s'écrit~:
\begin{align}
\sum\mom{M}_{o}(\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}})&\overset{\rightarrow}{=} \frac{\dd}{\dd t}\,\tvmc{\sigma}_{o\;(s)}\label{tmcpb}\\
\mom{M}_{o}(\tvmcmf{P}_{(s+p)})+\mom{M}_{o}(\tvmcmf{T})+\mom{M}_{o}(\tvmc{f}_p)&\overset{\rightarrow}{=}
\frac{\tvmc{\sigma}_{o\;(s)}(t_1)-\tvmc{\sigma}_{o\;(s)}(t_0)}{t_1-t_0}\notag\\
\mom{M}_{o}(\tvmc{f}_p)&\overset{\rightarrow}{=}\frac{\tvmc{\sigma}_{o\;(s)}(t_1)}{t_1-t_0}\notag
\end{align}
La RFD donne~:
\begin{align*}
\mom{M}_{o}(\tvmc{f}_p)&=-L\tvmc{\jmath}\times m\,\frac{\dd\ntvmc{v}}{\dd t}\,\tvmc{\imath}\\
&=mL\,\frac{\dd\ntvmc{v}}{\dd t}\,\tvmc{k}
\end{align*}
Si bien que~:
\begin{align*}
mL\,\frac{\ntvmc{v}-0}{t_1-t_0}\,\tvmc{k}&=\frac{\tvmc{\sigma}_{o\;(s)}(t_1)}{t_1-t_0}\\
mL\ntvmc{v}&=J\omega+mL^2\omega
\end{align*}
Nous retrouvons \eqref{tmc} p.~\pageref{tmc}.
\end{enumerate}

\section{Conservation de l'énergie mécanique}
La conservation de l'énergie mécanique permet de trouver l'expression de la vitesse du projectile avant l'impact.
Prenons la position initiale du centre de gravité du système sac-projectile comme origine de l'énergie potentielle.
Au temps $t_1$, juste après la fin de l'impact, l'énergie potentielle du système sac-projectile est nulle et l'énergie cinétique est maximale~:
\begin{equation*}
E_{cin}(t_1)\overset{\mathrm{def}}{=}\frac{1}{2}\left(J+mL^2\right)\omega^2
\end{equation*}
Avec l'expression de omega \eqref{omega} p.~\pageref{omega}~:
\begin{align*}
E_{cin}(t_1)&= \frac{1}{2}\left(J+mL^2\right)\left(\frac{mLv}{J+mL^2}\right)^2\\
&= \frac{1}{2}\,m\left(\frac{mL^2}{J+mL^2}\right)\ntvmc{v}^2\\
&\approx\frac{1}{2}\,m\left(\frac{mL^2}{J}\right)\ntvmc{v}^2\qquad m\ll M
\end{align*}
On note ici que pour $m\ll M$ cette énergie cinétique est très petite.
Nous verrons au \S~\ref{cet} que l'énergie cinétique du projectile est en grande partie transformée en énergie thermique.

On mesure l'angle maximal $\theta_{max}$ atteint par le système sac-projectile à l'instant $t_2$.
L'énergie cinétique est alors nulle et l'énergie potentielle maximale~:
\begin{align*}
E_{pot}(t_2)&=Mgl(1-\cos(\theta_{max}))+mgL(1-\cos(\theta_{max}))\\
&=(Ml+mL)g(1-\cos(\theta_{max}))
\end{align*}
Lorsque la masse du projectile est négligeable devant celle du sac de sable,
en appelant $h_{max}$ la hauteur maximale atteinte par le centre de gravité du sac de sable~:
\begin{align*}
E_{pot}(t_2)&\approx Mgl(1-\cos(\theta_{max}))\qquad m\ll M\\
&\approx Mgh_{max}\qquad m\ll M
\end{align*}
En négligeant les frottements de l'air et les frottements au niveau de l'axe,
la conservation de l'énergie mécanique s'écrit~: 
\begin{align*}
E_{m\acute eca}(t_1)&=E_{m\acute eca}(t_2)\\
E_{cin}(t_1)+E_{pot}(t_1)&=E_{cin}(t_2)+E_{pot}(t_2)\\
\frac{m^2L^2}{2\left(J+mL^2\right)}\,\ntvmc{v}^2&=(Ml+mL)g(1-\cos(\theta_{max}))\\
\ntvmc{v}&=\frac{1}{mL}\sqrt{2\left(J+mL^2\right)(Ml+mL)g(1-\cos(\theta_{max}))}\\
&\approx\frac{1}{mL}\sqrt{2JMgh_{max}}\qquad m\ll M
\end{align*}
Avec $1-\cos(\theta)=2\sin^2(\theta/2)$~:
\begin{align}
\ntvmc{v}&=\frac{2}{mL}\sin\left(\frac{\theta_{max}}{2}\right)\sqrt{\left(J+mL^2\right)(Ml+mL)g}\label{v_pendule}\\
&\approx\frac{2}{mL}\sin\left(\frac{\theta_{max}}{2}\right)\sqrt{JMgl}\qquad m\ll M\notag
\end{align}

\section{Conservation de l'énergie totale}\label{cet}
On peut à présent calculer le transfert de chaleur $Q$ du projectile au sac de sable lors de l'impact.
On écrit la conservation de l'énergie totale lors du transfert d'énergie cinétique au moment de l'impact:
\begin{align}
Q&=E_{cin}(t_0)-E_{cin}(t_1)\\
&=\frac{1}{2}\,m\ntvmc{v}^2-\frac{m^2L^2}{2\left(J+mL^2\right)}\,\ntvmc{v}^2\notag\\
&=\frac{m\left(J+mL^2\right)-m^2L^2}{2\left(J+mL^2\right)}\,\ntvmc{v}^2\notag\\
&=\frac{1}{2}\,m\left(\frac{J}{J+mL^2}\right)\ntvmc{v}^2\label{Q}\\
&\approx\tfrac{1}{2}\,m\ntvmc{v}^2\qquad m\ll M\notag
\end{align}
La quasi totalité de l'énergie cinétique du projectile est transformée en énergie thermique,
une faible partie est transformée en énergie cinétique du sac et du projectile.

\section{Condition pour annuler la percussion}
Le théorème du moment cinétique et la relation fondamentale de la dynamique permettent de trouver la hauteur d'impact $h$
qui annule une partie de la percussion sur l'axe
(la percussion due à la force centrifuge de mise en rotation du sac de sable ne peut être annulée).

Soit $\tvmc{f}$ la force exercée par le projectile sur le sac, le théorème du moment cinétique \eqref{tmcpb} p.~\pageref{tmcpb} se réécrit~:
\begin{align*}
-h\tvmc{\jmath}\times f\tvmc{\imath}&=\frac{\dd }{\dd t}\left(J\omega+mh^2\omega\right)\tvmc{k}\\
h&\approx \frac{J\dot\omega}{f}
\end{align*}
La percussion sur $(Oz)$ est nulle si $f$ sert intégralement à accélérer le sac de sable
(et n'est donc pas transmise à l'axe $(Oz)$). La RFD donne~:
\begin{align*}
f&=\frac{\dd }{\dd t}(Ml\omega)\\
&=Ml\dot\omega
\end{align*}
Nous avons donc~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}
h=\frac{J}{Ml}\label{L}
\end{empheq}
Cette hauteur est particulière.
En effet, la période du pendule pesant de moment d'inertie $J$, de masse $M$ et de longueur $l$ s'écrit~:
\begin{equation*}
T=2\pi\sqrt{\frac{J}{gMl}}
\end{equation*}
Celle du pendule simple de longueur $h$ s'écrit~:
\begin{equation*}
T'=2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}
\end{equation*}
Si on égale ces deux périodes on retrouve \eqref{L}.
Il faut donc que le projectile percute le sac de sable à la distance $h$ de l'axe de rotation,
égale à la longueur du pendule simple synchrone avec le pendule balistique.
En effet, lorsque le projectile percute le centre de gravité du sac de sable, celui-ci prend un mouvement de translation rectiligne seul.
Or il doit aussi avoir un mouvement de rotation. L'impact doit donc se trouver sous le centre de gravité
pour correspondre au mouvement naturel du sac de sable autour de l'axe $(Oz)$.

En remplaçant $J$ par $LMl$ dans \eqref{v_pendule} p.~\pageref{v_pendule}, nous obtenons pour la vitesse~:
\begin{equation*}
\ntvmc{v}=\frac{2}{mL}\,\sin\left(\frac{\theta_{max}}{2}\right)\sqrt{g(LMl+mL^2)(Ml+mL)}
\end{equation*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\ntvmc{v}&=\frac{2(Ml+mL)}{m}\,\sin\left(\frac{\theta_{max}}{2}\right)\sqrt{\frac{g}{L}}
\end{empheq}
En remplaçant $J$ par $LMl$ dans \eqref{Q} p.~\pageref{Q}, nous avons~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
Q=\frac{1}{2}\,m\left(\frac{Ml}{Ml+mL}\right)\ntvmc{v}^2
\end{empheq}

\chapter{Le problème de Kepler}
Il s'agit de déterminer l'équation de l'orbite d'une planète à partir de la mécanique de Newton,
en ne considérant que la seule force de gravitation, en négligeant l'interaction gravitationnelle des planètes entre elles,
et en supposant les astres ponctuels.
Ce problème est aussi connu sous le nom de \og problème des deux corps\fg.
\section{Coordonnées polaires}
Etant donné que l'on traite ici de la révolution d'une planète autour du Soleil,
il est avantageux de passer en coordonnées cylindriques $(\rho,\theta,z)$.
Les axes des $z$ en coordonnées rectangulaires $(x,y,z)$ et en cylindriques sont supposés confondus.
Nous nous intéressons ici aux coordonnées polaires $(\rho,\theta)$ prises dans le plan $(x,y)$.
\subsection{Expression des vecteurs de base de la base polaire orthonormée \texorpdfstring{$(\tvmc{e}_\rho,\tvmc{e}_\theta)$}{}}

\begin{figure}[H]
\begin{pspicture}(-4,-1)(6,4)% aire reservee a l'image
%\psgri\dd (-4,-1)(6,4)
\psline{->}(0,0)(5,0)
\psline{->}(0,0)(0,3)
\rput(5.3,0){$x$}
\rput(0,3.3){$y$}
\rput(-.3,-.3){$O$}
\rput(.8,-.3){$\tvmc{\imath}$}
\rput(-.3,.8){$\tvmc{\jmath}$}
\rput(3,.7){$M$}
\rput(1.8,1){$\rho$}
\SpecialCoor
\psdot(3;20)
\psline{-}(0,0)(3;20)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\rput(3;20){
\psline[linecolor=red]{->}(0;0)(1;20)
\psline[linecolor=red]{->}(0;0)(1;110)
\rput(1.3;110){\red $\tvmc{e}_{\theta}$}
\rput(1.3;20){\red $\tvmc{e}_{\rho}$}
}
\psarc{<->}(0;0){1.5}{0}{20}
\rput(1.8,.3){$\theta$}
\psarc{->}(0;0){4.8}{5}{15}
\rput(5.1;10){+}
\end{pspicture}
\caption{Vecteurs de la base polaire orthonormée}
\label{bp}
\end{figure}
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item Première méthode

En se servant de la figure~\ref{bp},
exprimons les vecteurs unitaires de base $\tvmc{e}_\rho$ et $\tvmc{e}_\theta$
en fonction de ceux de la base rectangulaire normée $(\tvmc{\imath},\tvmc{\jmath})$~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\tvmc{e}_\rho=\cos(\theta) \tvmc{\imath}+\sin(\theta) \tvmc{\jmath}\\
\tvmc{e}_\theta=-\sin(\theta) \tvmc{\imath}+\cos(\theta) \tvmc{\jmath}
\end{dcases}
\end{equation*}
\item Deuxième méthode

Soit $M$ un point de coordonnées polaires $(\rho,\theta)$ et de coordonnées rectangulaires $(x,y)$.
Le changement de coordonnées de polaires vers rectangulaires s'écrit~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
x=\rho\cos(\theta)\\
y=\rho\sin(\theta)
\end{dcases}
\qquad\rho\geqslant0\ \text{ et }\ 0\leqslant\theta<2\pi
\end{equation*}
Déterminons les vecteurs unitaires de base $\tvmc{e}_\rho$ et $\tvmc{e}_\theta$
en différentiant le rayon vecteur $\tvmc{r}=\tvmcmf{OM}$
exprimé en coordonnées polaires $(\rho,\theta)$ dans la base rectangulaire normée $(\tvmc{\imath},\tvmc{\jmath})$~:
\begin{align*}
\tvmc{r}(x,y)&=x\tvmc{\imath}+y\tvmc{\jmath}\\
\tvmc{r}(\rho,\theta)&=\rho\cos(\theta)\tvmc{\imath}+\rho\sin(\theta)\tvmc{\jmath}\\
\dd \tvmc{r}(\rho,\theta)&=\left(\frac{\partial\tvmc{r}}{\partial\rho}\right)_\theta \dd \rho
+\left(\frac{\partial\tvmc{r}}{\partial\theta}\right)_\rho \dd \theta\\
&=\left[\cos(\theta)\tvmc{\imath}+\sin(\theta)\tvmc{\jmath}\right]\dd \rho+\rho\left[-\sin(\theta)\tvmc{\imath}+\cos(\theta)\tvmc{\jmath}\right]\dd \theta
\end{align*}
Les vecteurs unitaires de la base polaire ont alors pour expression,
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\tvmc{e}_\rho=\cos(\theta) \tvmc{\imath}+\sin(\theta) \tvmc{\jmath}\\
\tvmc{e}_\theta=-\sin(\theta) \tvmc{\imath}+\cos(\theta) \tvmc{\jmath}
\end{dcases}
\qquad\Rightarrow\qquad
\dd \tvmc{r}(\rho,\theta)=\tvmc{e}_\rho\dd \rho+\rho\tvmc{e}_\theta\dd \theta
\end{equation*}
\end{enumerate}
\subsection{Expression du vecteur position}
Cherchons l'expression du vecteur position en coordonnées polaires $(\rho,\theta)$
dans la base polaire orthonormée $(\tvmc{e}_\rho,\tvmc{e}_\theta)$~:
\begin{align*}
\tvmc{r}(\rho,\theta)&=\rho\cos(\theta)\tvmc{\imath}+\rho\sin(\theta)\tvmc{\jmath}\\
&=\rho[\cos(\theta)\tvmc{\imath}+\sin(\theta)\tvmc{\jmath}]\\
&=\rho \tvmc{e}_\rho
\end{align*}
\subsection{Dérivée des vecteurs de base}
Nous aurons besoin de la dérivée des vecteurs de base pour exprimer la vitesse et l'accélération :
\begin{equation*}
\begin{dcases}
\frac{\dd \tvmc{e}_\rho}{\dd t}
=-\sin(\theta)\,\frac{\dd \theta}{\dd t}\,\tvmc{\imath}+\cos(\theta)\,\frac{\dd \theta}{\dd t}\,\tvmc{\jmath}\\
\frac{\dd \tvmc{e}_\theta}{\dd t}
=-\cos(\theta)\,\frac{\dd \theta}{\dd t}\,\tvmc{\imath}-\sin(\theta)\,\frac{\dd \theta}{\dd t}\,\tvmc{\jmath}
\end{dcases}
\qquad\Rightarrow\qquad
\begin{dcases}
\dot{\tvmc{e}}_{\rho}=\dot\theta\tvmc{e}_\theta\\
\dot{\tvmc{e}}_{\theta}=-\dot\theta\tvmc{e}_{\rho}
\end{dcases}
\end{equation*}
\subsection{Expression du vecteur vitesse}
Le vecteur vitesse est la dérivée première du vecteur position par rapport au temps.
En coordonnées polaires, dans la base polaire orthonormée, il a pour expression~:
\begin{align*}
\tvmc{v}&=\frac{\dd \tvmc{r}}{\dd t}\\
&=\frac{\dd }{\dd t}\left(\rho\tvmc{e}_\rho \right) \\
&=\dot\rho\tvmc{e}_\rho+\rho\dot{\tvmc{e}}_{\rho}
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}\label{vit_pol}
\tvmc{v}&=\dot\rho\tvmc{e}_\rho+\rho\dot\theta\tvmc{e}_\theta
\end{empheq}
\subsection{Expression du vecteur accélération}
Le vecteur accélération est la dérivée première du vecteur vitesse par rapport au temps.
En coordonnées polaires, dans la base polaire orthonormée, il a pour expression~:
\begin{align*}
\tvmc{a}&=\frac{\dd \tvmc{v}}{\dd t}\\
&=\frac{\dd }{\dd t}\left(\dot\rho\tvmc{e}_\rho+\rho\dot\theta\tvmc{e}_\theta\right)\\
&=\ddot{\rho}\tvmc{e}_\rho+\dot\rho\dot{\tvmc{e}}_{\rho}+\dot\rho\dot\theta\tvmc{e}_\theta
+\rho\ddot\theta\tvmc{e}_\theta+\rho\dot\theta\dot{\tvmc{e}}_{\theta}\\
&=\ddot{\rho}\tvmc{e}_\rho+\dot\rho\dot\theta\tvmc{e}_\theta+\dot\rho\dot\theta\tvmc{e}_\theta
+\rho\ddot\theta\tvmc{e}_\theta-\rho\dot\theta^2\tvmc{e}_\rho
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}\label{acc_pol}
\tvmc{a}
&=\left(\ddot{\rho}-\rho\dot\theta^2\right)\tvmc{e}_\rho +\left(2\dot\rho\dot\theta+\rho\ddot\theta\right) \tvmc{e}_\theta
\end{empheq}

\section{Force centrale - Cas général}
\subsection{Centre d'inertie}
Soient $m$ et $M$ les masses de deux astres situés respectivement aux points $A$ et $B$.
\begin{defi}{Centre d'inertie}{}
Le point $G$ tel que
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
m\,\tvmcmf{GA}+M\,\tvmcmf{GB}=\tvmc{0}
\end{empheq}
est appelé centre d'inertie, centre de gravité ou centre de masse du système.
\end{defi}
Le système binaire formé des deux astres est supposé isolé, son centre d'inertie $G$ a un mouvement inertiel.
On le suppose fixe au centre du référentiel galiléen $\mathcal{R}$.
\begin{defi}{Référentiel de centre de masse}{}
Le référentiel $\mathcal{R}$ de centre $G$ est appelé référentiel de centre de masse.
\end{defi}
Notons $\tvmc{r}_1=\tvmcmf{GA}$ et $\tvmc{r}_2=\tvmcmf{GB}$ les rayons vecteurs des astres dans $\mathcal{R}$~:
\begin{align}
&m\tvmc{r}_1+M\tvmc{r}_2=\tvmc{0}\notag\\
&\tvmc{r}_2=-\frac{m}{M}\,\tvmc{r}_1\label{r}
\end{align}

\subsection{Masse réduite}
Déterminons les rayons vecteur des astres en fonction des données du problème,
c.-à-d. en fonction du vecteur $\tvmc{r}=\tvmcmf{BA}$ reliant les deux astres~:
\begin{align*}
\tvmcmf{BA}&=\tvmcmf{BG}+\tvmcmf{GA}\\
&=\tvmcmf{GA}-\tvmcmf{GB}
\end{align*}
Avec \eqref{r} p.~\pageref{r}~:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\tvmc{r}&=\tvmc{r}_1-\tvmc{r}_2\\
&=\tvmc{r}_1+\frac{m}{M}\,\tvmc{r}_1\\
&=\frac{m+M}{M}\,\tvmc{r}_1
\end{aligned}
\begin{aligned}
\qquad\qquad \text{et} \qquad\qquad\tvmc{r}&=\tvmc{r}_1-\tvmc{r}_2\\
&=-\frac{M}{m}\,\tvmc{r}_2-\tvmc{r}_2\\
&=-\frac{m+M}{m}\,\tvmc{r}_1
\end{aligned}
\end{equation*}
et l'on a~:
\begin{subequations}\label{rho1et2}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}
&\tvmc{r}_1=\frac{M}{m+M}\,\tvmc{r}\\
&\tvmc{r}_2=\frac{-m}{m+M}\,\tvmc{r}
\end{empheq}
\end{subequations}
Le centre d'inertie se trouve sur le segment de droite $[AB]$ qui relie les deux astres.
\begin{rmq}{}{}
Le signe dans les expressions de $\tvmc{r}_1$ et $\tvmc{r}_2$ dépend de la convention choisie pour définir $\tvmc{r}$,
c.-à-d. $\tvmc{r}=\pm(\tvmc{r}_1-\tvmc{r}_2)$.
\end{rmq}

\subsection{Relation fondamentale de la dynamique (RFD)}
Le système binaire est isolé,
la somme des forces se réduit à la seule force d'intéraction gravitationnelle entre les deux astres.
Écrivons la RFD dans $\mathcal{R}$ pour chacun de deux sous-systèmes constitués d'un astre.
La force est ici extérieure aux sous-systèmes mais intérieure au système binaire~:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}}_1&=m\,\frac{\dd^2\tvmc{r}_1}{\dd t^2}\\
&=\frac{mM}{m+M}\,\frac{\dd^2[(m+M)\tvmc{r}_1/M]}{\dd t^2}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\qquad\quad \text{et} \quad\qquad\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}}_2&=M\,\frac{\dd^2\tvmc{r}_2}{\dd t^2}\\
&=\frac{-mM}{m+M}\,\frac{\dd^2[(m+M)\tvmc{r}_2/m]}{\dd t^2}
\end{aligned}
\end{equation*}

Ces deux relations amènent à poser la définition suivante~:
\begin{defi}{Masse réduite}{}
Le rapport ayant pour dimension une masse
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
\mu&\overset{\mathrm{def}}{=} \frac{mM}{m+M}
\end{empheq}
est appelée masse réduite.
\end{defi}
Avec cette définition~:
\begin{equation*}
\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}}_1=\mu\,\frac{\dd^2\tvmc{r}}{\dd t^2}\qquad\qquad et \quad\quad\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}}_2=-\mu\,\frac{\dd^2\tvmc{r}}{\dd t^2}
\end{equation*}
La loi de l'action-réaction
\begin{equation*}
\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}}_2=-\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}}_1
\end{equation*}
implique que les deux astres sont gouvernés par la même équation~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}}=\mu\,\frac{\dd^2\tvmc{r}}{\dd t^2}
\end{empheq}
Cette équation coïncide formellement avec celle d'un point matériel de masse $\mu$ et  de vecteur position $\tvmc{r}$,
en mouvement sous l'action de la force extérieure $\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}}$ dirigée vers un point fixe d'un référentiel galiléen.
Toute force dirigée vers un point fixe est dite \emph{centrale}~:
\begin{equation*}
\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}}=F\tvmc{e}_{\rho}
\end{equation*}
Nous pouvons à tout moment passer des rayon vecteurs $\tvmc{r}_1$ et $\tvmc{r}_2$ au rayon vecteur $\tvmc{r}$
à condition de passer des masses $m$ et $M$ à la masse réduite $\mu$, et vice versa.
Si la trajectoire est établie pour le rayon vecteur $\tvmc{r}$,
les trajectoires $\tvmc{r}_1$ et $\tvmc{r}_2$ seront obtenues grâce aux relations \eqref{rho1et2} p.~\pageref{rho1et2}.


Par symétrie du problème et isotropie de l'espace,
chaque force attractive exercée par un astre sur l'autre est dirigée suivant la droite passant par les deux astres,
vers le centre d'inertie du système.
Dans le référentiel $\mathcal{R}$ de centre de masse, ce dernier est un point fixe.
Chaque force étant constamment dirigée vers ce centre fixe, le problème est dit à \emph{force centrale}.
Dans ce référentiel, les forces n'ont de composante que selon le vecteur $\tvmc{e}_\rho$,
et le mouvement est donc plan (aucune force ne permet la sortie de ce plan).
En écrivant ceci on fait l'hypothèse implicite que le moment cinétique de chaque astre se conserve, comme nous allons le voir.
En utilisant l'accélération en coordonnées polaires \eqref{acc_pol} p.~\pageref{acc_pol}, la RFD s'écrit
\begin{align*}
\tvmcmf{F}^{\,\text{ext}}&=\mu\,\frac{\dd^2\tvmc{r}}{\dd t^2}\\
F\tvmc{e}_{\rho}&=\mu\,\frac{\dd^2(\rho\tvmc{e}_\rho)}{\dd t^2}\\
&=\mu\left(\ddot{\rho}-\rho\dot\theta^2\right)\tvmc{e}_\rho
+\mu\left(2\dot\rho\dot\theta+\rho\ddot\theta\right)\tvmc{e}_\theta
\end{align*}
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item la RFD selon $\tvmc{e}_\rho$ donne la première relation suivante
\begin{align}
\mu\left(\ddot{\rho}-\rho\dot\theta^2\right)&=F\notag\\
\mu\ddot{\rho}&=\mu\rho\dot\theta^2+F\label{fmr1}
\end{align}
où $\mu\rho\dot\theta^2$ est la force centrifuge.
\item la RFD selon $\tvmc{e}_\theta$ donne la seconde relation~:
\begin{align*}
2\dot\rho\dot\theta+\rho\ddot\theta&=0\\
2\rho\dot\rho\dot\theta+\rho^2\ddot\theta&=0\\
\frac{\dd }{\dd t}\left(\rho^2\dot\theta\right)&=0
\end{align*}
\end{itemize}
Nous pouvons énoncer le théorème suivant~:
\begin{theo}{Loi des aires}{loi_des_aires}
La relation
\begin{empheq}[box=\maboitetheo]{align*}
\rho^2\dot\theta&=C
\end{empheq}
est appelée loi des aires. $C$ est la constante des aires, de dimensions le carré d'une longueur divisé par un temps $\mathrm L^2\mathrm T^{-1}$.
\end{theo}
La loi des aires s'applique à $\tvmc{r}$, donc à chacun des astres du système binaire.
Elle ne dépend pas du modèle de force, elle est donc valable pour toute force centrale et pas seulement pour la force gravitationnelle.
Nous verrons que selon la \emph{première loi de Kepler},
l'orbite des planètes est une ellipse dont l'un des foyer est le centre de gravité $G$ du système planète-Soleil.
La constante des aires est alors simplement le double de l'aire balayée par unité de temps par le rayon vecteur de la planète,
ce qui justifie son nom.

\begin{figure}[H]
\begin{pspicture}(-4,-2.5)(3.5,3)% aire reservee a l'image
%\psgri\dd (-4,-2.5)(4,3)
\psline{->}(0,0)(3.5,0)
\psline{->}(0,0)(0,2.5)
\rput(3.8,0){$x$}
\rput(0,2.8){$y$}
\rput(-.2,-.2){$o$}
\rput(2.236,.3){$G$}
\rput(.5,-.2){$\tvmc{\imath}$}
\rput(-.2,.5){$\tvmc{\jmath}$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\SpecialCoor
\psellipse(0,0)(3,2)
\psline(2.236;0)(2;-80)
\psline(2.236;0)(2.42;-40)
\psline(2.236;0)(2.42;-140)
\psline(2.236;0)(2.15;-120)
\rput(1;-120){$\rho$}
\rput(2.8;-130){$\rho \dd \theta$}
\rput(1.8;-123){$s_{1}$}
\rput(2;-40){$s_{2}$}
\end{pspicture}
\caption{Aires balayées en des temps égaux}
\label{aire}
\end{figure}

Soit $\dd \mathcal{A}$ l'aire infinitésimale balayée par le rayon vecteur $\rho$ d'un astre en un intervalle de temps infinitésimal $\dd t$.
Cette aire est égale au demi-rectangle de côtés $\rho$ et $\rho \dd \theta$ :
\begin{align*}
\dd \mathcal{A}&=\tfrac{1}{2}\,\rho\times\rho \dd \theta\\
\frac{\dd \mathcal{A}}{\dd t}&=\tfrac{1}{2}\,\rho^2\dot\theta\\
\dd \mathcal{A}&=\tfrac{1}{2}\,Cdt\\
\int_0^{s}\dd \mathcal{A}&=\tfrac{1}{2}\,C\int_0^{\tau} dt
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
s&=\tfrac{1}{2}\,C\tau
\end{empheq}
Les aires $s_{1}$ et $s_{2}$ de la figure~\ref{aire} balayées en des temps égaux sont égales.
Nous énonçons la
\begin{axio}{Deuxième loi de Kepler}{}
Le rayon vecteur d'un astre balaye des surfaces d'aires égales en des temps égaux.
\end{axio}
En une période $T$, le rayon vecteur parcours la surface totale de l'ellipse, d'aire $\pi ab$~:
\begin{equation*}
\int_0^{\pi ab}\dd \mathcal{A}=\tfrac{1}{2}\,C\int_0^{T} dt
\end{equation*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}\label{per}
C&=\frac{2\pi ab}{T}
\end{empheq}
En introduisant la pulsation $\omega$, telle que ${\omega=2\pi/T}$,
\begin{equation*}
C=\omega\,ab
\end{equation*}

\subsection{Conservation du moment cinétique}
En utilisant la vitesse en coordonnées polaires \eqref{vit_pol} p.~\pageref{vit_pol},
le vecteur moment cinétique $\tvmcmf{L}$ de la masse réduite $\mu$ s'écrit~:
\begin{align*}
\tvmcmf{L}&=\tvmc{r}\times \mu\tvmc{v}\\
&=\rho\tvmc{e}_{\rho}\times \mu(\dot\rho\tvmc{e}_\rho+\rho\dot\theta\tvmc{e}_\theta)\\
&=
\begin{pmatrix}
\rho\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\times \mu
\begin{pmatrix}
\dot\rho\\
\rho\dot\theta\\
0
\end{pmatrix}\\
&=\mu\rho^2\dot\theta\,\tvmc{e}_{z}
\end{align*}
Sa dérivée par rapport au temps est égale à la somme des moments des forces extérieures~:
\begin{align*}
\frac{\dd \tvmcmf{L}}{\dd t}&=\rho\tvmc{e}_{\rho}\times F\tvmc{e}_{\rho}\\
&=\tvmc{0}
\end{align*}
Le moment cinétique est donc constant~:
\begin{equation*}
\tvmcmf{L}=\Cste
\end{equation*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}
L&=\mu\rho^2\dot\theta\label{module_L}
\end{empheq}
Notons également la relation
\begin{equation*}
L=\mu C
\end{equation*}
La loi des aires et la deuxième loi de Kepler ne sont autre que la conservation du module du moment cinétique lorsque la force est centrale.
Le théorème de conservation du moment cinétique est plus général et plus puissant puisqu'il implique de plus que la
trajectoire de chaque astre soit une courbe plane, dont le plan orbital est perpendiculaire au vecteur moment cinétique
constant de l'astre, ce plan contenant les vecteurs $\tvmc{e}_{\rho}$ et $\tvmc{e}_{\theta}$.

Servons-nous du module du moment cinétique pour réécrire la RFD selon $\tvmc{e}_{\rho}$ \eqref{fmr1} p.~\pageref{fmr1}~:
\begin{equation*}
\mu\ddot{\rho}=\frac{L^2}{\mu\rho^3}+F
\end{equation*}

\subsection{Force conservative - Conservation de l'énergie mécanique}
Supposons le modèle de force $F$ conservatif, il dérive par rapport à $\rho$ d'une énergie potentielle $E_p$.
Par symétrie du problème, l'énergie potentielle ne dépend explicitement que du rayon vecteur reliant les deux astres.
La RFD selon $\tvmc{e}_{\rho}$ s'écrit~:
\begin{equation}
\mu\ddot{\rho}=\frac{L^2}{\mu\rho^3}-\frac{\dd E_p(\rho)}{\dd \rho}\label{RFD_cons}
\end{equation}
La seule force présente étant conservative, l'énergie mécanique $E$ se conserve.
Le carré de la vitesse \eqref{vit_pol} p.~\pageref{vit_pol} permet d'écrire l'énergie cinétique de la masse réduite $\mu$~:
\begin{align*}
E_c&=\tfrac{1}{2}\,\mu \ntvmc{v}^2\\
&=\tfrac{1}{2}\,\mu\left(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot\theta^2\right)
\end{align*}
On en déduit l'énergie mécanique de la masse $\mu$~:
\begin{align}
E&=\tfrac{1}{2}\mu\left(\dot\rho^2+\rho^2\dot\theta^2\right)+E_p(\rho)\notag\\
&=\tfrac{1}{2}\mu\dot\rho^2+\frac{L^2}{2\mu\rho^2}+E_p(\rho)\label{eq_cons_E}
\end{align}
\begin{rmq}{}{}
Cette équation différentielle est la relation \eqref{RFD_cons} intégrée une première fois par rapport au temps.
En effet, dérivons \eqref{eq_cons_E} par rapport au temps~:
\begin{align*}
\mu\dot\rho\ddot\rho-\frac{L^2\dot\rho}{\mu\rho^3}+\frac{\dd E_p(\rho)}{\dd \rho}\frac{\dd \rho}{\dd t}&=\frac{\dd E}{\dd t}\\
\mu\ddot\rho-\frac{L^2}{\mu\rho^3}+\frac{\dd E_p(\rho)}{\dd \rho}&=0
\end{align*}
\end{rmq}

\subsection{Intégration de l'équation différentielle du mouvement}
La relation \eqref{eq_cons_E} est une intégrale première de la RFD selon $\tvmc{e}_{\rho}$ \eqref{RFD_cons}.
Elle s'intègre par séparation des variables et donne la solution générale au problème sous la forme $t=t(\rho)$~:
\begin{align*}
\tfrac{1}{2}\mu\dot\rho^2&=E-E_p(\rho)-\tfrac{1}{2}\mu\rho^2\dot\theta^2\\
\frac{\dd \rho}{\dd t}&=\pm\sqrt{\tfrac{2}{\mu}[E-E_p(\rho)]-\rho^2\dot\theta^2}
\end{align*}
Avec le module du moment cinétique, \eqref{module_L} p.~\pageref{module_L}~:
\begin{equation}
\frac{\dd \rho}{\dd t}=\pm\sqrt{\frac{2}{\mu}[E-E_p(\rho)]-\frac{L^2}{\mu^2\rho^2}}\label{drho/dt}
\end{equation}
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item lorsque $\rho$ est croissant, $\rho(t_0)<\rho(t)$ et $\dd \rho/dt\geqslant0$. Or $\dd t>0$ donc $\dd \rho\geqslant0$.
\begin{align}
\dd \rho&=\sqrt{\frac{2}{\mu}[E-E_p(\rho)]-\frac{L^2}{\mu^2\rho^2}}\dd t\notag\\
t-t_0&=\int_{\rho(t_0)}^{\rho(t)}\frac{\dd \rho}{\sqrt{\frac{2}{\mu}[E-E_p(\rho)]-\frac{L^2}{\mu^2\rho^2}}}\label{t_de_rho}
\end{align}
\item lorsque $\rho$ est décroissant, $\rho(t_0)>\rho(t)$ et $\dd \rho/dt\leqslant0$. Or $\dd t>0$ donc $\dd \rho\leqslant0$.
\begin{align*}
\dd \rho&=-\sqrt{\frac{2}{\mu}[E-E_p(\rho)]-\frac{L^2}{\mu^2\rho^2}}\dd t\\
t-t_0&=\int_{\rho(t_0)}^{\rho(t)}\frac{-\dd \rho}{\sqrt{\frac{2}{\mu}[E-E_p(\rho)]-\frac{L^2}{\mu^2\rho^2}}}
\end{align*}
\end{enumerate}

Cette relation donne de façon implicite le rayon vecteur en fonction du temps.
Pour obtenir l'équation de la trajectoire $\theta=\theta(\rho)$, reprenons le module du moment cinétique, \eqref{module_L} p.~\pageref{module_L}~: 
\begin{equation*}
\dd \theta=\frac{L}{\mu\rho^2}\dd t
\end{equation*}
On pose $\theta(t=t_0)=\theta_0$.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item lorsque $\rho$ est croissant, en remplaçant $\dd t$ par $\dd \rho$ grâce à \eqref{drho/dt}~:
\begin{equation}
\theta-\theta_0=\int_{\rho(\theta_0)}^{\rho(\theta)}\frac{\frac{L}{\rho^2}\dd \rho}{\sqrt{2\mu[E-E_p(\rho)]-L^2/\rho^2}}\label{theta_de_rho}
\end{equation}
\item lorsque $\rho$ est décroissant
\begin{equation*}
\theta-\theta_0=\int_{\rho(\theta_0)}^{\rho(\theta)}\frac{-\frac{L}{\rho^2}\dd \rho}{\sqrt{2\mu[E-E_p(\rho)]-L^2/\rho^2}}
\end{equation*}
\end{enumerate}

\subsection{Potentiel effectif}
La RFD selon $\tvmc{e}_{\rho}$ \eqref{RFD_cons} p.~\pageref{RFD_cons} s'écrit~:
\begin{equation*}
\mu\ddot{\rho}=-\frac{\dd }{\dd \rho}\left[\frac{L^2}{2\mu\rho^2}+E_p(\rho)\right]
\end{equation*}
Le mouvement radial est similaire à un mouvement à une dimension (avec $\rho>0$) dans un potentiel dit effectif (ou efficace).
\begin{defi}{Potentiel effectif}{}
On appelle potentiel effectif, le potentiel~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
V_{eff}(\rho)&\overset{\mathrm{def}}{=}\frac{L^2}{2\mu\rho^2}+E_p(\rho)
\end{empheq}
\end{defi}
où $L^2/(2\mu\rho^2)$ est appelé \emph{énergie centrifuge}.
La RFD selon de ce mouvement linéaire s'écrit
\begin{equation*}
\mu\ddot{\rho}=-\frac{\dd V_{eff}(\rho)}{\dd \rho}
\end{equation*}
et l'énergie mécanique du mouvement à une dimension a pour expression~:
\begin{equation*}
E=\tfrac{1}{2}\mu\dot\rho^2+V_{eff}
\end{equation*}
\subsection{Étude de la trajectoire}
Lorsque les limites du domaine du mouvement sont atteintes, l'énergie cinétique radiale est nulle et l'énergie potentielle effective est donc maximale.
Toute l'énergie mécanique du mouvement linéaire est sous forme potentielle~:
\begin{equation*}
\frac{L^2}{2\mu\rho^2}+E_p(\rho)=E
\end{equation*}
La vitesse radiale $\dot\rho$ est alors nulle mais pas la vitesse angulaire $\rho\dot\theta$, et la distance radiale $\rho$ est extremale.
En ces points de rebroussement appelés apsides, périapside pour le point de la trajectoire le plus proche de l'autre astre,
et apoapside pour celui le plus loin,
la fonction $\rho(t)$ de croissante devient décroissante ou inversement.


Si le domaine de variation de $\rho$ n'a qu'une limite inférieure, $\rho\geqslant\rho_{min}$, la trajectoire commence à l'infini et finit à l'infini.
Si le domaine admet deux limites, $\rho_{max}\geqslant\rho\geqslant\rho_{min}$, le mouvement est fini et compris entre les cercles $\rho_{min}$ et $\rho_{max}$.
Cependant cela ne signifie pas que la trajectoire est fermée,
elle ne repasse pas forcément exactement par les mêmes points avec le même vecteur vitesse au bout d'un temps fini.
Entre deux passages par $\rho_{max}$ en passant par $\rho_{min}$, le rayon vecteur a tourné d'un angle 
\begin{equation*}
\Delta\theta=2\int_{\rho_{min}}^{\rho_{max}}\frac{\tfrac{L}{\rho^2}\dd \rho}{\sqrt{2\mu[E-E_p(\rho)]-L^2/\rho^2}}
\end{equation*}
Pour que la trajectoire soit fermée cet angle doit être une fraction rationnelle de $2\pi$, de la forme~:
\begin{equation*}
\Delta\theta=\frac{m}{n}\,2\pi
\end{equation*}
avec $m$ et $n$ entiers. Ainsi après $n$ période de temps (par exemple $n$ passages en $\rho_{max}$), l'angle aura tourné de $m$ fois $2\pi$,
et la trajectoire se refermera. 
En général, pour une forme quelconque de l'énergie potentielle $E_p$, l'angle n'est pas une fraction rationnelle de $2\pi$ et la trajectoire n'est pas fermée.
Elle remplit tout l'anneau compris entre $\rho_{min}$ et $\rho_{max}$.
Il n'existe que deux types de champs centraux pour lesquels les trajectoires sont fermées, les champs en $1/\rho$ et en $\rho^2$.
En général donc, la trajectoire a la forme suivante~
\begin{figure}[H]
\begin{pspicture}(-3,-3.5)(3,3.1)% aire reservee a l'image
%\psgri\dd (-3,-3.5)(3,3.1)
\psset{xunit=1cm, yunit=1cm, plotpoints=3000}
    \psplot[polarplot=true, arrows=->]{150}{2930}% 0 degres
      {1 .83333 1.2 .84 .81 x mul cos mul add mul div}% 1 1/p p e/p k x cos
\end{pspicture}
\caption{Trajectoire dans un champ central quelconque}
\end{figure}
Le champ en $1/\rho$ est celui de la gravitation non relativiste et celui en $\rho^2$ est celui de l'oscillateur spatial.


Si l'on prend $\theta=\theta_0$ aux apsides,
les segments de trajectoire adjacents de chaque côté de ces points ne diffèrent que par le signe de $\theta$~:
\begin{equation*}
\theta_{min}-\theta_{max}=\int_{\rho_{min}}^{\rho_{max}}\frac{\tfrac{L}{\rho^2}\dd \rho}{\sqrt{2\mu[E-E_p(\rho)]-L^2/\rho^2}}
\end{equation*}
et
\begin{align*}
\theta_{max}-\theta_{min}&=\int_{\rho_{max}}^{\rho_{min}}\frac{\tfrac{L}{\rho^2}\dd \rho}{-\sqrt{2\mu[E-E_p(\rho)]-L^2/\rho^2}}\\
\theta_{min}-\theta_{max}&=-\int_{\rho_{min}}^{\rho_{max}}\frac{\tfrac{L}{\rho^2}\dd \rho}{\sqrt{2\mu[E-E_p(\rho)]-L^2/\rho^2}}
\end{align*}
La trajectoire est donc symétrique de part et d'autre de $\theta=\theta_0$.
Par conséquent toute la trajectoire est symétrique par répétition de l'arc de trajectoire de $\rho_{min}$ à $\rho_{max}$,
puis de $\rho_{max}$ à $\rho_{min}$, puis de $\rho_{min}$ à $\rho_{max}$, etc.
Cela concerne également les trajectoires infinies formées de deux branches symétriques, allant de l'infini à $\rho_{min}$ puis de $\rho_{min}$ à l'infini.

\subsection{Cas où le rayon vecteur tend vers zéro}
Dans l'équation de conservation de l'énergie mécanique \eqref{eq_cons_E} p.~\pageref{eq_cons_E}, l'énergie cinétique étant toujours positive~:
\begin{align*}
0&<E-\frac{L^2}{2\mu\rho^2}-E_p(\rho)\\
\rho^2E_p(\rho)&<\rho^2E-\frac{L^2}{2\mu}
\end{align*}
Pour $L\neq0$, c.-à-d. pour une trajectoire qui n'est pas rectiligne dirigée vers le centre de gravité commun,
cette dernière relation est toujours vraie, en particulier pour un rayon vecteur tendant vers zéro.
L'énergie mécanique étant constante, le terme associé tend vers zéro~:
\begin{align*}
\lim_{\rho\to0}[\rho^2E_p(\rho)]&<\lim_{\rho\to0}\rho^2E-\lim_{\rho\to0}\frac{L^2}{2\mu}\\
\lim_{\rho\to0}[\rho^2E_p(\rho)]&<-\frac{L^2}{2\mu}
\end{align*}
Le terme de droite est constant et négatif, par conséquent celui de gauche ne peut tendre vers zéro.
Donc $\rho$ ne peut tendre vers zéro que si $E_p(\rho)$ tend vers $-\infty$ plus vite de $\rho^2$ vers zéro.
Deux possibilités~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item soit $E_p(\rho)=-\alpha/\rho^2$ avec $\alpha>L^2/(2\mu)$
\item soit $E_p(\rho)=-A/r^n$ avec $A$ une constante positive quelconque et $n>2$
\end{itemize}
En général donc, l'existence d'une énergie centrifuge empêche les corps de rejoindre le centre de gravité commun.

\section{Force de gravitation}\label{fg}
\subsection{Relation fondamentale de la dynamique}
Reprenons la RFD selon le rayon vecteur \eqref{fmr1} p.~\pageref{fmr1} et la loi des aires \eqref{th:loi_des_aires} p.~\pageref{th:loi_des_aires} valables pour tout modèle de force centrale.
Le modèle de Hooke pour la force de gravitation est en raison inverse du carré de la distance des deux astres (qui varie dans le temps).
Notons $\mathcal G$ la constante de gravitation de dimensions $\mathrm L^3\mathrm T^{-2}\mathrm M^{-1}$.
La RFD donne les deux équations différentielles~:

\begin{equation*}
\begin{dcases}
m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot\theta^2\right)=-\mathcal G\,\frac{mM}{\rho^2}\\
\rho^2\dot\theta=C
\end{dcases}
\qquad\Rightarrow\qquad
\begin{dcases}
\rho^3\ddot{\rho}-\rho^4\dot\theta^2=-\mathcal GM\rho\\
\rho^4\dot\theta^2=C^2
\end{dcases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\rho^3\ddot{\rho}+\mathcal GM\rho-C^2=0
\end{equation*}
En raisonnant sur l'énergie plutôt que sur les forces,
nous obtiendrons la même équation différentielle intégrée une première fois par rapport au temps.
En effet, la RFD est équivalente à la conservation de l'énergie mécanique
lorsque les forces dérivent d'un potentiel.
Le théorème de l'énergie cinétique permet de travailler sur la vitesse
par l'intermédiaire de l'énergie cinétique, plutôt que sur l'accélération.
\subsection{Force conservative - Conservation de l'énergie mécanique}
Cherchons le potentiel de la force gravitationnelle exercée sur un astre,
autrement dit l'énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}(\rho)$ de cet astre dans le champ de gravitation de l'autre astre~:
\begin{align*}
-\mathcal G\,\frac{mM}{\rho^2}\,\tvmc{e}_\rho&=-\grad E_{pp}(\rho)\\
&=-\frac{\partial E_{pp}(\rho)}{\partial\rho}\,\tvmc{e}_\rho
\end{align*}
On pose $\alpha=\mathcal GmM$ constante toujours positive~:
\begin{equation*}
\frac{\alpha}{\rho^2}=\frac{\dd E_{pp}(\rho)}{\dd \rho}
\end{equation*}
Seule une différence d'énergie potentielle intervient si bien qu'elle est toujours définie à une constante additive près.
Ajuster la valeur de cette constante nous permet de définir le zéro de l'énergie potentielle où cela nous convient le mieux.
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item en fixant les bornes d'intégration~:
\begin{align*}
\dd E_{pp}&=\frac{\alpha}{\rho^2}\dd \rho\\
\int_{\rho=+\infty}^{\rho}\dd E_{pp}&=\alpha\int_{\rho=+\infty}^{\rho}\frac{\dd \rho}{\rho^2}\\
\left[E_{pp}\right]_{\rho=+\infty}^{\rho}&=-\alpha\left[\frac{1}{\rho}\right]_{\rho=+\infty}^{\rho}\\
E_{pp}(\rho)&=-\frac{\alpha}{\rho}
\end{align*}
\item en raisonnant sur la constante d'intégration~:
\begin{align*}
\int \dd E_{pp}&=\alpha\int\frac{\dd \rho}{\rho^2}\\
E_{pp}&=-\frac{\alpha}{\rho}+\cste
\end{align*}
Prendre une constante nulle revient à poser $E_{pp}=0$ en ${\rho=+\infty}$.
\end{itemize}
\begin{rmq}{}{}
Le potentiel effectif a pour expression
\begin{equation*}
V_{eff}(\rho)=\frac{L^2(m)}{2m\rho^2}-\frac{\alpha}{\rho}
\end{equation*}
\end{rmq}

Avec ce modèle d'énergie potentielle, le cas général \eqref{eq_cons_E} p.~\pageref{eq_cons_E} devient~:
\begin{align}
\tfrac{1}{2}\mu\dot\rho^2+\frac{L^2}{2\mu\rho^2}-\frac{\alpha}{\rho}&=E\notag\\
\mu^2\dot\rho^2+\frac{L^2}{\rho^2}-\frac{2\mu\alpha}{\rho}&=2E\mu\label{equadiff}
\end{align}

D'après \eqref{t_de_rho} p.~\pageref{t_de_rho}, l'équation $t=t(\rho)$ a pour expression~:
\begin{equation*}
t-t_0=\int_{\rho(t_0)}^{\rho(t)}\frac{\pm \dd \rho}{\sqrt{\frac{2}{\mu}\left(E+\frac{\alpha}{\rho}\right)-\frac{L^2}{\mu^2\rho^2}}}
\end{equation*}

D'après \eqref{theta_de_rho} p.~\pageref{theta_de_rho}, l'équation du mouvement $\rho=\rho(\theta)$ a pour expression~:
\begin{equation*}
\theta-\theta_0=\int_{\rho(\theta_0)}^{\rho(\theta)}\frac{\pm\frac{L}{\rho^2}\dd \rho}{\sqrt{2\mu\left(E+\frac{\alpha}{\rho}\right)-\frac{L^2}{\rho^2}}}
\end{equation*}
Nous pouvons chercher à résoudre cette intégrale ou travailler directement sur l'équation différentielle.

\subsection{Intégration de l'équation différentielle du mouvement}
Pour intégrer l'équation différentielle et obtenir l'équation de la trajectoire de la forme ${\rho=\rho(\theta)}$,
nous supprimons le temps grâce à \eqref{module_L} p.~\pageref{module_L}~: 
\begin{align}
L&=\mu\rho^2\,\frac{\dd \theta}{\dd t}\notag\\
dt&=\frac{\mu\rho^2\dd \theta}{L}\label{lda}
\end{align}
Le premier terme de l'équation différentielle \eqref{equadiff} s'écrit~:
\begin{align*}
\dot{\rho}^2&=\left(\frac{\dd \rho}{\dd t}\right)^2\\
&=\frac{L^2}{\mu^2}\left(\frac{\dd \rho}{\rho^2\dd \theta}\right)^2
\end{align*}
Or,
\begin{equation*}
\frac{\dd \rho^{-1}}{\dd \theta}=-\rho^{-2}\,\frac{\dd \rho}{\dd \theta}
\end{equation*}
donc,
\begin{equation*}
\mu^2\dot{\rho}^2=L^2\left(\frac{\dd \rho^{-1}}{\dd \theta}\right)^2
\end{equation*}
L'équation différentielle \eqref{equadiff} p.~\pageref{equadiff} devient~:
\begin{align*}
L^2\left(\frac{\dd \rho^{-1}}{\dd \theta}\right)^2+\frac{L^2}{\rho^2}-\frac{2\mu\alpha}{\rho}&=2E\mu\\
L^2\left(\frac{\dd \rho^{-1}}{\dd \theta}\right)^2+\left(\frac{L}{\rho}-\frac{\mu\alpha}{L}\right)^2-\left(\frac{\mu\alpha}{L}\right)^2&=2E\mu
\end{align*}
Nous n'avons plus que des termes en $\rho^{-1}$.
Effectuons un premier changement de variable
\begin{equation*}
\mathrm{r}=L\rho^{-1}
\end{equation*}
L'équation différentielle devient~:
\begin{equation*}
\left(\frac{\dd \mathrm{r}}{\dd \theta}\right)^2+\left(\mathrm{r}-\frac{\mu\alpha}{L}\right)^2=2E\mu+\left(\frac{\mu\alpha}{L}\right)^2
\end{equation*}
Posons la constante $A=2E\mu+\left(\frac{\mu\alpha}{L}\right)^2$ et effectuons un deuxième changement de variable~:
\begin{equation*}
\mathsf{r}=\mathrm{r}-\frac{\mu\alpha}{L}
\end{equation*}
L'équation différentielle devient~:
\begin{align*}
\left(\frac{\dd \mathsf{r}}{\dd \theta}\right)^2+\mathsf{r}^2&=A\\
\left[\frac{\dd }{\dd \theta}\left(\frac{\mathsf{r}}{\sqrt A}\right)\right]^2+\left(\frac{\mathsf{r}}{\sqrt A}\right)^2&=1
\end{align*}
Effectuons un troisième et dernier changement de variable
\begin{equation*}
r=\frac{\mathsf{r}}{\sqrt A}
\end{equation*}
L'équation différentielle devient~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}\label{arcos}
\left(\frac{\dd r}{\dd \theta}\right)^2+r^2&=1
\end{empheq}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item Première méthode de résolution
\begin{align*}
\frac{\dd r}{\dd \theta}&=\pm\left(1-r^2\right)^{1/2}\\
\dd \theta&=\pm\frac{\dd r}{\left(1-r^2\right)^{1/2}}
\end{align*}
Si le signe est positif cette équation s'intègre en arcosinus plus un angle constant $\phi$~:
\begin{align*}
\theta&=\arccos(r)+\phi\\
r&=\cos(\theta-\phi)
\end{align*}
Si le signe est négatif cette équation s'intègre en arcsinus plus un angle constant $\beta$~:
\begin{align*}
\theta&=\arcsin(r)+\beta\\
r&=\sin(\theta-\beta)
\end{align*}
Pour $\beta=\phi-\pi/2$,
\begin{align*}
r&=\sin(\theta-\phi+\pi/2)\\
&=\cos(\theta-\phi)
\end{align*}
Les solutions étant identiques, on conserve ${r=\cos(\theta-\phi)}$.

\item Deuxième méthode de résolution

Dérivons par rapport à $\theta$ :
\begin{align*}
\frac{\dd }{\dd \theta}\left[\left(\frac{\dd r}{\dd \theta}\right) ^2+r^2\right]=0&\\
2\,\frac{\dd r}{\dd \theta}\,\frac{\dd^2r}{\dd \theta^2}+2\,r\,\frac{\dd r}{\dd \theta}=0&\\
\frac{\dd^2r}{\dd \theta^2}+r=0&\\
r=\cos(\theta-\phi)&
\end{align*}
\end{enumerate}

Revenons à la variable $\rho$ :
\begin{align*}
\mathsf{r}&=\sqrt A\cos(\theta-\phi)\\
\mathrm{r}&=\frac{\mu\alpha}{L}+\sqrt A\cos(\theta-\phi)\\
\frac{L}{\rho}&=\frac{\mu\alpha}{L}\left[1+\frac{L}{\mu\alpha}\sqrt A\cos(\theta-\phi)\right]\\
\rho&=\frac{L^2}{\mu\alpha}\left[1+\frac{L}{\mu\alpha}\sqrt A\cos(\theta-\phi)\right]^{-1}
\end{align*}
On pose la constante
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}
p&=\frac{L^2}{\mu\alpha}\label{parametre}
\end{empheq}
et l'on reconnait une section conique (section d'un cône par un plan) de \emph{paramètre} $p$,
d'équation polaire ayant son foyer à l'origine des coordonnées
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}
\rho&=\frac{p}{1+e\cos(\theta-\phi)}\label{conique}
\end{empheq}
et d'\emph{excentricité}
\begin{equation*}
e=\frac{L}{\mu\alpha}\sqrt{2E\mu+\left(\frac{\mu\alpha}{L}\right)^2}
\end{equation*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
e&=\sqrt{1+\frac{2EL^2}{\mu\alpha^2}}
\end{empheq}

\section{Étude de la trajectoire}
\subsection{L'excentricité e}
L'excentricité est sans dimension. Elle est positive ou nulle et définit la forme de l'orbite~:
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item Si $E=-\mu\alpha^2/\left(2L^2\right)$ alors $e=0$ et $\rho=p$, l'orbite est un cercle, la trajectoire est fermée.
Nous voyons que $p$ est le paramètre de taille de l'orbite
\item Si $-\mu\alpha^2/\left(2L^2\right)<E<0$ alors $0<e<1$, l'orbite est une ellipse, la trajectoire est fermée
\item Si $E=0$ alors $e=1$, la trajectoire est une parabole
\item Si $E>0$ alors $e>1$, la trajectoire est une hyperbole
\end{itemize}
\begin{rmq}{}{}
Pour un champ de répulsion la trajectoire est toujours hyperbolique.
\end{rmq}
Notons également la relation
\begin{align*}
e^2-1&=\frac{2EL^2}{\mu\alpha^2}\\
1-e^2&=\frac{-2EL^2}{\mu\alpha^2}
\end{align*}
et puisque l'énergie mécanique est strictement négative pour une orbite elliptique~:
\begin{equation}
1-e^2=\frac{2|E|L^2}{\mu\alpha^2}\label{excen}
\end{equation}

\subsection{L'ellipse}
Pour $0<e<1$ (donc pour $E<0$) et pour $\phi=0$, \eqref{conique} p.~\pageref{conique} est une ellipse centrée
sur $o(-c,0)$ dans le repère $(F,x,y)$, où $F$ et $F'$ sont les foyers de l'ellipse.

\begin{figure}[H]
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,3.5)% aire reservee a l'image
%\psgri\dd (-6,-3)(6,3.5)
\psline{->}(-4.5,0)(4.5,0)
\psline{->}(2.236,-2.5)(2.236,3)
\rput(4.8,0){$x$}
\rput(2.236,3.3){$y$}
\rput(0,.3){$o$}
\rput(1.9,-.3){$F$}
\rput(-2.136,.4){$F'$}
\SpecialCoor
\psellipse(0,0)(3,2)
\psline(2.236,0)(1.07,1.853)
\rput(1.2,2.3){$M(x,y)$}
\rput(1.4,.8){$\rho$}
\psarc{->}(2.236,0){.5}{0}{123}
\rput(2.6,.6){$\theta$}
\rput(-2.236,0){+}
\psline{<->}(0,0)(2.236,0)
\rput(1.1,-.2){$c$}
\rput(-.3,-1){$b$}
\rput(-1.5,-.3){$a$}
\psline{<->}(0,0)(0,-2)
\psline{<->}(0,0)(-3,0)
\end{pspicture}
\caption{Orbite elliptique}
\label{ell}
\end{figure}

L'angle $\theta$ est appelé \emph{anomalie vraie}.
Nous pouvons énoncer la
\begin{axio}{Première loi de Kepler}{}
Les planètes décrivent des ellipses dont le centre de gravité du système planète-Soleil occupe l'un des foyers.
\end{axio}

\begin{rmq}{}{}
Le Soleil décrit également une ellipse dont le centre de gravité du système planète-Soleil occupe l'un des foyers.
À l'exception de Jupiter le centre de gravité du système planète-Soleil est dans le Soleil.
\end{rmq}

Le couple $(p,e)$ définit une ellipse de manière unique, sa taille et sa forme.
En coordonnées rectangulaires, l'équation d'une ellipse dont le grand axe est sur l'axe des abscisses, s'écrit~:
\begin{equation*}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\end{equation*}
Le couple formé du demi-grand axe $a$ et du demi-petit axe $b$ permet donc aussi de définir parfaitement une ellipse.
En étudiant le passage des coordonnées polaires $(\rho,\theta)$ vers les coordonnées rectangulaires $(x,y)$
de l'équation d'une même ellipse, nous obtenons les relations suivantes~:
\begin{subequations}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}
&p=\frac{b^2}{a}\label{pab}\\
&e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\label{eab}
\end{empheq}
\end{subequations}
\subsection{Orientation de l'ellipse}
À partir de l'équation polaire d'une conique \eqref{conique} p.~\pageref{conique}, pour $\theta=\phi+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$
nous avons~:
\begin{align*}
\theta-\phi &=2k\pi\\
\cos(\theta-\phi)&=\cos(2k\pi)\\
&=1
\end{align*}
si bien que
\begin{align*}
\rho&=\frac{p}{1+e}\\
&=\rho_{min}
\end{align*}
Nous sommes au \emph{périhélie}, point de l'orbite le plus proche du Soleil.
Le grand axe de l'ellipse fait donc un angle $\phi$ avec l'axe des abscisses.

\begin{figure}[H]
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,4)% aire reservee a l'image
%\psgri\dd (-6,-3)(6,4)
\rput{0}(2.160,.579){
\psline{->}(-1,0)(3,0)
\psline{->}(0,-2)(0,2)
\rput(3.3,0){$x$}
\rput(0,2.3){$y$}
\psarc{->}(0,0){1.5}{0}{15}
\rput(1.8;7){$\phi$}
}
\put(1.8,1.2){$\theta$}
\rput(1.1,1.2){$\rho$}
\rput{15}(0,0){
    \psline[linestyle=dotted](-3.5,0)(4.5,0)
    \psline[linestyle=dotted](0,-2.5)(0,2.5)
    \SpecialCoor
    \psellipse(0,0)(3,2)
    \psline(2.236,0)(1.07,1.853)
    \psarc{->}(2.236,0){.5}{-15}{123}
}
\end{pspicture}
\caption{Orientation de l'ellipse}
\label{elli}
\end{figure}

Pour $\theta=\phi+(2k+1)\pi,\ k\in\mathbb{Z}$ nous avons~:
\begin{align*}
\theta-\phi &=\pi+2k\pi\\
\cos(\theta-\phi)&=-1\\
\rho&=\frac{p}{1-e}\\
&=\rho_{max}
\end{align*}
Nous sommes à l'\emph{aphélie}, point de l'orbite le plus éloigné du Soleil.


L'orbite de la Terre autour du Soleil est dans un plan appelé \emph{plan de l'écliptique},
qui contient à chaque instant la Terre et le Soleil.
La révolution terrestre donne lieu au mouvement apparent annuel du Soleil à travers les constellations du zodiac.
Le plan de l'écliptique fait un angle de $\ang{23;26}$ avec le plan de l'équateur terrestre, et leur intersection forme une droite dans l'espace.
Chaque année vers le 21 septembre, le Soleil passe à travers le plan de l'équateur terrestre en allant du Nord au Sud.
On pose $\theta=\ang{0}$ à ce moment précis appelé \emph{équinoxe d'automne} (EA), en retour cela fixe la valeur $\phi\approx\ang{103}$.
Sur la figure \ref{elli2} l'axe des abscisses est confondu avec la droite d'intersection des deux plans.
Dans l'hémisphère Nord, le Soleil de midi monte de moins en moins haut dans le ciel
et en $\theta=\pi/2$ vers le 21 décembre il atteint son point le plus bas dans le ciel,
au \emph{solstice d'hiver} (SH). Le Soleil de midi remonte alors dans le ciel
et en $\theta=\pi$ vers le 21 mars il passe à nouveau à travers le plan de l'équateur terrestre,
cette fois en allant du Sud au Nord, à \emph{l'équinoxe de printemps} (EP).
La droite passant par les équinoxes est donc la droite d'intersection des deux plans.
Le Soleil de midi continue de monter et en $\theta=3\pi/2$ vers le 21 juin il atteint son point le plus haut dans le ciel, au \emph{solstice d'été} (SE).

\begin{figure}[H]
\begin{pspicture}(-6,-4)(6,5)% aire reservee a l'image
%\psgri\dd (-6,-4)(6,5)
\rput{0}(-.503,2.179){
    \psline{->}(-2,0)(3,0)
    \psline{->}(0,-6)(0,2)
    \rput(3.3,0){$x$}
    \rput(0,2.3){$y$}
    \rput(-1.5,.3){$EP$}
    \rput(2,.3){$EA$}
    \rput(.4,1.2){$SH$}
    \rput(-.4,-5.2){$SE$}
    \psarc{->}(0,0){.5}{0}{103}
    \rput(.7;50){$\phi$}
}
\rput{103}(0,0){
    \psline[linestyle=dotted](-3.5,0)(4.5,0)
    \psline[linestyle=dotted](0,-2.5)(0,2.5)
    \SpecialCoor
    \psellipse(0,0)(3,2)
}
\end{pspicture}
\caption{Orientation de l'ellipse terrestre}
\label{elli2}
\end{figure}

\subsection{Demi-grand axe $a$}\label{demi-grand_axe}
Soit $2a$ la longueur du grand axe de l'ellipse~:
\begin{align*}
a&=\frac{\rho_{min}+\rho_{max}}{2}\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{p}{1+e}+\frac{p}{1-e}\right)\\
&=\frac{p}{1-e^2}
\end{align*}
Avec les expressions du paramètre \eqref{parametre} p.~\pageref{parametre} et de l'excentricité \eqref{excen} p.~\pageref{excen}~:
\begin{align}
a&=\frac{L^2}{\mu\alpha}\times\frac{\mu\alpha^2}{2|E|L^2}\notag\\
&=\frac{\alpha}{2|E|}\label{grand}
\end{align}
On note également la relation
\begin{equation}\label{pa}
p=a(1-e^2)
\end{equation}
Exprimons le rayon minimum en fonction du demi-grand axe~:
\begin{align*}
\rho_{min}&=\frac{p}{1+e}\\
&=\frac{a(1-e^2)}{1+e}\\
&=a(1-e)
\end{align*}
De même pour le rayon maximum~:
\begin{align*}
\rho_{max}&=\frac{p}{1-e}\\
&=\frac{a(1-e^2)}{1-e}\\
&=a(1+e)
\end{align*}

\subsection{Demi-petit axe $b$}\label{b}
En reprenant l'excentricité en fonction de $a$ et $b$, \eqref{eab} p.~\pageref{eab}, et l'expression de l'excentricité \eqref{excen} p.~\pageref{excen}
\begin{align}
e^2-1&=-\frac{b^2}{a^2}\notag\\
b^2&=a^2\left(1-e^2\right)\notag\\
&=a^2\times\frac{2|E|L^2}{\mu\alpha^2}\notag\\
&=\frac{aL^2}{\mu\alpha}\label{dpab}
\end{align}
Avec l'expression du demi-grand axe \eqref{grand} p.~\pageref{grand}~:
\begin{align*}
b^2&=\frac{\alpha}{2|E|}\times\frac{L^2}{\mu\alpha}\\
b&=\frac{L}{\sqrt{2|E|\mu}}
\end{align*}

\subsection{Période de révolution $T$}\label{periode}
\`A partir du carré de \eqref{per} p.~\pageref{per} et de $b$ en fonction de $a$, \eqref{dpab} p.~\pageref{dpab},
nous évaluons la période de révolution en fonction du demi-grand axe $a$~:
\begin{align*}
T^2&=\frac{4\pi^2 a^2b^2}{C^2}\\
&=\frac{4\pi^2a^{3}L^2\mu^2}{L^2\mu\alpha}
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}\label{T}
T^2&=\frac{4\pi^2a^{3}\mu}{\alpha}
\end{empheq}
Ceci constitue la~:
\begin{axio}{Troisième loi de Kepler}{}
Le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du demi-grand axe de l'ellipse.
\end{axio}
Nous avons aussi
\begin{align*}
T&=\frac{2\pi ab\mu}{L}\\
&=\frac{2\pi\mu}{L}\times\frac{\alpha}{2|E|}\times\frac{L}{\sqrt{2|E|\mu}}\\
&=\pi\alpha\sqrt{\frac{\mu}{2|E|^3}}
\end{align*}
La période ne dépend donc que de l'énergie lorsque les masses sont fixées.

\section{Equations paramétriques}
\subsection{Angle en fonction du temps}
Les équations paramétriques du temps vont nous permettre de connaître la position de la planète en fonction du temps.\\
Cherchons tout d'abord ${\theta=\theta(t)}$.
En utilisant la loi des aires~\eqref{lda} p.~\pageref{lda} et l'équation de l'orbite \eqref{conique} p.~\pageref{conique} :
\begin{align*}
\dd t&=\frac{\rho^2}{C}\,\dd \theta\\
\dd t&=\frac{p^2\dd \theta}{C[1+e\cos(\theta-\phi)]^2}\\
\int_0^{\tau}dt&=\frac{p^2}{C}\int_{\phi}^{\vartheta}\frac{\dd \theta}{[1+e\cos(\theta-\phi)]^2}
\end{align*}
où l'on a pris comme condition initiale que la planète est au périhélie, c.-à-d. $\theta=\phi$ à $t=0$.
Le membre de droite s'intègre en termes de fonctions élémentaires. Le résultat est trouvé grâce au logiciel de calcul formel Maxima.
Pour une trajectoire elliptique, $0<e<1$, nous avons~:
\begin{align*}
\tau=\frac{2}{(1-e^2)^{3/2}}&\arctan\left\{\frac{(1-e)\sin (\vartheta-\phi)}{\sqrt{1-e^2}[\cos (\vartheta-\phi)+1]}\right\}\\
&\qquad\qquad\qquad-\frac{2e\sin(\vartheta-\phi)}{\frac{(e^{3}-e^2-e+1)\sin^2(\vartheta-\phi)}{[\cos (\vartheta-\phi)+1]}
-(e^{3}+e^2-e-1)[\cos(\vartheta-\phi)+1]}
\end{align*}
Cette relation est trop complexe pour que son inversion ${\theta=\theta(t)}$, ne soit possible analytiquement.

\subsection{Rayon en fonction du temps}
D'après \eqref{t_de_rho} p.~\pageref{t_de_rho}, l'équation $t=t(\rho)$ a pour expression~:
\begin{align*}
t-t_0&=\int_{\rho(t_0)}^{\rho(t)}\frac{\pm \dd \rho}{\sqrt{\frac{2}{\mu}\left(E+\frac{\alpha}{\rho}\right)-\frac{L^2}{\mu^2\rho^2}}}\\
&=\sqrt{\frac{\mu}{2}}\int_{\rho(t_0)}^{\rho(t)}\frac{\pm\rho \dd \rho}{\sqrt{E\rho^2+\alpha\rho-\frac{2L^2}{\mu}}}\\
&=\sqrt{\frac{\mu}{2|E|}}\int_{\rho(t_0)}^{\rho(t)}\frac{\pm\rho \dd \rho}{\sqrt{-\rho^2+\frac{\alpha\rho}{|E|}-\frac{L^2}{2\mu|E|}}}
\end{align*}
car $E$ étant négative, $E/|E|=-1$.
Remplaçons les constantes $E$ et $L$ par les constantes $a$ et $e$.
\`A partir des expressions du paramètre \eqref{parametre} p.~\pageref{parametre} et \eqref{pa} p.~\pageref{pa}~:
\begin{align*}
\frac{L^2}{\mu\alpha}&=p\\
L^2&=\mu\alpha a\left(1-e^2\right)
\end{align*}
Avec \eqref{grand} p.~\pageref{grand}~:
\begin{align*}
|E|&=\frac{\alpha}{2a}\\
\sqrt{\frac{\mu}{2|E|}}&=\sqrt{\frac{\mu a}{\alpha}}
\end{align*}
De plus
\begin{align*}
\frac{L^2}{2\mu |E|}&=\frac{\mu\alpha a\left(1-e^2\right)2a}{2\mu\alpha}\\
&=a^2\left(1-e^2\right)
\end{align*}
D'où,
\begin{align}
t-t_0&=\sqrt{\frac{\mu a}{\alpha}}\int_{\rho(t_0)}^{\rho(t)}\frac{\pm\rho \dd \rho}{\sqrt{-\rho^2+2a\rho-a^2(1-e^2)}}\notag\\
&=\sqrt{\frac{\mu a}{\alpha}}\int_{\rho(t_0)}^{\rho(t)}\frac{\pm\rho \dd \rho}{\sqrt{a^2e^2-(a-\rho)^2}}\label{dt}
\end{align}
Nous avons vu au \S~\ref{demi-grand_axe} p.~\pageref{demi-grand_axe} que le rayon vecteur varie entre $a-ae$ et $a+ae$.
Cela suggère d'effectuer le changement de variable~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}\label{rho}
\rho=a-ae\cos(\psi),\ \psi\in[0,\pi]
\end{empheq}
L'angle $\psi$, appelé \emph{anomalie excentrique} remplace le rayon vecteur.
Nous avons alors,
\begin{align*}
\frac{\dd \rho}{\dd \psi}&=ae\sin(\psi)\\
\dd \rho&=ae\sin(\psi)\dd \psi
\end{align*}
On suppose de nouveau qu'à l'instant initial la planète est au périhélie,
donc à l'instant initial $\rho=\rho_{min}\Leftrightarrow\psi=0$ et $\theta=\phi$.
\begin{align}
t-t_0&=\sqrt{\frac{\mu a}{\alpha}}\int_0^{\psi}\frac{(a-ae\cos(\psi))\,ae\sin(\psi)}{\sqrt{a^2e^2-a^2e^2\cos^2(\psi)}}\dd \psi\notag\\
&=\sqrt{\frac{\mu a}{\alpha}}\int_0^{\psi}\frac{(a-ae\cos(\psi))\,ae\sin(\psi)}{ae\sin(\psi)}\dd \psi\notag\\
&=\sqrt{\frac{\mu a^3}{\alpha}}\int_0^{\psi}(1-e\cos(\psi))\dd \psi\notag\\
&=\sqrt{\frac{\mu a^3}{\alpha}}\Big[\psi-e\sin(\psi)\Big]_0^{\psi}\notag\\
&=\sqrt{\frac{\mu a^3}{\alpha}}\,(\psi-e\sin(\psi))\label{tau}
\end{align}
La planète effectue une demi-période $T/2$ quand $\rho$ varie de $\rho_{min}$ à $\rho_{max}$,
c.-à-d. quand $\psi$ varie de $0$ à $\pi$~:
\begin{align*}
\frac{T}{2}&=\sqrt{\frac{\mu a^3}{\alpha}}\,(\pi-e\,\sin(\pi))\\
T&=2\pi\sqrt{\frac{\mu a^3}{\alpha}}
\end{align*}
On retrouve bien la période de révolution \eqref{T} p.~\pageref{T}.


En introduisant la période $T$ puis la pulsation $\omega$ dans \eqref{tau},
la solution de l'équation différentielle devient~:
\begin{equation*}
t-t_0=\frac{T}{2\pi}(\psi-e\,\sin(\psi))
\end{equation*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}\label{eqkepler}
\omega(t-t_0)&=\psi-e\,\sin(\psi)
\end{empheq}
appelée \emph{équation de Kepler}. L'angle $\omega(t-t_0)$ s'appelle \emph{anomalie moyenne}.

Revenons à la variable $\rho$ en inversant le changement de variable \eqref{rho} p.~\pageref{rho}.
Dans la pratique cela n'est jamais fait, nous allons voir pourquoi.
\begin{align*}
\rho&=a-ae\cos(\psi)\\
\frac{a-\rho}{ae}&=\cos(\psi)\\
\psi&=\arccos\left(\frac{a-\rho}{ae}\right) 
\end{align*}
ce qui donne
\begin{equation}
\omega(t-t_0)=\arccos\left(\frac{a-\rho}{ae}\right)-e\,\sin\arccos\left(\frac{a-\rho}{ae}\right)\label{sinarcos} 
\end{equation}
On fixe $\rho$ pour obtenir $t-t_0$.
Pour la détermination de l'angle $\theta$ à partir d'un rayon $\rho$ fixé,
nous utilisons l'équation de l'orbite \eqref{conique} p.~\pageref{conique}~:
\begin{align*}
\rho+\rho\,e\cos(\theta-\phi)&=p\\
\cos(\theta-\phi)&=\frac{p-\rho}{\rho e}\\
\theta&=\arccos\left(\frac{p-\rho}{\rho e}\right)+\phi 
\end{align*}
Cette méthode n'est pas optimale pour un calcul sur ordinateur, avec un sinus d'arcosinus dans l'expression \eqref{sinarcos}. 
Il est préférable de fixer $\psi$ pour trouver la durée $t-t_0$ grâce à l'équation de Kepler \eqref{eqkepler},
puis de trouver la distance au Soleil $\rho$ en utilisant le changement de variable \eqref{rho} p.~\pageref{rho}.
Enfin, nous pouvons trouver la valeur correspondante de l'angle $\theta$ en utilisant
l'équation de l'orbite \eqref{conique} p.~\pageref{conique} et le changement de variable \eqref{rho} qui donne chacun le rayon~$\rho$~:
\begin{align*}
a-ae\cos(\psi)&=\frac{p}{1+e\cos(\theta-\phi)}\\
1+e\cos(\theta-\phi)&=\frac{a(1-e^2)}{a(1-e\cos(\psi))}\\
e\cos(\theta-\phi)&=\frac{1-e^2-(1-e\cos(\psi))}{1-e\cos(\psi)}\\
\cos(\theta-\phi)&=\frac{\cos(\psi)-e}{1-e\cos(\psi)}\\
\theta&=\arccos\left(\frac{\cos(\psi)-e}{1-e\cos(\psi)}\right) +\phi
\end{align*}
Nous pouvons utiliser une forme alternative pour exprimer $\theta$ en fonction de $\psi$ :
\begin{align*}
1-\cos(\theta-\phi)&=1-\frac{\cos(\psi)-e}{1-e\cos(\psi)}\\
2\sin^2\left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)&=\frac{1-e\cos(\psi)-\cos(\psi)+e}{1-e\cos(\psi)}\\
&=\frac{(1+e)(1-\cos(\psi))}{1-e\cos(\psi)}
\end{align*}
et,
\begin{align*}
1+\cos(\theta-\phi)&=1+\frac{\cos(\psi)-e}{1-e\cos(\psi)}\\
2\cos^2\left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)&=\frac{1-e\cos(\psi)+\cos(\psi)-e}{1-e\cos(\psi)}\\
&=\frac{(1-e)(1+\cos(\psi))}{1-e\cos(\psi)}
\end{align*}
en faisant le rapport~:
\begin{align*}
\tan^2\left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)&=\frac{(1+e)(1-\cos(\psi))}{(1-e)(1+\cos(\psi))}\\
\tan\left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)&=\sqrt{\frac{(1+e)}{(1-e)}}\tan\left(\frac{\psi}{2}\right)\\
\theta&=2\arctan\left[\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan\left(\frac{\psi}{2}\right)\right]+\phi
\end{align*}

\chapter{Le tenseur d'inertie}
Le tenseur d'inertie calculé dans le repère principal d'inertie ayant pour centre
le centre d'inertie d'un solide est une caractéristique intrinsèque de ce solide. 
Il apparait naturellement dans l'expression du moment d'inertie (répartition de la masse autour d'un axe de rotation)
qui est nécessaire pour le calcul du moment cinétique d'un solide,
et de son énergie cinétique de rotation.
\section{Moment d'inertie}
Soit un solide $S$ et soit $\Delta$ un axe quelconque ne passant pas nécessairement par $S$,
de direction fixe dans le repère $\mathcal{R}$.

\begin{figure}[H]
\begin{pspicture}(-6,-2)(6,3)% aire reservee a l'image
%\psgri\dd (-6,-2)(6,3)
\psline(-1,-2)(1.5,3)% axe
\listplot[plotstyle=ccurve]
{0.5 -1 -1 -1 0 1.5 0.5 2.5 1.5 1.5 2 0}% corps
\rput(1.5,0){$+$}
\rput(.5,1){$+$}
\psline[linestyle=dashed, linewidth=.5pt, dash=2pt 1pt]{-}(1.5,0)(.5,1)% r
%Lettres
\rput(1.6,3.5){$\Delta$}
\rput(1.2,.7){$r$}
\rput(-1,1){$(S)$}
\end{pspicture}
\caption{Solide et axe de rotation quelconques}
\end{figure}

Le moment d'inertie du solide $S$ par rapport à l'axe $\Delta$ est un scalaire qui caractérise l'inertie
en rotation du solide $S$ autour de l'axe $\Delta$.
\begin{defi}{Moment d'inertie}{}
Le moment d'inertie d'un système par rapport à un axe $\Delta$,
est la somme des masses de ce système, pondérées par leurs distances à l'axe au carré~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
I_{\Delta}\overset{\mathrm{def}}{=}\sum_im_i\,r_i^2
\end{empheq}
\end{defi}
Pour un système continu~:
\begin{defi}{Moment d'inertie}{}
Le moment d'inertie par rapport à un axe $\Delta$, d'un solide $S$ de volume $V$ et de masse volumique $\rho$,
a pour expression~:
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
I_{\Delta}\overset{\mathrm{def}}{=}\iiint_{V}\rho\,r^2\dd^{3}V
\end{empheq}
\end{defi}
Le moment d'inertie est fonction de $r^2$, il dépend donc du choix de l'axe $\Delta$, mais pas du choix du repère $\mathcal{R}$,
car seule la distance à l'axe intervient.
\begin{rmq}{}{}
Lorsque le solide est homogène,
sa densité est constante dans l'espace et l'on peut sortir $\rho$ de l'intégrale de volume.
\end{rmq}
\section{Tenseur d'inertie}
Cherchons l'expression du moment d'inertie par rapport à un axe quelconque $\Delta$, en fonction du tenseur d'inertie.
Considérons un repère orthonormé $\mathcal{R}$ dont le centre $O$ est sur l'axe $\Delta$.
Soit un élément de volume du solide $S$, de masse $\dd m$, situé au point $M$ tel que $\tvmcmf{OM}(x_1,x_2,x_3)$,
et soit $\tvmc{u}(u_1,u_2,u_3)$ un vecteur unitaire porté par l'axe $\Delta$.
On appelle $H$ la projection orthogonale de $M$ sur l'axe $\Delta$, tel que ${r=MH}$.

En appliquant le théorème de pythagore dans le triangle $OMH$ rectangle en $H$~:
\begin{align*}
MH^2&=OM^2-OH^2\\
&=OM^2-(\tvmcmf{OM}\cdot\tvmc{u})^2\\
&=x_1^2+x_2^2+x_3^2-(x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3)^2
\end{align*}
Le vecteur $\tvmc{u}$ étant unitaire~:
\begin{equation*}
\tvmc{u}\cdot\tvmc{u}=u_1^2+u_2^2+u_3^2=1
\end{equation*}
Nous avons alors~:
\begin{align*}
MH^2&=\left[u_1^2+u_2^2+u_3^2\right]\left[x_1^2+x_2^2+x_3^2\right]
-\left(u_1x_1+u_2x_2+u_3x_3\right)^2\\
&=\left[u_1^2+u_2^2+u_3^2\right]\left[x_1^2+x_2^2+x_3^2\right]\\
&\qquad-\left[u_1^2x_1^2+u_2^2x_2^2
+u_3^2x_3^2+2u_1u_2x_1x_2-2u_2u_3x_2x_3-2u_1u_3x_1x_3\right]\\
&=u_1^2\left(x_2^2+x_3^2\right)+u_2^2\left(x_1^2+x_3^2\right)
+u_3^2\left(x_1^2+x_2^2\right)\\
&\qquad-2u_1u_2x_1x_2-2u_2u_3x_2x_3-2u_1u_3x_1x_3
\end{align*}
\begin{figure}[H]
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,4.5)% aire reservee a l'image
%\psgri\dd (-6,-3)(6,4.5)
\psline{->}(-.5,-1)(-2,-1.75)% x_1
\psline{->}(-.5,-1)(2.5,-1.5)% x_2
\psline{->}(-.5,-1.5)(-.5,2)% x_3
\psline{-}(-1.5,-3)(2,4)% axe
\listplot[plotstyle=ccurve]% corps
{0.5 -1 -1 -1 0 1.5 0.5 2.5 1.5 1.5 2 0}
\psline[linestyle=dashed, linewidth=.5pt, dash=2pt 1pt]{-}(1.5,0)(.4,.8)% r
\psline[linecolor=red]{|->}(1.5,3)(1.7,3.4)% u
\rput(1.5,0){$+$}
\rput(.4,.8){$+$}
%Lettres
\rput(-2.4,-1.9){$x_1$}
\rput(3,-1.5){$x_2$}
\rput(-.5,2.3){$x_3$}
\rput(-.8,-.8){$O$}
\rput(2.3,4.3){$\Delta$}
\rput(1.6,.4){$M$}
\rput(.2,1.2){$H$}
\rput(.7,.2){$r$}
\rput(2.5,1){$(S)$}
\rput(-2,0){$\mathcal{R}$}
\rput(1.9,3.1){\red $\tvmc{u}$}
\end{pspicture}
\end{figure}

Ecrivons le moment d'inertie par rapport à l'axe $\Delta$~:
\begin{align}
I_{\Delta}&=\iiint_{V}\rho\,MH^2\dd V\notag\\
&=u_1^2\int_{V}\rho\left(x_2^2+x_3^2\right)\dd^{3}V
+u_2^2\int_{V}\rho\left(x_1^2+x_3^2\right)\dd^{3}V
+u_3^2\int_{V}\rho\left(x_1^2+x_2^2\right)\dd^{3}V\notag\\
&\qquad\qquad-u_1u_2\int_{V}\rho\,2x_1x_2\dd^{3}V-u_2u_3\int_{V}\rho\,2x_2x_3\dd^{3}V
-u_1u_3\int_{V}\rho\,2x_1x_3\dd^{3}V\label{ellipso}
\end{align}
Nous avons alors le produit scalaire suivant~:
\begin{align*}
I_{\Delta}&=
\begin{pmatrix}
u_1\int\rho\left(x_2^2+x_3^2\right)\dd^{3}V-u_2\int\rho x_1x_2\dd^3V-u_3\int\rho x_1x_3\dd^3V\\
-u_1\int\rho x_1x_2\dd^3V+u_2\int\rho\left(x_1^2+x_3^2\right)\dd^{3}V-u_3\int\rho x_2x_3\dd^3V\\
-u_1\int\rho x_1x_3\dd^3V-u_2\int\rho x_2x_3\dd^3V+u_3\int\rho\left(x_1^2+x_2^2\right)\dd^{3}V
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2\\
u_3
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
\int\rho\left(x_2^2+x_3^2\right)\dd^{3}V &-\int\rho x_1x_2\dd^3V &-\int\rho x_1x_3\dd^3V\\
-\int\rho x_1x_2\dd^3V &\int\rho\left(x_1^2+x_3^2\right)\dd^{3}V &-\int\rho x_2x_3\dd^3V\\
-\int\rho x_1x_3\dd^3V &-\int\rho x_2x_3\dd^3V &\int\rho\left(x_1^2+x_2^2\right)\dd^{3}V
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2\\
u_3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2\\
u_3
\end{pmatrix}
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}
I_{\Delta}=[I]_O\,\tvmc{u}\cdot\tvmc{u}\label{iuu}
\end{empheq}
où $[I]_O$ est le tenseur d'inertie du solide $S$ calculé au centre $O$ du repère $\mathcal{R}$.
L'opération $[I]_O\,\tvmc{u}$ est la multiplication de la matrice $[I]_O$ par le vecteur $\tvmc{u}$, elle donne un vecteur.
L'opération suivante est le produit scalaire de deux vecteurs et l'on a~:
\begin{equation*}
[I]_O\,\tvmc{u}\cdot\tvmc{u}=\tvmc{u}\cdot[I]_O\,\tvmc{u}
\end{equation*}
Les composantes du tenseur d'inertie sont des fonctions de $x_1,x_2$ et $x_3$, il dépend donc du choix du repère $\mathcal{R}$
(position du centre $O$ et orientation des axes).
En revanche il ne dépend pas de l'axe $\Delta$.
La dépendance de $I_{\Delta}$ à l'axe $\Delta$ se fait uniquement par le vecteur unitaire $\tvmc{u}$ porté par l'axe $\Delta$.


Dans l'expression du premier terme, $x_2^2+x_3^2$ est la distance au carré à l'axe $x_1$.
Les termes diagonaux sont par conséquent les moments d'inertie par rapport aux axes $x_1$, $x_2$, $x_3$ du repère $\mathcal{R}$.
Montrons-le pour un axe de rotation $\Delta$ confondu avec l'axe $x_3$, donc portant le vecteur unitaire $\tvmc{k}$.
Supposons la masse volumique $\rho$ constante~:
\begin{align*}
I_3&=[I]_O\tvmc{k}\cdot\tvmc{k}\\
&=\rho\begin{bmatrix}
\int\left(x_2^2+x_3^2\right)\dd^{3}V &-\int x_1x_2\dd^3V &-\int x_1x_3\dd^3V\\
-\int x_1x_2\dd^3V &\int\left(x_1^2+x_3^2\right)\dd^{3}V &-\int x_2x_3\dd^3V\\
-\int x_1x_3\dd^3V &-\int x_2x_3\dd^3V &\int\left(x_1^2+x_2^2\right)\dd^{3}V
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}\\
&=\rho\begin{pmatrix}
-\iiint x_1x_3\dd^3V\\
-\iiint x_2x_3\dd^3V\\
\iiint \left(x_1^2+x_2^2\right)\dd^{3}V
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}\\
&=\rho\iiint \left(x_1^2+x_2^2\right)\dd^{3}V
\end{align*}
qui est le moment d'inertie par rapport à l'axe $x_3$.
Les opposés des termes non diagonaux sont appelés \emph{produits d'inertie}.
\begin{defi}{Tenseur d'inertie}{}
Le tenseur d'inertie d'un solide 
de volume $V$ et de masse volumique $\rho$, calculé au centre $O$ d'un repère $\mathcal{R}$ s'écrit~:
\begin{align*}
[I]_O
&\overset{\mathrm{def}}{=}\begin{bmatrix}
\iiint \rho\left(x_2^2+x_3^2\right)\dd^{3}V &-\iiint \rho x_1x_2\dd^3V &-\iiint \rho x_1x_3\dd^3V\\
-\iiint \rho x_1x_2\dd^3V &\iiint \rho\left(x_1^2+x_3^2\right)\dd^{3}V &-\iiint \rho x_2x_3\dd^3V\\
-\iiint \rho x_1x_3\dd^3V &-\iiint \rho x_2x_3\dd^3V &\iiint \rho\left(x_1^2+x_2^2\right)\dd^{3}V
\end{bmatrix}
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\maboitedef]{align*}
[I]_O&=
\begin{bmatrix}
I_{11} & -I_{12} & -I_{13}\\
-I_{21} & I_{22} & -I_{23}\\
-I_{31} & -I_{32} & I_{33}
\end{bmatrix}
\end{empheq}
où la convention de signe permet d'avoir des produits d'inertie positif.
\end{defi}
\begin{ntn}{}{}
Le tenseur $[I]$ est aussi noté $\bm{\mathrm I}$, $\stackrel{\Rightarrow}I$, $\overset{\leftrightarrow}{I}$, $\hat I$,
$\underset{=}{I}$, $\underset{\approx}{I}$, et en notation indicielle $I_{ij}$~:
\begin{equation*}
I_\Delta=I_{ij}u^iu^j
\end{equation*}
avec une sommation sur les indices répétés.
À partir du tenseur d'inertie en un point $O$, on trouve le moment d'inertie par rapport à n'importe quel axe passant par $O$.
Le tenseur d'inertie prend en entrée deux vecteurs (deux fois le vecteur unité porté par l'axe de rotation), et donne en sortie un scalaire
(le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation).
C'est donc une forme bilinéaire, appelée tenseur deux fois covariant.
\end{ntn}
Deux indices permettent de repérer ses éléments, c'est donc un tenseur d'ordre deux.
Il est covariant, les indices seront en bas par convention.
Il est symétrique~:
\begin{equation*}
I_{ij}=I_{ji}
\end{equation*}
Les indices pouvant prendre trois valeurs, il appartient à un espace vectoriel de dimension $3$.
La dimension de l'espace puissance l'ordre du tenseur donne le nombre de composantes du tenseur,
soit $3^2=9$ composantes.
\section{Repère principal d'inertie}
Comme tout tenseur symétrique d'ordre deux, 
le tenseur d'inertie en tout point $O$ peut être diagonalisé.
Il existe donc un \emph{repère principal d'inertie} $(O,\tvmcmf{P}_1,\tvmcmf{P}_2,\tvmcmf{P}_3)$,
composé de trois axes \emph{principaux d'inertie} passant par $O$,
dans lequel le tenseur d'inertie est diagonal.
Plaçons-nous dans un repère $\mathcal{R}$ de centre $O$ et cherchons l'expression
des \emph{vecteurs propres} $\tvmcmf{P}^1,\tvmcmf{P}^2,\tvmcmf{P}^3$,
et des \emph{valeurs propres} $I_1,I_2,I_3$ solutions des trois équations aux valeurs propres~:

\begin{align*}
[I]_O\tvmcmf{P}^1&=I_1\tvmcmf{P}^1\\
[I]_O\tvmcmf{P}^2&=I_2\tvmcmf{P}^2\\
[I]_O\tvmcmf{P}^3&=I_3\tvmcmf{P}^3
\end{align*}

\subsection{Moments principaux d'inertie}
Soient $I$ un scalaire et $\tvmcmf{P}(p_1,p_2,p_3)$ un vecteur non nuls tels que l'on ait~:
\begin{align}
[I]_O\tvmcmf{P}&=I\tvmcmf{P}\notag\\
\begin{bmatrix}\notag
I_{11} & -I_{12} & -I_{13}\\
-I_{21} & I_{22} & -I_{23}\\
-I_{31} & -I_{32} & I_{33}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
p_1\\p_2\\p_3
\end{pmatrix}
&=\begin{bmatrix}
I & 0 & 0\\
0 & I & 0\\
0 & 0 & I
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
p_1\\p_2\\p_3
\end{pmatrix}
\\
\begin{bmatrix}\label{sys_eq_lin}
I-I_{11} & I_{12} & I_{13}\\
I_{21} & I-I_{22} & I_{23}\\
I_{31} & I_{32} & I-I_{33}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
p_1\\p_2\\p_3
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\end{align}
Ce système admet des solutions non triviales (différentes de zéro) si le déterminant de la matrice des coefficients est nul,
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
I-I_{11} & I_{12} & I_{13}\\
I_{21} & I-I_{22} & I_{23}\\
I_{31} & I_{32} & I-I_{33}
\end{vmatrix}=0
\end{align*}
qui donne \emph{l'équation caractéristique}~:
\begin{equation*}
(I-I_{11})[(I-I_{22})(I-I_{33})-I_{32}I_{23}]-I_{21}[I_{12}(I-I_{33})-I_{32}I_{13}]+I_{31}[I_{12}I_{23}-(I-I_{22})I_{13}]=0
\end{equation*}
Ce polynôme $Q$ est du troisième degré en $I$
\begin{equation*}
Q=I^3+a_1I^2+a_2I+a_3
\end{equation*}
qui admet trois racines $I_1,I_2,I_3$.
Ces trois solutions de l'équation $Q=0$ sont les valeurs propres du tenseur d'inertie,
aussi appelées \emph{moments principaux d'inertie} au point $O$.
Pour le premier vecteur propre $\tvmcmf{P}^1(p_1^1,p_2^1,p_3^1)$ de valeur propre $I_1$ nous avons~:
\begin{align*}
[I]_O\tvmcmf{P}^1&=I_1\tvmcmf{P}^1\\
\begin{bmatrix}
I_{11} & -I_{12} & -I_{13}\\
-I_{21} & I_{22} & -I_{23}\\
-I_{31} & -I_{32} & I_{33}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
p_1^1\\p_2^1\\p_3^1
\end{pmatrix}
&=\begin{bmatrix}
I_1 & 0 & 0\\
0 & I_1 & 0\\
0 & 0 & I_1
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
p_1^1\\p_2^1\\p_3^1
\end{pmatrix}
\end{align*}

\subsection{Axes principaux d'inertie}
Résolvons le système \eqref{sys_eq_lin} p.~\pageref{sys_eq_lin} avec les différentes valeurs possibles de $I$.
Pour la valeur propre $I_1$ associée au vecteur propre $\tvmcmf{P}^1(p_1^1,p_2^1,p_3^1)$~:

\begin{align}\label{sys_eq_lin2}
\begin{bmatrix}
I_1-I_{11} & I_{12} & I_{13}\\
I_{21} & I_1-I_{22} & I_{23}\\
I_{31} & I_{32} & I_1-I_{33}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
p_1^1\\p_2^1\\p_3^1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\0\\0
\end{pmatrix}
\end{align}
\begin{equation*}
\begin{dcases}
(I_1-I_{11})p_1^1+I_{12}p_2^1+I_{13}p_3^1=0\\
I_{21}p_1^1+(I_1-I_{22})p_2^1+I_{23}p_3^1=0\\
I_{31}p_1^1+I_{32}p_2^1+(I_1-I_{33})p_3^1=0
\end{dcases}
\end{equation*}
Nous n'avons pas besoin de résoudre ce système car nous n'avons besoin que de la direction du vecteur $\tvmcmf{P}^1$.
En effet si $\tvmcmf{P}^1$ est solution alors si $\alpha$ est un scalaire $\alpha\tvmcmf{P}^1$ est aussi solution~:
\begin{align*}
\alpha
\begin{bmatrix}
I_1-I_{11} & I_{12} & I_{13}\\
I_{21} & I_1-I_{22} & I_{23}\\
I_{31} & I_{32} & I_1-I_{33}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
p_1^1\\
p_2^1\\
p_3^1
\end{pmatrix}
=\alpha
\begin{pmatrix}
0\\0\\0
\end{pmatrix}
\end{align*}

\begin{align*}
\begin{bmatrix}
I_1-I_{11} & I_{12} & I_{13}\\
I_{21} & I_1-I_{22} & I_{23}\\
I_{31} & I_{32} & I_1-I_{33}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha p_1^1\\
\alpha p_2^1\\
\alpha p_3^1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\0\\0
\end{pmatrix}
\end{align*}
Le module $\|\tvmcmf{P}^1\|$ étant quelconque nous pouvons fixer la valeur de la première composante, $p_1^1=1$~:
\begin{equation*}
\begin{dcases}
I_{12}p_2^1+I_{13}p_3^1=I_{11}-I_1\\
(I_1-I_{22})p_2^1+I_{23}p_3^1=-I_{21}\\
I_{32}p_2^1+(I_1-I_{33})p_3^1=-I_{31}
\end{dcases}
\end{equation*}
Deux équations parmi ces trois suffisent à trouver $p_2^1$ et $p_3^1$,
c.-à-d. la direction dans $\mathcal{R}$ du premier \emph{axe principal d'inertie}~:
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
I_{12} & I_{13}\\
(I_1-I_{22}) & I_{23}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
p_2^1\\
p_3^1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
I_{11}-I_1\\
-I_{21}
\end{pmatrix}
\end{align*}
Soit $D$ le déterminant de la matrice carrée, résolvons par la méthode de Cramer~:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
p_2^1=\frac{1}{D}
\begin{vmatrix}
I_{11}-I_1 & I_{13}\\
-I_{21} & I_{23}
\end{vmatrix}
\end{aligned}
\qquad\text{et}\qquad
\begin{aligned}
p_3^1=\frac{1}{D}
\begin{vmatrix}
I_{12} & I_{11}-I_1\\
(I_1-I_{22}) & -I_{21}
\end{vmatrix}
\end{aligned}
\end{equation*}
Nous avons l'expression du premier vecteur propre $\tvmcmf{P}^1\left(P^1_1,P^1_2,P^1_3\right)$.
Nous procédons de même avec $\tvmcmf{P}^2$ et $\tvmcmf{P}^3$,
les deux autres vecteurs propres portés par les \emph{axes principaux d'inertie}.
Ainsi il existe un repère principal d'inertie en tout point $O$.


Montrons que les directions principales sont orthogonales.
Désignons les directions des axes principaux d'inertie par les vecteurs unitaires $\tvmc{n}_1,\tvmc{n}_2,\tvmc{n}_3$,
et faisons apparaitre leurs produits scalaires.
Pour $\tvmc{n}_1(n_1^1,n_1^2,n_1^3)$ et le scalaire $I_1$, \eqref{sys_eq_lin2} p.~\pageref{sys_eq_lin2} s'écrit~:
\begin{equation*}
I_1\tvmc{n}_1=[I]\tvmc{n}_1
\end{equation*}
De même pour $\tvmc{n}_2(n_2^1,n_2^2,n_2^3)$~:
\begin{equation*}
I_2\tvmc{n}_2=[I]\tvmc{n}_2
\end{equation*}
Effectuons le produit scalaire
\begin{align*}
[I]\tvmc{n}_1\cdot\tvmc{n}_2=&
\begin{bmatrix}
I_{11} & -I_{12} & -I_{13}\\
-I_{21} & I_{22} & -I_{23}\\
-I_{31} & -I_{32} & I_{33}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
n^1_1\\
n^2_1\\
n^3_1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
n^1_2\\
n^2_2\\
n^3_2
\end{pmatrix}\\
=&
\begin{pmatrix}
I_{11}n^1_1-I_{12}n^2_1-I_{13}n^3_1\\
-I_{21}n^1_1+I_{22}n^2_1-I_{23}n^3_1\\
-I_{31}n^1_1-I_{32}n^2_1+I_{33}n^3_1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
n^1_2\\
n^2_2\\
n^3_2
\end{pmatrix}\\
=&
I_{11}n^1_1n^1_2-I_{12}n^2_1n^1_2-I_{13}n^3_1n^1_2\\
&-I_{21}n^1_1n^2_2+I_{22}n^2_1n^2_2-I_{23}n^3_1n^2_2\\
&-I_{31}n^1_1n^3_2-I_{32}n^2_1n^3_2+I_{33}n^3_1n^3_2\\
\end{align*}
Par symétrie du tenseur d'inertie, échangeons $I_{ij}$ par $I_{ji}$
\begin{align*}
[I]\tvmc{n}_1\cdot\tvmc{n}_2
=&I_{11}n^1_1n^1_2-I_{21}n^2_1n^1_2-I_{31}n^3_1n^1_2\\
&-I_{12}n^1_1n^2_2+I_{22}n^2_1n^2_2-I_{32}n^3_1n^2_2\\
&-I_{13}n^1_1n^3_2-I_{23}n^2_1n^3_2+I_{33}n^3_1n^3_2\\
=&I_{11}n^1_2n^1_1-I_{12}n^2_2n^1_1-I_{13}n^3_2n^1_1\\
&-I_{21}n^1_2n^2_1+I_{22}n^2_2n^2_1-I_{23}n^3_2n^2_1\\
&-I_{31}n^1_2n^3_1-I_{32}n^2_2n^3_1+I_{33}n^3_2n^3_1\\
=&
\begin{pmatrix}
I_{11}n^1_2-I_{12}n^2_2-I_{13}n^3_2\\
-I_{21}n^1_2+I_{22}n^2_2-I_{23}n^3_2\\
-I_{31}n^1_2-I_{32}n^2_2+I_{33}n^3_2
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
n^1_1\\
n^2_1\\
n^3_1
\end{pmatrix}\\
=&
\begin{bmatrix}
I_{11} & -I_{12} & -I_{13}\\
-I_{21} & I_{22} & -I_{23}\\
-I_{31} & -I_{32} & I_{33}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
n^1_2\\
n^2_2\\
n^3_2
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
n^1_1\\
n^2_1\\
n^3_1
\end{pmatrix}\\
&=[I]\tvmc{n}_2\cdot\tvmc{n}_1
\end{align*}
donc
\begin{align*}
I_1\tvmc{n}_1\cdot\tvmc{n}_2&=I_2\tvmc{n}_2\cdot\tvmc{n}_1\\
(I_1-I_2)\tvmc{n}_1\cdot\tvmc{n}_2&=0
\end{align*}
Si $I_1\neq I_2$ alors $\tvmc{n}_1\cdot\tvmc{n}_2=0$ et les axes principaux d'inertie sont orthogonaux deux à deux.


Cherchons l'expression du tenseur d'inertie dans le repère principal d'inertie $\left(O,\tvmc{n}_1,\tvmc{n}_2,\tvmc{n}_3\right)$.
Soit $\tvmc{\omega}$ un vecteur porté par un axe de rotation quelconque $\Delta$~:
\begin{equation*}
\tvmc{\omega}=\omega_1\tvmc{n}_1+\omega_2\tvmc{n}_2+\omega_3\tvmc{n}_3
\end{equation*}
Soit $\tvmcmf{L}$ un vecteur tel que~:
\begin{align*}
\tvmcmf{L}&=[I]_O\,\tvmc{\omega}\\
L_1\tvmc{n}_1+L_2\tvmc{n}_2+L_3\tvmc{n}_3
&=[I]_O(\omega_1\tvmc{n}_1+\omega_2\tvmc{n}_2+\omega_3\tvmc{n}_3)\\
&=\omega_1[I]_O\tvmc{n}_1+\omega_2[I]_O\tvmc{n}_2+\omega_3[I]_O\tvmc{n}_3\\
&=\omega_1I_1\tvmc{n}_1+\omega_2I_2\tvmc{n}_2+\omega_3I_3\tvmc{n}_3
\end{align*}
Par conséquent
\begin{equation*}
\begin{dcases}
L_1=I_1\omega_1\\
L_2=I_2\omega_2\\
L_3=I_3\omega_3
\end{dcases}
\qquad\Rightarrow\qquad
\begin{bmatrix}
I_1 & 0 & 0\\
0 & I_2 & 0\\
0 & 0 & I_3
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega_1\\
\omega_2\\
\omega_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
L_1\\
L_2\\
L_3
\end{pmatrix}
\end{equation*}
d'où l'expression du \emph{tenseur principal d'inertie} au point $O$~:
\begin{align*}
[I]_O=
\begin{bmatrix}
I_1 & 0 & 0\\
0 & I_2 & 0\\
0 & 0 & I_3
\end{bmatrix}
\end{align*}
Il dépend du choix du point $O$.
En revanche le tenseur principal d'inertie $[I]_G$ calculé dans le repère principal d'inertie
ayant pour centre le centre d'inertie $G$ du système,
est une caractéristique intrinsèque de ce système (elle ne dépend que du système),
comme le sont sa masse, son volume ou sa charge électrique. On l'appelle \emph{tenseur central principal d'inertie}.
C'est la répartition des masses du solide~$S$, pondérée par la distance au centre d'inertie au carré.
\subsection{Ellipsoïde d'inertie}
Soit un solide $S$, et soit un repère $\mathcal{R}$ de centre $O$.
Le tenseur d'inertie $[I]_O$ est donc fixé.
Soit $\Delta$ un axe de rotation quelconque, de vecteur unitaire $\tvmc{u}(u_1,u_2,u_3)$~:
\begin{align*}
I_{\Delta}&=[I]_O\tvmc{u}\cdot\tvmc{u}\\
&=\begin{bmatrix}
I_{11}  & -I_{12} &-I_{13}\\
-I_{12} &I_{22} &-I_{23}\\
-I_{13}  &-I_{23} &I_{33}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2\\
u_3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2\\
u_3
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
I_{11}u_1  -I_{12}u_2 -I_{13}u_3\\
-I_{12}u_1 +I_{22}u_2 -I_{23}u_3\\
-I_{13}u_1 -I_{23}u_2 +I_{33}u_3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2\\
u_3
\end{pmatrix}
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
I_{\Delta}=I_{11}u_1^2+I_{22}u_2^2+I_{33}u_3^2-2I_{12}u_2u_1-2I_{13}u_3u_1-2I_{23}u_2u_3
\end{empheq}
on retrouve \eqref{ellipso} p.~\pageref{ellipso}.
C'est l'équation d'un ellipsoïde, appelé \emph{ellipsoïde d'inertie},
dans laquelle les composantes $I_{11},I_{22},I_{33},I_{12},I_{13},I_{23}$ du tenseur d'inertie sont des paramètres.


Pour chaque axe $\Delta$ de direction $\tvmc{u}$, donc pour chaque ensemble de valeurs $(u_1, u_2, u_3)$,
l'équation donne une valeur pour le moment d'inertie $I_{\Delta}$ du solide $S$. 
De même qu'un vecteur peut être représenté par une flèche, un tenseur symétrique d'ordre
deux peut être représenté par un ellipsoïde.
\subsection{Théorème de Huygens}
\begin{theo}{Théorème de Huygens}{}
Soit $\Delta_{G}$ un axe parallèle à l'axe $\Delta$ et passant par le centre d'inertie $G$ d'un solide $S$ de masse $m$. 
Soit $a=KH$ la distance entre ces deux axes, où $K\in\Delta_G$ et $H\in\Delta$, alors~:
\begin{empheq}[box=\maboitetheo]{align*}
I_{\Delta}&=I_{\Delta_{G}}+a^2m
\end{empheq}
\end{theo}
\begin{proof}
\begin{align*}
I_{\Delta}&=\rho\iiint (MH)^2\dd^{3}V\\
&=\iiint\rho\left(\tvmcmf{MK}+\tvmcmf{KH}\right)\cdot\left(\tvmcmf{MK}+\tvmcmf{KH}\right)\dd^{3}V\\
&=\iiint\rho\,(MK)^2\dd^3V+\iiint\rho\,(KH)^2\dd^3V+2\iiint\rho\,\tvmcmf{MK}\cdot\tvmcmf{KH}\dd^{3}V\\
&=I_{\Delta_{G}}+a^2m+2\iiint\rho\,(\tvmcmf{MG}+\tvmcmf{GK})\cdot\tvmcmf{KH}\dd^{3}V
\end{align*}
Le vecteur $\tvmcmf{KH}$ étant constant~:
\begin{equation*}
I_{\Delta}=I_{\Delta_{G}}+a^2m+2\tvmcmf{KH}\cdot\iiint\rho\,\tvmcmf{MG}\dd^{3}V+2\iiint\rho\,\tvmcmf{GK}\cdot\tvmcmf{KH}\dd^{3}V
\end{equation*}
Par définition du centre d'inertie,
\begin{equation*}
\iiint\rho\,\tvmcmf{MG}\dd^{3}V=0
\end{equation*}
De plus, ${\tvmcmf{GK}\,\bot\,\tvmcmf{KH}}$, d'où~:
\begin{equation*}
I_{\Delta}=I_{\Delta_{G}}+a^2m\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
\section{Moment cinétique}
\begin{defi}{Moment cinétique}{}
On appelle moment cinétique (ou moment angulaire ou moment de la quantité de mouvement)
par rapport à un point $O$ fixe dans un référentiel $\mathcal{R}$ quelconque,
d'un corps de centre de gravité $G$, le produit vectoriel du vecteur position $\tvmcmf{OG}$
par la quantité de mouvement de ce corps dans $\mathcal{R}$, $\tvmcmf{OG}\times\tvmc{p}$.
\end{defi}
Le vecteur position est noté $\tvmc{r}$ et le moment cinétique est noté $\tvmcmf{L}_{/O}$~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\tvmcmf{L}_{/O}&\overset{\mathrm{not}}{=}\tvmc{r}\times\tvmc{p}
\end{empheq}

\subsection{Moment cinétique par rapport à un point}
Soient $O$ et $O'$ deux points distincts d'un repère $\mathcal{R}$, le moment cinétique par rapport au point $O'$ d'un
point massique $M$ de quantité de mouvement $\tvmc{p}$ s'écrit~:
\begin{align*}
\tvmcmf{L}_{O'}(M)&=\tvmcmf{O'M} \times\tvmc{p}\\
&=(\tvmcmf{O'O}+\tvmcmf{OM}) \times\tvmc{p}\\
&=\tvmcmf{O'O} \times\tvmc{p}+\tvmcmf{OM} \times\tvmc{p}\\
&=\tvmcmf{O'O} \times\tvmc{p}+\tvmcmf{L}_O(M)
\end{align*}

\begin{figure}[H]
\begin{pspicture}(-4,-1)(3,3.5)
%\uput[0](0,0){Centre 2D} si c'est mis avant c'est sous la figure.
\psset{viewpoint=.5 -3 1.5, viewangle=0}% Meme figure si l'on omet cette ligne
\ThreeDput[normal=0 0 1](0,0,0)% Meme figure si l'on omet [normal=0 0 1]. (0,0,0) etant le centre.
{%\psframe[linecolor=gray](4,4)% Meme figure si l'on met (4,4,2)
\rput(0,0){$\odot$}
\rput(-0.5,0){$O$}
\rput(1,0){$\odot$}
\rput(1.5,0){$O'$}
\rput(2,2.5){$+$}
\rput(2.5,2.5){$M$}
\rput(1.5,3.5){$\tvmcmf{P}$}
\psline{->}(2,2.5)(1,3.5)% P
\psline{->}(0,0)(2,2.5)% OM
\psline{->}(1,0)(2,2.5)% O'M
\psline{->}(0,0)(1,0)% OO'
}
\ThreeDput[normal=0 -1 0](0,0,0)
{%\psframe[linecolor=green](4,4)
%\uput[0](0,.5){Plan x_1x_3}
\psline[linecolor=red]{->}(0,0)(0,3.5)
\psline[linecolor=red]{->}(1,0)(1,3)
\rput(-.4,3){\red$\tvmcmf{L}_O$}
\rput(1.5,2.5){\red$\tvmcmf{L}_{O'}$}
}
\end{pspicture}
\end{figure}
Le moment cinétique d'un solide ou d'un système dépend du point par rapport auquel il est calculé.
Le terme $\tvmcmf{O'O} \times\tvmc{p}$ permet de passer du moment cinétique au point $O$ à celui au point $O'$.


Soit un solide $S$ de masse volumique $\rho$, 
tournant avec la vitesse angulaire $\tvmc{\omega}$ autour d'un axe~$\Delta$ de direction fixe dans $\mathcal{R}$.
Si le solide $S$ est libre alors l'axe de rotation passe obligatoirement par son centre d'inertie, 
mais l'on envisage ici le cas plus général de la rotation d'un solide autour d'un axe quelconque.
Calculons le moment cinétique par rapport au centre du référentiel $O$ situé sur l'axe $\Delta$.

\begin{figure}[H]
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,4)% aire reservee a l'image
%\psgri\dd (-6,-3)(6,4)
\psline{->}(-.6,-1.5)(-.6,.5)
\psline{->}(-.6,-1)(1.1,-1.2)
\psline{->}(-.6,-1)(-2.1,-1.75)
\rput(.8,-1.5){$y$}
\rput(-.6,.8){$z$}
\rput(-2.4,-1.7){$x$}
\rput(-.9,-.8){$O$}
\rput(-1.5,0){$\mathcal{R}$}
\rput(.4,2.5){$\Delta$}
\psline{-}(-1,-2)(1,3)
\psline[linecolor=red]{|->}(-0.2,0)(0.2,1)
\rput(0.5,.8){\red $\tvmc{\omega}$}
\listplot[plotstyle=ccurve]
        {2.5 -1.5 1 -.5 2 1 2.5 2 3.5 1 4 -.5}
\rput(2,-.5){$\otimes$}
\rput(2,-.1){$\tvmc{v}$}
\rput(2.5,-.4){$M$}
\rput(4,1.2){$(S)$}
\end{pspicture}
\end{figure}

Considérons un élément de volume du solide $S$, de masse $\dd m$, de volume $\dd^{3}V$, de vitesse $\tvmc{v}$, situé au point $M$.
Son moment cinétique dans $\mathcal{R}$ par raport au point $O$ s'écrit~:
\begin{equation*}
\dd \tvmcmf{L}_O^{\mathcal{R}}(M)=\tvmcmf{OM}\times\tvmc{v}\dd m
\end{equation*}
L'axe de rotation $\Delta$ passant par le point $O$, 
la vitesse du point $M$ s'écrit
\begin{equation*}
\tvmc{v}=\tvmc{\omega}\times \tvmcmf{OM}
\end{equation*}
si bien que
\begin{align*}
\dd \tvmcmf{L}_O^{\mathcal{R}}(M)&=\tvmcmf{OM}\times (\tvmc{\omega}\times \tvmcmf{OM})\dd m\\
&=\rho\,\tvmcmf{OM}\times (\tvmc{\omega}\times \tvmcmf{OM})\dd^{3}V
\end{align*}
Le moment cinétique total du solide~$S$ s'obtient par intégration sur son volume total~:
\begin{equation*}
\tvmcmf{L}_O^{\mathcal{R}}(S)=\iiint\rho\,\tvmcmf{OM}\times(\tvmc{\omega}\times \tvmcmf{OM})\dd^{3}V
\end{equation*}
Développons le double produit vectoriel~:
\begin{align*}
\tvmcmf{OM}\times(\tvmc{\omega}\times \tvmcmf{OM})&=
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{pmatrix}
\times\left[
\begin{pmatrix}
\omega^1\\
\omega^2\\
\omega^3
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{pmatrix}\right]\\
&=
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
\omega^2x_3-\omega^3x_2\\
\omega^3x_1-\omega^1x_3\\
\omega^1x_2-\omega^2x_1
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\omega^1x_2^2-\omega^2x_1x_2-\omega^3x_1x_3+\omega^1x_3^2\\
\omega^2x_3^2-\omega^3x_2x_3-\omega^1x_2x_1+\omega^2x_1^2\\
\omega^3x_1^2-\omega^1x_3x_1-\omega^2x_3x_2+\omega^3x_2^2
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
\omega^1\left(x_2^2+x_3^2\right)-\omega^2x_1x_2-\omega^3x_1x_3\\
-\omega^1x_2x_1+\omega^2\left(x_1^2+x_3^2\right)-\omega^3x_2x_3\\
-\omega^1x_3x_1-\omega^2x_3x_2+\omega^3\left(x_1^2+x_2^2\right)
\end{pmatrix}
\end{align*}

D'où l'expression du moment cinétique de $S$ par rapport à $O$, calculé dans $\mathcal{R}$~:
\begin{align*}
\tvmcmf{L}_O^{\mathcal{R}}(S)&=
\begin{pmatrix}
\iiint\rho\left[\omega^1\left(x_2^2+x_3^2\right)-\omega^2x_1x_2-\omega^3x_1x_3\right]\dd^{3}V\\
\iiint\rho\left[-\omega^1x_2x_1+\omega^2\left(x_1^2+x_3^2\right)-\omega^3x_2x_3\right]\dd^{3}V\\
\iiint\rho\left[-\omega^1x_3x_1-\omega^2x_3x_2+\omega^3\left(x_1^2+x_2^2\right)\right]\dd^{3}V
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
\omega^1\iiint\rho\left(x_2^2+x_3^2\right)\dd^{3}V-\omega^2\iiint\rho x_1x_2\dd^3V-\omega^3\iiint\rho x_1x_3\dd^3V\\
-\omega^1\iiint\rho x_1x_2\dd^3V+\omega^2\iiint\rho\left(x_1^2+x_3^2\right)\dd^{3}V-\omega^3\iiint\rho x_2x_3\dd^3V\\
-\omega^1\iiint\rho x_1x_3\dd^3V-\omega^2\iiint\rho x_2x_3\dd^3V+\omega^3\iiint\rho\left(x_1^2+x_2^2\right)\dd^{3}V
\end{pmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
\iiint\rho\left(x_2^2+x_3^2\right)\dd^{3}V \!&-\iiint\rho x_1x_2\dd^3V \!&-\iiint\rho x_1x_3\dd^3V\\
-\iiint\rho x_1x_2\dd^3V \!&\iiint\rho\left(x_1^2+x_3^2\right)\dd^{3}V \!&-\iiint\rho x_2x_3\dd^3V\\
-\iiint\rho x_1x_3\dd^3V \!&-\iiint\rho x_2x_3\dd^3V \!&\iiint\rho\left(x_1^2+x_2^2\right)\dd^{3}V
\end{bmatrix}\!
\begin{pmatrix}
\omega^1\\
\omega^2\\
\omega^3
\end{pmatrix}
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
\tvmcmf{L}_O^{\mathcal{R}}(S)=[I]_O\,\tvmc{\omega}
\end{empheq}
où $[I]_O$ est le tenseur d'inertie du solide $S$, au point $O$ dans le repère $\mathcal{R}$.
\subsection{Projection du moment cinétique sur l'axe de rotation}\label{axe} 
Soit $\tvmc{u}$ le vecteur unitaire porté par l'axe de rotation $\Delta$~:
\begin{equation*}
\tvmc{\omega}=\omega\tvmc{u}
\end{equation*}
et soit $L_{\Delta}^{\mathcal{R}}(S)$ la projection du moment cinétique sur l'axe de rotation~$\Delta$.
Soit $MH$ la distance du point $M$ à l'axe de rotation. 
En utilisant le théorème \ref{th:BAC} p.~\pageref{th:BAC} de l'analyse vectorielle donné en annexe, on a~:
\begin{align*}
L_{\Delta}^{\mathcal{R}}(S)&=\tvmcmf{L}_O^{\mathcal{R}}(S)\cdot\tvmc{u}\\
&=\iiint\rho\,\tvmcmf{OM}\times(\tvmc{\omega}\times \tvmcmf{OM})\dd^{3}V\cdot\tvmc{u}\\
&=\iiint\rho\left[\tvmc{\omega}(\tvmcmf{OM}\cdot\tvmcmf{OM})
-\tvmcmf{OM}(\tvmcmf{OM}\cdot\tvmc{\omega})\right]\dd^3V\cdot\tvmc{u}\\
&=\omega\iiint\rho\left[\tvmc{u}\cdot\tvmc{u}\,(OM)^2
-(\tvmcmf{OM}\cdot\tvmc{u})(\tvmcmf{OM}\cdot\tvmc{u})\right]\dd^3V\\
&=\omega\iiint\rho\left[(OM)^2-(OH)^2\right]\dd^3V\\
&=\omega\iiint\rho\,(MH)^2\dd^{3}V
\end{align*}
\begin{empheq}[box=\maboite]{align}
L_{\Delta}^{\mathcal{R}}(S)=I_{\Delta}\,\omega\label{IDelta}
\end{empheq}
où le scalaire $I_{\Delta}$ est le moment d'inertie du solide $S$ par rapport à l'axe $\Delta$.

\begin{figure}[H]
\begin{pspicture}(-6,-2)(6,5)% aire réservée à l'image
%\psgri\dd (-6,-2)(6,4)
\rput(0,2){$+$}
\rput(-0.4,2){$O$}
\psline{->}(0,2)(2,3)
\rput(1.3,2.2){$\tvmcmf{L}_O$}
\psline{|->}(0,2)(0,3)
\rput(-.4,2.9){$\tvmcmf{L}_{\Delta}$}
\psline[linestyle=dashed](0,3)(2,3)
\rput(-.3,4){$\Delta$}
\psline{-}(0,-1)(0,4)
\psline[linecolor=red]{|->}(0,0)(0,1)
\rput(0.4,.8){\red $\tvmc{\omega}$}
\listplot[plotstyle=ccurve]
{2.5 -1.5 1 -.5 2 1 2.5 2 3.5 1 4 -.5}
\rput(2,-.5){$\otimes$}
\rput(2,-.1){$\tvmc{v}$}
\rput(2.5,-.4){$M$}
\rput(4,1){$(S)$}
\psline[linestyle=dashed](0,-.5)(2,-.5)
\rput(-.4,-.5){$H$}
\end{pspicture}
\caption{Projection du moment cinétique sur l'axe de rotation}
\end{figure}

\subsection{Lien entre tenseur d'inertie et moment d'inertie}
Soit $\tvmc{u}$ le vecteur unitaire porté par l'axe de rotation $\Delta$.
Alors~:
\begin{align*}
L_{\Delta}^{\mathcal{R}}(S)&=\tvmcmf{L}_O^{\mathcal{R}}(S)\cdot\tvmc{u}\\
&=[I]_O\tvmc{\omega}\cdot\tvmc{u}\\
&=[I]_O\tvmc{u}\cdot\tvmc{u}\omega
\end{align*}
Par conséquent, avec \eqref{IDelta} p.~\pageref{IDelta}~:
\begin{equation*}
I_{\Delta}=[I]_O\tvmc{u}\cdot\tvmc{u}
\end{equation*}
Nous retrouvons \eqref{iuu} p.~\pageref{iuu}.
\section{Énergie cinétique d'un solide en rotation}
Soit $S$ un solide de masse $m$, de volume $V$, de masse volumique $\rho$,
en rotation avec une vitesse angulaire $\tvmc{\omega}$ autour du centre $O$ d'un référentiel inertiel $\mathcal{R}$.
On considère un élément du solide, de masse $\dd m$, de volume $\dd^{3}V$ situé au point $M$.
Son énergie cinétique $\dd T$ s'écrit~:
\begin{align*}
\dd T&=\tfrac{1}{2}\,\ntvmc{v}^2\dd m\\
&=\tfrac{\rho}{2}\,\ntvmc{v}^2\dd^{3}V\\
&=\tfrac{\rho}{2}(\tvmc{\omega}\times\tvmcmf{OM})^2\dd^{3}V
\end{align*}
L'énergie cinétique totale $T$ s'obtient par intégration sur le volume total du solide $S$~:
\begin{equation*}
T=\frac{\rho}{2}\iiint(\tvmc{\omega}\times\tvmcmf{OM})^2\dd^3V
\end{equation*}
Grâce au théorème \ref{th:ABCD} p.~\pageref{th:ABCD} de l'analyse vectorielle donné en annexe~:
\begin{align*}
(\tvmc{\omega}\times \tvmcmf{OM})^2&=\omega^2(OM)^2-(\tvmc{\omega}\cdot \tvmcmf{OM})^2\\
&=\left[\left(\omega^1\right)^2+\left(\omega^2\right)^2+\left(\omega^3\right)^2\right]\left[x_1^2+x_2^2+x_3^2\right]
-(\omega^1x_1+\omega^2x_2+\omega^3x_3)^2\\
&=\left[\left(\omega^1\right)^2+\left(\omega^2\right)^2+\left(\omega^3\right)^2\right]\left[x_1^2+x_2^2+x_3^2\right]\\
&\quad\quad-\left[\left(\omega^1\right)^2x_1^2+\left(\omega^2\right)^2x_2^2+\left(\omega^3\right)^2x_3^2
+2(\omega^1x_1\omega^2x_2+\omega^1x_1\omega^3x_3+\omega^2x_2\omega^3x_3)\right]\\
&=\left(\omega^1\right)^2\left(x_2^2+x_3^2\right)+\left(\omega^2\right)^2\left(x_1^2+x_3^2\right)+\left(\omega^3\right)^2\left(x_1^2+x_2^2\right)\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-2\left(\omega^1x_1\omega^2x_2+\omega^1x_1\omega^3x_3+\omega^2x_2\omega^3x_3\right)
\end{align*}
Ce scalaire peut s'écrire sous la forme suivante~:
\begin{align*}
(\tvmc{\omega}\times \tvmcmf{OM})^2&=
\begin{pmatrix}
\omega^1\left(x_2^2+x_3^2\right)-\omega^2x_1x_2-\omega^3x_1x_3\\
-\omega^1x_2x_1+\omega^2\left(x_1^2+x_3^2\right)-\omega^3x_2x_3\\
-\omega^1x_3x_1-\omega^2x_3x_2+\omega^3\left(x_1^2+x_2^2\right)
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\omega^1\\
\omega^2\\
\omega^3
\end{pmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
x_2^2+x_3^2 &-x_1x_2 &-x_1x_3\\
-x_1x_2 &x_1^2+x_3^2 &-x_2x_3\\
-x_1x_3 &-x_2x_3 &x_1^2+x_2^2
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega^1\\
\omega^2\\
\omega^3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\omega^1\\
\omega^2\\
\omega^3
\end{pmatrix}
\end{align*}
D'où l'expression du dernier terme~:
\begin{align*}
\frac{1}{2}
\begin{bmatrix}
\int \rho\left(x_2^2+x_3^2\right)\dd^{3}V &-\int \rho x_1x_2\dd^3V &-\int \rho x_1x_3\dd^3V\\
-\int \rho x_1x_2\dd^3V &\int \rho\left(x_1^2+x_3^2\right)\dd^{3}V &-\int \rho x_2x_3\dd^3V\\
-\int \rho x_1x_3\dd^3V &-\int \rho x_2x_3\dd^3V &\int \rho\left(x_1^2+x_2^2\right)\dd^{3}V
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega^1\\
\omega^2\\
\omega^3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\omega^1\\
\omega^2\\
\omega^3
\end{pmatrix}
\end{align*}
En ajoutant l'énergie cinétique en translation rectiligne du solide $S$, l'énergie cinétique $T$ s'écrit sous la forme~:
\begin{empheq}[box=\maboite]{align*}
T=\tfrac{1}{2}m\ntvmc{v}^2+\tfrac{1}{2}[I]_{O}\,\tvmc{\omega}\cdot\tvmc{\omega}
\end{empheq}
où $[I]_{O}$ est le tenseur d'inertie du solide $S$, au point $O$. 

\chapter{Annexes}
\section{Premier théorème d'analyse vectorielle}
\begin{theo}{}{ABC}
\begin{empheq}[box=\maboitetheo]{align*}
\tvmcmf{A}\cdot\left(\tvmc{B}\times \tvmc{C}\right)=\tvmc{C}\cdot\left(\tvmcmf{A}\times \tvmc{B}\right)
\end{empheq}
\end{theo}
\begin{proof}
\begin{align*}
\tvmcmf{A}\cdot\left(\tvmc{B}\times \tvmc{C}\right)&=
\begin{pmatrix}
A_x\\
A_y\\
A_z
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
B_yC_z-B_zC_y\\
B_zC_x-B_xC_z\\
B_xC_y-B_yC_x
\end{pmatrix}\\
&=A_x\left(B_yC_z-B_zC_y\right)\\
&\qquad+A_y\left(B_zC_x-B_xC_z\right)\\
&\qquad\qquad+A_z\left(B_xC_y-B_yC_x\right)\\
&=C_x\left(A_yB_z-A_zB_y\right)\\
&\qquad+C_y\left(A_zB_x-A_xB_z\right)\\
&\qquad\qquad+C_z\left(A_xB_y-A_yB_x\right)\\
&=
\begin{pmatrix}
C_x\\
C_y\\
C_z
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
A_yB_z-A_zB_y\\
A_zB_x-A_xB_z\\
A_xB_y-A_yB_x
\end{pmatrix}\\
&=\tvmc{C}\cdot\left(\tvmcmf{A}\times \tvmc{B}\right)\qedhere
\end{align*}
\end{proof}

\section{Deuxième théorème d'analyse vectorielle}
\begin{theo}{}{BAC}
\begin{empheq}[box=\maboitetheo]{align*}
\tvmcmf{A}\times \left(\tvmc{B}\times \tvmc{C}\right)=
\tvmc{B}\left(\tvmcmf{A}\cdot\tvmc{C}\right)-\tvmc{C}\left(\tvmcmf{A}\cdot\tvmc{B}\right)
\end{empheq}
\end{theo}
\begin{proof}
\begin{align*}
\tvmcmf{A}\times \left(\tvmc{B}\times \tvmc{C}\right)&=
\begin{pmatrix}
A_x\\
A_y\\
A_z
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
B_yC_z-B_zC_y\\
B_zC_x-B_xC_z\\
B_xC_y-B_yC_x
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
A_y\left(B_xC_y-B_yC_x\right)-A_z\left(B_zC_x-B_xC_z\right)\\
A_z\left(B_yC_z-B_zC_y\right)-A_x\left(B_xC_y-B_yC_x\right)\\
A_x\left(B_zC_x-B_xC_z\right)-A_y\left(B_yC_z-B_zC_y\right)
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
A_yB_xC_y-A_yB_yC_x-A_zB_zC_x+A_zB_xC_z\\
A_zB_yC_z-A_zB_zC_y-A_xB_xC_y+A_xB_yC_x\\
A_xB_zC_x-A_xB_xC_z-A_yB_yC_z+A_yB_zC_y
\end{pmatrix}
\end{align*}
et,
\begin{align*}
\tvmc{B}&\left(\tvmcmf{A}\cdot\tvmc{C}\right)-\tvmc{C}\left(\tvmcmf{A}\cdot\tvmc{B}\right)\\
&=\tvmc{B}\left(A_xC_x+A_yC_y+A_zC_z\right)-\tvmc{C}\left(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z\right)\\
&=\begin{pmatrix}
B_x\left(A_xC_x+A_yC_y+A_zC_z\right)-C_x\left(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z\right)\\
B_y\left(A_xC_x+A_yC_y+A_zC_z\right)-C_y\left(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z\right)\\
B_z\left(A_xC_x+A_yC_y+A_zC_z\right)-C_z\left(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z\right)
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
B_xA_yC_y+B_xA_zC_z-C_xA_yB_y-C_xA_zB_z\\
B_yA_xC_x+B_yA_zC_z-C_yA_xB_x-C_yA_zB_z\\
B_zA_xC_x+B_zA_yC_y-C_zA_xB_x-C_zA_yB_y
\end{pmatrix}\qedhere
\end{align*}
\end{proof}

\begin{appli}{}{}
Pour $\tvmcmf{A}=\tvmc{C}=\tvmcmf{OM}$ et $\tvmc{B}=\tvmc{\omega}$, on a :
\begin{equation*}
\tvmcmf{OM}\times(\tvmc{\omega}\times\tvmcmf{OM})=\tvmc{\omega}(\tvmcmf{OM}\cdot\tvmcmf{OM})-\tvmcmf{OM}(\tvmcmf{OM}\cdot\tvmc{\omega})
\end{equation*}
\end{appli}
\section{Troisième théorème d'analyse vectorielle}
\begin{theo}{}{CAB}
\begin{empheq}[box=\maboitetheo]{align*}
(\tvmcmf{A}\times\tvmc{B})\times\tvmc{C}=\tvmc{B}(\tvmcmf{A}\cdot\tvmc{C})-\tvmcmf{A}(\tvmc{B}\cdot\tvmc{C})
\end{empheq}
\end{theo}
\begin{proof}
\begin{equation*}
(\tvmcmf{A}\times\tvmc{B})\times\tvmc{C}=-\tvmc{C}\times (\tvmcmf{A}\times\tvmc{B})
\end{equation*}
et avec le théorème \ref{th:BAC} p.~\pageref{th:BAC},
en remplaçant $\tvmcmf{A}$ par $\tvmc{C}$, $\tvmc{B}$ par $\tvmcmf{A}$, et $\tvmc{C}$ par~$\tvmc{B}$,
\begin{align*}
(\tvmcmf{A}\times\tvmc{B})\times\tvmc{C}
&=-[\tvmcmf{A}(\tvmc{C}\cdot\tvmc{B})-\tvmc{B}(\tvmc{C}\cdot\tvmcmf{A})]\\
&=\tvmc{B}(\tvmcmf{A}\cdot\tvmc{C})-\tvmcmf{A}(\tvmc{B}\cdot\tvmc{C})\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\begin{theo}{}{ABCD}
\begin{empheq}[box=\maboitetheo]{align*}
(\tvmcmf{A}\times\tvmc{B})\cdot(\tvmc{C}\times\tvmc{D})=(\tvmcmf{A}\cdot\tvmc{C})(\tvmc{B}\cdot\tvmc{D})-(\tvmcmf{A}\cdot\tvmc{D})(\tvmc{B}\cdot\tvmc{C})
\end{empheq}
\end{theo}
\begin{proof}
D'après le théorème \ref{th:ABC}~:
\begin{equation*}
\tvmc{X}\cdot(\tvmc{C}\times\tvmc{D})=(\tvmc{X}\times\tvmc{C})\cdot\tvmc{D}
\end{equation*}
On pose $\tvmc{X}=\tvmcmf{A}\times\tvmc{B}$, alors
\begin{equation*}
(\tvmcmf{A}\times\tvmc{B})\cdot(\tvmc{C}\times\tvmc{D})=[(\tvmcmf{A}\times\tvmc{B})\times\tvmc{C}]\cdot\tvmc{D}
\end{equation*}
et avec le théorème \ref{th:CAB}~:
\begin{align*}
(\tvmcmf{A}\times\tvmc{B})\cdot(\tvmc{C}\times\tvmc{D})
&=[\tvmc{B}(\tvmcmf{A}\cdot\tvmc{C})]-\tvmcmf{A}(\tvmc{B}\cdot\tvmc{C})]\cdot\tvmc{D}\\
&=(\tvmcmf{A}\cdot\tvmc{C})(\tvmc{B}\cdot\tvmc{D})-(\tvmcmf{A}\cdot\tvmc{D})(\tvmc{B}\cdot\tvmc{C})\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\begin{appli}{}{}
Pour $\tvmcmf{A}=\tvmc{C}=\tvmc{\omega}$ et $\tvmc{B}=\tvmc{D}=\tvmcmf{GM}$, on a~:
\begin{align*}
(\tvmc{\omega}\times\tvmcmf{GM})^2&=
(\tvmc{\omega}\cdot\tvmc{\omega})(\tvmcmf{GM}\cdot\tvmcmf{GM})-(\tvmc{\omega}\cdot\tvmcmf{GM})(\tvmcmf{GM}\cdot\tvmc{\omega})\\
&=\omega^2(GM)^2-(\tvmc{\omega}\cdot\tvmcmf{GM})^2
\end{align*}
\end{appli}
\end{document}
