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\title{Durée du jour et de la nuit}
\author{Olivier Castéra}
\date{\today}
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\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
Calcul de la durée du jour et de la nuit selon l'époque de l'année et le parallèle.
\end{abstract}
\tableofcontents% affiche la table des matières (ToC)
\section{Durée du jour au solstice d'été}
La précession et la nutation étant négligeables à l'échelle de temps considérée,
nous faisons l'approximation que l'axe de rotation de la Terre sur elle-même reste fixe par rapport au reste de l'Univers.
Aux solstices l'axe de rotation Nord-Sud est incliné vers le Soleil.
Dans l'hémisphère Nord, au solstice d'été le pôle Nord est plus proche du Soleil que le pôle Sud\footnote{Voir Equation du temps.pdf}.

\begin{figure}[H]\centering
\psset{unit=4cm}%Duree du jour au solstice d'ete a  Paris
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,1.6)%aire reservee a l'image
%\psgrid(-2,-1)(2,1.6)
\SpecialCoor
\pscircle[linecolor=cyan](0;0){1}%Terre
\psset{viewpoint=1.6 -1 1.0, viewangle=0}
\ThreeDput[normal=0 0 1]
{%\psframe[linecolor=cyan](4,4)
\psarc[linecolor=cyan](0;0){1}{-120}{60}%equateur
\uput{1.2}[60]{60}(0,0){\cyan Equateur}
}
\ThreeDput[normal=0 -.398 .917](0,-.300,.692)
{%\psframe[linecolor=gray](4,4)
\psarc[linecolor=gray](0;0){.656}{0}{360}%parallele
\uput{.9}[90]{90}(0,0){\gray Parallèle $\ang{49}$N}
\psline[linecolor=black](0;0)(.656;150.066)
\psline[linecolor=black](0;0)(.656;29.934)
\psline[linecolor=black](0;0)(.656;-90)%R sin 41
\psline[linecolor=black](.656;150.066)(.656;29.934)
\psline[linecolor=black](0;0)(.327;90)%h
\uput{.15}[115]{90}(0,0){\tiny h}
\psarc[arrowscale=.5, linewidth=.5pt]{<->}(0;0){.15}{30}{90}%angle alpha
\uput{0}[0]{45}(.19;65){\tiny $\alpha$}
}
\ThreeDput[normal=0 -1 0]
{%\psframe[linecolor=green](4,4)
\psline[linecolor=gray]{>}(1.5;90)(1;90)%perpendiculaire a  l'ecliptique
\psline[linecolor=gray, linestyle=dashed](1;90)(0;90)%perpendiculaire a l'ecliptique
\psarc[linecolor=green](0;0){1}{-60}{120}%meridien
\psarc[linecolor=green, linestyle=dashed](0;0){1}{120}{-60}%meridien
}
\ThreeDput[normal=1 0  0]
{%\psframe[linecolor=red](4,4)
\psline[linecolor=cyan]{>}(1.5;113.45)(1;113.45)%l'axe Nord
\psline[linecolor=cyan, linestyle=dashed](1;113.45)(.755;113.45)%l'axe Nord
\psarc{<->}(0;0){1.4}{90}{113.45}%angle de 23.45
\uput{0}[0]{11.7}(1.5;105){\tiny $\ang{23;27;}$}
\uput{0}[0]{23}(.95;140){\tiny $R\sin 41$}
\uput{0}[0]{0}(1.7;113.45){\cyan N}
\psline[linecolor=black](.755;113.45)(0;113.45)%R cos 41
\uput{0}[0]{-66.55}(-.17,.5){\tiny $R\cos 41$}
\psline[linecolor=black](1;154.45)(0;154.45)%R
\uput{.5}[165]{-25.55}(0,0){\tiny $R$}
\psarc{<->}(0;0){.3}{113.45}{154.45}%angle de 41
\uput{0}[0]{11.7}(.4;140){\tiny $\ang{41}$}
\rput (-1.8,0){Jour}
\rput (1.8,0){Nuit}
}
\end{pspicture}
\caption{\textbf{Solstice d'été à Paris} (latitude $\ang{49}$N)}
\label{solstice}
\end{figure}

Sur la figure \ref{solstice} nous avons représenté en vert le grand cercle qui sépare le jour de la nuit. 
Il passe par un axe représenté en gris, qui est la perpendiculaire à l'écliptique passant par le centre de la Terre.
Le grand cercle qui sépare le jour de la nuit n'est donc pas un méridien puisqu'il ne passe pas par les pôles. 
Nous choisissons d'effectuer les calculs pour la ville de Paris, de latitude $\ang{49}$N et de colatitude $\ang{41}$N,
dont le parallèle est représenté en gris.
La durée de la nuit étant proportionnelle à l'angle $\alpha$, il nous faut d'abord trouver la longueur $h$
\begin{align*}
&\tan\ang{23;27;}=\dfrac{h}{R\cos\ang{41}}\\
&h=R\cos\ang{41}\tan\ang{23;27;}
\end{align*}
dont on déduit $\alpha$,
\begin{align*}
\cos\alpha&=\frac{h}{R\sin\ang{41}}\\
&=\frac{R\cos\ang{41}\tan\ang{23;27;}}{R\sin\ang{41}}\\
&=\cot\ang{41}\tan\ang{23;27;}\\
&=\tan\ang{49}\tan\ang{23;27;}\\
\alpha&=\arccos\,(\tan\ang{49}\tan\ang{23;27;})\\
&=\ang{60;03;58}
\end{align*}
Grâce à l'angle $\alpha$, on trouve la durée de la nuit au solstice d'été à Paris :
\begin{equation*}
\dfrac{\alpha}{180}\times\qty{24}{\hour}\approx\qty{8}{\hour}
\end{equation*}
\newpage
\section{Cas général}
À chaque instant le grand cercle qui sépare le jour de la nuit
tourne autour de la perpendiculaire à l'écliptique passant par le centre de la Terre, 
en suivant le Soleil (avec $\qty{8}{\minute}$ de retard, temps mis par la lumière pour nous parvenir du Soleil).
Notez bien qu'il ne tourne \emph{pas} autour du pôle Nord.
Appelons $n$ le nombre de jours écoulés depuis le solstice d'été, et, sur la figure \ref{cas},
appelons $\theta$ l'angle parcouru par le grand cercle à partir du solstice d'été.
Si l'on fait l'approximation que la Terre décrit un cerle autour du Soleil, alors on obtient l'expression de~$\theta$~:
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
\theta=n\times\dfrac{360}{365,25}
\end{empheq}
L'angle $\theta$ est nul au solstice d'été, il vaut $\ang{90}$ à l'équinoxe d'automne, $\ang{180}$ au solstice d'hivers, 
et $\ang{270}$ à l'équinoxe de printemps.

\begin{figure}[H]\centering
\psset {unit=3.5cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1)(1.5,1)%aire reservee a l'image
\SpecialCoor
\pscircle[linecolor=cyan](0;0){1}%Terre
\psarc[linecolor=gray](0;0){.656}{0}{360}%parallele
\rput(.8,0){\gray $\ang{49}$N}
\psline[linecolor=gray](.327,-.569)(.327,.569)%segment
\psline[linecolor=gray](0,0)(.327,.569)%segment a  gauche
\psline[linecolor=gray](0,0)(.327,-.569)%segment a  droite
\psline[linecolor=black](.656;-34.396)(.327;0)%nouveau segment
\psline[linecolor=black](.284;30)(.656;94.396)%nouveau segment
\psline[linecolor=black](0,0)(.656;-34.396)%nouveau segment a  gauche
\psline[linecolor=black](0,0)(.656;94.396)%nouveau segment a  droite
\psline[linecolor=gray](0,0)(.327,0)%h segment gris
\rput(.25,-.05){\tiny \gray h}%h
\psline[linecolor=red](0;0)(.284;30)%h' segment rouge
\rput(.2,.05){\tiny \red h'}%h'
\psline[linecolor=green](.327;0)(.284;30)%h'' segment vert
\rput(.4,.1){\tiny \green h''}%h''
\psarc[arrowscale=.5, linewidth=.5pt]{<->}(0;0){.08}{30}{94.396}%angle alpha'
\rput(.15;47){\tiny $\alpha'$}
\psarc[arrowscale=.5, linewidth=.5pt]{<->}(.327;0){.25}{90}{120}%angle theta
\rput(.4;48){\tiny $\theta$}
\rput (-1.2,0){\gray Jour}
\rput (1.2,0){\gray Nuit}
\rput (1.2;210){Jour}
\rput (1.2;30){Nuit}
\rput(-.1,0){N}
\rput(-.2,.3){\tiny $R\sin\ang{41}$}
\end{pspicture}
\caption{Configuration au solstice d'été (en gris) et à une autre période de l'année}
\label{cas}
\end{figure}

Cherchons le nouvel angle $\alpha'$~:
\begin{align*}
\cos\alpha'&=\frac{h'}{R\sin\ang{41}}\\
&=\frac{h\cos\theta}{R\sin\ang{41}}\\
&=\frac{R\cos\ang{41}\tan\ang{23;27;}\cos\theta}{R\sin\ang{41}}\\
&=\cot\ang{41}\tan\ang{23;27;}\cos\theta\\
&=\tan\ang{49}\tan\ang{23;27;}\cos\theta\\
\alpha'&=\arccos\,(\tan\ang{49}\tan\ang{23;27;}\cos\theta)
\end{align*}
Grâce à l'angle $\alpha'$ on trouve la durée de la nuit à Paris pour n'importe quel jour de l'année :
\begin{empheq}[box=\greybox]{align*}
Dur\acute ee\ de\ la\ nuit=\arccos\,(\tan\ang{49}\tan\ang{23;27;}\cos\theta)\times \dfrac{\qty{24}{\hour}}{180}
\end{empheq}
\newpage
\section{Durée effective du jour}
La réfraction atmosphérique augmente la durée effective du jour. Elle est d'environ $\qty{36}{\arcminute}$ à l'horizon.
De même la surface apparente du Soleil vu de la Terre est de $\qty{30}{\arcminute}$.
Si l'on considère qu'en moyenne le Soleil parcours $\ang{180}$ en $\qty{12}{\hour}$,
cela correspond à $\qty{2}{\minute}\ \qty{30}{\second}$ de jour en plus dû à la réfraction,
et $\qty{2}{\minute}$ de jour en plus dû à la surface apparente du Soleil.
Enfin, la variation du jour solaire vrai\footnote{Voir Equation du temps.pdf}, 
due à l'excentricité de l'orbite terrestre et à l'obliquité de l'axe de rotation sur l'écliptique, 
font varier la durée du jour, de plus ou moins $\qty{30}{\second}$ au maximum.\\
\end{document}
